Функциямногих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частныепроизводные.
План.
1. Определение функции многихпеременных.
2. Предел функциимногих переменных. Непрерывность функции многих переменных.
3. Частныепроизводные.
1. Обозначимчерез D некоторое множество точек в п-мерномпространстве.
Если задан закон f , в силу которого каждой точке М(х/>;...;х/>)/> D ставится в соответствие число и,то говорят, что на множестве Dопределенафункция и=f(х/>;...;х/>).
Множество точек М(х/>;...;х/>), для которых функция и=f(х/>;...;х/>) определена, называют областью определения этой функции и обозначают D(f).
Функции многих переменныхможно обозначать одним символом и=f(М), указывая размерность пространства,которому принадлежит точка М.
Функции двух переменныхможно изобразить графически в виде некоторой поверхности.
Графиком функции двухпеременных z=f(х;у) в прямоугольнойсистеме координат Оху называется геометрическое место точек в трехмерномпространстве, координаты которых (х;у;z) удовлетворяют уравнению z=f(х;у).
2. Обозначимчерез />(М;М/>) расстояние междуточками М иМ/>. Если п=2,М(х;у), М/>(х/>;у/>), то
/>(М;М/>)=/>.
В п-мерномпространстве
/>(М;М/>)=/>.
Пусть на множестве Dзадано функцию и=f(М).
Число А называетсяпределом функции и=f(М)в точке М/>, если дляпроизвольного числа />>0 найдётсятакое число />>0, что для всех точек М/> D, которые удовлетворяют условию 0(М;М/>), выполняется неравенство
/>/>/>.
Свойства пределовфункций одной переменной сохраняются и для функций многих переменных, то есть еслифункции f(М) и g(М) имеют в точке М/> конечные пределы, то
1. />= с/>,
2. />=/>/>/>,
3. />=/>/>.
4. /> если />/>.
Заметим, что еслипредел /> существует, то он недолжен зависеть от пути, по которому точка М стремится к точке М/>.
Функция и=f(М) называется непрерывнойв точке М/>, если
/>= f(М/>).
Функция и=f(М) называется непрерывнойна множестве D, если она непрерывна в каждой точке М/>D.
Точки, в которых непрерывностьфункции нарушается, называются точками разрыва функция. Точки разрывамогут быть изолированными, создавать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д.Например, функция z=/> имеет разрыв в точке (0;0), афункция z=/> имеет разрыв на параболе />
3. Множество точек М, которыеудовлетворяют неравенству />(М;М/>), называют />-окрестностью точки М/>.
Пусть функция двухпеременных z=f(x;у) (для большего количества переменных всёаналогично) определена в некоторой окрестности точки М(x;у). Дадим переменной хприращение />так, чтобы точка (х+/>;у) принадлежалаэтой окрестности. При этом функция z=f(x;у)изменится на величину
/>,
которая называется частичнымприращением функции z=f(x;у) по переменной х.
Аналогично величину
/>
называют частичнымприращением функции по переменной у.
Если существуетпредел
/>/>,
то его называют частнойпроизводной функции z=f(x;у) в точке М(x;у) по переменной х иобозначают такими символами:
/>,/>,/>,/>.
Аналогично
/>= />/>.
Из такихопределений следует, что правила вычисления производных, совпадают с правиламидифференцирования функций одной переменной. Следует только помнить, что привычислении частной производной по одной переменной остальные переменныесчитаются постоянными.
Частные производныехарактеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующихкоординатных осей.
Частные производныеот частных производных />, /> функцииz=f(x;у)называются частными производными второго порядка. Функция двухпеременных может иметь четыре частные производные второго порядка, которыеобозначают так:
/>, />,
/>, />.
Производные /> и /> называются смешанными.Можно доказать, что если они непрерывны, то равны между собой.
Частные производныеот частных производных второго порядка называются частными производнымитретьего порядка и т. д.
Лекция11. Тема – Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент.Локальные экстремумы.
План.
1. Дифференцируемость функции. Полныйдифференциал. Дифференциалы высших порядков.
2. Производная внаправлении. Градиент и его свойства.
3. Локальныеэкстремумы функции высших порядков.
1. Пусть функция z=f(x;у)непрерывна в некоторой окрестности точки М(x;у) вместе со своими частнымипроизводными />(х;у),/>(х;у).Выберем приращение />и />так, чтобы точка (х+/>; у+/>) принадлежаларассматриваемой окрестности.
Если полное приращениефункции z=f(x;у) в точке М(x;у)
/>= f(x+/>;у+/>)-f(x;у)
можно записать в виде
/>=/>(х;у)/>+ />(х;у)/>+/>,
где /> — бесконечно малые функциипри />/>, />/>,то функция z=f(x;у) называется дифференцированной вточке М(x;у),а линейная относительно />и /> часть её полногоприращения /> называется полнымдифференциалом функции и обозначается
dz=/>/>+/>/>.
