Решение уравнений, неравенств, систем с параметром
(алгебра и начала анализа)
Курсовая работа
Исполнитель: Бугров С К.
Москва, 2003
Введение
Изучение
многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к
решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные
билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными
и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее
трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на
немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя
данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления
наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд
графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и
неравенств с параметрами.
В
моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их
систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут
мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.
§
1. Основные
определения
Рассмотрим
уравнение
¦(a,
b, c, …, k,
x)=j(a,
b, c, …, k,
x), (1)
где
a, b, c, …, k,
x -переменные величины.
Любая
система значений переменных
а
= а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,
при
которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные
значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k,
x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех
допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎА,
bÎB,
…, xÎX.
Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно
по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим
уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.
Переменные
a, b, c, …, k,
которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а
само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.
Параметры
обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k,
l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.
Решить
уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров
существуют решения и каковы они.
Два
уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а)
они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б)
каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.
§
2. Алгоритм
решения.
Находим
область определения уравнения.
Выражаем
a как функцию от х.
В
системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х,
которые входят в область определения данного уравнения.
Находим
точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с
пересекает график а=¦(х),
то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение
а=¦(х)
относительно х.
Записываем
ответ.
I.
Решить уравнение
(1)
Решение.
Поскольку
х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :
или
График
функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения
определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.
Если
а Î
(-¥;-1]È(1;+¥)È , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной
точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.
Таким
образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .
Если
а Î
, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух
точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем
и .
Если
а Î
, то прямая у=а не
пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.
Ответ:
Если
а Î
(-¥;-1]È(1;+¥)È, то ;
Если
а Î
, то , ;
Если
а Î
, то решений нет.
II.
Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных
корня.
Решение.
Переписав
уравнение в виде и рассмотрев пару
функций , можно заметить, что
искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям
графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком
функции .
В
системе координат хОу построим график функции ). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре
возникающих случая, запишем эту функцию в виде
Поскольку
график функции – это прямая, имеющая
угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось
Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки
пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика
функции . Поэтому находим производную
Ответ:
.
III.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
имеет
решения.
Решение.
Из
первого уравнения системы получим при Следовательно, это
уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.
Выделим
в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители
Множеством
точек плоскости ,
удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые
и
Выясним,
при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы
одну общую точку с одной из полученных прямых.
Если
вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В
соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается
прямой
), то
рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы”
совпадает с точкой А, то .
Случай
касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования
единственного решения системы
В
этом случае уравнение
имеет
один корень, откуда находим :
Следовательно,
исходная система не имеет решений при , а при или имеет хотя бы одно решение.
Ответ:
а Î
(-¥;-3]
È(;+¥).
IV.
Решить уравнение
Решение.
Использовав
равенство , заданное
уравнение перепишем в виде
Это
уравнение равносильно системе
Уравнение
перепишем в виде
. (*)
Последнее
уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим
графики функций и Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно,
уравнение не имеет решений.
Если
, то при графики функций совпадают и, следовательно,
все значения являются решениями уравнения (*).
При
графики пересекаются в одной точке, абсцисса
которой . Таким
образом, при уравнение (*) имеет единственное решение - .
Исследуем
теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут
удовлетворять условиям
Пусть
, тогда . Система
примет вид
Её
решением будет промежуток хÎ (1;5). Учитывая, что , можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения
х из промежутка [3; 5).
Рассмотрим
случай, когда . Система неравенств примет вид
Решив
эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но , поэтому при
аÎ
(3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .
Ответ:
если
аÎ
(-¥;3),
то решений нет;
если
а=3, то хÎ
[3;5);
если
aÎ
(3;7), то ;
если
aÎ
[7;+¥),
то решений нет.
V.
Решить уравнение
, где а - параметр. (5)
Решение.
При
любом а :
Если
, то ;
если
, то .
Строим
график функции , выделяем ту его часть , которая
соответствует . Затем
отметим ту часть графика функции , которая соответствует .
По
графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при
каких – не имеет решения.
Ответ:
если
, то
если
, то ;
если
, то решений
нет;
если
, то , .
VI.
Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров и , при которых
системы
(1)
и
(2)
имеют
одинаковое число решений ?
Решение.
С
учетом того, что имеет смысл только при , получаем
после преобразований систему
(3)
равносильную
системе (1).
