Балансовая модель

БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель–проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры. ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называютпроизводственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).
Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через yi –конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т. д. ).
Таким образом, разность xi - yi составляет часть продукции i-йотрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.
Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk. Таблица 1 № потребление итого на конечный валовый отрас. внутре продукт выпуск производ. ( уi ) ( хi ) № 1 2 … k … n потребление отрас. (е хik ) 1 х11 х12 … х1k … х1n е х1k у1 х1 2 х21 х22 … х2k … х2n е х2k у2 х2 … … … … … … … … … … i хi1 xi2 … xik … xin е xik yi xi … … … … … … … … … … n xn1 xn2 … xnk … xnn е xnk yn xn итого произв. затраты е хi1 е xi2 … е xik … е xin в k-ю отрасль
Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами : х1 - ( х11 + х12 + … + х1n ) = у1 х2 - ( х21 + х22 + … + х2n ) = у2 ( 1 ) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . xn - ( xn1 + xn2 + … + xnn ) = yn
Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.
Будем снабжать штрихом ( х’ik , y’iи т. д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха–аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде. Будем называть совокупность значений y1 , y2 , … , yn , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором : _ у = ( у1 , у2 , … , yn ) , ( 2 )
а совокупность значений x1 , x2 , … , xn , определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом : _ x = ( x1 , x2 , … , xn ). ( 3 )
Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектору необходимый для его обеспечения вектор-план х, т. к. кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою очередь зависят от xk. Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений : xik aik = ––– ( i , k = 1 , 2 , … , n ). xk
Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-йотраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этойk-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aikпостоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т. е. , что x’ik xik ––– = ––– = aik = const ( 4 ) x’k xk Исходя из этого предложения имеем xik = aikxk , ( 5 )
т. е. затраты i-й отрасли в k-юотрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпускаxk. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат. Рассчитав коэффициенты прямых затрат aikпо формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу a11 a12 … a1k … a1n a21 a22 … a2k … a2n A= …………………. ai1 ai2 … aik … ain an1 an2 … ank … ann
которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aikэтой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенстваА>0 и называют такую матрицу неотрицательной.
Заданием матрицы Аопределяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл. 1
Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель : x1 - ( a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ) = y1
x2 - ( a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ) = y2 ( 6 ) …………………………………… xn - ( an1x1 + an2x2 + … + annxn ) = yn ,
характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл. 1 Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений: _ _ _ Е·х - А·х = У , или окончательно _ _ ( Е - А )·х = У , ( 6' ) где Е – единичная матрица n-го порядка и 1-a11 -a12 … -a1n E - A= -a21 1-a22 … -a2n ………………… -an1 -an2 … 1-ann
Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( xi и yi ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n - переменных. Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y1 , y2 , … , yn ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х1 , х2 , … хn ). Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей: табл. 2
№ отрас Потребление Итого Конечный Валовый № затрат продукт выпуск отрас 1 2 0. 2 0. 4 1 100 160 260 240 500 0. 55 0. 1 2 275 40 315 85 400 Итого затрат 575 в k-ю 375 200 отрасль … 575
Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл. 2
Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат: 100 160 275 40
а11 = –––– = 0. 2 ; а12 = –––– = 0. 4 ; а21 = –––– = 0. 55 ; а22 = –––– = 0. 1 500 400 500 400
Эти коэффициенты записаны в табл. 2 в углах соответствующих клеток. Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл. 2 х1 - 0. 2х1 - 0. 4х2 = у1 х2 - 0. 55х1 - 0. 1х2 = у2
Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т. д.
Так, например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т. д. РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ. Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).
Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т. е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6' ) допустимым решением. Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя. Так, например, если 0. 9 0. 8 0. 1 -0. 8 и уравнение ( 6' ) А= , то Е - А = 0. 6 0. 9 -0. 6 0. 1
запишется в виде 0. 1 -0. 8 х1 у1 или в развернутой форме -0. 6 0. 1 х2 у2 0. 1х1 - 0. 8х2 = у1 ( a ) -0. 6х1 + 0. 1х2 = у2 Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение -0. 5х1 - 0. 7х2 = у1 + у2,
которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если только у1>0 и у2>0 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ). Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ). Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.
Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )·х>0, т. е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решениеx>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение. При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной.
Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )·х' = У', где вектор-планх' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.