Дифференциаламинезависимых переменных называют приращения этих переменных dх=/>, dу=/>. Поэтому
dz=/> dх +/> dу,
или в других обозначениях
dz=/> dх +/> dу.
Для функции трёхпеременных и= f(x;у;z)
dи=/> dх +/> dу+/> dz.
Полный дифференциалфункции z=f(x;у)
dz=/> dх +/> dу,
который ещё называютдифференциалом первого порядка, зависит от независимых переменных х,у и от их дифференциалов dх, dу. Заметим, что дифференциалы dх, dу не зависят отх,у.
Дифференциалы второгопорядка определяют по формуле
d2z= d(dz).
Тогда
d2z= d(/>dх+/> dу)= />(/>dх+/> dу)dх+/>(/>dх+/> dу)dу=/>dх2+/> dу dх+
+/> dх dу+/>dу2,
откуда
d2z=/>dх2+2/> dх dу+/>dу2.
Символически это можнозаписать так:
d2z=(/>dх+/> dу)2z.
Аналогично можно получитьформулу для полного дифференциала п-го порядка:
dпz= d(dп-1z) =(/>dх+/> dу)пz.
2. Производная функции z=f(x;у)в направлении вектора /> вычисляется поформуле
/>/>/>+/>/>,
где />, /> — направляющие косинусывектора />:
/>= />, />= />.
Если частные производныехарактеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующихкоординатных осей, то производная в направлении вектора />определяет скоростьизменения функции в направлении вектора />.
Градиентом функции z=f(x;у)называется вектор
grad z=(/>,/>).
Свойстваградиента
1. Производная /> имеет наибольшее значение,если направление вектора /> совпадаетс направлением градиента, причём это наибольшее значение производной равно />.
2. Производная внаправлении вектора, перпендикулярного градиенту, равна нулю.
3. Пусть функция z=f(x;у)определена на множестве Dи точка М/>(х/>;у/>)/>D. Если существует окрестность точки М/>, которая принадлежитмножеству D, и для всех отличных от М/> точек Мвыполняется неравенство
f(М)f(М0) (f(М)>f(М0)),
то точку М/> называют точкойлокального максимума (минимума) функции z=f(x;у),а число f(М0) - локальныммаксимумом (минимумом) этой функции. Точки максимума и минимума функцииназывают её точками экстремума.
Теорема 5.1 (необходимые условия экстремума). Если функция z=f(x;у) в точке М/>(х/>;у/>) имеет локальныйэкстремум, то в этой точке частные производные />,/> равны нулю или несуществуют.
Точки, в которых />=/>= 0, называются стационарными.Стационарные точки и точки, в которых частные производные не существуют, называютсякритическими.
Поэтому функция можетдостигать экстремальных значений только в критических точках; однако не всякаякритическая точка является точкой экстремума.
Пусть в стационарнойточке М/>(х/>;у/>) и некоторой еёокрестности функция z=f(x;у) имеет непрерывные частные производныевторого порядка. Введём обозначения:
А=/>(х/>;у/>), В=/>(х/>;у/>), С=/>(х/>;у/>), />=АС-В2.
Теорема 5.2 (достаточные условия экстремума).
1. Если />>0,то функция z=f(x;у) в точке М/> имеетэкстремум, причём максимум при АА>0.
2. Если />М/> нет экстремума.
Для случая, когда количествопеременных п>2, пользуются такой теоремой.
Теорема 5.3 Функция и=f(х/>;...;х/>) имеет минимум встационарной точке М/>, еслидифференциал второго порядка этой функции в точке М/> положителен d2f(М/>)>0,и максимум, если d2f(М/>)
Пример. Исследовать наэкстремум функцию
z=(х+2)2+(у -1)2.
Решение.
/>/>/> /> /> />
Функция имеет однукритическую точку М(-2;1).
/> /> /> А=2, В=0, С=2,
/>=АС-В2= 2*2-02=4>0, А>0.
Значит, в точкеМ(-2;1)функция имеет минимум: min z=z(-2;1)=(-2+2)2+(1-1)2=0.
Лекция 12. Тема – Интегральное исчислениефункций. Первообразная. Неопределённный интеграл. Методы интегрирования.
План.
1. Первообразнаяфункции. Неопределённный интеграл. Свойства неопределённого интеграла.
2. Таблица основныхинтегралов. Метод подстановки (замены переменной).
3. Интегрирование почастям. Интегралы, которые”не берутся”.
Интеграл – одно изцентральных понятий математики. Оно возникло в связи с двумя задачами: 1) овосстановлении функции по её производной; 2) о вычислении площади криволинейнойтрапеции. Эти задачи приводят к двум связанным между собой видам интегралов:определённого и неопределённого. Термин ”интеграл”ввёл Якоб Бернулли в 1690 году.
1. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если во всех точках этого промежутка выполняетсяравенство F’(x)=f(x).
Например. первообразнымифункцииf(x)=3х2 будут функциих3, х3+1, х3+0,5 и вообщеF(x)=х3+С, где С –произвольная постоянная, поскольку F’(x)=(х3+С)’=3х2.Этот пример показывает, что если функцияf(x)имеет одну первообразную, то она имеет их бесконечно много. Возникает вопрос:как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них? Ответдаёт такая теорема.
Теорема 6.1 Если F(x)– первообразная функцииf(x) на некотором промежутке, то всякаядругая первообразная функцииf(x)на этом промежутке имеет вид F(x) +С, где С –произвольная постоянная.
Множество всехпервообразных F(x) +С функцииf(x) называют неопределённым интегралом функции f(x) и обозначают />.Таким образом, по определению
/>=F(x)+С, если F’(x)=f(x).
При этом f(x) называют подынтегральной функцией, f(x)dх –подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, знак /> — знаком интеграла, С– постоянной интегрирования.
Операцию нахожденияпервообразной функцииf(x) называют интегрированием этойфункции.
Операциидифференцирования и интегрирования являются обратными по отношению друг к другу.
Возникает вопрос: длякаждой ли функцииf(x) существует первообразная, а значит,и неопределённый интеграл? Оказывается не для каждой. Но справедлива такая
Теорема 6.2. Всякая непрерывная на промежутке [a;b] функция имеет на этом промежутке первообразную.
СВОЙСТВАНЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
1. (/>)’=f(x).
2. />=F(x)+С.
3. d/>=f(x)dх.
4. />=/>/>/>.
5. Если />=F(x) +С и и=/>-произвольная функция, которая имеет непрерывную производную, то
/>=F(и) +С.
В частности,
/>=/> F(ax+b) +С.
Из очень важного свойства5 следует, что таблица интегралов остаётся верной независимо от того, являетсяли переменная интегрирования независимой переменной или произвольнойдифференцированной функцией. Таким образом, из одной формулы можно получатьмного других.
Пример.
/>=/>+С />/>=/>=/>+С, />=/>=/>+С, />=/>/>+С.
2. ТАБЛИЦАОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. /> />.
2. />
3. /> а>0, />.
4. />
5. />
6. />
7. />
8. />
9. />
10. />
11. />
12. />
13. />
14. />
15. />
16. />
17. />
18. />
Непосредственным интегрированием называют вычисление интегралов с помощью основных свойств неопределённого интеграла и таблицы интегралов.
Пример.
/>
Метод подстановкиявляется одним из основных методов интегрирования. Больше того, изучениеметодов интегрирования в основном сводится к выяснению того, какую подстановкунадо сделать в том или ином случае.
Пример.
/>
Этот пример можно было бырешить и так:
/>
Такой методинтегрирования называется методом введения функции под знак дифференциала.
3. Пусть и(х), v(x) – функции, которые имеют на некотором промежуткенепрерывные производные. Тогда
d(uv) = udv+ vdu
или
udv= d(uv)–vdu.
Интегрируя это равенство,получим
/>
или, учитывая свойство 2неопределённых интегралов,
/>.
Эту формулу называютформулой интегрирования по частям.
Укажем некоторыеинтегралы, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:
1) в интегралах /> />/>, где k – натуральное число, за иследует брать хk, аза dv – выражение, которое осталось;
2) в интегралах /> />/>/>, следует обозначать dv= хkdx.
Неопределённый интегралсуществует для произвольной непрерывной функцииf(x), то есть />=F(x) +С. Но при этом не всегда первообразная F(x) является элементарной функцией. О таких интегралахговорят, что они”не берутся”. Например,
/>=F(x)+С, где F(x) = х — />+/>-/>+… .
Не берутся такиеинтегралы:
/> - интегральный логарифм, /> - интегральный синус, /> — интегральный косинус, />, /> -интегралы Френеля идругие.
В связи с этимважно выделить такие классы функций, интегралы от которых всегда выражаютсячерез элементарные функции. Одним из таких классов функций, интегралы откоторых всегда ”берутся”, являетсякласс рациональных функций.
Лекция 13. Тема –Элементарные дроби и ихинтегрирование.Интегрирование некоторыхиррациональных и тригонометрических функций.
План.
1. Рациональные функции. Элементарныедроби и их интегрирование.
2. Разложение правильной рациональнойдроби на элементарные дроби.
3. Интегрирование некоторыхиррациональных и тригонометрических функций.
1. Рациональной функцией илирациональной дробью называютдробь
/>
где Рт(х),Qn(x) – многочлены степени т и п:
Qn(x) = />хп+/>хп -1+...+/>, Рт(х)= />хт+/>хт -1+...+/>.
