Вопрос2
ДиаграммаВьенна-Эйлера
А) событие A
Б) Сложение –событие, кот состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий A или B
В) произведениесобытий- А и B одновременно
Г) Дополнение –событие принадлежит к А, но не принадлежит к B
Д) противоположное событию A событие В
Е) Несовместимыесобытия – если они не могут произойти одноременно
Ж) События образуютполную группу, если хотя бы одно из них обязательно происходит в результатеиспытания
З) А влечет за собойВ
Вопрос3
Классическаяформула вероятности
Если множествоэлементарных событий Ω={ω1,ω2,…ωN}, конечно и всеэлементарные события равновозможны, то такая вероятностная схема носит названиеклассической. В этом случаевероятность Р{А} наступления события А, состоящего из М элементарных событий,входящих в Ω, определяется как отношение числа М элементарных событий,благоприятствующих наступлению события А, к общему числу N элементарных событий. Эта формула носит названиеклассической формулы вероятности: Р{А}= M/N.
В частности, согласноклассической формуле вероятности:
Р{ωi }=1/N (i=1,2,…, N)
Р{Ω}= N/N =1
P{Æ}=0/N =0
Комбинаторика, 1) то же, что математический комбинаторныйанализ. 2) Раздел элементарной математики, связанный с изучениемколичества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можносоставить из заданного конечного множества объектов (безразлично, какой природы;это могут быть буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.). Число размещений. Пусть имеется n различных предметов. Сколькимиспособами можно выбрать из них т предметов(учитывая порядок, в котором выбираются предметы)? Число способов равно Anm =? Anm называютчислом размещений из nэлементов по m. Число сочетаний. Пусть имеется n различных предметов. Сколькимиспособами можно выбрать из них тпредметов (безразлично, в каком порядке выбираются предметы)? Число способовтакого выбора равно Cnm = Cnmназывают числом сочетаний из nэлементов по m. Числа Cnm получаютсякак коэффициенты разложения n-й степени двучлена: (a+b) n=Cn0 an + Cn1 an-1b +Cn2an-2b2?+… + Cnn-1abn-1+ Cnnbn, и поэтому они называются также биномиальнымикоэффициентами. Основные соотношения для биномиальных коэффициентов: Cnm=Cnn-m,Cnm? + Cnm+1 = Cn+1m+1, Cn0+ Cn1 + Cn2+...+ Cnn-1+ Cnn =2n, ? Cn0 — Cn1 + Cn2-...+ (-1) nCnn= 0. Числа Anm, Pmи Cnmсвязаны соотношением: Anm=Pm Cnm.Рассматриваются также размещения с повторением (т. е. всевозможные наборы из m предметов n различных видов, порядок в наборе существен) и сочетания сповторением (то же, но порядок в наборе не существен). Число размещений сповторением даётся формулой nm,число сочетаний с повторением — формулой Cmn+m-1.
Вопрос4
При аксиоматическомпостроении вероятностей в каждом конкретном пространстве элементарных событий W выделяется s-полесобытий S для каждого события AÎ S задаетсявероятность P{A} – числовая функция, определенная на s-поле событий S и удовлетворяющаяследующим аксиомам.
Аксиоманеотрицательности вероятности для всех A Î S: P{A}³ 0.
Аксиоманормированности вероятности: P{W}=1.
Аксиома адаптивностивероятности: для всех A,BÎS, таких, что AÇB¹Æ: P{AÈB}=P{A} +P{B}
Вопрос6
1) Условнаявероятность события А при условии В равна Р(А/B)=P(A*B)/P(B), Р(В)>0.
2) Событие А не зависит от события В, еслиР(А/B)=P(A). Независимостьсобытий взаимна, т.е. если событие А не зависит от В, то событие В не зависитот А. В самом деле при Р(А)>0 имеем Р(B/A)=P(A*B)/P(A)=P(A/B)*P(B)/P(A)=P(A)*P(B)/P(A)=P(B). Вытекает следующая формула умножения вероятностей:Р(А*В)=Р(А)*Р(В/A). Для независимых событий вероятностьпроизведения событий равна произведению их вероятностей: Р(А*В)=Р(А)*Р(В). 3)События А1, А2,…, Аn образуют полнуюгруппу событий, если они попарно несовместны и вместе образуют достоверноесобытие, т.е. Аi*Aj=0, i не=j, U по i от 1 до n Аi=омега.
Вероятностьсовместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из нихна условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первоесобытие уже наступило: Р(АВ)=Р(А)*Ра(В). В частности для независимых событийР(АВ)=Р(А)*Р(В), т.е. вероятность совместного появления двух независимыхсобытий равна произведению вероятностей этих событий.
