ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПООБРАЗОВАНИЮ
СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ
ГОСУДАРСТВЕННОЕОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГООБРАЗОВАНИЯ
«БАШКИРСКИЙГОСУДАРСВТЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Экономический факультет
Кафедра математики иинформатики
Курсовая работа
на тему:
Функции Бесселя
Выполнил студент 2 курса
группы ПМиИ-08
Александрова А.Ю._______
«___»____________2010г.
Научный руководитель
к.ф.-м.н., ст. пр.
Сидоренко О.Г._______
«___»____________2010г.
Стерлитамак 2010
Содержание
Введение
1 Функции Бесселя с целым положительным значком
2 Функции Бесселя с произвольным значком
3 Общее представление цилиндрических функций.Функции Бесселя второго рода
4 Разложение в ряд функции Бесселя второго рода сцелым значком
5 Функции Бесселя третьего рода
6 Функции Бесселя мнимого аргумента
7 Цилиндрические функции с индексом, равнымполовине нечетного целого числа
8 Асимптотические представления цилиндрическихфункций для больших значений аргумента
9 Нули цилиндрических функций
10 Пример
Заключение
Список литературы
Введение
Цилиндрическимифункциями называются решения линейного дифференциального уравнения второгопорядка
/>, (1)
где />– комплексноепеременное,
/> – параметр,который может принимать любые вещественные или комплексные значения.
Термин«цилиндрические функции» обязан своим происхождением тому обстоятельству, чтоуравнение (1) встречается при рассмотрении краевых задач теории потенциала дляцилиндрической области.
Специальныеклассы цилиндрических функций известны в литературе под названием функцийБесселя, и иногда это наименование присваивается всему классу цилиндрическихфункций.
Хорошоразработанная теория рассматриваемых функций, наличие подробных таблиц иширокая область применений служат достаточным основанием для того, чтобыотнести цилиндрические функции к числу наиболее важных специальных функций.
УравнениеБесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравненияГельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселяприменяются при решении многих задач о распространении волн, статическихпотенциалах и т. п., например:
1) электромагнитныеволны в цилиндрическом волноводе;
2) теплопроводностьв цилиндрических объектах;
3) формыколебания тонкой круглой мембраны;
4) скоростьчастиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.
ФункцииБесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.
Цилиндрическиефункции Бесселя являются самыми распространенными из всех специальных функций.Они имеют многочисленные приложения во всех естественных и технических науках(особенно в астрономии, механике и физике). В ряде задач математической физикивстречаются цилиндрические функции, в которых аргумент или индекс (иногда и тоти другой) принимают комплексные значения. Для численного решения таких задачнеобходимо разработать алгоритмы, позволяющие вычислять функции Бесселя свысокой точностью.
Целькурсовой работы: изучение функций Бесселя и применение их свойств в решениидифференциальных уравнений.
Задачи:
1) Изучитьуравнение Бесселя и модифицированное уравнение Бесселя.
2)Рассмотреть основные свойства функций Бесселя, асимптотические представления.
3) Решитьдифференциальное уравнение с использованием функции Бесселя.
1 Функции Бесселя с целымположительным значком
Длярассмотрения многих проблем, связанных с применением цилиндрических функций,достаточно ограничиться изучением специального класса этих функций, которыйсоответствует случаю, когда параметр /> в уравнении (1) равен нулю илицелому положительному числу.
Исследованиеданного класса носит более элементарный характер, чем теория, относящаяся кпроизвольным значениям />, и может служить хорошимвведением в эту общую теорию.
Покажем, чтоодним из решений уравнения
/> />0, 1, 2, …, (1.1)
являетсяфункция Бесселя первого рода порядка />, /> которая для любых значений />определяетсякак сумма ряда
/> /> (1.2)
При помощипризнака Даламбера легко убедиться, что рассматриваемый ряд сходится на всейплоскости комплексного переменного и, следовательно, представляет целую функциюот />.
