МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова
Математический факультет
Кафедра геометрии и высшей алгебры
Лакунова Залина
Дипломная работа
«О некоторых применениях алгебры матриц»
Научный руководитель:
д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А
/В.Н.Шокуев /
Рецензент:
к.ф.-м.н.,доцент /В.М.Казиев/
Допущена к защите
2002г.
Заведующий кафедрой
к.ф.-м.н.,доцент /А.Х.Журтов/
Нальчик 2002
Оглавление стр.
Введение 3
§1. О правиле Крамера 4
§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9
§3. Матричный вывод формулы Кардано 17
Литература 21
Отзыв
О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».
Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.
В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в
теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических
уравнений малых степеней.
В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых
квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.
В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства
некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом основную
роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана
теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех
положительных чисел.
В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических
уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он опирается
на свойства циркулянта (третьего порядка).
Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой
З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут
быть допущены к защите.
Предварительная оценка – «хорошо»
д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА
/В.Н.Шокуев/
§1. О правиле Крамера
В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы
линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит
в следующем.
Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система [pic] линейных
уравнений с неизвестными [pic]
[pic] (1)
Определитель которой отличен от нуля:
[pic] (2)
Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения
[pic] (3)
где [pic]- матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),
[pic] (4)
[pic]- столбец (Матрица-столбец) неизвестных
[pic]- столбец свободных членов системы (1)
Так как [pic], то матрица [pic] невырожденная и для нее существует обратная
матрица [pic]. Умножив равенство (3) на [pic] (слева), получим
(единственное) решение системы в следующей матричной форме (в
предположении, что она совместима и [pic]- ее решение)
[pic],
где обратная матрица [pic] имеет вид:
[pic]
([pic]-алгебраическое дополнение элемента [pic] в определителе [pic])
Другой известный способ можно назвать методом алгебраических
дополнений. Его использование предполагает владение понятием
алгебраического дополнения [pic] как и в матричном способе, теоремой о
разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об
аннулировании.
Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об
определителе произведения матриц.
Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай
[pic]. Очевидно, что при [pic] выполняются следующие матричные равенства
(если задана система (1)):
[pic]
[pic]
[pic]
Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых
частей соответственно через [pic] получим формулы Крамера:
[pic] [pic] [pic] ([pic])
[pic] [pic] (Правило Крамера)
Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка [pic] ничего по
существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица [pic] с
определителем [pic] получается из единичной матрицы заменой [pic]-го
столбца столбцом неизвестных:
[pic] (5)
Теперь из [pic] равенств
[pic] [pic],
где [pic]- матрица, получающаяся заменой [pic]- го столбца матрицы [pic]
столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв
определители от обеих частей в каждом равенстве:
[pic], откуда ввиду [pic] имеем
[pic] [pic].
(здесь [pic] получается из [pic], как и [pic] из [pic]).
Другой, еще более короткий способ отыскания решения системы (1)
состоит в следующем (по-прежнему [pic]): пусть система (1) совместна и
числа [pic] (после переобозначений) образуют ее решение. Тогда при [pic]
имеем, используя два линейных свойства определителя:
[pic] [pic]
Можно начать и с определителя [pic], в котором вместо свободных
членов в [pic]-м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя
соответствующие свойства определителя, получим:
[pic] ([pic]),
откуда и получаются формулы Крамера.
Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по
формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение системы),
производится одним из известных способов.
§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел.
Матрица вида:
[pic]
- называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее
определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем
некоторые авторы называют также циркулянтом.
Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)
[pic].
Прибавив первые две строки к третьей, получим:
[pic].
Вынесем общий множитель [pic] из последней строки:
[pic].
Так как
[pic],
то
[pic].
С другой стороны, по определению детерминанта имеем:
[pic]
Следовательно, выполняется тождество
[pic](1)
Имеет место следующее предложение.
Предложение 1. Уравнение
[pic] (2)
не имеет решений в натуральных числах [pic]
Доказательство: Если [pic]- вещественные положительные числа, не все
равные между собой, то
[pic] (3)
Пусть [pic]- не все равные между собой положительные числа. Тогда
существуют положительные числа [pic] и [pic], не все равные между собой,
такие, что [pic]. К этим числам применим тождество (1). Так как не все
числа [pic] между собой равны, то последний сомножитель правой части
тождества (1) есть число положительное и, следовательно,
[pic],
[pic]. (4)
Так как [pic], то неравенство (4) дает неравенство (3). (Неравенство (3)
можно переписать в виде [pic]; получим известный факт о том, что среднее
арифметическое трех положительных, не равных между собой чисел больше их
среднего геометрического).
Пусть [pic] и [pic]- натуральные числа, удовлетворяющие уравнению
(2). Представляются две возможности: либо числа [pic] все равны между
собой, либо не все эти числа равны друг другу.
В первом случае все они должны быть равны 1, так как она
положительные и [pic], и мы имели бы:
[pic]- противоречие.
Значит, не все три числа [pic] равны между собой; поэтому в силу
неравенства (3) имеем
[pic],
откуда
[pic].
Таким образом, доказано что уравнение
[pic]
не имеет решений в натуральных числах [pic].