Вопрос7
Формула полной вероятности.Систему событий А1, А2, ...,AN называют конечнымразбиением (или просто разбиением), если они попарно несовместны, а ихсумма образует полное пространство событий: А1 + А2 +…+ АN =
Если события Аiобразуют разбиение пространства событий и все P(Ai) > 0, то длялюбого события В имеет место формула полной вероятности: P(B)=P(Ak)×P(B/Ak),
что непосредственноследует из (8.2.14) для попарно несовместных событий:
B = B× = BA1+BA2+...BAN.
P(B) = P(BA1)+P(BA2)+… +P(BAN) = P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+...+P(AN)P(B/AN).
Вопрос8
Формулабаеса
Вопрос9
Вопрос10
Случайной величиной называется числовая величина, которая врезультате опыта может принять какое-либо значение из некоторого множества,причем заранее, до проведения опыта, невозможно сказать, какое именно значениеона примет. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами X, Y, Z,..., аих возможные значения — строчными латинскими буквами х, у, z. Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно, и непрерывной в противном случае. Закономраспределения случайной величины называется любое соотношение,связывающее возможные значения этой случайной величины и соответствующие имвероятности. Закон распределения дискретной случайной величины задается чащевсего не функцией распределения, арядом распределения, т.е, таблицей
Х
x1
x2
...
xn
...
P
p1
p1
...
pn
...
В которой x1, x2, ..., xn,… — расположенные по возрастанию значениядискретной случайной величины X, а р1,р2, ..., рп,… — отвечающие этим значениям вероятности: pi = Р{Х = хi), i=1, 2, ..., п, …. Число столбцов в этой таблице может быть конечным (если соответствующая случайнаявеличина принимает конечное число значений) или бесконечныи. Очевидно,S pi=1.
Многоугольником распределения дискретной случайной величины X называется ломаная, соединяющая точки {xi; pi), расположенные в Порядке возрастания хi.
Вопрос 11
Функциейраспределения случайной величины Х называется функция FX(x)=P{Xx},xÎR
Под{Xx}понимаетсясобытие, состоящее в том, что случайная величина Х принимает значение меньшее,чем число х. Если известно, о какой случайной величине идёт речь, то индекс,обозначающий эту случайную величину, опускается: F(x)º FX(x).
Какчисловая функция от числового аргумента х, функция распределения F(x)произвольной случайной величины Х обладает следующимисвойствами:
1)длялюбого xÎR: 0£ F(x)£ 1
2) F(-¥) = limx®¥ F(x) = 0; F(+¥) = limx®¥ F(x) = 1;
3)F(x)-неубывающаяфункция, т.е.для любых х1, х2 ÎR таких, что х1F(x1)£ F(x2);
4)длялюбого xÎR: F(x)=F(x-0)=lim zx,z®xF(z).
Вопрос12
Мат. Ожиданием Д.С.В.называют сумму произведений всех еевозможных значений на их вероятности: М(Х)=х1р1+х2р2+…+хnpn. Если Д.С.В. принимаетсчетное множество возможных значений, то М(Х)=сумма по i от 1 до бесконечности xipi, причем мат.ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Мат.ожидание обладает следующими свойствами:1) Мат. ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С. 2)Постоянный множитель можно выносить за знак мат. ожидания: М (СХ)=СМ (Х). 3)Мат. ожидание произведения взаимно независимых С.В. равно произведению мат.ожиданий сомножителей: М (Х1, Х2…Хn)=M(X1)*M(X2)…M(Xn). 4) Мат. ожиданиесуммы С.В. равно сумме мат. ожиданий слагаемых: М (Х1+Х2+Х3+…+Хn)=M(X1)+M(X2)+M(X3)+…+M(Xn).
Вопрос13
Дисперсиейслучайной величины хназывается число: DX= M(X-MX)2, равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины отсвоего математического ожидания. Для вычисления дисперсии иногда прощеиспользовать формулу: DX=M(X2)-(MX)2. Для дискретных св:
DX=∑(xi – MX)2 pi;
DX=∑xi2pi – (MX) 2.
Свойствадисперсии дискретной случайной величины: (X,Y-независимыед.св, с- неслучайная постоянная ÎR)
Dc=0;
D(cX)=c2DX;
D(X+Y)= DX + DY
Вопрос15
Случайная величина Х наз.распределённой погеометрическому закону с параметром р (рÎ[0;1]), если онапринимает значения 1,2,3… с вероятностями Р{Х=х}=р(1-р)х-1 (х = 1,2,3…).
