Антье и ее окружение
Андреев А.А., Савин А.Н.
Антье и ее свойства
Целой
частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не
превосходящее x. Обозначается целая часть x символом "[x]". Далее
целую часть x будем также называть "антье" (от франц.
entire-целый). Например: [3,5]=3, [-3,5]=-4, [3]=3, [-5]=-5.
Наряду
с целой частью числа существует понятие дробной части числа, которая
обозначается "{x}" и определяется следующим образом: {x} = x-[x]. Так
{3,5}=0.5, {-3,5}=-0.5, {5}=0, {-5}=0. Очевидно, что для любого действительного
числа x выполняется двойное неравенство:0 Ј {x}
Антье
обладает различными свойствами. Перечислим некоторые из них.
1.
Если x і 0, то [x] і 0. Если x
2.
Если p- целое число, то [x+p] = [x]+p.
Так
как дробная часть числа x равна дробной части числа x+p, то из равенства {x+p}
= {x} следует x+p-[x+p] = x-[x], откуда получаем [x+p] = [x]+p.
3.
Для любых двух действительных чисел a и b справедливо [a+b] і [a]+[b].
Действительно,
a = [a]+{a}, b = [b]+{b}. Следовательно, a+b = [a]+[b]+{a}+ {b}. Так как[a] и
[b]- целые числа, то по свойству 2
[a+b]
= [[a]+ [b]+{a}+{b}] = [a]+[b]+[{a}+ {b}] і [a]+ [b],
потому
что {a},{b} і 0 и по свойству 1 [{a}+ {b}] і 0.
Свойство
3 распространяется также на любое конечное число действительных чисел:
[a+b+...+w]
і [a]+[b]+...+ [w].
4.
Если [x] = [y], то |x-y|
Так
как x = [x]+{x}, y = [y]+{y}, то |x-y| = |[x]+{x}-[y]-{y}| = |{x}-{y}|