Еслиобозначить левую часть уравнения (1.1) через /> и ввести сокращенную записькоэффициентов ряда (1.2), положив
/>
то врезультате подстановки получим
/>
откудаследует /> таккак выражение в фигурных скобках равно нулю. Таким образом, функция /> удовлетворяет уравнению(1.1), т. е. представляет собой цилиндрическую функцию.
Простейшимифункциями рассматриваемого класса являются функции Бесселя порядка нуль иединица:
/> (1.3)
Покажем, чтофункции Бесселя других порядков могут быть выражены через эти две функции. Длядоказательства предположим, что а — целое положительное число, умножим ряд (1.2)на /> и продифференцируемпо />. Мыполучим тогда
/>
/> /> (1.4)
Аналогичнымобразом, умножая ряд на /> находим
/> /> (1.5)
Выполнивдифференцирование в равенствах (1.4 – 1.1) и разделив на множитель />, приходим кформулам:
/> /> (1.6)
откуданепосредственно следует:
/> /> (1.7)
/> /> (1.8)
Полученныеформулы известны под названием рекуррентных соотношений для функций Бесселя.
Первое изсоотношений дает возможность выразить функцию произвольного порядка /> через функциипорядков нуль и единица, что существенным образом сокращает работу посоставлению таблиц функций Бесселя.
Второе соотношениепозволяет представить производные от функций Бесселя через функции Бесселя. Для/> этосоотношение должно быть заменено формулой
/> (1.9)
непосредственновытекающей из определения данных функций.
ФункцииБесселя первого рода /> просто связаны с коэффициентамиразложения функции /> в ряд Лорана [1]):
/> /> (1.10)
Коэффициентыэтого разложения могут быть вычислены путем перемножения степенных рядов:
/>
/>
и объединениячленов, содержащих одинаковые степени />. Выполнив это, получим:
/> /> (1.11)
откудаследует, что рассматриваемое разложение может быть записано в виде
/> (1.12)
Функция /> называетсяпроизводящей функцией для функций Бесселя с целым значком; найденноесоотношение (1.12) играет важную роль в теории этих функций.
Для полученияобщего интеграла уравнения (1.1), дающего выражение произвольной цилиндрическойфункции с целым значком /> />, необходимо построить второерешение уравнения, линейно независимое с />. В качестве такого решения можетбыть взята функция Бесселя второго рода, /> исходя из определения которойнетрудно получить для /> аналитическое выражение в видеряда
/>(1.13)
где />
/> (/>– постояннаяЭйлера) и, в случае />, первую из сумм надлежит положитьравной нулю.
Функция /> регулярна вплоскости с разрезом />. Существенная особенностьрассматриваемого решения состоит в том, что оно обращается в бесконечность,когда />.Общее выражение цилиндрической функции для /> представляет линейную комбинацию построенныхрешений
/> (1.14)
где /> и /> – произвольныепостоянные, />
2 Функции Бесселя спроизвольным значком
бессель цилиндрическаяфункция
ФункцииБесселя, рассмотренные в пункте 1, составляют частный случай цилиндрическихфункций более общего вида, известных под названием функций Бесселя первого родас произвольным значком />. Чтобы определить эти функции,рассмотрим ряд
/>
где /> – комплексноепеременное, принадлежащее плоскости с разрезом />
/> – параметр,который может принимать любые вещественные или комплексные значения.
Легко видеть,что данный ряд сходится при любых /> и />, причем в области />, /> (/>/> – произвольно большиефиксированные числа) сходимость равномерна по отношению к каждому изпеременных.
Действительно,начиная с достаточного большого />, отношение модулей последующегочлена ряда к предыдущему, равное величине
/>
не будетпревосходить некоторой правильной положительной дроби />, не зависящей от /> и />. Отсюда, согласноизвестному признаку сходимости, следует, что рассматриваемый ряд сходитсяравномерно в указанной области [4].
