Существование решения дифференциального уравнения и
последовательные приближения
Курсовая работа
Выполнил студент 2 курса 1222 группы Труфанов
Александр Николаевич
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования «Самарский государственный университет»
Механико-математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений и теории управления
Самара 2004
Теорема существования и единственности решения
уравнения
Пусть
дано уравнение
с
начальным условием
Пусть
в замкнутой области R функции и непрерывны). Тогда на некотором отрезке существует единственное решение, удовлетворяющее начальному
условию .
Последовательные
приближения определяются формулами:
k = 1,2....
Задание
№9
Перейти
от уравнения
к системе нормального вида и при начальных
условиях
, ,
построить
два последовательных приближения к решению.
Произведем
замену переменных
;
и перейдем к системе нормального вида:
Построим
последовательные приближения
Задание
№10
Построить
три последовательных приближения к решению задачи
,
Построим
последовательные приближения
Задание
№11
а)
Задачу
,
свести
к интегральному уравнению и построить последовательные приближения
б)
Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и
доказать их равномерную сходимость.
Сведем
данное уравнение к интегральному :
Докажем
равномерную сходимость последовательных приближений
С
помощью метода последовательных приближений мы можем построить
последовательность
непрерывных
функций, определенных на некотором отрезке , который содержит внутри себя точку . Каждая функция последовательности определяется через
предыдущую при помощи равенства
i =
0, 1, 2 …
Если
график функции проходит в области Г,
то функция определена этим
равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция , нужно, чтобы и график функции проходил в области Г.
Этого удается достичь, выбрав отрезок достаточно коротким. Далее, за счет уменьшения длины отрезка , можно достичь того, чтобы для последовательности выполнялись
неравенства:
, i = 1, 2, …,
где
0
, i =
1, 2, …,
Рассмотрим
нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим , например, на . На этом промежутке все последовательные приближения
являются непрерывными функциями. Очевидно, что т.к. каждое приближение
представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого порядка, чем
предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше неравенства. Из этих
неравенств следует:
что
и является условием равномерной сходимости последовательных приближений.
С
другой стороны, на нашем отрезке выполняется , что также совершенно очевидно. А так как последовательность
сходится, то
последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.
Список литературы
Л.С.
Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Государственное
издательство физико-математической литературы, 1961
А.Ф.
Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс,
1998
О.П.
Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям»,Самара:
Издательство «Самарский университет», 1999
А.Н.
Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит,
1998