Цепные дроби

Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава I. ПРАВИЛЬНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
§1. Представление рациональных чисел цепными дробями §2. Подходящие дроби. Их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава II. БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
§1. Представление действительных иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями 1.1. Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 1.2. Сходимость правильных бесконечных цепных дробей . . . . . 1.3. Единственность представления действительного иррационального числа правильной бесконечной цепной дробью §2. Приближение действительного числа рациональными дробями с заданным ограничением для знаменателя 2.1. Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей дробью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 2.2. Приближение действительного числа подходящими дробями 2.3. Теорема Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Подходящие дроби как наилучшие приближения §3. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4. Представление действительных чисел цепными дробями общего вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Используемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Введение
Целью моей курсовой работы является исследование теории цепных дробей. В ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач. Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение. Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729- 1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.
Глава I. Правильные конечные цепные дроби.
§1. Представление рациональных чисел цепными дробями.
Целое число, являющееся делителем каждого из целых чисел [pic], называется общим делителем этих чисел. Общий делитель этих чисел называется их наибольшим общим делителем, если он делится на всякий общий делитель данных чисел. Пусть [pic] - рациональное число, причем b>0. Применяя к a и b алгоритм Евклида для определения их наибольшего общего делителя, получаем конечную систему равенств:
[pic] где неполным частным последовательных делений [pic] соответствуют остатки [pic] с условием b>[pic]>[pic]>…>[pic]>0, а соответствует остаток 0. Системе равенств (1) соответствует равносильная система
[pic] из которой последовательной заменой каждой из дробей [pic] и т.д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается представление дроби [pic] в виде:
[pic]
[pic]
[pic] Такое выражение называется правильной (конечной) цепной или правильной непрерывной дробью, при этом предполагается, что [pic] – целое число, а [pic], …, [pic] - натуральные числа. Имеются различные формы записи цепных дробей:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Согласно последнему обозначению имеем
[pic] Числа [pic], [pic], …, [pic] называются элементами цепной дроби. Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Кроме того, равенства системы (2) показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части. Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа. Разложение рационального числа [pic] имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным. Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было [pic]. Теорема. Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная данному рациональному числу, но при условии, что [pic]. Доказательство: 1) Заметим, что при отказе от указанного условия единственность представления отпадает. В самом деле, при [pic]:
[pic] так что представление можно удлинить:
[pic] например, (2, 3, 1, 4, 2)=( 2, 3, 1, 4, 1, 1). 2) Принимая условие [pic], можно утверждать, что целая часть цепной дроби [pic] равна ее первому неполному частному [pic]. В самом деле:
1. если n=1, то
2. если n=2, то [pic]; поэтому [pic]
3. если n>2, то
[pic]=[pic]
[pic]
[pic], где [pic] >1, т.к. [pic]
[pic]
[pic] Поэтому и здесь [pic]. Докажем то, что рациональное число [pic] однозначно представляется цепной дробью [pic], если [pic]. Пусть [pic] с условием [pic], [pic]. Тогда [pic], так что [pic]. Повторным сравнением целых частей получаем [pic], а следовательно [pic] и так далее. Если [pic], то в продолжении указанного процесса получим также [pic]. Если же [pic], например [pic], то получим [pic], что невозможно.
Теорема доказана. Вместе с тем мы установили, что при соблюдении условия [pic] между рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимно однозначное соответствие. Замечания:
1. В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент
[pic], например, [pic].
2. При разложении отрицательной дроби (отрицательный знак дроби всегда относится к числителю) первый элемент будет отрицательным, остальные положительными, так как целая часть отрицательной дроби является целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда, положительна. Пример: [pic], а так как [pic], то [pic].
3. Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из одного элемента. Пример: 5=(5); [pic].
§2. Подходящие дроби. Их свойства.