Так как членыряда представляют собой регулярные функции в плоскости с разрезом /> сумма рядаопределяет некоторую функцию комплексного переменного />, регулярную в рассматриваемойразрезанной плоскости. Эта функция называется функцией Бесселя первого рода с индексом/> иобозначается символом />. Таким образом,
/> /> /> (2.1)
Нетруднопоказать, что определенная таким образом функция есть частное решение уравнения
/> (2.2)
Действительно,обозначая левую часть этого уравнения /> и полагая />, мы находим, так же какв пункте 1,
/>
где /> – коэффициентыряда (2.1),
/>
откудаследует, что />
Так как прификсированном />, принадлежащем плоскости сразрезом /> членыряда (2.1) представляют собой целые функции переменного />, то из равномернойсходимости по отношению к этому переменному вытекает, что функция Бесселяпервого рода, рассматриваемая как функция своего значка, есть целая функция />. При целом />/> и ряд (2.1) переходит вряд (1.2), поэтому функции, определенные в настоящем параграфе, являютсяобобщением функций Бесселя с целым положительным значком, изученных в пункте 2.При /> равномцелому отрицательному числу /> />, первые /> членов ряда (2.1) обращаются внуль, и рассматриваемая формула может быть записана в виде
/>
откудаследует
/> /> (2.3)
Такимобразом, функции Бесселя с отрицательным целым значком отличаются отсоответствующих функций с положительным значком только постоянным множителем.
Полученноесоотношение вместе с формулами (1.10 – 1.11) показывает, что разложение (1.12)может быть записано в виде
/> /> (2.4)
Многиеравенства, установленные ранее для функций Бесселя с целым положительнымзначком, переносятся на функции с произвольным индексом без каких-либоизменений. Так, например, имеют место соотношения:
/> /> (2.5)
/> /> (2.6)
/> /> (2.7)
представляющиесобой обобщение соответствующих формул пункта 2. Доказательство формул (2.5 – 2.6)повторяет рассуждения этого параграфа и поэтому не приводится. Формулы (2.7)получаются путем повторного применения равенств (2.6).
3 Общее представлениецилиндрических функций. Функции Бесселя второго рода
Поопределению цилиндрическая функция есть произвольное решение дифференциальногоуравнения второго порядка
/> (3.1)
поэтому общееее выражение содержится в форме
/> (3.2)
где /> и /> – какие-либолинейно независимые решения рассматриваемого уравнения, /> и /> – постоянные,являющиеся, вообще говоря, произвольными функциями параметра />. Легко получить общеевыражение цилиндрической функции для случая, когда /> отлично от целого числа.Действительно, выбрав />, где /> – функция Бесселя, определенная впункте 2, мы можем взять в качестве /> функцию />, которая также является решениемуравнения (3.1), так как последнее не меняется при замене /> на />.
Если /> не равноцелому числу, асимптотическое поведение рассматриваемых решений при /> будет
/> /> (3.3)
поэтому этирешения линейно независимы между собой и искомое выражение для цилиндрическойфункции может быть дано в виде
/> /> (3.4)
Если /> – целое число,то, в силу соотношения (2.3), построенные частные решения линейно зависимымежду собой и найденное выражение (3.4) не является общим интегралом уравненияБесселя (3.1). Чтобы получить представление произвольной цилиндрическойфункции, пригодное при любых значениях параметра />, введем в рассмотрение функциюБесселя второго рода />, которую для произвольных />, принадлежащихплоскости с разрезом />, определим при помощи равенства
/> (3.5)
При /> равном целомучислу правая часть рассматриваемого выражения приобретает неопределенный вид (2.3),и мы условимся понимать под значением функции в этом случае предел
/> (3.6)
Так как подоказанному числитель и знаменатель в (3.5) суть целые функции />, рассматриваемый пределсуществует, и может быть вычислен по правилу Лопиталя, применение которого дает
/> (3.7)
Изопределения функции /> следует, что эта функциярегулярна в плоскости с разрезом />, а при фиксированном /> представляетсобой целую функцию параметра />. Докажем теперь, что /> удовлетворяетуравнению (3.1), следовательно, является цилиндрической функцией. При />, отличном отцелого числа, требуемый результат непосредственно вытекает из формулы (3.4),поэтому достаточно провести доказательство только для случая /> />
Проще всеговоспользоваться для этого принципом аналитического продолжения. Так как /> – целаяфункция />,то из равенства /> /> следует />
Решения /> и /> линейнонезависимы между собой. Для /> этот результат являетсяследствием линейной независимости решений /> и />. Линейная независимость для /> /> вытекает изсопоставления поведения рассматриваемых функций при /> [формулы (3.3) и (3.4)]. Такимобразом, общее выражение цилиндрической функции, пригодное при любых значениях />, будет
/> (3.8)
ФункцииБесселя второго рода удовлетворяют тем же рекуррентным соотношениям, что ифункции первого рода, именно:
/> (3.9)
При />, отличном отцелого числа, справедливость этих формул вытекает из определения функцииБесселя второго рода и соответствующих формул для функций первого рода. Дляцелого /> требуемыйрезультат следует из непрерывности рассматриваемых функций по отношению кзначку />,что позволяет осуществить в соотношениях (3.9) предельный переход />
Отметим ещеформулу
/> /> (3.10)
являющуюсяследствием (3.7) и позволяющую свести вычисление функций с отрицательным целым значкомк вычислению функций, индекс которых положителен.