Рациональная дробьназывается правильной, если степень числителя меньше степенизнаменателя т п, и неправильной, если т/>п.
Неправильную дробь всегдаможно записать в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Поскольку многочленыинтегрируются очень легко, то задача интегрирования рациональных функцийсводится, таким образом, к интегрированию правильных дробей. Правильные дроби,в свою очередь раскладываются на элементарные дроби. Поэтому рассмотриминтегрирование элементарных дробей.
Различают четыре видаэлементарных дробей:
І./>, ІІ. />, ІІІ. />, ІV. />,
где п=2,3,..., атрехчлен х2+рх+qнеимеет действительных корней, то есть D=р2-4q0.
Рассмотрим, какинтегрируются эти дроби.
І./>
ІІ. />
ІІІ. Пример.
/>/>/>/>/>/>---/>= />-/>.
2. Как известно из алгебры, многочлен Qn(x) степени п может бытьразложен на линейные и квадратичные множители
Qn(x) = />(х-х/>)k/>…(х-хr)k/>(x2+p/>x+q/>)l/>…(x2+p/> x+q/>)l/>,
где />, х/>, p/>, q/> - действительные числа; k/>, I/> - натуральные числа; k/>+…+ k/>+2(I/>+…+ I/>)=n, р/>2— 4q/>0.
Рассмотрим правильную рациональнуюдробь
/>
знаменатель которой ужеразложен на линейные и квадратичные множители. Тогда эту дробь можно разложитьна сумму элементарных дробей по таким правилам:
1) множителю (х-а)kсоответствует сумма дробей вида
/>+/>+…+/>;
2) множителю (x2+px+q)I соответствует сумма дробей вида
/>+/>+…+/>,
где А/>,М/>,N/> — неопределённые коэффициенты.
Искать эти неопределённые коэффициенты можно исходя из того, что равныемногочлены имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х.
Пример. Вычислитьинтеграл
/>.
Решение.
/>/>/>+/>,
х+5=А(х+2)+В(х+1),
/> А=4, В=-3.
/>= 4/>-3/>= 4ln/>-3ln/>+C.
3. 1. Интегралывида
/>
где R(х,у) – рациональнаяфункция относительно х иу, />,сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки
ax+b=t/>.
2. Интегралы вида
/>
где R – рациональная функция, p/>, q/> - целые числа, сводятся к интеграламот рациональных функций с помощью подстановки
/>=t/>,
где п – общийзнаменатель дробей />,/>,… .
3. Интегралы вида
/> (6.1)
всегда сводятся кинтегралам от рациональных функций с помощью, так называемой, универсальнойтригонометрической подстановки
/>, />, />,
х=2arctgt, dx=/>.
Замечание. Универсальная тригонометрическаяподстановка всегда приводит к цели, но в силу своей универсальности она частотребует неоправданно громоздких вычислений. Поэтому во многих случаях удобнее пользоватьсядругими подстановками. Рассмотрим некоторые из них.
1) Если в интеграле(6.1) R(-sin x, cosx)=- R(sin x, cosx),то удобно делать подстановку cos x=t.
2) Если R(sin x,-cosx)=- R(sin x, cosx),то удобно делать подстановку sin x=t.
3) Если R(-sin x, -cosx)=R(sin x, cosx),то удобно делать подстановку
tg x=t, />, />,
х=arctgt, dx=/>.
4. Рассмотрим более детальноинтегралы вида
/>,
где т, п– целые числа.
1) Если т –нечётное положительное число, то удобно делать подстановку cos x=t.
2) Если п –нечётное положительное число, то удобно делать подстановку sin x=t.
3) Если обапоказателя т и п – чётные неотрицательные числа, то надоделать понижение степени синуса и косинуса по формулам
/>, />.
4) Для нахожденияинтегралов вида
/>, />
удобно пользоватьсяформулами
/> />
5. В интегралах
/>, />, />, />
надо подынтегральнуюфункцию записать в виде суммы функций с помощью формул
/>
/>
/>
Лекция 14. Тема – Задача о площадикриволинейной трапеции.Определённыйинтеграл его геометрический смысл исвойства.
ФормулаНьютона-Лейбница.
План.
1. Задача о площадикриволинейной трапеции. Определение и существование определённого интеграла.
2. Геометрическийсмысл определённого интеграла. Свойства определённого интеграла.
3. Интеграл спеременным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
/>1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченнаялинией у= f(x) и прямыми х=а, х=b, у=0. Будем считать, что f(x)/>на [a;b].
/>/>/>/>/>/> у у= f(x)
/>
0 а х/> х/>/>х/> b x
Разобьём отрезок [a;b] произвольным образом на п частей точками а=х/>x/>х/>х/>х/>=b.
