ЧТО ЖЕ ТАКОЕ МАТЕМАТИКА? На вопрос "Что же такое математика? ", как и на вопрос "Что
же такое философия" ответить однозначно и конкретно в прин ципе не возможно. Эти две области мировоззрения весьма об ширны и постоянно богатеют все новыми и новыми идеями, так что даже для того чтобы сделать только поверхностный обзор математики потребуется очень много времени, поэтому этим я заниматься не буду, а рассмотрю со своей точки зрения, опи раясь на точку зрения Канта, только небольшой вопрос касаю щийся математики и может частично (далеко не полностью) по пытаюсь ответить, что же все таки такое математика. Всякая математика по Канту имеет приложение только к об
ласти явлений, а математика чистая т. е. теоретическая, только к априорно-созерцательным формам, будучи ими же по рождена. Кант отрицает, что математические построения отра жают свойства объективной реальности. Он прав, полагая, что собственно геометрическое пространство реально вне нас не существует, а абсолютное пространство Ньютона не реально. У Канта пространство и время тоже "абсолютны", но уже в том смысле, что абсолютно не зависят ни от вещей в себе, ни от чувственной эмпирии. Однако очень трудной задачи выяснения статуса математических абстракций и их отношения к действи тельности он разрешить не смог. Хотя исторически арифметика и геометрия выросли из практического опыта древних, но исходными пунктами при аксиоматическом построении математи ческих дисциплин оказываются не индуктивные обобщения и во многих случаях даже не идеализирующие абстракции от этих обобщений, а так называемые чистые идеальные конструкты. - 2
Правда, в случае, например, геометрии Евклида, в единствен ности и абсолютной универсальности которой у Канта в общем нет сомнений, ее аксиомы и постулаты в совокупности представляют собой гносеологически еще более сложное образо вание, будучи совокупным результатом идеализируещего абстра гирования и идеального, т. е. чисто абстрактного, конструиро вания. В последнем случае отражение объективной реальности в теории происходит "окольным" путем приблизительной интерпре тации. Только физическая интерпретация, проверяемая затем в практике научных экспериментов, в состоянии решить, какая из известных ныне геометрических систем истинна, т. е. соот ветствует свойствам реального физического пространства. За метим так же, что изображенная Кантом структура математики, которая включает в себя не только чувственную интуицию и синтезирующую конструкцию, но и аналитичность, как бы по частям возродилась в интуиционистском, конструктивистском и чисто аналитическом направлениях философии математики ХХ в. Но каждое из этих направлений односторонне. Важный вопрос заключается в том, можно ли считать, что от
крытие Лобачевским неевклидовых геометрий в принципе подор вало учение об априорности пространства, поскольку оно пока зало, что тезис об априорной общеобязательности геометрии Евклида как единственного будто бы возможного для всякого субъекта способа восприятия чувственных феноменов не имеет силы. Лобачевский не отрицал эмпирической предпочтительности ге
ометрии Евклида как геометрии обычного восприятия и привыч ного для нас макромира, и эту-то "привилегированность" и закрепленную в филогенезе "очевидность" евклидовского виде ния пространства Кант как раз и пытался объяснить посредством априоризма, так что неокантианец Э. Кассирер уви дел в открытии Лобачевского даже подтверждение кантианской позиции. Конечно зависимость выбора между неевклидовыми гео - 3
метриями от физических и предметных интерпретаций наносит по априоризму "критического" Канта сильный удар. Однако сам факт создания подобных геометрий не столько побуждает к его модификациям: ведь метод идеальных конструктов в современной математике и освобождение абстрактных геометрических постро ений наших дней от остатков былой "воззрительности" в первом приближении с априористской иллюзией совместимы. Кант был знаком через Ламберта с допущениями математиков насчет воз можности неевклидовых постулатов и писал: ".... возможно, что некоторые существа способны созерцать те же предметы под другой формой, чем люди". Уже это его допущение свидетельст вует о том, что, кроме однозначного априоризма и конвенциа нолизма, идеализм в математике способен апеллировать и к иным гносеологическим построениям. Однако тезис общей тео рии, относительности, что выбор той или иной геометрии есть физическая проблема, а также вывод из этой теории, что при определенных условиях распределения масс во Вселенной ее пространство имеет именно неевклидовую структуру, подрывают априоризм в самой его основе.