При помощизамены переменных в уравнении (3.1) легко получить ряд других дифференциальныхуравнений, общий интеграл которых может быть выражен через цилиндрическиефункции. Наиболее интересные для приложений уравнения этого типа являютсяразличными частными случаями дифференциальных уравнений
/> (3.11)
общиеинтегралы которых соответственно будут:
/> /> (3.12)
где /> обозначаетпроизвольную цилиндрическую функцию.
4 Разложение в рядфункции Бесселя второго рода с целым значком
Для тогочтобы получить разложение в ряд функции />, достаточно воспользоватьсяформулой (3.7) и вычислить производные по значку />, исходя из разложения (2.1),причем, ввиду соотношения (3.10), можно ограничиться рассмотрением случая целыхположительных />
Так как ряд (2.1),по доказанному, сходится равномерно по отношению к />, мы можем дифференцировать егопочленно и получим тогда [2]
/>
где /> –логарифмическая производная гамма-функции.
Аналогичноимеем
/>
При /> и /> /> /> поэтомупервые /> членовряда принимают неопределенный вид. Воспользовавшись известными формулами теориигамма-функции
/>
/>
/> />;
получим длятаких />
/>
/> />
поэтому
/>
где введенновый значок суммирования />
Из формулы (3.7)следует, что искомое разложение функции Бесселя второго рода с целымположительным значком имеет вид
/>
/> /> (4.1)
где в случае /> первую суммунадлежит положить равной нулю.
Значениялогарифмической производной гамма-функции могут быть вычислены по формулам:
/>
/> (4.2)
где /> – постояннаяЭйлера, />
Принимая вовнимание равенство (1.2), мы можем представить разложение (4.1) в несколькодругом виде, именно:
/> (4.3)
Из (4.1)вытекает, что при /> справедливы асимптотическиеформулы
/> /> /> (4.4)
показывающие,что /> когда/>
5Функции Бесселя третьего рода
Кцилиндрическим функциям относятся также функции Бесселя третьего рода илифункции Ханкеля /> и />, которые для произвольного /> и />,принадлежащего плоскости с разрезом вдоль полуоси />, определяются при помощи формул
/> /> (5.1)
где /> /> – функции Бесселяпервого и второго рода.
Целесообразностьвведения этих функций обусловлена тем, что рассматриваемые линейные комбинациииз /> и /> обладаютнаиболее простыми асимптотическими разложениями при больших /> (пункт 8) и частовстречаются в приложениях.
Изопределения функций Ханкеля следует, что эти функции представляют собойрегулярные функции /> в плоскости с разрезом /> и целыефункции />.Очевидно, что рассматриваемые функции линейно независимы между собой и поотношению к />,так что общий интеграл уравнения Бесселя (3.1) может быть, наряду с (3.8),представлен в одной из следующих форм:
/>(5.2)
где /> – произвольныепостоянные.
Являясьлинейными комбинациями функций /> и />, функции Ханкеля удовлетворяют темже рекуррентным соотношениям, что и эти функции, например,
/> (5.3)
и т.д.
