Розкриття невизначеностей з використанням правила
Лопіталя.
Лопіталь
де Гійом Франсуа (1661-2.02.1704 рр.). Французький математик, член Парижської
АН, народився в Парижі, вивчав математику під керівництвом У. Бернуллі. Видав
перший друкований підручник по диференціальному обчисленню – “Аналіз
нескінченно малих” (1696р.). В підручнику є правило Лопіталя – правило
знаходження межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0. Крім того, він
створив курс аналітичної геометрії конічних перетинів. Йому також належить
дослідження і розвиток за допомогою математичного аналізу декількох важких
задач по геометрії і механіці, а також одне із рівнянь знаменитої задачі о
браністохроні.
Правило
Лопіталя.
Нехай
виконані умови:
функції
f(х) та g(х) визначені і диференційовані в колі точки х0;
частка
цих функцій в точці х0 має невизначеність вигляду або ;
існує
.
Тоді
існує і виконує рівність:
(1)
а)
Наслідок.
Нехай:
1.
Визначені в колі точки х0 функції f(х), g(х) та їх похідні до n-го порядку
включно;
2.
Частки , , …, мають невизначеність вигляду або ;
3.
Існує , тоді
(2)
б)
Приклад 1.
Знайти:
.
Розв’язання:
Функції
та визначені з усіма своїми похідними в околі точки
х=0.
Маємо:
.
2)
Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞; 00;
∞0.
Існують
прийоми, що дозволяють зводити вказані невизначеності до невизначеностей
вигляду або , які можна
розкривати з використанням правила Лопіталя.
Нехай
і , тоді
(3)
За
умовою при , тому при .
Якщо
не прямує до 0 при , то границя в
правій частині (3) не існує, а тому і границя лівої частини (3) не існує.
Якщо
при , то вираз має невизначеність .
2.
Нехай , , тоді має невизначеність вигляду при .
В
цьому випадку поступають так:
Під
знаком останньої границі маємо невизначеність .
3.
Нехай , при . Тоді має невизначеність вигляду .
Позначимо
. Шляхом
логарифмування цієї рівності одержимо:
Отже,
обчислення натурального логарифма границі зводиться до розкриття невизначеності вигляду .
4.
Невизначеності вигляду та зводять до невизначеностей або шляхом логарифмування аналогічно до
невизначеності вигляду .
а)
Приклад 2.
Знайти
границю .
Розв’язання:
Функції
та диференційовані, а їх частка має невизначеність вигляду при .
Використовуючи
правило Лопіталя, одержимо:
.
б)
Приклад 3.
Знайти
границю .
Розв’язання:
В
цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Позначимо і про логарифмуємо цю рівність. Одержимо:
, тобто
невизначеність вигляду .
Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:
.
Отже,
.
в)
Приклад 4.
Знайти
границю .
В
цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Нехай . Логарифмуючи
цю рівність, одержимо:
.
Чотири
рази застосували правило Лопіталя.
Отже,
маємо:
Список литературы
Кривуца
В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. К.82. Вища математика. Практикум.
Навчальний посібник.–Київ: Центр навчальної літератури, 2005.–536с.
Бородин
А.И., Бугай А.С., Биографический словарь деятелей в области математики.
Радянська школа 1979.
Алгебра
и начала анализа: В 2-х ч./ Под. ред. Г.Н. Яковлева.–2-е изд. –К.: Вища шк.,
Головное изд-во, 1984.–Ч.2. 293с.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ref.com.ua