Исследование решений одной системы
интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций
Н.В. Перцев, Омский государственный педагогический
университет, кафедра математического анализа
1. Введение
В
работе автора [1] предложена математическая модель, описывающая динамику
численности некоторых популяций с ограниченным временем жизни особей. Модель представляет
собой систему интегро-дифференциальных уравнений
с
начальным условием
где
, а оператор имеет вид , .
В
настоящей работе приводятся результаты изучения вопросов существования,
единственности, неотрицательности и ограниченности решений системы уравнений
(1) с начальным условием (2). Рассмотрены также достаточные условия
экспоненциальной устойчивости нулевого решения, которые применяются к
исследованию вопроса о вырождении популяций. Для изучения поведения решений
используются принцип сжимающих отображений, монотонный метод [2, с. 43] и
свойства М - матриц [3, с. 132].
2. Основные результаты
Введем
некоторые обозначения.Пусть - длина
вектора , - норма
матрицы A = ( ai j ), [4, с. 196], A+ - матрица, составленная из элементов , Rm+ -
множество векторов с
неотрицательными компонентами. Если , то запись
u>0 означает, что ui>0 при всех . Неравенства
между векторами из Rm понимаются как неравенства между их комнонентами. Для
фиксированного T>0 под C+T будем понимать пространство неотрицательных
непрерывных на отрезке [0,T] функций с нормой , где K>0 -
некоторая константа, [2, с. 11]. В системе (1) , при под понимается
правосторонняя производная. Далее, , , , , . Функции предполагаются
непрерывными в своих областях определения.
От
системы уравнений (1) с начальным условием (2) перейдем к эквивалентной системе
интегральных уравнений вида
где
(Fx)(t) =
Здесь
при , h(t) = 0 при
, - отрезок
интегрирования, . Примем в
дальнейшем, что выполнено следующее предположение :
H)
элементы матрицы определены,
непрерывны и ограничены, ; функции удовлетворяют
условию Липшица , , , где D -
некоторое выпуклое подмножество Rm+.
Пусть
M1 и M2 такие постоянные, что , , . Зададим
матрицы A,B,Q по формулам : , где при и при , , Q = I - A B,
I - единичная матрица. Положим
(Lx)(t)
=
где
. Тогда и для всех таких, что , верно
неравенство .
Теорема
1. Пусть предположение H) выполняется на множестве D = Rm+. Тогда система
уравнений (3) имеет единственное непрерывное решение x=x(t), определенное на , и
справедливы оценки , где .
Теорема
2. Пусть предположение H) выполняется на некотором прямоугольнике и существует , такой, что . Тогда
система уравнений (3) имеет единственное непрерывное, ограниченное решение
x=x(t), определенное на , и
справедливы оценки .
Теорема
3. Пусть предположение H) выполняется либо на множестве D = Rm+, либо на
некотором прямоугольнике D = D0. Пусть, кроме того, f(0) = 0 и Q является
невырожденной М - матрицей. Тогда система уравнений (1) имеет нулевое решение
x(t) = 0, которое является экспоненциально устойчивым, иначе для всех верно , где .
Приведем
краткую схему доказательства этих теорем. В условиях теоремы 1 будем искать
функцию w(t), удовлетворяющую неравенствам . Выберем . Используя
оценку , приходим к
неравенству , где , . Имеем, что
при (поэлементно).
Единичная матрица I является невырожденной М - матрицей. В силу непрерывной
зависимости найдется такое a0>0, что (I - A0(a0) B) также будет
невырожденной М - матрицей. Используя свойства невырожденных М - матриц,
получаем, что существует , такой, что
верно неравенство . Отсюда
следует, что при всех . Зафиксируем
T>0 и обозначим через CwT множество всех функций ,
удовлетворяющих неравенству . Тогда из
неравенств следует, что . Пусть
множество . Для всех верно, что , где , , . Полагая , получаем,
что отображение F является сжимающим. При доказательстве теоремы 2 функция w(t)
ищется в виде w(t) = b0, где . Если
существует , такой, что , то и является
сжимающим отображением на CwT. Используя далее принцип сжимающих отображений,
убеждаемся в справедливости утверждений теорем 1 и 2.
