Высшаяматематика
Функциинескольких переменных
Содержание
1. Понятие функции двух и более переменных
2. Предел и непрерывность функции двух переменных
3. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
4. Частные производные высших порядков
5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточныеусловия существования экстремума
6. Условный экстремум
Литература
1. Понятие функции двух иболее переменных
Многие явления,происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощьюфункции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит отприбыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей ивводится понятие функции нескольких переменных.
В данной лекциирассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия итеоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются наслучай большего числа переменных.
Пусть /> – множество упорядоченныхпар действительных чисел />.
Определение 1. Есликаждой упорядоченной паре чисел /> понекоторому закону /> поставлено всоответствие единственное действительное число />,то говорят, что задана функция двух переменных /> или/>. Числа /> называются при этомнезависимыми переменными или аргументами функции, а число /> – зависимой переменной.
Например, формула />, выражающая объемцилиндра, является функцией двух переменных: /> –радиуса основания и /> – высоты.
Пару чисел /> иногда называют точкой />, а функцию двух переменных– функцией точки />.
Значение функции /> в точке /> обозначают /> или /> и называют частнымзначением функции двух переменных.
Совокупность всех точек />, в которых определенафункция />, называется областьюопределения этой функции. Для функции двух переменных область определенияпредставляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную однойили несколькими линиями.
Например, областьопределения функции /> – вся плоскость,а функции /> – единичный круг с центромв начале координат (/> или />.
2. Предел и непрерывностьфункции двух переменных
Понятия предела инепрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной.
Пусть />– произвольная точкаплоскости. />– окрестностью точки /> называется множество всехточек />, координаты которыхудовлетворяют неравенству />.Другими словами, />– окрестностьточки /> – это все внутренние точкикруга с центром в точке /> ирадиусом />.
Определение 2. Число/> называется пределомфункции /> при /> (или в точке />), если для любого скольугодно малого положительного числа /> существует/> (зависящее от />) такое, что для всех /> и удовлетворяющихнеравенству /> выполняется неравенство />.
Обозначается пределследующим образом:
/> или />.
Пример 1. Найти предел />.
Решение. Введемобозначение />, откуда />. При /> имеем, что />. Тогда
/>
/>.
Определение 3. Функция />называется непрерывной вточке />, если: 1) /> определена в точке /> и ее окрестности; 2) имеетконечный предел />; 3) этот пределравен значению функции в точке />, т.е. />.
Функция /> называется непрерывной внекоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Точки, в которых условиенепрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Внекоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например,функция /> имеет две линии разрыва:ось /> (/>) и ось /> (/>).
Пример 2. Найти точкиразрыва функции />.
Решение. Данная функцияне определена в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. вточках, где /> или />. Это окружность с центромв начале координат и радиусом />.Значит, линией разрыва исходной функции будет окружность />.
3. Частные производныепервого порядка. Полный дифференциал
Пусть задана функция двухпеременных />. Дадим аргументу /> приращение />, а аргумент /> оставим неизменным. Тогдафункция /> получит приращение />, которое называетсячастным приращением /> по переменной />и обозначается />:
/>.
Аналогично, фиксируяаргумент /> и придавая аргументу /> прираще-ние />, получим частноеприращение функции /> по переменной />:
/>.
Величина /> называется полнымприра-щениием функции /> в точке />.
Определение 4. Частнойпроизводной функции двух переменных по одной из этих переменных называетсяпредел отношения соответствующего частного приращения функции к приращениюданной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот пределсуществует). Обозначается частная производная так: /> или/>, или />.
Таким образом, поопределению имеем:
/>,
/>.
Частные производныефункции /> вычисляются по тем жеправилам и формулам, что и функция одной переменной, при этом учитывается, чтопри дифференцировании по переменной />, /> считается постоянной, апри дифференцировании по переменной /> постояннойсчитается />.
Пример 3. Найти частныепроизводные функций:
а) />; б) />.
Решение. а) Чтобы найти /> считаем /> постоянной величиной и дифференцируем/> как функцию однойпеременной />:
/>/>.
Аналогично, считая /> постоянной величиной,находим />:
/>
/>.
Решение.
б) />;
/>
/>.
Определение 5. Полнымдифференциалом функции /> называется суммапроизведений частных производных этой функции на приращения соответствующихнезависимых переменных, т.е.
/>.
Учитывая, чтодифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. />, формулу полногодифференциала можно записать в виде
/> или />.
Пример 4. Найти полныйдифференциал функции />.
Решение. Так как />, то по формуле полногодифференциала находим
/>.
4. Частные производныевысших порядков
Частные производные /> и /> называют частнымипроизводными первого порядка или первыми частными производными.
Определение 6. Частнымипроизводными второго порядка функции /> называютсячастные производные от частных производных первого порядка.
Частных производныхвторого порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:
/> или />; /> или />;
/> или />; /> или />.
Аналогично определяютсячастные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции /> имеем:
/>, /> и т.д.
