К решению
теоремы Ферма
Николай
Иванович Пичугин, ветеран ВОВ и ВС
Москва 2001 –
2004 год
Статья
посвящена исследованию доказательства теоремы Ферма в общем виде. Показано, что
кроме уравнения второй степени уравнения Ферма не содержат других решений в целых числах. Предложено к
рассмотрению 4 метода доказательства теоремы при целых x, y. Проблему
доказательства теоремы Ферма следует считать закрытой.
Более 350 лет
профессиональные математики и любители пытаются доказать теорему Ферма. Однако
до настоящнго времени нет
общепризнанного доказательства. Тем не менее, интерес к загадочной теореме не
угасает и до настоящего времени остается высоким.
В настоящей
статье предлагается к рассмотрению простой метод доказательства, основанный на
разделении числового множества yn + xn =zn (1)
на два подмножества, из которых первое содержит только те x и y для всех показателей степени n, которые могут содержать решения
уравнения (1) в целых числах x,y,z, а второе подмножество содержит только
нецелые решения.
Отделить друг
от друга упомянутые подмножества представляется возможным путем разложения
уравнения (1) на составные части по биному Ньютона и составления на их основе
уравнения с учетом принятых ограничений для поиска целых решений. Для этого
представим уравнение (1) в виде, удобном для разложения :
(x - a)n + xn –(x+b)n =
0
(2)
Здесь: x – переменное число, а
Сущность
доказательства заключается в определении подходящих значений x,y,z для удовлетворения уравнений ( 1 ) и ( 2 ) методом
последовательных приближений. Задача решается применительно к 450
сектору I квадранта в плоскостных координатах (x,y), т.к. из-за недостатка информации координата z
равна 0. Полученные результаты могут быть распространены на остальные 7
секторов плоскости (x,y),
определяя тем самым область распространения условий теоремы Ферма.
Итак, применяя
формулу бинома Ньютона к выражению (2), получим:
(x–a)n + xn = 2xn - nxn-1 a + cn2 xn-2 a2
- cn3 xn-3 a3...... +an
(x+b)n =
xn +nxn-1 b + cn2 xn-2 b2 + cn3 xn-3 b3 .......+bn
= xn -
nxn-1 (a+b) + cn2 xn-2 (a2-b2)
- cn3 xn-3 (a3+b3)..+(an+bn)
=0
(3)
Назовем
выражение (3) основным уравнением в поисках целых решений уравнения (2).
Подходящие значения x, y=(x–a), z=(x+b), удовлетворяющие уравнениям (1) и (2),
будем искать при условии a=b=1.
Обоснование принятых допущений
(ограничений) изложено ниже. Полагая a = b , уравнение (3) преобразуем к виду:
xn - 2nxn-1 a
- 2cn3 xn-3 a3 - 2cn5 xn-5 a5 - ... (an + an )=0 (4)
Обозначим через P(a,n) =
2cn3 xn-3
a3 + 2cn5 xn-5 a5
+... ( an + an ) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда уравнение (4) примет
вид:
xn - 2nxn-1 a - P(a,n) = 0
Разделив все
члены уравнения на xn-1, получим выражение для искомого x
x=2na+P(a,n)/xn-1 , где P(a,n)/xn-1 ³0 (5)
При
a = b = 1 выражение (5)
примет вид:
x=2n+P(1,n)/xn-1
(6)
Подходящие
значения y=x-1 и z=x+1 определяются через известный х. Из формул (5) и (6)
становится ясным, что при n>2 согласование левых и правых частей
уравнений (1) и (2) возможно только при учете добавки P(1,n)/xn-1 .
Исходя из
изложенного, целые числа х и у из теоремы Ферма следует однозначно отнести ко
второму подмножеству yn + xn =zn
Ниже, в таблице
приведены результаты расчетов согласования
для n=2,3,4
и 5.
n
x
y=x-1
z=x+1
xn
yn
xn+
yn
zn
D%
2
4
3
5
16
9
25
25
-
3
6,055
5,055
7,055
221
129
350
350
-
4
8,125
7,125
9,125
4350
2540
6890
6890
-
5
10,200
9,200
11,200
107000
66000
173000
175000
1,25
На основании
изложенного можно сделать следующие предварительные выводы:
Согласование
левых и правых частей уравнений (1) и (2)
невозможно без учета добавки P(a,n)/xn-1.
Если
уравнение yn + xn =zn с учетом добавки P(a,n) выразить в числовых отрезках и спроектировать на плоскость
(х,у), то на ней при n>2 образуется остроугольный треугольник, все стороны которого
при a=b=1 выражены нецелыми числами: х=2n+P(1,n)/хn-1;
у=2n-1+ P(1,n)/хn-1; z=2n+1+
P(1,n)/хn-1, что находит подтверждение при следующем рассмотрении
добавки P(1,n)/хn-1 .
Для выяснения
этого вопроса представим ее после сокращений в следующем виде
P(1,n)/хn-1=2cn3/ x2
+ 2cn5 / x4 +2cn7
/ x6... ( 1 + 1 )/xn-1
В числителе
каждого члена разложения представлены сочетания cnk, распределение которых симметрично,
наподобие гаусовскому, относительно центра (n+1)/2. В знаменателе функция x2, возрастающая с каждым членом по квадратичному закону.
Первый член
разложения, из-за малости x2 имеет
наибольшую величину и может выражаться целым числом со значащими цифрами после
запятой (для n=15
– 1,1…; для n=25
– 1,8…; и т.п.). Последний член имеет наименьшую величину из-за большого знаменателя
xn-1 (для n=3 – 2/62 ; для n=15– порядка 2/3014 ; для n=25– 2/5024 и т.п.)
