Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики СОДЕРЖАНИЕ Общая постановка задачи Постановка тестовых задач Методика решения тестовых задач Результаты вычислений Список литературы Приложения Приложение 1: Описание программы Приложение 2: Текст программы 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Перенос тепла (или вещества) теплопроводностью (для вещества соответственно диффузией) и конвекцией описывается дифференциальным уравнением параболического типа: ( 1 )
где температура (или концентрация). Пусть являются некоторыми константами и . Уравнение (1) при указанных выше предположениях называется модельным уравнением диссипации, конвекции и кинетики. Слагаемые правой части имеют следующий физический смысл:
- соответствует переносу тепла теплопроводностью (или вещества диффузией); - соответствует конвективному переносу;
- "кинетический член", соответствует источнику, пропорционально му температуре или концентрации; - интенсивность внешних источников или стоков.
В дальнейшем будем рассматривать только тепловую интерпретацию уравнения (1). Численное решение уравнения (1) будем искать в области : ( 2 )
при заданных начальных значениях температуры: ( 3 ) и граничных условиях.
Граничные условия описывают режимы теплообмена с внешней средой: при ; при . 2. ПОСТАНОВКА ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ
В качестве тестовых задач для температуры мною были выбраны следующие пять функций: ( 9 ) ( 10 ) ( 11 ) ( 12 ) ( 13 ) Для функции (9) имеем: Для функции (10): Для функции (11): Для функции (12): Для функции (13):
Данные функции тестировались на отрезке по X: [0, 1], по времени: [0, 1], с количеством разбиений по этим отрезкам - 30. 3. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ
Данная задача решается с помощью двухслойной неявно конечно-разностной схемы. Схема реализуется в три этапа.
1 этап: находятся предварительные значения с помощью 4-х точечной неявной схемы: ( 5 )
2 этап: используется за два шага. Сначала находятся на полученном слое () с шагом , а затем через . В этом случае используется 4-х точечная неявная разностная схема: ( 6 ) ( 7 )
3 этап: окончательные значения находятся в виде линейной комбинации двух предварительных значений: ( 8 )
Для решения (1) воспользуемся формулами (5) - (8). Данные уравнения представляют трех диагональные матрицы, решаемые методом скалярной прогонки. В начале нужно преобразовать (5) – (7) к виду: ( 14 ) Тогда (5) примет вид: Т. е. ; ; ; . Формула (6) преобразуется в: Т. е. ; ; ; . Формула (7) преобразуется в: Т. е. ; ; ; . Далее решаем по формулам скалярной прогонки: ( 15 ) ( 16 )
Для определения , и воспользуемся данными граничными условиями, т. е. формулой (4) и функцией . Так если мы берём из формулы (9), то имеем: Приведём это выражение к виду: . Т. е. теперь мы имеем и : Далее найдем конечное : ( 18 )
Проведя аналогичные расчёты для заданных формулами (10) – (13), мы получим соответствующие , и . Далее мы можем решить системы методом прогонки и получить требуемый результат. 4. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
В результате проведённых испытаний программа показала свою высокую надёжность. Были получены следующие данные.
При расчёте с использованием функции и входных данных ; ; ; ; ; ; на отрезке по X и по времени [0, 1] с шагом 0, 033 был получен результат с ошибкой равной 0, 0675. Для функции при ; ; ; ; ; ; , на том же промежутке, ошибка составляет 0, 055. С функцией и ; ; ; ; ; ; ошибка примет значение 0, 0435.
При и условиях ; ; ; ; ; ; в результате возникает ошибка равная 0, 0055. И, наконец, если выбрана функция и ; ; ; ; ; ; , то ошибка составит 0, 00255. Т. е. можно сказать, что мы имеем результат с первым порядком точности. Столь малую точность можно объяснить тем, что производная, найденная при граничных условиях, так же имеет первый порядок точности. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
А. Епанешников, В. Епанешников Программирование в среде Turbo-Pascal 7. 0. - М. : Диалог - Мифи, 1996. - 288 с. Петухова Т. П. , Сибирцев В. В. Пакет прикладных программ для численного моделирования процессов тепло- и массопереноса. – Караганда: Изд-во КарГУ. 1993
Фигурнов В. Э. IBM PC для пользователя. - М. : Инфра - М, 1995. - 432 с. Приложение 1 ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ
Поставленная задача была программно реализована на языке программирования Turbo-Pascal 7. 0. В состав программы входят следующие файлы: basis. pas - PAS-файл основной части программы (решение системы уравнений методом скалярной прогонки);
basis. v&v - EXE-файл основной части программы (вызывается из START. PAS); fun. bmp - BMP-фаил с изображением функций;
inform. v&v - TXT-фаил с информацией о программе (вызывается из START. PAS); music. v&v - музыкальный EXE-фаил (вызывается из START. PAS); my_menu. pas - UNIT для создания меню; sea. exe - программа для просмотра графических файлов; start. pas - файл для запуска всей программы; u - файл с результатами работы; zastavka. v&v - EXE-фаил с заставкой к основной программе (вызывается из START. PAS).
