О некоторых трудностях, возникающих при решении
геометрических задач
В.Ф.Чаплыгин
Анализ
результатов приемных экзаменов в университет, опыт работы со школьниками,
слушателями подготовительных отделений, студентами-математиками, готовящими
себя к педагогической деятельности, дают основания сделать вывод о том, что при
решении текстовых задач учащиеся испытывают значительно больше трудностей, чем
при решении уравнений и неравенств. Это отчасти объясняется тем, что для
решения уравнений, неравенств или их систем можно использовать некоторый набор
известных алгоритмов и приемов, так как сама задача уже формализована,
математизирована. А для текстовой задачи математическую модель учащийся должен
составить самостоятельно. И поэтому эти задачи, в том числе геометрические, о
которых пойдет речь, требуют существенно больших логических усилий. Мы коснемся
здесь, в основном, задач на вычисление.
Решение
более или менее серьезной задачи требует, во-первых, тщательного ее анализа.
Учащийся должен ясно осознать, что же ему известно, как связаны между собой
данные величины, какие следствия из них можно получить, что необходимо найти в
задаче и что требуется для этого знать. Анализ при этом может носить не только
однонаправленный характер (от данных величин к искомым или наоборот), но и
встречный, когда движение совершается в двух противоположных направлениях.
Трудным
моментом является выбор метода, который приведет к решению задачи наикратчайшим
путем. Он, как правило, не однозначен и почти каждая задача допускает не одно
решение (имеется в виду не результат, а процесс). Рассуждения, используемые для
решения, могут быть чисто геометрические или позаимствованные из алгебры или
тригонометрии. К сожалению, приходится констатировать слабые знания учащимися
простейших утверждений, фактов, формул. Они затрудняются в измерении углов,
связанных с окружностью (вписанных, центральных, составленных хордой и
касательной, образованных хордами, пересекающимися внутри окружности, или
секущими, исходящими из одной точки вне окружности), не знают свойств
касательных и секущих, вписанных и описанных многоугольников, теорем синусов и
косинусов, связь значений тригонометрических функций с отношениями сторон
прямоугольного треугольника. Хорошо известно, что немаловажную роль в решении
геометрических задач имеет чертеж. Если он выполнен верно, то поможет в
правильном выборе решения, если ошибочен, то может навести на ложный путь.
Говоря об этом, мы не призываем к тому, чтобы включать в курс школьной
геометрии как можно больше теорем (на все случаи жизни), а предлагаем создавать
комплексы задач, сгруппированных по принципу общих идей или методов решения.
Решая задачу, следует обращать внимание учащихся на моменты, помогающие
правильно выбрать способ решения, прививать вкус к таким задачам, вселять веру
в их творческие возможности, развивать логические способности и интуицию.
Приведем
примеры задач, которые нам представляются интересными. Первые три задачи используют
подобие.
Задача
1. Прямоугольный треугольник АВС с катетами АС=3, ВС=2 вписан в квадрат.
Известно, что вершина А совпадает с вершиной квадрата, а вершины В и С лежат на
сторонах квадрата, не содержащих точку А. Найти площадь квадрата.
В силу
равенства отмеченных углов (рис.1) треугольник ACD подобен треугольнику CBE . Пусть AD=x,
тогда DC=. Так как
AD2+DC2=AC2, то x2+=9, x2=. Таким
образом, площадь квадрата равна .
Задача
2. На сторонах BC и CD квадрата ABCD выбраны соответственно точки E и F так,
что и К - точка
пересечения отрезков BF и AE. Найти отношение КЕ:АК.
Из подобия
треугольников (рис.2) AKB, BKE и ABE следует . Перемножив
равенства и , получим .
Эту
задачу можно решить с помощью гомотетии или теоремы Фалеса, но, на наш взгляд,
предложенное решение предпочтительнее.
Задача
3. Диаметр окружности с центром О лежит на стороне AD четырехугольника ABCD,
при этом АО=ОD. Три остальные стороны АВ, ВС и СD касаются этой окружности.
Найти AD, если АВ =а и CD=b.
Пусть в
треугольнике АВО (рис.3) ВАО= , АВО= ,
ВОА= и, следовательно, + + = . Так как
ВО - биссектриса угла СВА, то СВО= .
Если
Р и Q - точки касания, то APO= DQO (они прямоугольные, ОР=ОQ,
AO=OD) QDO= PAO= . Сумма углов
четырехугольника ABCD равна 2 , поэтому С=2 –2
–2 .
А
так как СО - биссектриса, то DCO= –( + )=
. Таким образом, треугольники АОВ и DCO подобны и . Отсюда
получаем равенства АО· OD=AB· CD=ab АО=OD= и AD=2.
А
в следующих двух задачах учащиеся должны вспомнить свойства вписанных и
описанных четырехугольников.
Задача
4. На стороне ВС параллелограмма ABCD выбрана такая точка Е, что =2. Известно,
что трапеция AECD обладает следующими свойствами:
1)
в нее можно вписать окружность;
2)
около нее можно описать окружность.
Найти
величину угла BAD.