На каждом отрезке [х/>;х/>] возьмём произвольнуюточку /> ивычислимзначениеf(/>).Тогда площадь S/>заштрихованного прямоугольника, будет равна
S/>= f(/>)/>, где />=х/> — х/>.
Площадь S всей трапеции приблизительно равна
S/>/>.
Пусть />. Естественно считать, что
S/>. (6.2)
К пределам вида (6.2)приводят много других задач, поэтому возникает необходимость всестороннегоизучения таких пределов независимо от конкретного содержания той или инойзадачи.
Пусть функция у= f(x) определена на отрезке [a;b].Разобьём этот отрезок на п произвольных частей точками
а=х/>x/>х/>х/>х/>=b.
На каждом из созданныхотрезков [х/>;х/>] возьмём произвольнуюточку /> и составим сумму
/>, где />=х/> — х/>,
которую будем называть интегральнойсуммой функции f(x).
Обозначим />. Если существует конечныйпредел интегральной суммы />, при />,который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b],ни от выбора точек/>, то этотпредел называется определённым интегралом функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначаетсясимволом/>, где функция f(x) называется интегрированной на отрезке [a;b].
То есть, по определению,
/>=/>.
Числа а и bназываются соответственно нижним иверхним пределом интегрирования.
Относительносуществования определённого интеграла имеетместо такая теорема
Теорема 6.3. Если функция f(x) ограничена на отрезке [a;b] и непрерывна нанём везде, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.
2. Если f(x)/>,то /> равен площадисоответствующей криволинейной трапеции: />=S. Если f(x)= -S.
Отсюда следует, что еслина симметричном относительно начала координат отрезке [-a; а], а>0 задана нечётная функция,то/>=0. Например, />Если функция f(x) чётная, то />=2/>.
Свойстваопределённого интеграла
Будем считать, что всеинтегралы, которые рассматриваются, существуют.
1. />=/>. Величина определённогоинтеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.
2. />=0.
3. />= -/>.
4. />=/>+/>.
5. />=А/>.
6. />=/>/>/>.
7. Если на отрезке [a;b] f(x)/>,то />/>/>.
8. Если т и М –соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x), на отрезке [a;b], то
т(b-a) />/>/>M(a-b).
9. (теорема о среднемзначении функции).
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этомотрезке существует такая точка с, что />=f(с) (b-a).
Число f(с)=/> /> называют средним значениемфункции f(x) на отрезке [a;b].
3. Пусть функция у= f(x) непрерывна на отрезке [a;b].Тогда она интегрируема на любом отрезке [a;х]/> [a;b], то есть для произвольного х/>[a;b] существует интеграл />,который, очевидно, является функцией от х. Обозначим эту функцию черезФ(х)
Ф(х)= /> (6.3)
и назовём интегралом спеременным верхним пределом.
Теорема 6.4. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то интеграл(6.3) является дифференцированной функцией на этом отрезке, причём Ф’(х)=f(x).
Другими словами, интегралс переменным верхним пределом является одной из первообразных подынтегральнойфункции f(x).
Пусть функция у= f(x) непрерывна на отрезке [a;b]и F(x) – первообразная функцииf(x). Поскольку функция Ф(х) = />также является первообразной функции f(x), а две первообразные одной функцииотличаются только постоянным слагаемым, то
Ф(х)=F(x) +С, или />=F(x)+С. (6.4)
Считая в (6.4) х=а, получим
/>=0=F(а)+С/>С=- F(а).
Равенство (6.4) можнозаписать в виде
/>=F(x) — F(а).
Заменим х на b иtнаx.Получим формулу
/>=F(b) — F(а),
которая называетсяформулой Ньютона-Лейбница. Часто её записывают в виде
/>=F(x)/>.
Формула Ньютона-Лейбницадаёт удобный способ вычисления определённых интегралов.
Если функция и=и(х),v=v(x)и их производные и’(х), v’(x)непрерывны на отрезке [a;b], то справедлива формулаинтегрирования по частям
/>=uv/>-/>.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], а функция х=/>и её производная х’=/> непрерывны на отрезке[a;b], причём />,/>, то справедливаформула
/>=/>.
Заметим, что, в отличиеот неопределённого интеграла, в определённом интеграле нет необходимости делатьобратную замену, поскольку появляются новые пределы интегрирования.
При определенииопределённого интеграла
/>
как предела интегральныхсумм предусматривалось, что: 1) отрезок интегрирования [a;b] конечный и 2) подынтегральная функция f(x) на этом отрезке ограничена. Такой интегралназывается собственным, хотя слово «собственнный», как правило, опускается.
Если же хотя бы одно издвух приведенных условий нарушается, то интеграл называют несобственным.Различают два вида несобственных интеграла.