Файл START является, как бы оболочкой программы, из которой вызываются другие файлы. Сам процесс решения содержится в файле BASIS. BASIS содержит следующие процедуры и функции: Function Fun_U (Xm, t: real): real;
Вход: значение по X и значение по времени t, а также глобальная переменная выбранной функции SelectFunction.
Действие: вычисляет точное значение функции U при заданных X и t. Выход: Fun_U – значение функции. Function Fun_F (Xm, t, a, b, v: real): real;
Вход: значение по X, по времени t, коэффициенты , , и номер выбранной функции SelectFunction.
Действие: вычисляет значение функции F при заданных X, t, , , . Выход: Fun_F – значение функции F. Function Betta_Zero (time: real): real;
Вход: значение времени t и глобальные коэффициенты , , , номер выбранной функции SelectFunction.
Действие: вычисляет , используемое в методе скалярной прогонки. Выход: Betta_Zero – значение . Function U_End (time, Alf, Bet: real): real;
Вход: значение времени t, , и глобальные коэффициенты , , , номер выбран ной функции SelectFunction.
Действие: вычисляет используемое в методе скалярной прогонки. Выход: U_End – значение . Procedure PrintArray; Вход: использует глобальный массив данных U_m. Действие: выдает содержимое U_m на экран и в файл. Выход: вывод U_m. Приложение 2 ТЕКСТ ПРОГРАММ Ы Основная часть программы выглядит так: Program Basis; Uses Crt; { Подключение библиотек } Label Metka1, Metka2; { Метки } Var
a, b, v : real; { Коэффициенты, задаются пользователем } h, tau : real; { Шаг по X и по времени соответственно } X, x0 : real; { Конечное и начальное значение X }
m, n, k : word; { Переменные используемые в циклах для расчета } T, t0 : real; { Конечное и начальное значение времени } Kol_voX, Kol_voT : word; { Количество разбиений по X и по времени } U_m, U_, _U_1_2, _U_1 : array [0...200] of real; { Массивы результатов } z : array [0...200] of real; { Массив точных решений } Xm : real; { Промежуточный X }
Alfa, Betta : array [0...200] of real; { Массив коэффициентов используемых при скалярной прогонке }
a_progonka, b_progonka, c_progonka, d_progonka : real; { Коэффициенты для скалярной прогонки } Error : real; { Значение ошибки } time : real; { Переменная времени } ch : char; { Код нажатой клавиши } SelectFunction: word; { Номер выбранной функции }
U : text; { Переменная для вывода результата в файл } Alfa_1, Alfa_2, Betta_1, Betta_2 : real; { Коэффициенты граничных условий } Data : word; { Переменная режима ввода начальных данных }
Function Fun_U (Xm, t: real): real; { Функция U (точное решение) } begin If SelectFunction=1 then Fun_U: =SQR(Xm)*Xm+SQR(t);
If SelectFunction=2 then Fun_U: =SQR(Xm)*SQR(t)*t+10*Xm*t+SQR(SQR(t))*Xm; If SelectFunction=3 then Fun_U: =Xm*SIN(Xm*t)-4*SQR(Xm)*COS(t); If SelectFunction=4 then Fun_U: =t*EXP(Xm); If SelectFunction=5 then Fun_U: =SIN(Xm)+EXP(t); end; Function Fun_F (Xm, t, a, b, v: real): real; { Функция F } begin