Для
доказательства теоремы 3 строится оценка на решение , где , функция w(t)
такова, что . Эти
неравенства будут выполнены, если , где , при при . Матрица (I -
A1(a) B) непрерывно зависит от a и (поэлементно)
при . Так как Q
является невырожденной М - матрицей, то найдется a = a0 >0 такой, что (I -
A1(a0) B) также будет невырожденной М - матрицей. Используя свойства
невырожденных М - матриц, можно показать, что существуют и такие, что
выполняется неравенство . В итоге
получаем, что справедливы оценки на решение .
3. Заключение
Установленные
выше результаты указывают на корректность применения представленной модели в
целях описания динамики численности популяций. Это связано с тем, что решения
модели обладают такими важными свойствами, как существование, единственность,
неотрицательность и ограниченность, которые соответствуют смыслу моделируемых
процессов.
Важным
следствием теоремы 3 являются достаточные условия, при которых популяция
вырождается, т.е. ее численность x(t) такова, что при .
Предположение H) задает ограничения на интенсивности процессов рождения и
гибели особей, тогда как условие f(0) = 0 означает, что нет внешних источников
поступления новых особей. Заметим, в частности, что предположение H) и условие
f(0) = 0 выполняются для линейных процессов рождения и гибели особей. В
нелинейном случае этому предположению и условию удовлетворяют f(x) и , заданные в
виде некоторых многочленов, рациональных функций либо функций с непрерывными
частными производными. Функции такого вида широко используются в моделях
биологических процессов, см., например, [5,6].
Нетрудно
показать, что матрица Q будет невырожденной М - матрицей для малых или при
достаточно малых ненулевых элементах матрицы B. Если в условиях теоремы 3 D =
Rm+, то экспоненциальная оценка на решение x(t) справедлива при любом начальном
значении x(0). Если же D = D0, то эта оценка выполняется для x(0), лежащих в
некоторой окрестности точки x = 0. В обоих случаях конкретный вид начального
распределения особей по возрасту не влияет на
экспоненциальную оценку (вектор зависит только
от значений x(0)). В рамках принятых предположений можно сделать следующий
вывод: если в некоторых популяциях особи являются короткоживущими или
интенсивности процесса рождения особей достаточно малы, то такие популяции
обязательно вырождаются, причем независимо от начального распределения особей по
возрасту.
В
завершение рассмотрим пример. Одной из классических моделей динамики популяций
является так называемая логистическая модель или модель Ферхюльста, которая
описывается дифференциальным уравнением
с
начальным условием , где , см.,
например, [5, c. 14]. Если учитывать ограниченность времени жизни особей, то в
соответствии с (1) следует рассмотреть уравнение
с
начальным условием (2). Здесь в качестве множества D можно рассматривать
произвольный отрезок [0, d], . Пусть . Из теоремы 3
следует, что решение x(t) данного интегро-дифференциального уравнения таково,
что при для любых
начальных значений x(0). Можно показать, что этот результат справедлив и для . Неравенства задают на
плоскости область
параметров, при которых популяция вырождается. Кроме того, можно показать, что
для решение при , независимо
от значений x(0), где x* - единственный положительный корень уравнения С ростом t
решение x(t) приближается к x* либо монотонно, либо с затухающими колебаниями.
Отметим, что решение логистической модели таких колебаний не имеет.
В
заключение укажем, что система уравнений (1) с начальным условием (2) является
обобщением некоторых из моделей, рассмотренных в работе [7].
Список литературы
Перцев
Н.В. Применение одного дифференциального уравнения с последействием в моделях
динамики популяций // Фундаментальная и прикладная математика / Ред. А.К. Гуц.
Омск, 1994. С.119 - 129.
Красносельский
М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.
Berman A., Plemmous R.J. Nonnegative
Matrices in the Mathematical Sciences. New York, Academic Press, 1979.
Беллман
Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.
Свирежев
Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.:
Наука, 1987.
Марри
Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.:
Мир, 1983.
Cooke K., Yorke A. Some equations
Modelling Growth Processes and Gonorhea Epidemics // Math. Biosci., 1973. V.16.
P.75 - 101.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/