Механические колебания в дифференциальных уравнениях
Реферат Выполнил: студент гр. МХТ-02 Казаков Василий
Васильевич
Магнитогорский государственный технический университет
им. Г.И. Носова
Магнитогорск 2003
Колебаниями называются процессы, которые характеризуются
определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко
распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный
электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата
центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока.
Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные
процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями.
Рассмотрим механические колебания.
Гармонические колебания.
Гармоническими
колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется
по закону синуса (косинуса).
Пусть
груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном
состоянии равна . Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон
движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.
Решение
Направим
ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза.
Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в
которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины.
Пусть l
означает удлинение пружины в данный
момент, а lст—статическое
удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения
равновесия. Тогда l=lст+х,
или l-lст=х.
Дифференциальное
уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma, где m=P/g—масса груза а—ускорение движения
и F—равнодей-ствующая приложенных
к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения
пружины и силы тяжести.
По
закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна
её удлинению: Fупр=-сl, где
с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины.
Так
как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины
уравновешивается весом тела, то P=
сlст.
Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим l-lст через х, получится уравнение в виде:
или,
обозначив с/m через k2,
(1)
Полученное
уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется
уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
имеет
мнимые корни , соответственно этому общее решение
Для
выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя
новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на , получим:
Если
положить
то
(2)
График
гармонических колебаний имеет вид:
Таким образом, груз совершает гармонические колебания около
положения равновесия.
Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент — фазой колебания. Значение фазы при t=o т.e.
величина , называется начальной фазой
колебания. Величина есть частота
колебания. Период колебания и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы.
Так как с = Р/lст = mg/lст, то для периода
можно получить также формулу:
Скорость движения груза получается дифференцированием
решения по t:
Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо
задать начальные условия. Пусть, например, в начальный момент t = 0 положение груза x=x0 и скорость u=u0. Тогда , откуда
,
Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в
отличие от частоты и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния
системы. При отсутствии начальной скорости (u0=0) амплитуда А=х0,
а начальная фаза a=p/2 и, таким образом,
или
Затухающие колебания.
Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды
которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени
уменьшают-ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с
учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения.
Решение
К силам, действующим на груз, прибавляется здесь сила
сопротивления воздуха (знак минус
показывает, что сила R направлена противоположно скорости u). Тогда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ox имеет вид
или если положить , , то
(3)
Это уравнение также является линейным однородным уравнением
второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
имеет корни
(4)
Характер движения целиком определяется этими корнями.
Возможны три различных случая. Рассмотрим сначала случай, когда . Это неравенство имеет место,
когда сопротивление среды невелико. Если положить , то корни (4) имеют вид . Тогда общее решение можно записать в виде
или,
преобразовав, умножая и деля на , получим:
положим,
что
,
тогда
(5)
График
зависимости отклонения от положения равновесия от времени имеет вид:
Если заданы начальные условия: при t
= 0, то можно определить А и a.
Для этого находим
и подставляем t = 0 в
выражения для и получим систему
уравнений
Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие
части первого получим
откуда
или а
Так
как
то
Решение (5) показывает, что имеют место затухающие
колебания. Действии-тельно, амплитуда колебания зависит от времени и является монотонно
убывающей функцией, причем при .
Период затухающих колебаний определяется по формуле
Моменты времени, в которые груз получает максимальное
отклонение от начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую
прогрессию с разностью, равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих колебаний
образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным или . Эта величина называется
декрементом затухания и обычно обозначается буквой D.
Натуральный логарифм декремента lnD = - пТ/2
называется логарифмическим декрементом затухания.
Частота колебаний в этом случае меньше, нежели в
предыдущем (), но, как и там, не зависит от начального положения груза.
Если сопротивление среды велико и , то, положив , получим корни (4) в виде Так как , то оба корня отрицательны. Общее решение уравнения в этом
случае имеет вид
(6)
Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет
колебательного характера. Аналогичный характер будет иметь движение и в случае , когда общее решение имеет вид
(7)
Легко заметить,
что в обоих последних
случаях при имеем .
Если заданы начальные условия и , то в случае, когда , имеем , а . Решая эту систему относительно и , получим
,
и,
следовательно
В
случае же, когда , получаем , и следовательно,
Вынужденные колебания без учета
сопротивления среды.
Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные
внешней периодической возмущающей силой.
Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина
которой в ненагруженном состоянии равна . На груз действует периодическая возмущающая сила где Q и р — постоянные. Найдем закон движения груза, пренебрегая
массой пружины и сопротивлением среды.
Решение
Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение
Полагая, как и прежде, и, кроме того, перепишем уравнение в
виде
(8)
Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с
постоянными коэффициентами, причем однородным уравнением, соответствующим
уравнению (8), является (1). Поэтому ; остается найти х. Если предположить, что , то частное решение х, нужно искать в виде , где М и N — коэффициенты,
подлежащие определению. Итак,
Производя вычисления, получаем
откуда М=0 и Полученное таким
образом частное решение
(9)
определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю-щей
силой . Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и
возмущающая сила, совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную
фазу) при k>p, либо отличаются на p, если k