Задаче разложения обыкновенной дроби в непрерывную дробь противостоит обратная задача – обращения или свертывания цепной дроби [pic] в простую дробь [pic]. При этом основную роль играют дроби вида: [pic] или [pic] которые называются подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа [pic]. Заметим, что [pic]=[pic]=[pic]. Считается, что подходящая дробь [pic] имеет порядок k. Прежде чем приступить к вычислению подходящих дробей заметим, что [pic] переходит в [pic], если в первой заменить [pic] выражением [pic]. Имеем [pic], [pic], [pic], …, при этом принимается, что [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic] и так далее. Закономерность, которую мы замечаем в построении формулы для [pic] (ее числителя [pic] и знаменателя [pic]), сохраняется при переходе к [pic] и сохранится также при переходе от k к (k+1). Поэтому, на основании принципа математической индукции, для любого k, где [pic], имеем
[pic] (1), причем [pic] (2)
[pic] (3) Далее, говоря о подходящих дробях [pic] (в свернутом виде), мы будем иметь в виду их форму [pic]. Соотношения (1) являются рекуррентными формулами для вычисления подходящих дробей, а также их числителей и знаменателей. Из формул для числителя и знаменателя сразу видно, что при увеличении k они возрастают. Последовательное вычисление числителей [pic] и знаменателей [pic] подходящих дробей по формулам (2) и (3) удобно располагать по схеме: | | |[pic]|[pic]|… |[pic]|[pic]|[pic]|… |[pic]| |[pic]|[pic]|[pic]|[pic]|… |[pic]|[pic]|[pic]|… |[pic]| |[pic]|[pic]|[pic]|[pic]|… |[pic]|[pic]|[pic]|… |[pic]|
Пример: Найти подходящие дроби к цепной дроби (2, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3). | |2 |2 |1 |3 |1 |1 |4 |3 | |[pic] |2 |5 |7 |26 |33 |59 |269 |866 | |[pic] |1 |2 |3 |11 |14 |25 |114 |367 |
Подходящие дроби [pic]([pic]) равны соответственно [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. Практически нахождение неполных частных и подходящих дробей удобно объединить в одну краткую схему, которую приведем для [pic]=(2, 3, 1, 4, 2) [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]. А сейчас рассмотрим ряд свойств подходящих дробей.
1. Теорема: При k=1, 2, …, n выполняется равенство [pic] Доказательство: Проведем индукцию по k: При k=1 равенство справедливо, так как [pic] [pic]. Пусть это равенство верно при некотором k=n ([pic]). Докажем справедливость равенства при k=n+1.
[pic]
[pic] , то есть равенство верно при k=n+1. Согласно принципу полной математической индукции равенство верно для всех k([pic]).
2. Теорема: Числитель и знаменатель любой подходящей дроби – взаимно простые числа, то есть всякая k–подходящая дробь несократима. Доказательство: Докажем это свойство методом от противного. По предыдущему свойству имеем [pic]. Пусть [pic], то есть [pic], тогда из равенства [pic] следует, что [pic] делится на [pic] без остатка, что невозможно. Значит, наше допущение неверно, а верно то, что требовалось доказать, то есть [pic].
3. Теорема: При [pic]
1) [pic] ([pic])
2) [pic] ([pic]) Доказательство: Первое соотношение можно получить из равенства [pic], доказанного выше, путем деления обеих частей на [pic]. Получаем [pic] [pic], что и требовалось доказать. Докажем второе соотношение.
[pic]
[pic].
Теорема доказана полностью.
4. Теорема: Знаменатели подходящих дробей к цепной дроби, начиная с первого, образуют монотонно возрастающую последовательность, то есть 1=[pic]. Доказательство: [pic], [pic], так что [pic] и [pic] положительны. Соотношение [pic] ([pic]) (*) показывает, что и все следующие знаменатели [pic], [pic], …, [pic] положительны. При [pic], поскольку тогда [pic], из (*) получаем
[pic], что и требовалось доказать.