if SelectFunction=1 then Fun_F: =2*t-v*6*Xm+a*3*SQR(Xm)-b*(SQR(Xm)*Xm+SQR(t)); if SelectFunction=2 then Fun_F: =3*SQR(Xm)*SQR(t)+10*Xm+4*SQR(t)*t*Xm-v*2*SQR(t)*t+
a*(2*Xm*SQR(t)*t+10*t+SQR(SQR(t)))-b*(SQR(Xm)*SQR(t)*t+10*Xm*t+Xm*SQR(SQR(t))); if SelectFunction=3 then Fun_F: =SQR(Xm)*COS(Xm*t)+4*SQR(Xm)*SIN(t)-v*(2*COS(Xm*t)*t
Xm*SIN(Xm*t)*SQR(t)-8*COS(t))+a*(SIN(Xm*t)+Xm*t*COS(Xm*t)-8*COS(t)*Xm) b*(Xm*SIN(Xm*t)-4*SQR(Xm)*COS(t));
if SelectFunction=4 then Fun_F: =EXP(Xm)-v*(t*EXP(Xm))+a*(t*EXP(Xm))-b*(t*EXP(Xm));
if SelectFunction=5 then Fun_F: =EXP(t)-v*(-SIN(Xm))+a*(COS(Xm))-b*(SIN(Xm)+EXP(t)); end;
Function Betta_Zero (time: real): real; { Функция Betta[0] для прогонки } begin
If SelectFunction=1 then Betta_Zero: =(h/(Betta_1*h-Alfa_1))*(Alfa_1*3*SQR(x0)+ Betta_1*(SQR(x0)*x0+SQR(time)));
If SelectFunction=2 then Betta_Zero: =(h/(Betta_1*h-Alfa_1))*(Alfa_1*(2*x0*SQR(time)*time+ 10*time+SQR(SQR(time)))+Betta_1*(SQR(x0)*SQR(time)*time+10*x0*time+SQR(SQR(time))*x0)); If SelectFunction=3 then Betta_Zero: =(h/(Betta_1*h-Alfa_1))*(Alfa_1*(SIN(x0*time)+
x0*time*COS(x0*time)-8*x0*COS(time))+Betta_1*(x0*SIN(x0*time)-4*SQR(x0)*COS(time))); If SelectFunction=4 then Betta_Zero: =(h/(Betta_1*h-Alfa_1))*(Alfa_1*(time*EXP(x0))+ Betta_1*(time*EXP(x0)));
If SelectFunction=5 then Betta_Zero: =(h/(Betta_1*h-Alfa_1))*(Alfa_1*(COS(x0))+ Betta_1*(SIN(x0)+EXP(time))); end;
Function U_End (time, Alf, Bet: real): real; { Функция Um для прогонки } begin
If SelectFunction=1 then U_End: =(Alfa_2*h*3*SQR(X)+Betta_2*h*(SQR(X)*X+SQR(time)) + Bet*Alfa_2)/(Alfa_2-Alf*Alfa_2+h*Betta_2);
If SelectFunction=2 then U_End: =(Alfa_2*h*(2*X*SQR(time)*time+10*time+SQR(SQR(time)))+ Betta_2*h*(SQR(X)*SQR(time)*time+10*X*time+SQR(SQR(time))*X) +Bet*Alfa_2)/(Alfa_2-Alf*Alfa_2+h*Betta_2);
If SelectFunction=3 then U_End: =(Alfa_2*h*(SIN(X*time)+X*time*COS(X*time)-8*X*COS(time))+ Betta_2*h*(X*SIN(X*time)-4*SQR(X)*COS(time))+Bet*Alfa_2)/(Alfa_2-Alf*Alfa_2+h*Betta_2); If SelectFunction=4 then U_End: =(Alfa_2*h*(time*EXP(X))+Betta_2*h*(time*EXP(X))+Bet*Alfa_2)/ (Alfa_2-Alf*Alfa_2+h*Betta_2);
If SelectFunction=5 then U_End: =(Alfa_2*h*(COS(X))+Betta_2*h*(SIN(X)+EXP(time))+Bet*Alfa_2)/ (Alfa_2-Alf*Alfa_2+h*Betta_2); end; Procedure PrintArray; { Процедура печати массива U } begin
WriteLn; For m: =0 to Kol_voX do begin Write(U_m[m]: 15: 4); Write(U, U_m[m]: 15: 4); end; WriteLn; WriteLn(U); end; { Основная программа } Begin Assign(U, 'u'); { Файл для записи значений функции } Rewrite(U); { Открытие файла для записи } TextBackGround(0); { Выбор функции для работы }
ClrScr; TextColor(10); GoToXY(20, 8); Write('Введите номер выбранной функции (1-5): '); Metka1: ch: =ReadKey; If ch='1' then SelectFunction: =1 else If ch='2' then SelectFunction: =2 else If ch='3' then SelectFunction: =3 else If ch='4' then SelectFunction: =4 else If ch='5' then SelectFunction: =5 else begin Sound(400); Delay(100); NoSound; GoTo Metka1; end;