1. Несобственныеинтегралы с бесконечными пределами интегрирования
(несобственныеинтегралы Ірода).
Если функция f(x) непрерывна при />,то считают
/>=/>/> (6.5)
и в зависимости отсуществования или не существования конечного предела в правой части формулы(6.5) несобственный интеграл І рода/> называют сходящимся илирасходящимся. Аналогично
/>=/>/>, />=/>/>.
2. Несобственныеинтегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы ІІрода).
Если функция f(x) неограничена в любой окрестности точки с/>(a;b) и непрерывна при />,и />, то по определению считают
/>=/>/>+ />/>. (6.6)
Если оба предела в правойчасти равенства (6.6) существуют и конечны, то несобственный интеграл считаютсходящимся, в противном случае – расходящимся.
Если функция f(x) неограничена только на одном из концов отрезка[a;b], то соответствующие определения несобственногоинтеграла ІІ рода упрощаются:
/>=/>/>,
если функция f(x) неограничена в точке х=а, и
/>=/>/>,
если функция f(x) неограничена в точке х=b.
Лекция15. Тема – Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения сразделяющимися переменными, однородные дифференциальные уравнения.
План.
1. Основные понятия.
2. Дифференциальные уравнения сразделяющимися переменными.
3. Однородные дифференциальныеуравнения.
1. Дифференциальнымиуравнениями называют уравнения, которые содержатнеизвестную функцию, её производные и аргументы.
Обыкновенным называется дифференциальноеуравнение, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной.Если неизвестная функция является функцией многих переменных, тосоответствующее уравнение называется дифференциальным уравнением в частныхпроизводных.
Порядкомдифференциальногоуравнения называется наивысший порядокпроизводной, которая входит в это уравнение.
Пример 7.1.
1) /> - обыкновенноедифференциальное уравнениеІ порядка.
2) /> — обыкновенноедифференциальное уравнениеІІІ порядка.
3) />+/>=0 — дифференциальное уравнениевчастных производных ІІ порядка(уравнение Лапласа).
Далее будем рассматриватьтолько обыкновенные дифференциальные уравнения.
Наиболее общий виддифференциального уравнения І порядкатакой:
F(x,у,у’)=0. (7.1)
Решением этого уравненияна некотором промежутке называется дифференцированная на этом промежуткефункция />, которая при подстановкееё в уравнение превращает его в тождество.
Пример 7.2. Решить уравнение />.
Решение.
/> />= у, />=/>, ln/> = x+ln/>, у=Сех.
Получили множестворешений.
/>/> у
С=2
С=1
2
/> 1 С=0
/>/> 0
-1 С= -1
-2
С=-2
Функция />, где С –произвольная постоянная, называется общим решением уравнения (7.1) вобласти D, если:
1) функция />является решениемуравнения(7.1) для всех значений переменной С из некоторого множества;
2) для произвольной точки (/>) />существует единственное значение С=С0, при котором функция />удовлетворяет начальномуусловию/>
Решение />, полученное из общегорешения при С=С0, называется частным решением уравнения(7.1).
С геометрической точкизрения решение />определяетнекоторое бесконечное множество кривых, которые называются интегральнымикривыми данного уравнения. Частное решение определяет только однуинтегральную кривую, которая проходит через точку с координатами (/>).
Если общее решениеуравнения (7.1) найдено в неявном виде Ф(х,у,С)=0, тотакое решение называют общим интегралом дифференциального уравнения;равенство Ф(х,у,С0)=0 называют частныминтегралом дифференциального уравнения.
Значит, для уравнения(7.1) можно поставить две задачи:
1) найти общеерешение />уравнения (7.1);
2) найти частное решение/>уравнения (7.1), котороеудовлетворяет начальному условию />.
Вторая задача называется задачейКоши для обыкновенного дифференциального уравненияІ порядка.
Пример 7.3. Решить задачу Коши
/>, у(0)=2.
Решение. Сначала ищемобщее решение дифференциального уравнения: у=Сех.
Из начального условияимеем: 2= Се0 /> />.
Решением задачи Кошиявляется такая функция: у=2ех.
Если уравнение (7.1)можно решить относительно у’, то его записывают в виде
/>
и называют уравнениемпервого порядка, решенным относительно производной, или уравнением в нормальнойформе.
Теорема 7.1 (существования и единственностирешения задачи Коши). Если функция /> непрерывнав некоторой области D,которая содержит точку М/>(/>), то задача Коши
/>, />
имеет решение. Если,кроме этого, в точке М/> непрерывначастная производная />, то это решениеединственное.
Процесс нахождениярешений дифференциальных уравнений называется интегрированием этих уравнений.Если этот процесс сводится к алгебраическим операциям и вычислению конечногочисла интегралов и производных, то говорят, что уравнение интегрируется вквадратурах. Однако класс таких уравнений очень ограничен. Поэтому для решениядифференциальных уравнений широко применяют разные приближённые методыинтегрирования дифференциальных уравнений с использованием вычислительнойтехники.