5. Теорема: Нечетные подходящие дроби образуют возрастающую, а четные подходящие дроби – убывающую последовательность:
[pic];
[pic]. Две подходящие дроби [pic] и [pic], у которых номер отличается на единицу, будем называть соседними.
6. Теорема: Из двух соседних подходящих дробей четная дробь всегда больше нечетной. Доказательство: По уже доказанному выше свойству имеем:
[pic]. Если k – четное, то [pic]
[pic] Если k – нечетное, то [pic]
[pic] Значит, из двух соседних дробей [pic] и [pic] четная всегда больше нечетной, что и требовалось доказать.
7. Теорема: Расстояние между двумя соседними подходящими дробями [pic]. Доказательство: Так как [pic], то [pic], что и требовалось доказать.
Глава II. Бесконечные цепные дроби.
§1. Представление действительных иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями.
1. Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь.
В предыдущей главе мы рассмотрели, как в процессе последовательного выделения целой части и перевертывания дробной рациональная дробь [pic] разлагается в конечную непрерывную дробь. [pic][pic] =([pic])
[pic] (1)
[pic] и, наоборот, свертывание такой непрерывной дроби приводит к рациональной дроби. Процесс выделения целой части и перевертывания дробной можно применить к любому действительному числу. Для иррационального числа [pic] указанный процесс должен быть бесконечным, так как конечная цепная дробь равна рациональному числу. Выражение [pic] (где [pic], [pic]) (2)
[pic] возникающее в таком процессе или заданное формально, мы будем называть правильной бесконечной цепной, или непрерывной дробью, или дробью бесконечной длины и обозначать кратко через ([pic]), а числа [pic] – ее элементами или неполными частными. Отметим, что разложение [pic] возможно только в единственном виде, так как процесс выделения целой части – процесс однозначный. Рассмотрим пример разложения иррационального числа [pic]. Пусть [pic]. Выделим из [pic] его целую часть. [pic]=3, а дробную часть [pic]–3, которая меньше 1, представим в виде [pic], где [pic]. Повторяя операцию выделения целой части и перевертывания дробной, мы получаем: [pic]; [pic]; [pic]. Если остановиться на этом шаге, то можно записать:
[pic] С другой стороны, из формулы для [pic] видно, что [pic]=3+[pic]. Поэтому [pic], вследствие чего, начиная с этого момента, неполные частные станут повторяться. Бесконечная непрерывная дробь, в которой определенная последовательность неполных частных, начиная с некоторого места, периодически повторяется, называется периодической непрерывной дробью. Если, в частности, периодическое повторение начинается с первого звена, то цепная дробь называется чисто периодической, в противном случае – смешанной периодической. Чисто периодическая дробь [pic] записывается в виде [pic], а смешанная периодическая [pic] в виде [pic]. Итак, [pic] разлагается в смешанную периодическую дробь (3, 3, 6, 3, 6, …) или (3, (3, 6)). В общем случае разложения действительного иррационального числа [pic] поступаем так же, как в примере. Останавливаясь при этом в процессе выделения целой части после k–го шага, будем иметь:
[pic] так что
[pic]
[pic]
[pic]. Числа [pic] называются остаточными числами порядка k разложения [pic]. В формуле (4) имеем кусок разложения до остаточного числа [pic]. Для бесконечной цепной дроби (2) можно построить бесконечную последовательность конечных непрерывных дробей.
[pic] Эти дроби называют подходящими дробями. Закон образования соответствующих им простых дробей будет такой же, как и для подходящих дробей в случае конечных непрерывных дробей, так как этот закон зависит только от неполных частных [pic] и совершенно не зависит от того, является ли [pic] последним элементом или за ним следует еще элемент [pic]. Поэтому для них сохранятся также остальные свойства, которые выводятся из закона образования числителей и знаменателей подходящих дробей. В частности, мы имеем:
1) [pic], причем [pic];
2) [pic], откуда следует несократимость подходящих дробей [pic];
3) [pic]. Сравним теперь подходящую дробь [pic] и кусок разложения [pic] до остаточного числа [pic]. Имеем [pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic], откуда видно, что вычисление [pic] по [pic] формально производится таким же образом, как вычисление [pic] по [pic] с тем лишь отличием, что в первом случае [pic] заменяется на [pic], а во втором [pic] заменяется на [pic]. Поэтому на основании формулы [pic] можно сделать вывод о справедливости следующего важного соотношения
[pic]. (5) По этой причине мы пишем также [pic], хотя [pic] не является здесь целым положительным числом. При помощи формулы (5) можно вывести следующую теорему и расположении подходящих дробей разложения [pic].