Если спомощью (3.5) исключить из (5.1) функцию Бесселя второго рода, то получим
/>
/> (5.4)
откудавытекают важные соотношения:
/>
/> (5.5)
6Функции Бесселя мнимого аргумента
С функциямиБесселя тесно связаны две часто встречающиеся в приложениях функции /> и />, которые для />,принадлежащего плоскости с разрезом вдоль отрицательной полуоси /> и произвольного />, могут бытьопределены при помощи формул:
/> /> /> (6.1)
/> /> /> (6.2)
и при целом />
/> /> (6.3)
Повторяярассуждения пункта 2, получаем, что /> и /> представляют собой регулярныефункции /> вплоскости с разрезом /> и целые функции />.
Рассматриваемыефункции просто связаны с функциями Бесселя от аргумента />.
Действительно,предположим, что />. Тогда /> и из (2.1) следует
/>
откуда
/> (6.4)
для всех />
Аналогично изформулы (5.4) получаем для таких же />
/>
откуда
/> /> (6.5)
Для значений /> функции /> и /> могут бытьвыражены через функции Бесселя от аргумента />. Мы имеем
/> /> (6.6)
для всех />.
На основанииполученных соотношений функции /> и /> называются функциями Бесселямнимого аргумента. Функция /> известна в литературе также подназванием функции Макдональда.
Из выведенныхформул непосредственно следует, что рассматриваемые функции представляют собойлинейно независимые решения дифференциального уравнения
/> (6.7)
котороеотличается от уравнения Бесселя только знаком одного члена и переходит в негопри подстановке />.
Уравнение (6.7)часто встречается в математической физике. Общий интеграл этого уравнения припроизвольном /> может быть записан в виде
/> (6.8)
Функции /> и /> удовлетворяютпростым рекуррентным соотношениям:
/> (6.9)
и т.д.
Рекуррентныеформулы, содержащие функции />, доказываются подстановкой в нихряда (6.1). Соответствующие формулы для функций /> при />, отличном от целого числа,проверяются путем подстановки в них выражения (6.2) и использования формул первойгруппы. Справедливость последних соотношений при целом /> следует из непрерывности рассматриваемыхфункций по отношению к значку.
Укажем ещедве полезные формулы:
/> (6.10)
первая изкоторых вытекает из (6.1), если принять во внимание, что при /> первые /> членов разложенияобращаются в нуль, в то время как вторая является прямым следствием определенияфункции Макдональда (6.2).
Разложениефункции /> при/> можетбыть получено из (6.3) методом пункта 5. Приведем окончательный результатвычисления:
/> (6.11)
/> />
Здесь />– логарифмическаяпроизводная гамма-функции, значения которой могут быть найдены по формулам (4.2).Для случая /> первуюиз сумм надлежит считать равной нулю.
Из (6.11)вытекает, что асимптотическое поведение функции /> при /> определяется формулами
/> /> /> (6.12)
поэтому />
7 Цилиндрические функциис индексом, равным половине нечетного целого числа
Специальныйкласс цилиндрических функций образуют цилиндрические функции с индексом, равнымполовине нечетного целого числа. В рассматриваемом случае цилиндрическиефункции могут быть выражены через элементарные функции. Чтобы показать это,найдем предварительно значения функций />, для чего положим в (2.1) /> ивоспользуемся для преобразования рядов формулой удвоения гамма-функции
/>
Мы получимтогда
/> (7.1)
и аналогично
/> (7.2)
Возможностьвыразить функцию Бесселя первого рода с любым полуцелым значком черезэлементарные функции следует теперь из рекуррентной формулы (2.5)
/>
пользуяськоторой можно последовательно получить:
/>
/>
и т. д.
Общеевыражение для /> через элементарные функцииполучается из формул (2.7). Например, если положить во второй из них /> ивоспользоваться результатом (7.1), то находим:
/> /> (7.3)
Соответствующиеформулы для функций Бесселя второго и третьего рода могут быть выведены из найденныхсоотношений, если воспользоваться выражениями этих функций через функцииБесселя первого рода (3.5 и 5.4). Например, мы имеем:
/> (7.4)
и т. д.