Обозначив обратную матрицу ( Е - А )-1 через S = || sik+ ||, запишем решение уравнения ( 6'' ) в виде _ _ х = S·У ( 7 )
Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E - A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х. Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме: x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn x2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn ( 8 ) ……………………………… xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ЗАТРАТЫ. Выясним экономический смысл элементов Sik матрицы S.
Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т. е. 1 _ 0 У1 = : 0 Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим 1 S11 _ 0 S21 _ х = S : = : = S1 0 Sn1 0 _ 1 задавшись ассортиментным вектором У2 = 0 , получим : 0 0 S12 _ 1 S22 _ х = S : = : = S2 0 Sn2
Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, составит 0 S1k _ : S2k _ х = S 1 = : = Sk , ( 9 ) : Snk 0 т. е. k-й столбец матрицы S. Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:
Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2=S2k и т. д. , в i-й отрасли выпустить xi=Sik и, наконец, в n-й отрасли выпустить xn=Snk единиц продукции. Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта, то величины S1k, S2k, …, Sik, …, Snk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т. д. , n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k, a2k, …, aik, …, ank на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственноk-йотраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукцияi-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве aik, то производство k-йотрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли (a1k ), 2-й отрасли (a2k) и т. д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той жеi-й отрасли ( ai1, ai2, … и т. д. ). Проиллюстрируем сказанное на примере табл. 2 Пусть нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл. 2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х2=1 ) затрачивается: продукции 1-й отрасли a12=0. 4 и 2-й отрасли a22=0. 1. Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0. 4100=40 ? Конечно, нельзя, т. к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а11=0. 2 ), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0. 240=48. Однако и эта цифра неверна, т. к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли– х1'=48 и т. д. Но дело не только в этом. Согласно табл. 2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив у1=0 и у2=1 ( см п. 2 ): 0. 8х1 - 0. 4х2 = 0 -0. 55х1 + 0. 9х2 = 1
Решив эту систему, получим х1=0. 8 и х2=1. 5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х1=0. 8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S12. Таким образом, если а12=0. 4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и были названыпрямые затраты ), то S12 учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые ( а12 ), так и косвенные затраты, реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Этикосвенные затраты составляют S12-a12=0. 8-0. 4=0. 4 Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а12=0. 4 при х2=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта. Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые ( aik ), так и косвенные ( Sik - aik ) затраты. Очевидно, что всегда Sik > aik.
Если необходимо выпустить уk единиц k-гоконечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы ( 8 ): x1 = S1k·yk, x2 = S2k·yk, …, xn = Snk·yk , что можно записать короче в виде: _ _ x = Sk·yk ( 10 )
Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортимент _ у1
ным вектором У = : , то валовый выпуск k-й отрасли xk, необходимый для его уn
обеспечения, определится на основании равенств ( 10 ) как скалярное произведение столбцаSk на вектор У, т. е. _ _
xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sk·y , ( 11 ) а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы S на вектор У. Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат S, можно по формулам ( 7 ) –( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном вектореУ.
Можно также определить, какое изменение в вектор-плане Dх = ( Dх1, Dх2, …, Dхn ) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта DУ = ( Dу1, Dу2, …, Dуn ) по формуле: _ _ Dх = S·DУ , ( 12 )
Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой табл. 2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат: 0. 4 А = 0. 55 0. 1 Следовательно, 1 -0. 2 -0. 4 0. 8 -0. 4 Е - А = = -0. 55 1 -0. 1 -0. 55 0. 9 Определитель этой матрицы 0. 8 -0. 4 D [ E - A ] = = 0. 5 -0. 55 0. 9 Построим присоединенную матрицу ( Е - А )*. Имеем: 0. 9 0. 4 ( Е - А )* = , 0. 55 0. 8
откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей: 1 0. 9 0. 4 1. 8 0. 8 S = ( Е - А )-1 = ––– = 0. 5 0. 55 0. 8 1. 1 1. 6
Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли, составляет S11=0. 8 и S21=1. 5. Сравнивая с прямыми затратами а11=0. 2 и а21=0. 55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1. 8-0. 2=1. 6 и 1. 1-0. 55=0. 55.
Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы конечного продукта 2-й отрасли равны S12=0. 8 и S22=1. 5, откуда косвенные затраты составят 0. 8-0. 4=0. 4 и 1. 6-0. 1=1. 5. Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й и 170 единиц 2-й отраслей.