Теорема: Действительное число [pic] всегда находится между двумя соседними подходящими дробями своего разложения, причем оно ближе к последующей, чем к предыдущей подходящей дроби. Доказательство: Из формулы (5) следует
[pic] Но [pic], [pic], так что [pic]
1) ([pic]) и ([pic]) имеют одинаковый знак, а это значит, что [pic] находится между [pic] и [pic];
2) [pic], то есть [pic] ближе к [pic], чем к [pic].
Теорема доказана.
Так как [pic], то [pic], и так далее; отсюда приходим к следующему заключению о взаимном расположении подходящих дробей:
1) [pic] больше всех подходящих дробей нечетного порядка и меньше всех подходящих дробей четного порядка;
2) подходящие дроби нечетного порядка образуют возрастающую последовательность, а четного порядка – убывающую (в случае иррационального [pic] указанные последовательности являются бесконечными), то есть
[pic]
(в случае рационального [pic] [pic]).
————[pic]——[pic]————[pic]——[pic]———[pic]————
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] Учитывая то, что при [pic] [pic], вследствие чего [pic], переходим к дальнейшему выводу, что в случае иррационального [pic] сегменты [pic], [pic], … образуют стягивающуюся последовательность, которая, как известно, должна иметь единственную общую точку, являющуюся общим пределом последовательностей [pic], [pic], … и [pic], [pic], … . Но так как [pic] принадлежит всем сегментам последовательности, то [pic] и совпадает с указанной точкой, так что [pic]. Итак, мы имеем следующий важный результат: бесконечная последовательность подходящих дробей [pic], которая возникает при разложении иррационального [pic], сходится к [pic], колеблясь около него. Или: иррациональное действительное [pic] равно пределу последовательности подходящих дробей своего разложения в бесконечную непрерывную дробь (процессом выделения целой части).
2. Сходимость правильных бесконечных цепных дробей.
Теперь покажем, что сходящейся является последовательность подходящих дробей не только такой бесконечной непрерывной дроби, которая возникает при разложении иррационального числа [pic], но и любой бесконечной непрерывной дроби [pic], где [pic], а [pic] - произвольно выбранные целые положительные числа. Но для этого мы заново исследуем взаимное расположение подходящих дробей. С этой целью рассмотрим формулы: [pic] (1) и [pic] (2), которые справедливы для любой бесконечной непрерывной дроби.
1. Формула (1) показывает, что любая подходящая дробь четного порядка больше двух соседних подходящих дробей, у которых порядок на единицу меньше или больше, чем у нее, то есть [pic] и [pic]. Согласно этому
[pic] и [pic] расположены слева от [pic], [pic] и [pic] – слева от
[pic] и так далее.
2. Формула (2) показывает, что расстояние между соседними подходящими дробями при увеличении k убывает. Действительно, так как [pic], то
[pic]
3. Согласно этому свойству [pic] ближе к [pic], чем [pic], а так как
[pic] и [pic] находятся слева от [pic], то [pic]0, то мы должны взять положительный корень этого уравнения [pic]. Поэтому для x имеем [pic] [pic]. Таким образом, искомая дробь (3, (2, 1))=[pic]. Для соответствующего квадратного уравнения имеем [pic], откуда получаем: [pic] [pic] [pic] [pic] [pic].
§4. Представление действительных чисел цепными дробями общего вида.