Первая половина
разложения по сумме значительно превышает вторую за счет резкого увеличения
числителей. Все члены разложения второй половины меньше 1 за счет уменьшения числителей
и дальнейшего возрастания знаменателей, и интенсовно уменьшаются по мере
удаления от центра. В результате общая сумма разложения для n>14 (для nx со всеми вытекающими из этого
результатами.
В процессе
проведения анализа по доказательству теоремы Ферма в общем виде получены 4
компактных метода доказательства теоремы при целых x, y, когда требуется показать , что при n>2
число z
является нецелым.
Первый метод
доказательства следует из рассмотрения остроугольного треугольника, для
которого Z02= x2 +y2 –2xycosc. Требуется доказать, что Z0 является
нецелым числом. В нем известны x и y –
целые числа, а cosc
определен с учетом ограничений a=b=1.
Он изменяется в пределах 0
В основу
второго метода также заложено рассмотрение остроугольного треугольника. Его Z02= x2 +y2
–2xycosc всегда меньше соответствующего Zп2= x2 +y2 прямоугольного треугольника и числовой
отрезок Z02 находится внутри числового отрезка Zп2=x2 +y2.
Учитывая, что
при принятых ограничениях y=x-1,
т.е. отличается на единицу, то корень, извлеченный из Z02
будет иметь нецелое значение, т.к. между числами x-1 и x нет других целых чисел.
Третий метод
основан на другом принципе. Его сущность заключается в следующем.
Для
последовательности целых чисел 1,2,3,4 и т.д. составляется ряд их квадратов:
4 9
16 25 36
49 64 81
100 121 144
169 196 и т.д.
2
4 6 8
10 12 14
16 18 20
22 24 26 и т.д.
Между числами
первого ряда размещается нижний ряд, представляющий собой количество целых чисел
(порядковых номеров), размещенных между двумя смежными квадратами чисел x и x+1. Эти целые (и нецелые) числа z1 не могут иметь при извлечении из них корней целых значений, т.к. находятся между
числами, отличающимися на единицу, а будут иметь значения x+D, где D=z1/Dx2
Учитывая, что
при n>2 для
остроугольных треугольников z02 всегда меньше zп2
или соответствующего Dx2 в ряду квадратов, необходимо вставить
числовой отрезок z02 в числовой отрезок Dx2 и
убедиться, что извлеченный корень из числа z02
является нецелым числом.
Рассмотрим
доказательство на примере для n=5.
Примем: x=2n=10; y=2n-1=9;cos C=0,337 (см. Формулы 6 и 7).
z02 =102 +92-2*10*9*0,337=120,34.
В ряду
квадратов это число находится между числами 100 и 121, являющимися квадратами
целых чисел 10 и 11.
Кв. корень из
числа 120,34 равен 10.97 – нецелое число.
Проверка: 105 +95 =159049. Корень пятой степени из числа
159049 равен 10,97. В случае необходимости z02
может быть уточнено путем повторного (многократного) определения cos C по трем известным сторонам треугольника.
Примечание.
Числа ряда квадратов относятся к остроугольным треугольникам различных степеней
n . Числа второго
ряда, отмеченные жирным шрифтом и поделенные на 4, указывают на степень n, к которой относится пара чисел,
выбранная из условия ограничения a=b=1,
в соответсвии с формулой (6).
Четвертый метод
основан на том, что аналогичные степенные ряды могут быть построены для любых n . Тогда для произвольно выбранной степени
n=k
представляется возможным непосредственно убедиться в том , что
извлеченный корень степени k из числа zk =xk+yk является нецелым числом.
P.S. Встает вопрос: при каких условиях
нецелое число 10,97... , возведенное в степень n=5 , превратится в целое число 159049 ?
Напрашивается ответ: число 10.97... должно быть иррациональным т.е иметь после
запятой неограниченное количество значащих цифр.
Остановимся на
обосновании принятых в статье допущений (ограничений).
Принятие a=1 обусловлено получением максимальных
, (*) при
которых для всех a 2. В принципе теорема Ферма может
считаться достоверной, если добавка P(a,n)/xn-1 является иррациональным числом. Тогда невозможно
использовать коэффициент пропорциональности a.
В
иррациональности добавки P(1,n)/xn-1 можно убедиться, если проводить многократное уточнение величины х методом последовательных
приближений, ибо при делении целых числителей в добавке на нецелые, многократно
уточняемые знаменатели, в составе добавки найдется хотябы один иррациональный
результат деления, который превратит всю добавку в иррациональное число.
Наконец,
анализируя расположение секторов на плоскости (x,y) и , учитывая, что нечетные функции xn и yn могут принимать положительные и
отрицательные значения, можно составить следующую схему расположения этих
функций на плоскости (x,y),
т.е. в области распостранения условий теоремы Ферма:
вся плоскость (x,y) - для четных показателей степени n
квадрант I - для положительных x и y
квадрант III- для отрицательных x и y
в квадрантах II и IV для нечетных n будут иметь место разности типа xn - yn или yn - xn, рассмотрение которых теоремой Ферма не
предусмотрено.
Выводы
Разработан
метод доказательства теоремы Ферма в общем виде. Определены основное уравнение
(3) и рабочие формулы (2), (5), (6), (7) для проведения анализа и расчетов.
Решение
уравнений Ферма в нецелых числах при n>2 обусловлено образованием на плоскости (x,y) искаженных (остроугольных) проекций функции yn + xn =zn . При проекциях в виде прямоугольных
треугольников решения получаются в целых числах.
Теорема Ферма
распространяется на всю плоскость (x,y), кроме II и IV
квадрантов при нечетных n.
Список литературы
Для подготовки
данной работы были использованы материалы с сайта http://www.monax.ru/