Тогда необходимый валовый выпуск х = х1 найдется из равенства ( 7 ): х2 _ _ 1. 8 0. 8 480 1000 х = S·У = · = 1. 6 170 800 . ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т. Д.
Расширим табл. 1, включив в нее, кроме производительных затрат xik, затраты труда, капиталовложений и т. д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т. д. дополнительные строки. Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через xn+1, k, и затраты капиталовложений – через xn+2, k ( где k = 1, 2, …, n ). Подобно тому как вводились прямые затраты aik, xn+1, k
введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an+1, k = ––––– , и xk xn+2, k
капиталовложений an+2, k = ––––– , представляющих собой расход соответствующего xk
ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-йотраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу ( т. е. дописав их в виде дополнительных строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат: a11 a12 … a1k … a1n a21 a22 … a2k … a2n основная часть матрицы ………………………………… А' = ai1 ai2 … aik … ain ………………………………… an1 an2 … ank … ann an+1, 1 an+1, 2 … an+1, k … an+1, n an+2, 1 an+2, 2 … an+2, k … an+2, n дополнительные строки
При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы ( структурная матрицаА). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.
Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т. е. _ 1 У = 0 : 0 . Для этого требуется валовый выпуск продукции S11 _ _ S21 x = S1 = : Sn1
Подсчитаем необходимые при этом затраты труда Sn+1, 1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов an+1, k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12, …, S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1, 1S11, во 2-ю – an+1, 2S21 и т. д. , наконец в n-ю отрасль an+1, nSn1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят: _ _
Sn+1, 1 = an+1, 1S11 + an+1, 2S21 + … + an+1, nSn1 = an+1S1 ,
т. е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки расширенной матрицы А', которую обозначим an+1, на 1-й столбец матрицы S. Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят: _ _ Sn+1, k = an+1Sk ( 13 )
Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентамполных затрат капиталовложений: _ _ Sn+2, k = an+2Sk ( 14 )
Теперь можно дополнить матриц S строками, состоящими из элементов Sn+1, k и Sn+2, k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:
S11 S12 … S1k … S1n матрица коэффициентов S21 S22 … S2k … S2n полных внутрипроизводст. ………………………………… затрат S' = Si1 Si2 … Sik … Sin ………………………………… ( 15 ) Sn1 Sn2 … Snk … Snn
Sn+1, 1 Sn+1, 2 … Sn+1, k … Sn+1, n дополнительные строки Sn+2, 1 Sn+2, 2 … Sn+2, k … Sn+2, n
Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном вектореУ не только необходимый валовый выпуск продукции х ( для чего используется матрица S ), но и необходимые суммарные затраты труда xn+1, капиталовложений xn+2 и т. д. , обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У. Очевидно, xn+1 = Sn+1, 1y1 + Sn+1, 2y2 + … + Sn+1, nyn , ( 16 ) xn+2 = Sn+2, 1y1 + Sn+2, 2y2 + … + Sn+2, nyn ,
т. е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукцииУ, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S' вектор У. Наконец, объединяя формулу ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к следующей компактной форме: x1 x2 _ : _ x = xn = S'У ( 17 ) xn+1 xn+2
Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл. 2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты труда xn+1, k ( в тыс. человеко-часов ) и капиталовложений xn+2, k ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл. 3 Переходя к коэффициентам прямых затрат aik, получим расширенную матрицу: 0. 2 0. 4 А' = 0. 55 0. 1 0. 5 0. 2 1. 5 2. 0 Таблица 3 № отраслей потребление итого конечный валовый № затрат продукт выпуск отраслей 1 2 1 100 160 260 240 500 2 275 40 315 85 400 труд 250 80 330 капиталовложе- 750 800 1550 ния
Обратная матрица S = ( E - A )-1 была уже подсчитана в предыдущем пункте. На основании ( 13 ) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда ( Sn+1, k=S3, k ): _ _ S31 = a3·S1 = 0. 5 · 1. 8 + 0. 2 · 1. 1 = 1. 12 ; _ _ S32 = a3·S2 = 0. 5 · 0. 8 + 0. 2 · 1. 6 = 0. 72 и капиталовложений Sn+2, k = S4, k: _ _ S41 = a4·S1 = 1. 5 · 1. 8 + 2. 0 · 1. 1 = 4. 9 ; _ _ S42 = a4·S2 = 1. 5 · 0. 8 + 2. 0 · 1. 6 = 4. 4 .