Система
(2) равносильна системе
(4)
Первое
уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение
задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и
радиусом
Поскольку
, а , то , и,
следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При окружность касается прямой и система (4) имеет пять решений.
Таким
образом, если , то система
(4) имеет четыре решения, если , то таких
решений будет больше, чем четыре.
Если
же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет
четыре решения в случае, когда , и больше
четырех решений, если .
Обратимся
теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в
плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах.
Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.
При
фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре
решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением
, иметь общие точки с гиперболой при (прямая всегда имеет одну точку пересечения с графиком
функции ).
Для
решения этого рассмотрим уравнение
,
которое
удобнее переписать в виде
Теперь
решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:
если
, т.е. если , то система
(3) имеет два решения;
если
, то система
(3) имеет три решения;
если
, то система
(3) имеет четыре решения.
Таким
образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет
место, когда .
Ответ:
II. Неравенства с параметрами.
§1. Основные определения
Неравенство
¦(a,
b, c, …, k,
x)>j(a,
b, c, …, k,
x), (1)
где
a, b, c, …, k
– параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством
с одним неизвестным, содержащим параметры.
Любая
система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой
функции
¦(a,
b, c, …, k,
x) и
j(a,
b, c, …, k,
x
имеют
смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений
параметров.
называется
допустимым значением х, если
¦(a,
b, c, …, k,
x) и
j(a,
b, c, …, k,
x
принимают
действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.
Множество
всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).
Действительное
число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство
¦(a,
b, c, …, k,
x0)>j(a,
b, c, …, k,
x0)
верно
при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность
всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого
неравенства.
Решить
неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует
общее решение и каково оно.
Два
неравенства
¦(a,
b, c, …, k,
x)>j(a,
b, c, …, k,
x) и (1)
z(a,
b, c, …, k,
x)>y(a,
b, c, …, k,
x) (2)
называются
равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же
множестве систем допустимых значений параметров.
§2. Алгоритм решения.
Находим
область определения данного неравенства.
Сводим
неравенство к уравнению.
Выражаем
а как функцию от х.
В
системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х,
которые входят в область определения данного неравенства.
Находим
множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
Исследуем
влияние параметра на результат.
найдём
абсциссы точек пересечения графиков.
зададим
прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥
Записываем
ответ.
Это
всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с
использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с
использованием стандартной системы координат хОy.
§3.
Примеры
I.
Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство
Решение.
В
области определения параметра а, определённого системой неравенств
данное
неравенство равносильно системе неравенств
Если
, то решения
исходного неравенства заполняют отрезок .
Ответ:
, .
II.
При каких значениях параметра а имеет решение система
Решение.
Найдем
корни трехчлена левой части неравенства –
(*)
Прямые,
заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре
области, в каждой из которых квадратный трехчлен
сохраняет
постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале
координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован
ной
области с окружностью, где , а значения и находятся из системы
а
значения и находятся из системы
Решая
эти системы, получаем, что
Ответ:
III.
Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.
Решение.
Находим
область допустимых значений –
Построим
график функции в системе координат хОу.
при
неравенство решений не имеет.
при
для решение х удовлетворяет соотношению , где
Ответ:
Решения неравенства существуют при
, где , причем при решения ; при решения .
IV.
Решить неравенство
Решение.
Находим
ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)
Найдем
уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к
равенству :
Разложим
числитель на множители.
т.
к. то
Разделим
обе части равенства на при . Но является решением : левая часть уравнения
равна правой части и равна нулю при .
3.
Строим в ПСК хОа графики функций
и
нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять
областей.
4.
Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку
из области и подставляем в неравенство.
Для
наглядности составим таблицу.
?
точка
неравенство:
вывод
1
-
2
+
3
-
4
+
5
-
6
+
7
-
8
+
9
-
5.
Найдем точки пересечения графиков
6.
Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥.
Ответ.
при
при
при
при
решений
нет
при
Список литературы
Далингер
В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996
г.
Далингер
В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по
математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.
Окунев
А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа -
Пресс”. Москва 1986 г.
Письменский
Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.
Ястрибинецкий
Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство
“Просвещение”. Москва 1972 г.
Г.
Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука”
физико–математическая литература. Москва 1977 г.
Амелькин
В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва
1996 г.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ref.com.ua