Предложение 2. Уравнение
[pic]
разрешимо в натуральных числах [pic].
Доказательство: удовлетворяют нашему уравнению. Если не все три числа
[pic] между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства Предложения
(1), выполняется неравенство
[pic]
- противоречие. Таким образом, должно быть [pic], и из нашего уравнения
следует, что каждое из этих чисел равно 1, так что [pic].
Поэтому получаем
[pic].
Итак, мы доказали, что заданное уравнение имеет бесконечно много
решений в натуральных числах [pic].
Предложение 3. Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой
двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.
Доказательство: Рассмотрим следующее произведение двух циклических
матриц (второго порядка)
[pic]
где [pic]- мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство
[pic]. (5)
Предложение 4. Если число представляемое в виде суммы двух квадратов,
делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное
также является суммой двух квадратов.
Доказательство: Пусть число [pic] делится на простое число [pic] вида
[pic]:
[pic].
Требуется доказать, что частное [pic] имеет вид [pic].
Предположим, что задача уже решена, т.е.
[pic], (6)
и с помощью анализа попробуем найти искомые числа [pic] и [pic].
Гипотетическое равенство (6) подсказывает целесообразность рассмотрения
матричных равенств.
[pic]
и
[pic]
перемножив правые части этих равенств, получим:
[pic]
[pic]
отсюда имеем:
[pic]
[pic]
[pic] (7)
[pic] (8)
[pic]. (9)
Так как [pic]- простое число и [pic] делит [pic], то равенство (9)
показывает, что [pic] или [pic] делится на [pic].
Пусть [pic]. Тогда из тождества
[pic],
верного в силу (5) следует, что на [pic] делится и число [pic], а поскольку
[pic]- простое, [pic], так что в силу (7) [pic]- целое число. Таким
образом, в рассматриваемом случае имеем:
[pic]
и Предложение 4 доказано.
Если же [pic], т.е. в силу (8) [pic]- целое, то, рассуждая как и выше,
можем написать:
[pic];
отсюда следует, что [pic], т.е. [pic]- целое. В этом случае
[pic].
§3. Матричный вывод формулы Кардано
В этом параграфе предлагается новый подход к выводу формулы Кардано для
корней кубического произведения уравнения.
Пусть дано любое кубическое уравнение
[pic] [pic]. (1)
Если [pic]- его корень, то [pic], поэтому
[pic], т.е. [pic] есть корень уравнения, получающегося из (1) делением всех
коэффициентов т правой части на [pic], и обратно. Поэтому (1) эквивалентно
уравнению.
[pic]. (2)
Таким образом, можно сказать, что решение любого кубического уравнения
сводится к решению кубического уравнения со старшим коэффициентом, равным
1, т.е. уравнения вида
[pic], (3)
которое получается из (2) после переобозначения коэффициентов; такое
уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить подстановку
[pic], (4)
получим:
[pic]
[pic]
[pic], т.е.
[pic], (5)
где [pic] и [pic] определяются по заданным коэффициентам [pic] уравнения
(3). Уравнение (5) эквивалентно уравнению (3), поэтому достаточно научиться
решать уравнения типа (5). В силу этого, обозначив через [pic] неизвестное,
мы видим, что решение любого кубического уравнения вида
[pic], (6)
называется приведенным или (неполным) кубическим уравнением. Покажем
теперь, как можно найти все корни уравнения (6). Для этого заметим, что в
силу тождества (1) §2, полученного с использованием циркулянта третьего
порядка имеет место тождество
[pic] , (7)
где [pic]- любые числа, [pic]- один из корней третьей степени из единицы,
так что [pic] (проверка тождества опирается на равенство [pic]). Попробуем
теперь отождествить наше уравнение (6) с уравнением
[pic], (8)
т.е. положим
[pic]
где [pic]и [pic] пока неизвестны. Чтобы вычислить их, имеем систему
[pic]
которая показывает (в силу теоремы Виета), что [pic] и [pic] являются
корнями квадратного уравнения
[pic]
т.е.
[pic] [pic]
и поэтому
[pic] [pic] (9)
Таким образом, уравнение (6) эквивалентно уравнению (8), в котором [pic] и
[pic] определяются по формулам (9). В свою очередь, уравнение (8) в силу
(7) равносильно уравнению
[pic]
и теперь получаем:
[pic] [pic] [pic] (10)
где [pic] и [pic] определяются по (9). При этом надо иметь ввиду, что
кубические корни из (9) имеют по три значения и их необходимо комбинировать
с учетом равенства [pic]; если одна пара значений [pic] и [pic] выбрана
указанным образом, то все три корня определяются по формулам (10).
Сказанное можно представить и по другому; можно сказать, что значения
неизвестного [pic] определяются из равенства
[pic]
т.е.
[pic] (11)
причем остается в силе сказанное относительно комбинаций значений этих
кубических радикалов.
Формула (11) и есть знаменитая формула Кардано.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ф. Бахман, Э. Шмидт. n- угольник «Мир», М., 1973 г.
2. Э. Чезаро. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых ч. 1 М.Л., 1936 г.
3. В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. М., 1968 г.
4. Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика ? «Просвещение», М., 1967 г.
5. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1976 г.
6. Эдвардс. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. «Мир», М., 1980 г.