Случайнуювеличину Х можно интерпритировать как число испытаний Бернулли, которыепридётся произвести до первого успеха, если успех в единичном испытании можетпроизойти с вероятностью р.
Математическоеожидание случайной величины, имеющей геометрическое распределение: МХ=1/p.
Дисперсия:DX=1-p/p2
Вопрос16
Если число испытанийвелико, а вероятность P повяления события вкаждом испытнаии очень мала, то используют приближенную формулу
Pn(k)=l^k*e^(-l/k)
Где k – число появлений события в n независимых испытаниях, l = np (среднее число появлений события в n независимых испытаниях), и говорят, что случайнаявеличина распределена по закону Пуассона.
Вопрос 17
С.В. Х называетсянепрерывной, если существует неотрицательная функция рх(х) такая, что при любыхх функцию распределения Fx(x) можно представить в виде: Fx(x)=интеграл от–бесконечности до х px(y)dy. Рассматривают только такие С.В., для которых рх(х)непрерывна всюду, кроме, может быть, конечного числа точек. Плотностьюраспределения вероятностей непрерывной С.В. называют первую производную отфункции распределения: f(x)=F’(x). Вероятность того, чтоН.С.В. Х примет значение, принадлежащее интервалу (а,b), определяется равенством P(aXb)=интервал от а до b f(x)dx. Зная плотность распределения можно найти функциюраспределения F(x)=интеграл от –бесконечности до х f(x)dx. Плотность распределения обладает следующимисвойствами: 1) П.Р. неотрицательна, т.е. f(x)>=0. 2) Несобственный интеграл от плотностираспределения в пределах от –бесконечности до бесконечности равен единице:интеграл от –бесконечности до бесконечности f(x)dx=1.
Вопрос18
Мат. ожидание Н.С.В.Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством:М(Х)=интеграл от –бесконечности до бесконечности хf(x)dx, где f(x) — плотность распределения С.В. Х. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. Вчастности, если все возможные значения принадлежат интервалу (а,b), то М(Х)=интеграл от а до b xf(x)dx. Все свойства мат.ожидания, указаны выше, для Д.С.В. Они сохраняются и для Н.С.В.
Дисперсия Н.С.В. Х,возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством: D(X)=интеграл от –бесконечностидо бесконечности [x-M(X)]*2f(x)dx, или равносильнымравенством: D(X)=интеграл от –бесконечности до бесконечности x*2f(x)dx – [M(X)]*2. В частности,если все возможные значения х принадлежат интервалу (a,b), то D(X)=интервал от а до b [x – M(X)]*2f(x)dx, или D(X)=интеграл от
Вопрос 19
Моментыраспределения. Прирешении многих практических задач нет особой необходимости в полнойвероятностной характеристике каких-либо случайных величин, которую дает функцияплотности распределения вероятностей. Очень часто приходится также иметь дело санализом случайных величин, плотности вероятностей которых не отображаютсяаналитическими функциями либо вообще неизвестны. В этих случаях достаточно общеепредставление о характере и основных особенностях распределения случайныхвеличин можно получить на основании усредненных числовых характеристикраспределений.
Числовымихарактеристиками случайных величин, которые однозначно определяются функциямираспределения их вероятностей, являются моменты.
Начальные моменты n-го порядкаслучайной величины X (или просто моменты) представляют собой усредненныезначения n-й степени случайной переменной: mn º М{Xn}º xn p(x) dx,где M{Xn} и математического ожидания иусреднения величины Хn, которые вычисляются по пространствусостояний случайной величины Х.
Соответственно, дляслучайных дискретных величин: mn ºМ{Xn}º xin pi.
Центральные моменты n-го порядка, этомоменты относительно центров распределения (средних значений) случайныхвеличин:
n ºM{(X-n}º 1)n p(x) dx
nº M{(X-n}ºxi-m1)npi, где — начальный момент1-го порядка (среднее значение величины Х), X0= X- — центрированныезначения величины Х.
Связь междуцентральными и начальными моментами достаточно проста:
1=0, 2=m2-m12, 3=m3-3m2m1+2m13, 4=m4-4m1m3+6m12m2-3m14, и т.д.
Соответственно, дляслучайных величин с нулевыми средними значениями начальные моменты равныцентральным моментам.
По результатамреализации случайных величин может производиться только оценка моментов, т.к. количество измерений всегда конечно и неможет с абсолютной точностью отражать все пространство состояний случайныхвеличи