Таким образом, расширенная матрица S' коэффициентов полных затрат примет вид: 1. 8 0. 8 S' = 1. 1 1. 6 1. 12 0. 72 4. 9 4. 4
Если задаться на планируемый период прежним ассортиментным вектором У = 240 , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда xn+1 и 85
капиталовложений xn+2, получили бы xn+1 = x3 = 1, 12 · 240 + 0. 72 · 85 = 268. 8 + 61. 2 = 330 тыс. чел. -ч. и xn+2 = xn= 4. 9 · 240 + 4. 4 · 85 = 1176 + 374 = 1550 тыс. руб. , что совпадает с исходными данными табл. 3.
Однако в отличие от табл. 3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям ( 250 и 80 или 750 и 800 ), здесь они распределены по видам конечной продукции: на продукцию 1-й отрасли 268. 8 и на продукцию 2-й отрасли 61. 2; соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.
При любом новом значении ассортиментного вектора Увсе показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы ( 17 ). Так, пусть задан ассортиментный вектор У = 480 . Тогда 170 _ х1 1. 8 0. 8 1000 х = х2 = 1. 1 1. 6 480 = 800 х3 1. 12 0. 72 170 600 х4 4. 9 4. 4 3100
Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х1=1000 и х2=800, при суммарных затратах труда х3=660 тыс. чел. -ч. и при затратах капиталовложений х4=3100 тыс. руб.
Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях. Задача
В таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел. -ч. Таблица Нормы расхода Обозначения Стоимость I II III Сырье I 1. 4 2. 4 0. 8 a4 5 Сырье II – 0. 6 1. 6 a5 12 Сырье III 2. 0 1. 8 2. 2 a6 2 Трудоемкость 10 20 20 а7 12 Определить:
а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы;
б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждого цеха; в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;
г) производственные затраты по цехам ( в руб. ) и на всю производственную программу завода; д) производственные затраты на единицу конечной продукции. Решение:
а) Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю строку второй таблицы на векторх, т. е. _ _ 235 а4х = ( 1. 4; 2. 4; 0. 8 ) 186 = 1088 397 Аналогично можно получить расход сырья II и т. д. Все это удобно записать в виде произведения:
1. 4 2. 4 0. 8 235 1088 Сырье I 0 0. 6 1. 6 186 = 746 Сырье II 2. 0 1. 8 2. 2 397 1678 Топливо 0. 1 0. 2 0. 2 1409 Человеко-часов.
б) Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха ( у1=1 ) найдем из выражения 1. 4S11 + 2. 4S21 + 0. 8S31. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения матрицы: I II III 1. 4 2. 4 0. 8 1. 04 0. 21 0. 02 1. 97 2. 92 1. 36 Сырье I 0 0. 6 1. 6 0. 21 1. 05 0. 13 = 0. 17 0. 84 2. 09 Сырье II 2. 0 1. 8 2. 2 0. 03 0. 13 1. 26 2. 53 2. 60 5. 23 Топливо 10 20 20 15. 2 24. 8 28. 0 Труд
Таким образом, например, для изготовления у1=1 необходимо затратить 1. 97 единиц сырья I, 0. 17 единиц сырья II, 2. 53 единиц топлива и 15. 2 чел. -ч.
в) Расход сырья, топлива и т. д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по цехам. В результате получим матрицу полных расходов: I II III Сырье I 330 440 318 Сырье II 0 111 635 Топливо 470 335 873 Труд 2350 3720 7940
г) Производственные расходы по цехам можем получить путем умножения слева строки стоимостей ( 5; 12; 2; 1. 2 ) на последнюю матрицу: 330 440 318 0 111 635 I II III ( 5; 12; 2; 1. 2 ) 470 335 873 = ( 5410; 8666; 20484 ) 2350 3720 7940
д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п. б. , на строку цен: 1. 97 2. 92 1. 36 0. 17 0. 84 2. 09 I II III
( 5; 12; 2; 1. 2 ) 2. 53 2. 60 5. 23 = ( 35. 3; 59. 6; 75. 7 ) 15. 2 24. 8 28. 0
Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции I, II и III цехов соответственно составляют: 35. 3 руб. , 59. 6 руб. , 75. 7 руб.