Рассмотренные до сих пор правильные бесконечные и конечные цепные дроби являются частным случаем бесокнечных и конечных цепных дробей общего вида:
[pic] (1),
[pic] когда в них принимается, что все [pic], [pic], а остальные [pic]. В общем случае элементы цепной дроби [pic] и [pic], k>1 могут принимать произвольные, отличные от 0 рациональные значения, а [pic] может также быть равно нулю. При помощи цепных дробей общего вида одно и то же рациональное число можно представить различными способами. Например, [pic]. В цепной дроби (1), которую записывают также иначе, например, [pic] ([pic]) или [pic] ([pic]) числа [pic] и [pic] (k=2, 3, …) называют звеньями, [pic] и [pic] – членами k–го звена, из них [pic] – частным числителем, а [pic] – частным знаменателем. Чтобы получить разложение рационального числа [pic] в конечную цепную дробь (1), можно все [pic] и [pic], за исключением одного, выбрать произвольно. Можно, например, найти разложение [pic]; для этого следует положить [pic]. Можно цепную дробь преобразовать так, чтобы все [pic] были равны 1, то есть, чтобы (1) приняло вид [pic] (2). Так, например, [pic]. Дроби вида (2) называют обыкновенными цепными дробями, а [pic], [pic], …, [pic] – их неполными частными. Правильные цепные дроби можно поэтому определить как обыкновенные цепные дроби с целыми положительными неполными частными, начиная с [pic], причем [pic] может быть любым целым числом. Правильные цепные дроби являются наиболее простыми и наиболее изученными среди цепных дробей общего вида, однако и другие цепные дроби играют большую роль и имеют важные применения, например, в приближенном анализе, где при их помощи без сложных выкладок получают дробно-рациональные приближения функций. Рассмотрим обзорно некоторые свойства цепных дробей общего вида. Происхождение таких цепных дробей связано с обобщенным алгоритмом Евклида. Если мы имеем систему равенств [pic], [pic], [pic], … с произвольными рациональными числами, то при b, c, d[pic]0, из них следуют равенства [pic], [pic], [pic], …, так что, подставляя по цепочке, получаем [pic].
[pic] k-я подходящая дробь [pic] определяется для [pic] по формуле [pic] при условии, что [pic], [pic], [pic], [pic]. Пользуясь ею, найдем, например, подходящие дроби для разложения [pic]. Имеем [pic]=[pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic]. Заметим, что получаемые в процессе рекуррентного вычисления подходящие дроби могут быть сократимыми, но сокращать их можно лишь при определенных условиях. Свойства подходящих дробей цепных дробей общего вида с положительными элементами и правильных цепных дробей вполне аналогичны. Бесконечная цепная дробь (1) называется сходящейся, если существует конечный предел [pic]; в таком случае [pic] принимается за значение этой дроби. Не всегда общие бесконечные цепные дроби являются сходящимися, даже тогда, когда они имеют лишь положительные элементы. Существует ряд признаков сходимости цепных дробей: Пусть дана непрерывная дробь вида
[pic], где [pic], [pic]
[pic]
1) Пусть [pic], все члены последовательностей [pic], [pic] действительные числа и [pic] для всех [pic], начиная с некоторого. Если для таких k выполняется неравенство [pic], то цепная дробь сходится.
2) Пусть [pic] и все члены последовательности [pic], начиная с k=2 положительны. Тогда цепная дробь сходится тогда и только тогда, когда ряд [pic] расходится (теорема Зейделя). Интересной особенностью цепных дробей общего вида является то, что даже рациональные числа могут ими разлагаться в бесконечные цепные дроби. Например, имеется разложение
[pic]
[pic]=[pic], [pic], [pic], [pic], [pic], …
0,3; 0,42; 0,45; 0,467; … Примечательно то, что квадратические иррациональности разлагаются и в непериодические цепные дроби общего вида. Например, имеется разложение
[pic]
[pic]=[pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], …
1; 1,5; 1,38; 1,44; 1,40; … Но самое интересное и важное это то, что в то время как до настоящего времени неизвестно разложение в правильную цепную дробь ни одной алгебраической иррациональности степени выше второй (другими словами, неизвестны общие свойства неполных частных таких разложений, разложения сами по себе со сколь угодной точностью можно практически найти), при помощи общих цепных дробей такие разложения находятся довольно легко. Отметим, например, некоторые разложения и соответствующие подходящие дроби для [pic]: [pic] [pic]=[pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], … 1,33; 1,22; 1,284.