В силу
свойств, которыми обладает трапеция AECD (рис.4), она равнобокая (АЕ=CD) и
2АЕ=ЕС+AD.
Пусть ВС=3а, тогда BE=2a, EC=a 2AE=EC+AD=4a CD=АЕ=2a.
Таким
образом, BEA - равносторонний ABC=60
BAD=120 .
Далеко
не все учащиеся могут доказать, почему трапеция, около которой можно описать
окружность, является равнобокой.
Задача
5.Сумма углов при основании ВС трапеции ABCD равна . Найти
величину , если
известно, что =10 и в
трапецию ABCD можно вписать окружность.
Пусть CF
AB (рис.5), тогда CF=AB и в силу условия задачи следует,
что
FCD=.
По
теореме косинусов
FD2=FC2+СD2-2FC·
СDcos
(AD–BC)2=AB2+СD2– AB· СD. (1)
Так
как в трапецию ABCD можно вписать окружность, то
AD+BC=AB+CD
(AD+BC)2=(AB+СD)2. (2)
Разделив
равенство (1) на равенство (2), получим
.
Разделив
далее числитель и знаменатель левой дроби на произведение AD· BC, а правой
части - на AB· СD, получим
.
Откуда,
положив =t, и
учитывая, что =10, имеем
t=7.
В
этой задаче при неудачном выборе решения оно может оказаться очень громоздким.
Весьма
поучительно, на наш взгляд, решение следующей задачи.
Задача
6. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена
биссектриса CL и медиана СМ. Найти площадь треугольника АВС, если LM=a, CM=b.
Пусть АС=х и
ВС=у , где х>y (рис.6), тогда х2+у2=4b2, и по свойству биссектрисы LB=AB= и,
следовательно, ML=MB–LB=b–=.
Таким
образом, приходим к системе
.
Решая
это уравнение относительно ху, находим S ABC= =.
Следует
обратить внимание учащихся на то, что из полученной системы уравнений искать
значения переменных х и · у совершенно излишне.
Задача
7. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, проведенная к нему
высота - 12 см. Вершины треугольника служат центрами кругов, каждый из которых
касается двух других внешним образом. Найти радиусы кругов, которые касаются
трех указанных кругов внешним и внутренним образом.
Пусть e, f, d,
k, h - точки касания, радиус окружности с центром в точке О1 равен r, а с
центром в точке О2 - R (рис.7). Так как AD=5, АВ=13,
то
BE=8, BО1=8+r, AО1=5+r, О1D=4–r.
Из
прямоугольного треугольника AO1D (5+r)2=25+(4–r)2, 18r=16, r=.
ВО2=R–8,
О2D=12–(R–8)=20–R, О2A=R–5,
и,
следовательно, из прямоугольного треугольника АО2D имеем
(R–5)2=(20–R)2+25
R==13.
Здесь
следует напомнить учащимся, что прямая, проходящая через центры двух касающихся
окружностей, проходит через точку их касания.
В
заключение приведем одну задачу на доказательство, которая требует от учащихся
достаточно высокой логической культуры.
Задача
8. Докажите, что треугольник является равнобедренным в том и только в том
случае, когда равны биссектрисы двух внутренних углов.
Если
в треугольнике АВС (рис.6) АВ=ВС, то углы А и С равны и равны треугольники ВАЕ
и ВСD, так как В - общий и ВАЕ= ВСD, следовательно,
АЕ=СD.
Докажем
справедливость обратного утверждения. Пусть биссектрисы AE и CD углов А и С
треугольника АВС равны. Докажем, что А= С. S АВС=S
ВАЕ+S ЕАС АВ· АС· sinА=АВ· АЕ· sin+АЕ· АС· sin 2·
АВ· АСcos=(АВ+АС)АЕ
АЕ=.
Разделив
числитель и знаменатель дроби на произведение АВ· АС и обозначив
АВ=с,
АС=b, ВС=a, получим , аналогично,
биссектриса .
Если
допустить, что А С, например, А>cos и а>
AE>CD, получили противоречие.
Приведенные
в статье задачи предлагались на вступительных экзаменах в различных вузах
России, в том числе, в Ярославском госуниверситете.
Список литературы
Пойа
Д., Как решать задачу, М.: Учпедгиз,1961,207 с.
Смирнов
Е.И., Технология наглядно-модельного обучения математике, Ярославль,1997,323с.
Чаплыгин
В.Ф., Чаплыгина Н.Б., Задачи вступительных экзаменов по математике, Ярославль,
1991,140с.
Чаплыгин
В.Ф., Чаплыгина Н.Б., Задачи вступительных экзаменов по алгебре и геометрии,
Ярославль, 1999,112с.
Сборник
задач по математике для поступающих в вузы (под ред. Прилепко А.И.), М.: Высшая
школа,1989,271с.
Зафиевский
А.В., Вступительные экзамены по математике в 1998году, Ярославль, 1999,36с.
Лидский
В.Б., Овсянников Л.В., Тулайков А.Н., Шабунин М.Н., Задачи по элементарной
математике, М.: Физматгиз, 1960, 463с.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.yspu.yar.ru