В заключениеукажем на формулы:
/> /> /> (7.5)
вытекающие изопределений рассматриваемых функций (6.1 – 6.2).
Формулы длядругих полуцелых значений индекса получаются из этих формул с помощьюрекуррентных соотношений (6.9). Лиувиллем доказано, что случай полуцелогоиндекса является единственным, когда цилиндрические функции приводятся кэлементарным.
8 Асимптотическиепредставления цилиндрических функций для больших значений аргумента
Цилиндрическиефункции обладают простыми асимптотическими представлениями, удобными дляаппроксимации этих функций при больших по модулю значениях /> и фиксированномзначении индекса /> [5]. Главные члены этих формулможно получить, исходя из дифференциальных уравнений, которым удовлетворяютрассматриваемые функции.
Изцилиндрических функций наиболее простые асимптотические представления имеютфункции третьего рода.
Чтобыполучить асимптотическое представление функции />, воспользуемся равенством
/> /> (8.1)
и преобразуемего с помощью подстановки />. Тогда получим
/> (8.2)
/> />
Заменяямножитель /> биноминальнымразложением с остаточным членом
/>
и интегрируяпочленно, находим
/> (8.3)
где />
Предположим,что /> (/>– произвольноемалое положительное число) и будем временно считать, что /> выбрано так, что /> Оценкаостаточного члена по модулю тогда дает
/>
прификсированном />
Такимобразом, для больших />
/> (8.4)
/> /> />
Покажем, чтоусловие, наложенное на />, может быть отброшено.Действительно, если />, то можно выбрать такое />, что />. Представив /> с помощьюформулы (8.4), где /> заменено на />, и замечая, что
/>
мы сноваприходим к прежнему результату.
Также легко спомощью соотношения /> освободиться от ограничения,наложенного на параметр />.
Наконец, есливоспользоваться вместо (8.1) интегральным представлением несколько более общеговида, можно показать, что найденная асимптотическая формула остаетсясправедливой в более широком секторе /> [5].
Такимобразом, окончательно для больших />
/> /> (8.5)
где />
Асимптотическоепредставление для функции /> получается аналогичным способомиз формулы
/> (8.6)
/> />
и имеетследующий вид:
/> /> (8.7)
Асимптотическиепредставления для цилиндрических функций первого и второго рода следуют извыведенных формул (8.5) и (8.7) и соотношений (5.1). Мы находим
/> (8.8)
/>
/> (8.9)
Асимптотическиеформулы для модифицированных цилиндрических функций могут быть получены спомощью соотношений пункта 6.
Окончательныеформулы имеют следующий вид:
/> (8.10)
/> (8.11)
/> знак /> соответствует />
При условии,что />,второе слагаемое в (8.10) будет мало, и эта формула может быть записана в виде
/> (8.12)
Из (8.5) и (8.7– 8.12) следует, что расходящиеся ряды, получающиеся, если формально положить />, являютсяасимптотическими для функций, стоящих в левых частях рассматриваемых равенств.
Способ, припомощи которого выведены рассматриваемые формулы, дает только порядок величиныостаточного члена, но не позволяет сделать более точных заключений. При специальныхпредположениях относительно /> и /> можно, путем некотороговидоизменения рассуждений, получить значительно более точные результаты. Так,например, можно показать, что если /> и /> – вещественные положительныечисла и число /> взято настолько большим, что /> то остаткиасимптотических разложений для /> и /> будут численно меньше первыхотбрасываемых членов. В асимптотическом представлении для /> тот же результат имеетместо при />.
9Нули цилиндрических функций
При решениимногих прикладных вопросов необходимо иметь представление о распределении нулейцилиндрических функций на плоскости комплексного переменного и уметьприближенно вычислять их значения.
Распределениенулей функций Бесселя с целым положительным значком, т. е. решений уравнения
/> /> (9.1)
устанавливаетсяследующей теоремой.