[pic] [pic]=[pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], … 1,17; 1,25; 1,258; 1,2596; … Приведем еще несколько примеров разложений других иррациональностей в цепные дроби общего вида:
[pic]
[pic]=[pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], … Эта цепная дробь для [pic] была найдена еще более 300 лет назад английским математиком Брункером.
[pic]
[pic]=[pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic] В 1776 году И. Ламберт нашел разложение tg x в цепную дробь: tg x=[pic] А. Лежандр в предположении, что эта цепная дробь сходится, показал, что ее значение для рациональных значений x иррационально. Принято считать, что тем самым была доказана иррациональность числа [pic]. Л. Эйлер нашел, что: [pic]=(1; 6, 10, 14, …). Также Эйлер нашел разложение в цепную дробь числа e. e=(2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …), то есть элементы [pic] разложения e в цепную дробь имеют вид:
[pic], [pic], [pic] Швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) нашел разложение числа [pic] в виде цепной дроби. Первые 25 неполные частные разложения числа [pic] в правильную цепную дробь есть числа:
3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1.
Решение задач
1. Записать в виде конечной цепной дроби a) [pic]; b) [pic]; c) [pic]2,98976; d) [pic] Решение: a) [pic]=(0, 2, 15); b) [pic]=(3, 7, 15, 1, 292); c) 2,98976=[pic]=(2, 1, 96, 1, 1, 1, 10); d) [pic]=–(2, 1, 30, 2)=(-2, 1, 30, 2)
2. Разложить простую дробь в цепную дробь и найти ее подходящие дроби. a) [pic]; b) [pic]; c) [pic]; d) [pic]
Решение: a) [pic]=(3, 2, 1, 24); Находим подходящие дроби: | | |3 |2 |1 |24 | |[pic] |1 |3 |7 |10 |247 | |[pic] |0 |1 |2 |3 |74 |
[pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic] b) [pic]=(3, 3, 33); | | |3 |3 |33 | |[pic] |1 |3 |10 |333 | |[pic] |0 |1 |3 |100 |
[pic]=[pic]; [pic]=[pic] c) [pic]=[pic]=(3, 7, 15, 1, 292); | | |3 |7 |15 |1 |292 | |[pic] |1 |3 |22 |333 |355 |103993 | |[pic] |0 |1 |7 |106 |113 |33102 |
[pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; d) [pic]=(0, 2, 2, 3); | | |0 |2 |2 |3 | |[pic] |1 |0 |1 |2 |7 | |[pic] |0 |1 |2 |5 |17 |
[pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic].
3. Сократить дробь a)[pic]; b)[pic]; c)[pic] Решение: a)[pic]; Разложим ее в конечную цепную дробь и найдем последнюю подходящую дробь для нее. [pic]=(4, 1, 1, 6) [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic] Дробь [pic] несократима и [pic]=[pic]. b)[pic]=(0, 3, 3, 1, 6, 1, 3, 2) [pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic] Дробь [pic] несократима [pic][pic]=[pic]. c)[pic]=(1, 1, 2, 2, 32) [pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic] - несократима [pic][pic]=[pic].
4. Найдите первые четыре подходящие дроби разложения в цепную дробь числа [pic]=3,14159265… [pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic]; [pic]=[pic] Ответ: [pic]; [pic]; [pic]; [pic].
