Функциональный анализ
Абсолютно непрерывные функции. Связь между абсолютно
непрерывными функциями и интегралом Лебега (КФЭ 394).
Абсолютно непрерывной называется такая функция ¦, заданная на отрезке [a,b], что какова бы ни была
система попарно непересекающихся интервалов (ak,bk) с
суммой длин меньшей d, сумма модулей разностей
значений функции ¦ в концах интервалов меньше чем e.
Утв. Всякая абсолютно непрерывная ф-я имеет
ограниченное изменение.
Теорема. Функция , представляющая собой неопределенный интеграл суммируемой
ф-и, абсолютно непрерывна.
Метрическое пр-во. Определение и примеры. Полнота.
Теорема о вложенных шарах в метрическом пр-ве.
Полугруппой наз. множество объектов, если для его
элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция.
Группой наз. множество объектов, если для его
элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция и существует
единица.
Кольцо - множество объектов с двумя бинарными
операциями, являющееся группой по одной из операций, и полугруппой по второй
операции, причем для элементов кольца справедлив закон ассоциативности и
дистрибутивности.
Поле – кольцо с единицей, содержащее элементы отличные
от нуля, для каждого из которых определен обратный элемент по “умножению”
(являющееся группой по умножению).
Линейным векторным пр-вом над кольцом наз. множество
объектов называемых векторами с определенными операциями векторного сложения и
умножения вектора на скаляр, такими, что это множество является группой по векторному сложению и справедливы
законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр.
Выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для
любых его двух элементов х и у и числа q из [0, 1] элемент qх+(1-q)у принадлежит Е.
Уравновешенным подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для
любого х из Е и числа q, по модулю не превосходящего единицы элемент qх принадлежит Е.
Абсолютно выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его
подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа любых двух чисел a b : 1³ |a|+|b| элемент aх+bу принадлежит Е.
Поглощающим подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для
любого х из Х существует число a большее нуля, что для все чисел b по модулю не меньших a найдется элемент у из Е, что х равен bу.
Калибровочной функцией векторного пр-ва Х называется
такая функция р(х): Х®R, что для нее выполнены следующие условия:
Для любого скаляра из К выполнена аксиома
уравновешенности: "aÎК р(aх)= a×р(х).
Выполнено
нер-во треугольника: р(х)+ р(у)³ р(х+у).
Полунормой векторного пр-ва Х называется такая функция
р(х): Х®R, что для нее выполнены
следующие условия:
Для любого скаляра из К выполнена аксиома
уравновешенности: "aÎК ||aх||= |a|×||х||.
Выполнено
нер-во треугольника: р(х)+ р(у)³ р(х+у).
Утв. Пусть р(a) – неотр. калибровочная ф-я. Тогда мн-во Еl={х: р(х)0 $d>0, справедливо |¦(х)-¦(у)|0 p(ax)= ap(x).
Однородно-выпуклым фун-лом называется
положительно-однородным выпуклый фун-л.
Продолжением лин-ого фун-ла ¦0,
определенного на подпространстве X0 действительного лин-ого пр-ва X
называется такой лин-ый фун-л ¦, определенный на X, что¦(x)=¦0(x) для
всех x из X0.
Подчиненным фун-лу p(x) на действительном лин-ом пр-ве
X называется такой фун-л ¦, что ¦(x)£p(x) для всех x из
X.
Теорема Хана-Банаха. Пусть p – однородно-выпуклый
фун-л, заданный на действительном лин-ом пр-ве X, и пусть X0 –
лин-ое подпр-во X. Пусть ¦0 лин-ый
фун-л на X0 , подчиненные на X0 p(x). Тогда ¦0 может
быть продолжен до лин-ого фун-ла ¦ на X, подчиненного p(x) на всем X.
Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Ее
следствия.
Однородно-выпуклым на комплексном лин-ом пр-ве X мы
будем называть такой неотрицательный фун-л p, что для всех x,y из X и всех
комплексных чисел l справедливы соотношения: p(x+y)£p(x)+p(y), p(lx)=| l|p(x).
Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Пусть p – однородно-выпуклый фун-л на комплексном пр-ве X, и пусть X0
– лин-ое подпр-во X. Пусть ¦0 лин-ый
фун-л на X0, такой, что |¦0 (x)|£p(x) для x из X0. Тогда Существует лин-ый фун-л ¦, являющийся продолжением ¦0, такой,
что |¦ (x)|£p(x) для x из X.
Непрерывные лин-ые фун-лы на пр-вах Lp
(прямая теорема).
Непрерывные лин-ые фун-лы на пр-вах Lp
(обратная теорема).
Непрерывные лин-ые фун-лы на гильбертовом пр-ве.
Непрерывные лин-ые фун-лы на С[а,в] (прямая теорема).
Сопряженные операторы.
Сопряженным пр-вом A* к лин-ому топологическому пр-ву A называется совокупность всех непрерывных лин-ых фун-лов на A.
Сопряженным оператором к лин-ому оператору A, отображающему лин. пр-во X в Y называется
такой лин. оператор A*, который отображает пр-во Y* в X*.
Теорема Банаха-Штейнгауза.
Существование непрерывных функций с расходящимися
рядами Фурье.
Слабая сходимость. * слабая компактность единичного
шара в пр-ве, сопряженном к
сепарабельному.
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы
материалы с сайта http://www.mmonline.ru/