Рассмотрим некоторые типыуравнений, интегрируемых в квадратурах.
2. Дифференциальное уравнение вида
/>
называется дифференциальнымуравнением с разделёнными переменными.
Чтобы найти его общеерешение, достаточно проинтегрировать обе его части.
/>.
Дифференциальноеуравнение вида
/>
называется дифференциальнымуравнением с разделяющимися переменными.
Чтобы найти его общеерешение, надо сначала отделить переменные
/>
а затем проинтегрировать
/>
Пример 7.4. Найти общее решение уравнения
/>
Решение. Сначала отделимпеременные
/> />,
а затем проинтегрируем
/>, />, у=Сlnx.
3. Функция /> называетсяоднородной функцией п-го измерения относительно переменных х и у,если для произвольного числа /> выполняетсятождество
/>
Пример 7.5.
1) />=/>, />
/> — однородная функция третьегоизмерения.
2) />=/> — однородная функциянулевого измерения.
Уравнение y’=/>называется однородным дифференциальным уравнениемпервого порядка, если функция />являетсяоднородной функцией нулевого измерения, то есть, если
/> (7.2)
Очевидно, уравнение вида
/>
будет однородным тогда итолько тогда, когда функции Р(х,у) и Q(х,у), будутоднородными функциями одного и того же измерения. Например, уравнение
/>
однородное. Считая, всоотношении (7.2) />, получим
/>
Поэтому можно дать ещёодно определение однородного уравнения:однородным дифференциальнымуравнением называется уравнение вида
/> (7.3)
Применим в уравнении(7.3) подстановку
/>, />, />
Тогда получим уравнение сразделяющимися переменными
/>,
которое всегдаинтегрируется в квадратурах:
/>,
/>.
После интегрирования надосделать обратную замену, то есть вместо и нужно подставить />
Вывод. Однородные дифференциальныеуравнения первого порядка всегда сводятся к уравнениям с разделяющимисяпеременными подстановкой />,/>.
Пример 7.6. Найти общее решение уравнения
/>
Решение. Применимподстановку />,/>. Тогда получим
/>,
/>, />,
/>, />, />.
Пример 7.7. Решить задачу Коши
/>, у(1)=2.
Решение. Поскольку обефункции
/> />
однородные измерения два,то данное уравнение однородное. Запишем его в виде
/>
и применим подстановку />,/>. Тогда получим
/>, />
/>, />, />.
Из начального условиянайдём постоянную интегрирования:
/>
Подставив найденноезначение С в общее решение, получим решение задачи Коши:
/>
Лекция16. Тема – Уравнения Бернулли. Комплексные числа. Линейные однородныедифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
План.
1.Линейныедифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
2. Комплексные числа.
3. Линейные однородныедифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
1. Линейным дифференциальным уравнениемпервого порядка называетсяуравнение вида
/> (7.4)
где /> — известные функциипеременной х.
Термин «линейноеуравнение» поясняется тем, что неизвестная функция у и её производная у’входят в уравнение в первой степени, то есть линейно.
Линейноедифференциальное уравнение первого порядка всегда интегрируемо в квадратурах,поскольку его можно всегда свести к двум уравнениям с разделяющимисяпеременными таким образом (методом Бернулли).
Будем искать решениеуравнения (7.4) в виде произведения
/> (7.5)
где /> — неизвестные функции х.Находя производную
/>
и подставляя значение уи у’ в уравнение (7.5), получим
/> (7.6)
Выберем функцию /> так, чтобы выражение вскобках равнялось нулю. Для этого надо решить уравнение с разделяющимисяпеременными.
/>
Решая его, находим
/>
/>. (7.7)
Постоянную интегрированияв выражении (7.7) не пишем, поскольку нам достаточно найти только какую-нибудьодну функцию />, которая преобразовывает вноль выражение в скобках в уравнении (7.6).
Подставляя (7.7) в (7.6),получим
/>
/> (7.8)
Подставляя (7.7) и (7.8)в (7.5), найдём общее решение уравнения (7.4):
/> (7.9)
Замечание. На практике помнить формулу (7.9) необязательно: достаточно лишь помнить, что линейные дифференциальные уравненияпервого порядка, а также уравнения Бернулли, решаются методом Бернулли спомощью подстановки />.
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
/>
где /> — известные функции х,/>.
2. Комплексным числом называетсявыражение
/>, (7.10)
где х,у –действительные числа, а символ i–мнимая единица, которая определяется условием />.При этом число х называется действительной частью комплексногочисла z и обозначается />, а у – мнимойчастью z и обозначается />(от французских слов: reel– действительный, imaginare– мнимый). Выражение (7.10) называется алгебраическойформой комплексного числа.