GoToXY(59, 8); TextColor(12); WriteLn(SelectFunction); TextColor(11); GoToXY(11, 12);
Write('Вы будете работать со стандартными параметрами (цифра ~1~)'); GoToXY(22, 13); Write('или введете свои данные (цифра ~2~) ? '); Metka2: ch: =ReadKey; If ch='1' then Data: =1 else If ch='2' then Data: =2 else begin Sound(400); Delay(100); NoSound; GoTo Metka2; end; TextBackGround(9); TextColor(10); ClrScr; { Ввод начальных данных }
WriteLn; WriteLn('-------------------------------- Ввод данных ---------------------------------¬'); For k: =1 do 21 do WriteLn('¦ ¦');
WriteLn('L------------------------------------------------------------------------------'); TextColor(15); Window(3, 3, 77, 23); Write(' Введите область рассчета по X от: '); If Data=1 then begin x0: =0; Write(x0: 1: 0); WriteLn; end else ReadLn(x0); Write(' до: '); If Data=1 then begin X: =1; Write(X: 1: 0); WriteLn; end else ReadLn(X);
WriteLn; Write(' Введите количество разбиений по направлению X: '); If Data=1 then begin Kol_voX: =30; Write(Kol_voX: 2); WriteLn; end else ReadLn(Kol_voX);
WriteLn; WriteLn; Write(' Введите область рассчета по времени от: '); If Data=1 then begin t0: =0; Write(t0: 1: 0); WriteLn; end else ReadLn(t0); Write(' до: ');
If Data=1 then begin T: =1; Write(T: 1: 0); WriteLn; end else ReadLn(T); WriteLn; Write(' Введите количество разбиений по времени: '); If Data=1 then begin Kol_voT: =30; Write(Kol_voT: 2); WriteLn; end else ReadLn(Kol_voT);
WriteLn; WriteLn; WriteLn(' Введите коэффициенты'); Write(' a='); If Data=1 then begin a: =1; Write(a: 1: 0); WriteLn; end else ReadLn(a); Write(' b=');
If Data=1 then begin b: =1; Write(b: 1: 0); WriteLn; end else ReadLn(b); Write(' v=');
If Data=1 then begin v: =0. 001; Write(v: 1: 3); WriteLn; end else ReadLn(v); Write(' Alfa-1=');
If Data=1 then begin Alfa_1: =1; Write(Alfa_1: 1: 0); WriteLn; end else ReadLn(Alfa_1); Write(' Betta-1=');
If Data=1 then begin Betta_1: =1; Write(Betta_1: 1: 0); WriteLn; end else ReadLn(Betta_1); Write(' Alfa-2=');
If Data=1 then begin Alfa_2: =1; Write(Alfa_2: 1: 0); WriteLn; end else ReadLn(Alfa_2); Write(' Betta-2=');
If Data=1 then begin Betta_2: =1; Write(Betta_2: 1: 0); WriteLn; TextColor(14); Write(' Нажмите любую клавишу'); ReadKey; end else ReadLn(Betta_2); { Интерфейс экрана при выдаче результата }
TextBackGround(3); TextColor(1); Window(1, 1, 80, 25); ClrScr; WriteLn; WriteLn('г===================== Результат ==========================¬'); For k: =1 to 21 do WriteLn('¦ ¦');
WriteLn('===================================================================-'); TextColor(0); TextBackGround(7); GoToXY(2, 23);
WriteLn(' Для продолжения нажмите любую клавишу'); TextBackGround(3); Window(3, 4, 77, 22); TextColor(15); ClrScr; { Вычесление шага сетки } tau: =(T-t0)/Kol_voT; h: =(X-x0)/Kol_voX; { Ввод данных при time=t0 } For m: =0 to Kol_voX do begin Xm: =x0+h*m; U_m[m]: =Fun_U(Xm, t0); end;
