Волновые уравнения
Реферат подготовил студент 2-го курса группы 20-02 ГД
Дерюга А.М.
Навоийский Государственный горный институт
Горный факультет
Кафедра «Высшей математики»
Навоий 2004 г.
Вывод уравнения колебания в электрических проводах.
Электрический
ток в проводах характеризуется величиной и напряжением которые зависят от
координат Х точки провода и от времени t. Рассмотрим элемент провода ∆Х. Можем написать, что
падение напряжения на элементе ∆Х равно
-.Это падение напряжения складывается из омического, равного и индуктивного,
равного Итак
где
R и L –сопротивление и коэффициент
индуктивности рассчитанные на единицу длинны провода. Знак минус взят потому,
что ток течёт в направлении, обратном возрастанию U.Сокращая на ∆Х, получим
уравнение
Далее
разность токов, выходящего из элемента ∆Х за время ∆t , будет
Она
расходуется на зарядку элемента, равную и на утечку через
боковую поверхность провода в следствии несовершенства изоляции, равную
Здесь
А- коэффициент утечки. Приравняем эти выражения
Сократим
на
Уравнения
(2) и (3) принято называть телеграфными уравнениями. Составим систему уравнений
Из
этой системы уравнений можно получить уравнение, содержащее только искомую
функцию, и уравнение, содержащее только искомую функцию .
Продифференцируем члены уравнения (3) по Х; члены уравнения (2)
продифференцируем по t
и умножим их на С.
Аналогичным
образом получим уравнение для определения
Если
можно пренебречь утечкой через изоляцию (А=0) и сопротивлением (R=0), то уравнения (5) и (6)
переходят в волновые уравнения:
Исходя
из физических условий формулируются граничные и начальные условия задачи.