5. Преобразуйте в обыкновенную дробь следующие цепные дроби: a) (2, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 5); b) (2, 3, 1, 6, 4); c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5); d) (0, 3, 1, 2, 7). Решение: a) (2, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 5)=[pic] Составим таблицу подходящих дробей: | |2 |1 |1 |2 |1 |6 |2 |5 | |[pic] |2 |3 |5 |13 |18 |121 |260 |1421 | |[pic] |1 |1 |2 |5 |7 |47 |101 |552 |
Ответ: [pic]=[pic] b) (2, 3, 1, 6, 4)= [pic] | |2 |3 |1 |6 |4 | |[pic] |2 |7 |9 |61 |253 | |[pic] |1 |3 |4 |27 |112 |
Ответ: [pic]=[pic] c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5) | |1 |3 |2 |4 |3 |1 |1 |1 |5 | |[pic]|1 |4 |9 |40 |129 |169 |298 |467 |2633 | |[pic]|1 |3 |7 |31 |100 |131 |231 |362 |2041 |
Ответ: [pic]=[pic] d) (0, 3, 1, 2, 7)=[pic] | |0 |3 |1 |2 |7 | |[pic] |0 |1 |1 |3 |22 | |[pic] |1 |3 |4 |11 |81 |
Ответ: [pic]=[pic]
6. Разложить в цепную дробь и заменить подходящей дробью с точностью до 0,001 следующие числа: a) [pic]; b) [pic]; c) [pic]; d) [pic]. Решение: a) [pic]=[pic]. Выделим из [pic] его целую часть: [pic], а дробную часть [pic]-2, которая 1000. Ответ: [pic].
b) [pic]=[pic]; [pic]=5 [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. Мы получили [pic] неполные частные, начиная с [pic] будут повторяться и [pic]=(5, (1, 1, 1, 10)). | |5 |1 |1 |1 |10 |1 |… | |[pic] |5 |6 |11 |17 |181 |198 | | |[pic] |1 |1 |2 |3 |32 |35 | |
[pic], так как 32·35>1000. Ответ: [pic].
c) [pic]=(3, 2, 5, 2, 7, 2); | |3 |2 |5 |2 |7 |2 | |[pic] |3 |7 |38 |83 |619 |1321 | |[pic] |1 |2 |11 |24 |179 |382 |
[pic], так как 24·179>1000. Ответ: [pic].
d) [pic]=[pic]; [pic]=1 [pic]; [pic]; [pic]; [pic][pic]=((1, 2)) | |1 |2 |1 |2 |1 |2 |1 |2 |1 | |[pic]|1 |3 |4 |11 |15 |41 |56 |153 | | |[pic]|1 |2 |3 |8 |11 |30 |41 |102 | |
[pic], так как 30·41>1000. Ответ: [pic].
7. Найти действительные числа, которые обращаются в данные цепные дроби: a) (4, (3, 2, 1)); b) ((2, 1))
Решение: a) (4, (3, 2, 1)) - смешанная периодическая дробь. [pic]
[pic], то есть [pic], где [pic]
[pic] x=((3, 2, 1)) - чисто периодическая цепная дробь. Так как выражение, начинающееся с четвертого неполного частного 3, имеет тот же вид: [pic]
[pic], то мы можем записать x=(3, 2, 1, x)= [pic]=[pic], после чего приходим к квадратному уравнению относительно x: [pic] [pic] D=64+12·7=148 [pic]. Положительное решение и есть x. [pic]. Найдем [pic]. [pic]=4+[pic]=[pic] Ответ: [pic].
b) ((2, 1))=[pic] [pic] [pic]=(2, 1, [pic])
[pic] Сейчас мы можем найти таким же путем, как и в задаче a), но можно решить задачу легче. Составим таблицу подходящих дробей: | |2 |1 |[pic] | |[pic] |2 |3 |3[pic]+2 | |[pic] |1 |1 |[pic]+1 |
[pic]=[pic]
[pic]
D=4+4·2=12
[pic] Положительное решение и есть искомое [pic]. Ответ: [pic].
