Применение свойств
функций для решения уравнений
Т.С. Кармакова, доцент кафедры алгебры ХГПУ
В
предлагаемой статье речь идет о нестандартных приемах решения уравнений,
основанных на простых и хорошо известных учащимся свойствах и характеристиках
функций, таких как непрерывность, монотонность наибольшее и наименьшее
значение. Используя предлагаемые автором
задачи и методы их решения, учитель сможет сформировать у учащихся более широкий взгляд на область
применения различных этих свойств. Ведь не секрет, что в стандартном курсе
школьной математики свойства функций применяются в основном для построения их
графиков.
В
соответствии с обязательным минимумом содержания среднего (полного) общего
образования, утвержденным Министерством образования РФ (пр. №56 от 30.06.99),
все учащиеся должны знать три основных метода решения уравнений:
Разложение
на множители,
Замена
переменных,
Использование
свойств функций.
Рассмотрим
на конкретных примерах сущность третьего метода. Этот метод применяется тогда,
когда уравнение F(x)=G(x) в результате преобразований или замены переменных не
может быть приведено к тому или иному
стандартному уравнению, имеющему определенный алгоритм решения.
Продемонстрируем использование некоторых свойств функций к решению уравнений
указанного выше вида в случае, когда F(x) и G(x) - любые элементарные функции.
Использование
области определения и области значения функций
Решить
уравнение
Решение:
Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения функции . Областью определения этой функции (в соответствии с
определением степени с рациональным
показателем) является множество положительных действительных чисел.
Ответ:
x>0.
Решить
уравнение sinxctgx=cosx.
Решение:
Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения уравнения.
Область определения уравнения – это общая часть областей определения функций,
входящих в уравнение. Следовательно, множество решений уравнения – множество
всех действительных чисел, кроме x=kp, где kÎZ.
Ответ:
x¹kp, где
kÎZ.
Решить
уравнение .
Решение:
У этого уравнения нет корней, так как область значений функции при x³1 есть множество неотрицательных чисел, а функция при всех x принимает отрицательные значения.
Решить
уравнения:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Ответы:
а) x>0, x¹1;
б) êxê£1;
в) x¹0;
г) x³0;
д) Нет корней; е) x¹0.
Использование
экстремальных значений функций
Сущность
этого способа решения уравнений в том, что оцениваются правая и левая части
уравнения F(x)=G(x) и, если одна из функций принимает значение не меньше
некоторого числа А, а другая – не больше этого же числа А, то данное уравнение
заменяется системой уравнений:
Этот
способ может быть применен к решению следующих уравнений:
в
обеих частях уравнения стоят функции разного вида;
в
одной части уравнения функция, ограниченная сверху, а в другой – ограниченная
снизу;
в
одной части уравнения стоит функция, ограниченная сверху или снизу, а в другой
– конкретное число.
Рассмотрим
конкретные примеры.
2.1
Решить уравнение
Решение:
Оценим правую и левую части уравнения:
а)
, так как , а ;
б)
, так как .
Оценка
частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух
при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение
равносильно системе
Первое
уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во
второе уравнение получаем верное числовое равенство:
Ответ:
х=-2.
2.2
Решить уравнение
Решение:
левая часть уравнения не больше двух, а правая – не меньше двух, следовательно,
данное уравнение равносильно системе:
Второе
уравнение в этой системе имеет единственный корень х=0. Подставляя найденное
значение х в первое уравнение, получаем верное числовое равенство.
Ответ:
х=0.
2.3
Решить уравнение
Решение:
Оценим левую часть уравнения: , следовательно, . Получили, что в данном уравнении левая часть не больше
восьми, а правая часть равна девяти при всех действительных значениях
переменной х, поэтому данное уравнение не имеет корней.
Ответ:
нет корней.
2.4
Решить уравнения:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Ответы:
а) p;
б) 0; в) 0; г) 0.5; д) 1; е) нет корней.
Использование
монотонности функций
Этот
способ основан на следующих теоретических фактах:
Если
одна функция возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке, то
графики их либо только один раз пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это
означает, что уравнение F(x)=G(x) имеет единственное решение, либо вообще не
имеет решений;
Если
на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает), а другая
принимает постоянные значения, то уравнение F(x)=G(x) либо имеет единственный
корень, либо не имеет корней.
Сущность
этого способа состоит в том, исследуются на монотонность левая и правая части
уравнения и, если оказывается, что функции удовлетворяют какому - либо из
приведенных условий, то найденное подбором решение будет единственным корнем
уравнения.
Этот
способ можно использовать для решения следующих типов уравнений:
уравнения,
в обеих частях которых стоят функции разного вида;
уравнения,
в одной части которых убывающая, а в другой – возрастающая на данном промежутке
функции;
уравнения,
одна часть которых – возрастающая или убывающая функция, а вторая – число.
Рассмотрим
примеры.
3.1
Решить уравнение
Решение:
область определения данного уравнения x>0. Исследуем на монотонность функции
. Первая из них –убывающая (так как это - логарифмическая
функция с основанием больше нуля, но меньше единицы), а вторая – возрастающая
(это линейная функция с положительным коэффициентом при х). Подбором легко
находится корень уравнения х=3, который является единственным решением данного
уравнения.
Ответ:
х=3.
3.2
Решить уравнение
Решение:
Данному уравнению удовлетворяет число х=2. Проверим, удовлетворяют ли функции,
образующие уравнение, условиям, при которых можно утверждать, что других корней
нет. Сначала рассмотрим . Исследуем ее на монотонность с помощью производной: . Решаем биквадратное уравнение
,
,
поэтому
при всех значениях хÎR.,
следовательно, функция f(x)- возрастающая.
Теперь
исследуем функцию . Как легко установить, она убывает при всех значениях хÎR.
Из проведенного исследования можно сделать вывод, что х=2 – единственный корень
данного уравнения.
Ответ:
х=2
3.3
Решить уравнение
Решение:
Легко проверить, что х=1 – корень данного уравнения, но мы пока не можем
утверждать, что других корней нет, так как и левая и правя части уравнения –
возрастающие функции. Преобразуем данное уравнение к виду . Функция в левой части – сумма двух убывающих функций, а
следовательно, она также убывающая. В правой же части стоит постоянная функция.
Таким образом, рассматриваемое уравнение может иметь только один корень.
Ответ:
х=1
3.4
Решить уравнения:
а)
2x3+9x2+150x-161=0
б)
13x+7x=2
в)
2x+5x=2-tgx
г)
д)
е)
x+2=76-x
Ответы:
а) х=1; б) х=0; в) х=0; г) х=2; д) х=4; е) х=5.
В
конце приведем список литературы, по которому читатели смогут самостоятельно
изучить, как использовать различные свойства функций при решении уравнений.
Список литературы
Аксенов
А.А. Решение задач методом оценки.//Математика в школе, 1999, №3, с. 30
Дорофеев
Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в Вузы.
М.: Наука, 1976
Литвиненко
В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: алгебра,
тригонометрия. М.: Просвещение, 1991
Шарыгин
И.М., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 классов
общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.khspu.ru