TextColor(14); WriteLn('Время равно ', time: 3: 3); TextColor(15); WriteLn(U, 'Время равно ', time: 3: 3); PrintArray; { Начало рассчета } time: =t0; Repeat time: =time+tau;
WriteLn; TextColor(14); WriteLn('Время равно ', time: 3: 3); TextColor(15); WriteLn(U, 'Время равно ', time: 3: 3); { 1 этап. Решается методом скалярной прогонки } a_progonka: =(-2*v-a*h)/(2*SQR(h)); b_progonka: =(SQR(h)+2*v*tau-b*tau*SQR(h))/(SQR(h)*tau); c_progonka: =(a*h-2*v)/(2*SQR(h));
Alfa[0]: =Alfa_1/(Alfa_1-Betta_1*h); Betta[0]: =Betta_Zero(time); For m: =1 to Kol_voX-1 do begin Alfa[m]: =-c_progonka/(a_progonka*Alfa[m-1]+b_progonka);
Betta[m]: =(Fun_F(x0+m*h, time+tau, a, b, v)+U_m[m]/tau-a_progonka*Betta[m-1])/ (a_progonka*Alfa[m-1]+b_progonka); end;
U_[Kol_voX]: =U_End(time, Alfa[Kol_voX-1], Betta[Kol_voX-1]);
For m: =Kol_voX-1 downto 1 do U_[m]: =Alfa[m]*U_[m+1]+Betta[m]; U_[0]: =Alfa[0]*U_[1]+Betta[0]; { 2 этап, часть первая. Решается методом скалярной прогонки } a_progonka: =(-2*v-a*h)/(2*SQR(h)); b_progonka: =(2*SQR(h)+2*v*tau-b*tau*SQR(h))/(SQR(h)*tau); c_progonka: =(a*h-2*v)/(2*SQR(h));
Alfa[0]: =Alfa_1/(Alfa_1-Betta_1*h); Betta[0]: =Betta_Zero(time); For m: =1 to Kol_voX-1 do begin Alfa[m]: =-c_progonka/(a_progonka*Alfa[m-1]+b_progonka);
Betta[m]: =(Fun_F(x0+m*h, time+tau/2, a, b, v)+2*U_m[m]/tau-a_progonka*Betta[m-1])/ (a_progonka*Alfa[m-1]+b_progonka); end;
_U_1_2[Kol_voX]: =U_End(time, Alfa[Kol_voX-1], Betta[Kol_voX-1]); For m: =Kol_voX-1 downto 1 do _U_1_2[m]: =Alfa[m]*_U_1_2[m+1]+Betta[m]; _U_1_2[0]: =Alfa[0]*_U_1_2[1]+Betta[0];
{ 2 этап, часть вторая. Решается методом скалярной прогонки } a_progonka: =(-2*v-a*h)/(2*SQR(h)); b_progonka: =(2*SQR(h)+2*v*tau-b*tau*SQR(h))/(SQR(h)*tau); c_progonka: =(a*h-2*v)/(2*SQR(h));
Alfa[0]: =Alfa_1/(Alfa_1-Betta_1*h); Betta[0]: =Betta_Zero(time); For m: =1 to Kol_voX-1 do begin Alfa[m]: =-c_progonka/(a_progonka*Alfa[m-1]+b_progonka);
Betta[m]: =(Fun_F(x0+m*h, time+tau, a, b, v)+2*_U_1_2[m]/tau-a_progonka*Betta[m-1])/ (a_progonka*Alfa[m-1]+b_progonka); end;
_U_1[Kol_voX]: =U_End(time, Alfa[Kol_voX-1], Betta[Kol_voX-1]); For m: =Kol_voX-1 downto 1 do _U_1[m]: =Alfa[m]*_U_1[m+1]+Betta[m]; _U_1[0]: =Alfa[0]*_U_1[1]+Betta[0]; { 3 этап. Окончательное значение } For m: =0 to Kol_voX do U_m[m]: =2*_U_1[m]-U_[m];
PrintArray; { Вывод результата на экран и его запись в файл } For m: =0 to Kol_voX do { Рассчет точного значения функции } begin z[m]: =Fun_U(x0+m*h, time); end; { Вывод ошибки расчета на экран и в файл } Error: =0; For m: =0 to Kol_voX do begin a: =Abs(U_m[m]-z[m]); If Error end;
WriteLn; TextColor(4); WriteLn('Максимальная ошибка для этого времени равна ', Error: 10: 7);
TextColor(15); WriteLn(U, 'Максимальная ошибка для этого времени равна ', Error: 15: 13); WriteLn(U); ReadKey; Until time>T; Close(U); { Закрытие файла с результатами } End.