Эрмитовы операторы
Содержание
Линейные операторы
Линейные уравнения
Эрмитовы операторы
Линейныеоператоры
Пусть Mи N— линейные множества. Оператор L, преобразующий элементы множества Mв элементы множества N, называется линейным, если для любых элементов fи gиз Mикомплексных чисел λ и μсправедливо равенство
L(λ+ μg) = λLf+ μLg(1)
При этоммножество M= MLназывается областью определения оператораL. Если Lf= fпри всех f Є M, то оператор Lназывается тождественным (единичным) оператором.Единичный оператор будем обозначать через I.
Линейные уравнения
Пусть L— линейный оператор с областьюопределения ML. Уравнение
Lu= F(2)
называетсялинейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент Fназывается свободным членом (илиправой частью), а неизвестный элемент и из ML— решением этого уравнения.
Если вуравнении (2) свободный член Fположитьравным нулю, то полученное уравнение
Lu= 0 (3)
называетсялинейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).
В силулинейности оператора Lсовокупностьрешений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и= 0 всегда является решением этого уравнения.
Всякоерешение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует)представляется в виде суммы частного решения иоэтогоуравнения и общего решения ŭ, соответствующего линейного однородного уравнения (3)
и = ио+ ŭ.
Отсюданепосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственнымв ML, необходимо и достаточно, чтобы соответствующееоднородное уравнение (3) имело только нулевое решение в ML. Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевоерешение в ML. Обозначим через Rlобласть значений оператора L, т.е. (линейное) множество элементов вида {Lf}, где f пробегает ML. Тогда для любого FЄ Rl уравнение (2) имеет единственноерешение и Є ML, и,таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу Fиз Rlсоответствующее решение уравнения (2).Этот оператор называется обратным оператором к оператору Lи обозначается через L-1, так что
и = L-1F.(4)
ОператорL-1, очевидно, является линейным иотображает Rlна ML. Непосредственно из определенияоператора L-1, а также из соотношений (2) и (4) вытекает:
LL-1F= F, FЄRl; L-1Lu= u, и Є ML,
т.е. LL-1=I, L-1L= I.
Еслилинейный оператор Lимеетобратный L-1, то системы функций {φk} и {Lφk} одновременно линейно независимы. (При этом,естественно, предполагается, что все φkпринадлежат ML.)
Рассмотримлинейное однородное уравнение
Lu= λu, (5)
где λ — комплексный параметр. Это уравнениеимеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из ML. Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеетненулевые решения из ML, называются собственными значениями оператора L, а соответствующие решения — собственными элементами(функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r, 1 ≤ r≤ ∞, линейно независимых собственныхэлементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этогособственного значения; если кратность r = 1, то λназывается простым собственным значением.
Есликратность r собственного значения λ оператора Lконечна и u1,..., и2 — соответствующие линейно независимыесобственные элементы, то любая их линейная комбинация
u= c1u1+ c2u2+… + crur
такжеявляется собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, иприведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: еслирешение уравнения
Lu= λu+ f(6)
существует,то его общее решение представляется формулой
и =и* +∑сkиk,(7)
где и*— частное решение (6) и сk, k = l,2,...,r, —произвольные постоянные.
Эрмитовы операторы
Линейныйоператор L, переводящий MLСL2(G) в L2(G), называется эрмитовым,если его область определения MLплотна в L2(G) и для любых fи gиз Mlсправедливо равенство
(Lf,g) = (f,Lg).
Выражения(Lf, g) и (Lf, f)называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденнымиоператором L.
Для тогочтобы линейный оператор Lбылэрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма (Lf, f), fЄMl, где Mlплотна в L2(G), принималатолько вещественные значения.
Линейныйоператор L, переводящий MlС L2(G)в L2(G),называется положительным, если Mlплотна в L2(G)и
(Lf, f) ≥ 0, fЄ Ml.
Вчастности, всякий положительный оператор эрмитов.
Теорема.Если оператор Lэрмитов (положительный), то все его собственные значениявещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различнымсобственным значениям, ортогональны.
Доказательство. Пусть λ0— собственноезначение, u0— соответствующая нормированная собственная функцияэрмитова оператора L, Lu0= λ0u0. Умножаяскалярно это равенство на u0, получим
(Lu0,u0) = (λ0u0,u0) = λ0(u0,u0)λ0||u0||2= λ0.(8)
Но дляэрмитова (положительного) оператора квадратичная форма (Lf, f) принимает только вещественные (неотрицательные)значения, и, стало быть, в силу (7) λ0— вещественное(неотрицательное) число.
Докажем,что любые собственные функции и1и и2,соответствующие различным собственным значениям λ1 и λ2, ортогональны. Действительно, изсоотношений
Lu1= λ1и1, Lu2= λ2и2,
извещественности λ1 и λ2и из эрмитовости оператора Lполучаемцепочку равенств
λ1(и1, и2)= (λи1, и2) = (Lи1, и2) = (и1,Lu2) = (и1,λ2и2)= =λ2(и1, и2),
т.е. λ1(и1, и2)= λ2(и1, и2). Отсюда,поскольку λ1 ≠ λ2, вытекает, что скалярное произведение (и1, и2)равно нулю. Теорема доказана.
Предположим,что множество собственных значений эрмитова оператора Lне более чем счетно, а каждоесобственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения:λ1,λ2,..., повтори λk столько раз, какова его кратность. Соответствующиесобственные функции обозначим через и1, и2,…так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только однасобственная функция иk:
Luk= λk ,иk, k = 1,2,...
Собственные функции,соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбратьортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякаяортонормальная система {φk} состоит из линейно независимых функций. Всякаясистема ψ1,ψ2,… линейнонезависимых функций из L2(G) преобразуется в ортонормальную систему φ1,φ2,— следующим процессом ортогонализацииШмидта:
φ1 = ψ1 /||ψ2 ||, φ2= ψ2 – (ψ2, φ1)φ1 / || ψ2 – (ψ2, φ1)φ1 ||
φk= ψk– (ψk, φk-1)φk-1 – … – (ψk,φ1)φ1 / ||ψk– (ψk, φk-1)φk-1 – … – – (ψk,φ1)φ1||
При этом опять получаютсясобственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказаннойтеореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Такимобразом, если система собственных функций {ик}эрмитоваоператора Lне более чем счетна, то ее можновыбрать ортонормальной:
(Luk,ui) = λk(иk,ui) = λkδki
Списоклитературы
1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравненияматематической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.
2. Владимиров В. С. Уравненияматематической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.
3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.:Физмат-лит, 2000.