Теорема 4. Функция /> /> не имеет комплексныхнулей и имеет бесконечное множество вещественных нулей, расположенныхсимметрично относительно точки />, которая, в случае /> принадлежит к их числу.Все нули функции – простые, за исключением точки />, которая при /> является соответственнонулем кратности />.
Распределениенулей функций Бесселя с произвольным вещественным индексом />, т. е. решенийуравнения
/> /> – вещественно, (9.2)
дается болееобщей теоремой 5.
Теорема 5. Функция /> /> /> – любое вещественноечисло) имеет бесконечное множество вещественных положительных нулей и конечноечисло /> комплексныхсопряженных нулей, где, в зависимости от значения параметра />,
(1) /> если /> или />
(2) /> при /> />
Если /> средикомплексных нулей имеется пара чисто мнимых.
Все нулифункции простые, исключая, может быть, точку />.
Вматематической физику часто встречается уравнение
/> /> (9.3)
(где /> и /> – заданныевещественные числа, />), которое можно рассматривать какобобщение уравнения (9.2). При указанном ограничении параметра /> рассматриваемоеуравнение имеет бесконечное множество положительных корней и не имееткомплексных корней, за исключением случая />, когда это уравнение имеет двачисто мнимых корня.
Распределениенулей функции /> может быть выведено из теоремы 5с помощью соотношений пункта 6. В частности, отметим важный результат, что при /> все нулифункции /> чистомнимые. Функция Макдональда /> при вещественном /> не имеет нулей вобласти />.Нули функции, лежащие в остальной части разрезанной плоскости, комплексныесопряженные и число их конечно.
Дляприближенного вычисления корней уравнений, содержащих цилиндрические функции,применяется метод последовательных приближений, причем за хорошее начальноеприближение во многих случаях могут быть приняты корни уравнений, получающихсяиз исходных при замене цилиндрических функций их асимптотическимипредставлениями.
10Пример
Решитьдифференциальное уравнение:
/>
Решение:
В данном уравнении сделаемзамену
/> где /> />
Следовательно,
/>
/>
Подставим найденныепроизводные в исходное уравнение, получим:
/>
/>
/>
Умножим на />:
/>
Пусть />, тогда получим:
/>
/>
Разделим на />:
/>
/>
/>
Исходя из общего видауравнения Бесселя (1) следует, что />.
Общеевыражение цилиндрической функции для /> на основании формулы (1.14)представляет линейную комбинацию построенных решений:
/>
где /> и /> – произвольныепостоянные.
Такимобразом, решение исходного уравнения имеет вид:
/>.
Заключение
В даннойкурсовой работе были изучены функции Бесселя (уравнение Бесселя имодифицированное уравнение Бесселя), основные свойства вышеуказанных функций ирешено дифференциальное уравнение с использованием функций Бесселя.
Списоклитературы
1. ЛебедевН.Н. Специальные функции и их приложения (2-е изд.). – М.-Л.: ГИФМЛ, 1963г. – 359с.
2. РомановскийП.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции.Преобразование Лапласа, учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 1983г. – 336с.
3. БейтменГ., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Функции Бесселя, функциипараболического цилиндра, ортогональные многочлены. – М.: Наука, 1966г. – 296с.
4. ПискуновН.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, учебное пособие для вузов. – М.:Наука, 1985г. – 560с.
5. G.N. Watson A treatise on the theory of Bessel functions. 1945. (Имеется перевод: ВатсонГ.Н. Теория бесселевых функций: Пер. со 2-го англ.изд. / Авт.предисл. В.С. Берман. – М.: ИЛ, 1949г.– 798с.)
6. СабитовК.В. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения. – М.: Высшаяшкола, 2005г. – 671с.
7. КузнецовД.С. Специальные функции. – М.: Высшая школа, 1962г. – 249с.
8. МорсФ.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2. – М.: ИЛ, 1960г. – 897с.
9. КореневБ.Г. Введение в теорию бесселевых функций. – М.: Наука, 1971г. – 287с.
10. КузьминР.О. Бесселевы функции. – Л.-М.: ГТТИ, 1933г. – 152с.