Пошукова робота на тему:
Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах.
План
Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах
Подвійний інтеграл в полярних координатах
Обчислення подвійного інтеграла
При /> одержимо подвійний інтеграл
/>.
1. Обчислення подвійного інтеграла
в декартових координатах
Обчислюючи подвійний інтеграл, будемо опиратися на той факт, що він виражає об’єм />циліндричного тіла з основою />, обмеженого поверхнею />. Нагадаємо, що задача про об’єм тіла розглядалася при вивченні застосування означеного інтеграла до задач геометрії. Дістали формулу
/>, (11.16)
/>
Рис.11.4 Рис.11.5
де /> — площа поперечного перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі />, а />і /> - рівняння площин, що обмежують тіло. Застосуємо тепер цю формулу для обчислення подвійного інтеграла.
Припустимо спочатку, що область />задовольняє таку умову: будь-яка пряма, паралельна осі />, перетинає границю області не більше, ніж у двох точках. Називатимемо таку область правильною в напрямі осі />, або правильною в напрямі осі />.
На рис. 11.4 зображено циліндричне тіло. Область /> беремо в прямокутник />, сторони якого дотикаються до межі області в точках />Інтервал /> є ортогональною проекцією області />на вісь />, а інтервал /> - ортогональною проекцією області />на вісь />. На рис. 11.5 область />показана в площині />
Точками />і />границя розбивається на дві лінії:/>і />, кожна з яких перетинається з будь-якою прямою, паралельною осі />, в одній точці. Тому рівняння цих ліній запишуться так:
/>: />, />: />.
Так само точками />і />межа області /> розбивається на лінії /> і />, рівняння яких:
/>.
Розітнемо циліндричне тіло довільною площиною, паралельною площині />, тобто /> (рис. 11.4). В перерізі матимемо криволінійну трапецію />, площа якої визначається інтегралом від функції />, що розглядається як функція однієї змінної />, причому /> змінюється від ординати точки />до ординати точки />. Точка />називається точкою входу прямої /> в область />, а точка /> - точкою виходу із області. Із рівняння ліній /> і />випливає, що ординати цих точок при взятому />дорівнюють /> і /> . Отже, інтеграл
/>
дає вираз для плоского перерізу />. Величина цього інтеграла залежить від вибраного />, тобто є функцією />. Позначивши його через />, маємо:
/>. (11.17)
Згідно з формулою (11.16) об’єм усього тіла дорівнюватиме інтегралу від />, якщо />.
/>
Рис.11.6
Замінюючи у формулі (11.16) /> її виразом (11.17), дістаємо
/>
або в зручнішій формі
/>. (11.18)--PAGE_BREAK--
Міняючи /> і /> місцями, можна вивести й формулу:
/>. (11.19)
З (11.18) і (11.19) бачимо, що значення повторного інтеграла (що стоїть у правій частині рівності (11.18) або (11.19) ) не залежить від порядку інтегрування за різними аргументами:
/>.
Формули (11.18) і (11.19) показують, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до послідовного обчислення двох звичайних визначених інтегралів; потрібно тільки пам’ятати, що у внутрішньому інтегралі одна зі змінних при інтегруванні вважається сталою величиною. Формули (11.18) і (11.19) зведення подвійного інтеграла до повторного набирають простого вигляду, коли область /> буде прямокутником зі сторонами, паралельними осям координат (рис. 11.6). В цьому разі сталими стають межі інтегрування не тільки в зовнішньому, а й у внутрішньому інтегралі:
/>.
Отже, подвійний інтеграл можна обчислювати за такою схемою:
1. Спроектувати область /> на вісь />(знайти точки />і />).
2. Провести пряму, паралельну осі />, яка перетинає межу області в точках входу в область і виходу з неї. Записати рівняння цих меж, тобто рівняння /> і />.
3. Розставити межі інтегрування за змінною />і змінною /> в повторному інтегралі (11.18) і обчислити його.
Зауваження. Якщо область />неправильна в напрямі осі />, то необхідно таку область розбити прямими, паралельними />, на кілька правильних областей.
За аналогічною схемою обчислюється подвійний інтеграл (11.19).
Приклад. Обчислити подвійний інтеграл
/>,
де область/>обмежена лініями (рис. 11.7).
Р о з в ’я з о к. В напрямі осі /> область правильна. Спроектувавши область на вісь маємо: />. Крива входу
/>
Рис.11.7
Крива входу описується рівнянням />, а лінія виходу — рівнянням />. За формулою (11.18) маємо:
/>
/>
/>.
Якщо змінити порядок інтегрування, то в напрямі осі />область буде неправильною. Таку область потрібно розбити на дві області: /> і />(на рис. 11.7 області /> відповідає фігура />, а області /> — трикутник />). Тоді:
/>
/>
/>
/>
/>.
2. Обчислення подвійного інтеграла в полярних координатах
Віднесемо площину, в якій задана область />, до полярної системи координат />. Нехай полюс лежить у початку декартової системи і полярна вісь збігається з віссю />. Тоді декартові координати точки визначаються через полярні за формулами />.
Область інтегрування /> розіб’ємо на елементарні області /> двома системами координатних ліній: /> /> (відповідно концентричні кола з центром у полюсі і промені, які виходять із полюса (рис. 11.8)). При цьому елементарними областями будуть криволінійні чотирикутники. Площа /> області />буде:
/>,
або
/>,
де /> - середній радіус між /> і />.
Припускаючи, що функція /> неперервна в області />, складемо для неї інтегральну суму, вибираючи точки /> в областях />так, щоб вони лежали на середніх колах радіуса />, тобто покладемо/>. Тоді інтегральна сума запишеться так :
/>.
У правій частині стоїть інтегральна сума для функції
/>
Рис.11.8 Рис.11.9
/>за змінними /> і />, а тому, переходячи до границі, дістанемо
/>. (11.20)
Це і є формула перетворення подвійного інтеграла від декартових координат /> до полярних />. Вираз /> називається елементом площі. продолжение
--PAGE_BREAK--
Обчислення подвійного інтеграла в полярній системі координат, як і в декартовій, зводиться до послідовного інтегрування за змінними /> і />.
Вкажемо правила розстановки меж інтегрування.
1. Нехай полюс лежить за областю інтегрування />, а сама область поміщена між променями /> та /> і координатні лінії /> зустрічають її межу не більше як у двох точках (рис.11.9). Припустимо, що полярні рівняння кривих /> і />.
Інтегруючи спочатку за /> у межах його зміни за сталою />, тобто від /> до />, а потім за /> від /> до />, дістанемо
/>. (11.21)
У частинному випадку, якщо область інтегрування є частина кругового кільця />, то межі інтегрування сталі за двома змінними
/>. (11.22)
2. Нехай полюс лежить в області інтегрування /> і будь-який полярний радіус перетинає її межу в одній точці. Інтегруючи спочатку за />, а потім за />, дістаємо
/>
Рис.11.10
/>, (11.23)
де /> - полярне рівняння межі області />.
Частково, при />, тобто, якщо область інтегрування є круг з центром в полюсі, то
/>. (11.24)
Отже, щоб перейти в подвійному інтегралі від декартової системи координат до полярної і обчислити його, необхідно:
1) записати межу області /> у полярних координатах;
2) замінити аргументи /> та /> підінтегральної функції відповідно на /> і />;
3) замінити елемент площі /> на />;
4) розставити межі інтегрування по області />;
5) обчислити повторний інтеграл.
Приклад. За допомогою переходу до полярних координат обчислити подвійний інтеграл /> де область /> частина кільця (рис. 11.10).
Р о з в ‘ я з о к.
/>
/>