Частные производныевторого или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называютсясмешанными частными производными. Для функции /> таковымиявляются производные />. Заметим, что вслучае, когда смешанные производные /> непрерывны,то имеет место равенство />.
Пример 5. Найти частныепроизводные второго порядка функции
/>.
Решение. Частныепроизводные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:
/>
Дифференцируя /> и /> по переменным х и y, получим
/>,
/>;
/>;
/>.
5. Экстремум функциинескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существованияэкстремума
Определение 7. Точка /> называется точкой минимума(максимума) функции />, если существуеттакая окрестность точки />, чтодля всех точек /> из этойокрестности выполняется неравенство />, (/>).
Точки минимума имаксимума функции /> называются точкамиэкстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции (минимумоми максимумом соответственно).
Заметим, что минимум имаксимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке /> сравнивается с еезначениями в точках, достаточно близких к />.
Теорема 1 (необходимыеусловия экстремума). Если /> – точкаэкстремума дифференцируемой функции />, то еечастные производные /> и /> в этой точке равны нулю: /> />.
Точки, в которых частныепроизводные первого порядка равны нулю, называются критическими илистационарными. В критических точках функция /> можетиметь экстремум, а может и не иметь.
Теорема 2 (достаточноеусловие экстремума). Пусть функция />: а)определена в некоторой окрестности критической точки />, в которой /> и />; б) имеет непрерывныечастные производные второго порядка /> /> />. Тогда, если />, то функция /> в точке /> имеет экстремум: максимум,если А0; если />,то функция /> в точке /> экстремума не имеет. Вслучае /> вопрос о наличииэкстремума остается открытым.
При исследовании функциидвух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:
1. Найти частныепроизводные первого порядка: /> и />.
2. Решить системууравнений /> и найти критические точкифункции.
3. Найти частныепроизводные второго порядка: />, />, />.
4. Вычислитьзначения частных производных второго порядка в каждой критической точке и,используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.
5. Найти экстремумыфункции.
Пример 6. Найтиэкстремумы функции />.
Решение. 1. Находимчастные производные /> и />:
/>, />.
2. Для определениякритических точек решаем систему уравнений
/> или />
Из первого уравнениясистемы находим: />. Подставляянайденное значение y во второеуравнение, получим
/>, />,/>,
откуда
/>.
Находим значения y, соответствующие значениям />. Подставляя значения /> в уравнение />, получим: />.
Таким образом, имеем двекритические точки: /> и />.
3. Находим частныепроизводные второго порядка:
/>; />;/>.
4. Вычисляем значениячастных производных второго порядка в каждой критической точке. Для точки /> имеем:
/>, />,/>.
Так как
/>,
то в точке /> экстремума нет.
В точке />:
/>, />,/>
и, следовательно,
/>.
Значит, в силудостаточного условия экстремума, в точке /> функцияимеет минимум, так как в этой точке /> и />.
5. Находим значениефункции в точке />:
/>.
6. Условный экстремум
В теории функцийнескольких переменных иногда возникают задачи, когда экстремум функциинескольких переменных необходимо найти не на всей области определения, а намножестве, удовлетворяющем некоторому условию.
Пусть /> – функция двух переменных,аргументы x и y которой удовлетворяют условию />,называемому уравнением связи.
Определение 8. Точка /> называется точкойусловного минимума (максимума) функции />,если существует такая окрестность точки />,что для всех точек /> из этойокрестности, удовлетворяющих условию />,выполняется неравенство />, (/>).
Если уравнение связи /> можно разрешитьотносительно одной из переменных (например, выразить y через x: />), то задача отыскания условногоэкстремума функции двух переменных сводится к нахождению экстремума функцииодной переменной. Для этого подставляют найденное значение /> в функцию двух переменных.В результате получают функцию одной переменной x: />. Ее экстремум ибудет условным экстремумом функции />.
Замечание. В болеесложных случаях, когда уравнение связи /> неразрешимо относительно одной из переменных, для отыскания условного экстремумаиспользуется метод множителей Лагранжа.
Пример 7. Найтиэкстремумы функции /> при условии, чтоее аргументы удовлетворяют уравнению связи />.
Решение. Из уравнениясвязи находим функцию /> и подставляем еев функцию z. Получим функцию одной переменной
/>
или
/>
Находим экстремум даннойфункции:
/>, />,/>
– критическая точкапервого рода (точка, подозрительная на экстремум). Так как />, то в точке /> функция /> имеет локальный минимум.Из уравнения связи находим: />.Следовательно, функция
/>
в точке /> имеет условный минимум:
/>.
Литература
1. Белько И. В.,Кузьмич К. К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2002. – 140 с.
2. Гусак А. А…Математический анализ и дифференциальные уравне-ния.– Мн.: ТетраСистемс, 1998.– 416 с.
3. Гусак А. А…Высшая математика. Учебное пособие для студентов вузов в 2-х томах. – Мн.,1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).
4. Кремер Н. Ш.,Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебникдля вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.
5. Яблонский А. И.,Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник /Под общ. ред. С. А. Самаля.– Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.