8. Решить в целых числах уравнения: a) 143x+169y=5; b) 2x+5y=7; c) 23x+49y=53. Решение: a) 143x+169y=5 - диофантово уравнение. (143, 169)=13(НОД находим с помощью алгоритма Евклида) [pic]уравнение решений не имеет. Ответ: [pic]. b) 2x+5y=7 (2, 5)=1 [pic]уравнение имеет решение в целых числах. Разложим [pic] в цепную дробь. [pic]=(0, 2, 2). Составим все подходящие дроби. [pic]; [pic]; [pic] На основании свойства подходящих дробей [pic] получим 2·2-1·5 =(-1)3 или 2·2+5(-1)=-1 [pic] 2·(-14)+5·7=7, то есть [pic] [pic] – частное решение. Все решения могут быть найдены по формулам
[pic] или [pic]
c) 23x+49y=53 (23, 49)=1 [pic] существуют целые решения. [pic]=(0, 2, 7, 1, 2) [pic], [pic], [pic], [pic], [pic] 17·23-8·49=(-1)5 23·17+49·(-8)=-1 [pic] 23·(-901)+49·424=53 [pic] [pic] [pic] или [pic]
9. Разложите число 150 на два положительных слагаемых, одно из которых кратно 11, а второе – 17.
Решение: Пусть 11x – первое число 11x>0 x>0;17y - второе число 17y>0 y>0. Тогда 11x+17y=150 (11, 17)=1[pic]существуют решения. (11, 17)=(0, 1, 1, 1, 5) | |0 |1 |1 |1 |5 | |[pic] |0 |1 |1 |2 |11 | |[pic] |1 |1 |2 |3 |17 |
11·3-2·17=(-1)5=–1 11·3+17·(-2)=-1 [pic] 11·(-450)+17·300=150 x=-450+27·17=9[pic]99 - первое число y=300-11·27=3[pic]51 - второе число. Ответ: 99; 51.
10. Решить уравнения Пелля: a) [pic] b) [pic] Решение: a) [pic] Представим [pic] в виде цепной дроби: [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]=(5, (10)). Количество чисел в периоде нечетное (одна) [pic][pic]=(5; 10)=[pic]. [pic] - наименьшее положительное решение. Ответ: x=51, y=10.
b) [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]=(4, (2, 1, 3, 1, 2, 8)) Количество чисел в периоде четное (шесть) | |4 |2 |1 |3 |1 |2 | |[pic] |4 |9 |13 |48 |61 |170 | |[pic] |1 |2 |3 |11 |14 |39 |
[pic] Ответ: x=170, y=39.
Заключение Данная курсовая работа показывает значение цепных дробей в математике. Их можно успешно применить к решению неопределенных уравнений вида ax+by=c. Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том, чтобы найти какое-нибудь его частное решение. Так вот, с помощью цепных дробей можно указать алгоритм для разыскания такого частного решения. Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределенных уравнений, например, так называемого уравнения Пелля: [pic] ([pic]). Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения алгебраических и трансцендентных уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных функций. В настоящее время цепные дроби находят все большее применение в вычислительной технике, ибо позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.
Литература:
1. М.Б. Балк, Г.Д. Балк. Математика после уроков. М, «Просвещение», 71. 2. А.А. Бухштаб. Теория чисел. М, «Просвещение», 96.
3. Алгебра и теория чисел. Под редакцией Н.Я. Виленкина, М,
«Просвещение», 84.
4. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М, «Наука», 72.
5. А.А. Кочева. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. М,
«Просвещение», 84.
6. Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко, А.А. Фомин. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М, «Просвещение», 93.
7. Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел. М, «Просвещение», 74.
8. Математическая энциклопедия, том V, М, «Советская энциклопедия», 85.
9. Ш.Х. Михелович. Теория чисел. М, «Высшая школа», 67. ----------------------- [pic]
[pic]
[pic]
[pic]