Два комплексных числа />и />, которые отличаются толькознаком мнимой части, называются сопряжёнными.
Два комплексных числа />и />считаются равнымитогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:
/> />
Комплексные числа можноизображать на плоскости. Так число (7.10) изображается в прямоугольной системекоординат точкой М(х;у). Такая плоскость называется комплекснойплоскостью переменной z,ось Ох называется действительной, у
а ось Оу – мнимой.
При у=0комплексное число />являетсяодновременно
у /> М(х;у)
действительным числом. Поэтомудействительные числа являются />/>
отдельным случаем комплексных, ониизображаются на оси Ох. />
/>Комплексные числа />,в которых х=0, называются чисто /> />
мнимыми; такие числа изображаются на оси Оу.
0 х х
Полярные координаты точкиМ(х;у) на комплексной плоскости называются модулем иаргументом комплексного числа и обозначаются
/>
Поскольку />, то по формуле (7.10)имеем
/>.
Это выражение называется тригонометрическойформой комплексного числа z.
Модуль комплексного числаопределяется однозначно, а аргумент – с точностью до 2/>:
/>.
Здесь /> — общее значение аргумента,а /> — главное значениеаргумента, которое находится на промежутке [0;/> иотсчитывается от оси Ох против часовой стрелки.
Если />, то считают, что />а /> — неопределён.
Арифметические действиянад комплексными числами, заданными в алгебраической форме, выполняются пообычным правилам действий над двучленами с учётом того, что />. Так, если
/>, />, то
1) />
2) />
3) />
4) />.
Рассмотрим действия надкомплексными числами в тригонометрической форме.
Пусть
/>, />.
Тогда
/>=/>
/>
Значит, при умножениикомплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Этоправило распространяется на произвольное конечное число множителей. Вчастности,
/>.
Последняя формуланазывается формулой Муавра.
При делении комплексныхчисел имеем
/>.
Рассмотрим извлечениекорня из комплексного числа. Если для данного комплексного числа /> надо найти корень п-йстепени />, то по определению корня иформуле Муавра имеем
/>/>/>.
Отсюда
/>, /> .
Поскольку r и /> положительные,то />, где под корнем понимаютего арифметическое значение. Поэтому
/>.
Давая k значения 0,1,2,…, п -1,получим п разных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться отнайденных на число, кратное 2/>,поэтому значения корня будут совпадать с уже найденными.
Известно, чтопоказательную функцию с мнимым показателем можно выразить черезтригонометрические функции по формуле Эйлера />.Отсюда следует, что всякое комплексное число можно записать в форме />, которая называется показательнойформой комплексного числа z.
3. Уравнение вида
/> (7.11)
где р, q – постоянные числа, называется линейнымоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постояннымикоэффициентами. Для его решения сначала надо составить характеристическоеуравнение
/> (7.12)
В зависимости от корней /> уравнения (7.12) общеерешение уравнения (7.11) приобретает один из таких видов:
1) />, если />действительные и />;
2) />, если />действительные и />;
3) />, если />, /> (/>).
Пример 7.8. Решить уравнение
/> (7.13)
Решение. Сначала составими решим соответствующее характеристическое уравнение:
/> D= 32 — 4*5= -11, />
Характеристическоеуравнение имеет два сопряжённых корня:
/>.
Поэтому общее решениеуравнения (7.13) будет таким:
/>.
Лекция 17. Тема – Ряды. Числовые ряды.Признаки сходимости. Степенные ряды.
План.
1. Основные понятия.Необходимое условие сходимости ряда.
2. Признаки сравнения.Признаки Даламбера и Коши. Признак Лейбница.
3. Степенные ряды.Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена.
1. Пусть задана последовательность чисел:
/>
Выражение
/>
называется числовымрядом; числа /> называются членами ряда; число />называется общим членом ряда.
Сумма п первыхчленов ряда
/>
называется п-ойчастичной суммой ряда.
Если существует конечныйпредел
/>,
то число S называют суммой ряда />, а сам ряд называют сходящимся. Если же предел />не существует или равенбесконечности, то говорят, что ряд расходящийся.
Рассмотрим ряд
/>.
Это сумма геометрическойпрогрессии, q –знаменатель прогрессии. Если />,прогрессия называется убывающей. Сумму />первых п членов этой прогрессии находят по формуле
/>./> (8.1)
Если />, то />и />. Значит, бесконечноубывающая геометрическая прогрессия всегда сходится. Если />, то /> и прогрессия расходится.
Если числовой рядсходится, то разность /> между его суммойS и частичной суммой /> называется п-м остатком ряда,то есть
/>=S-/>.
Остаток ряда /> является той погрешностью, котораяполучится, если вместо Sвзять/>. Поскольку />, то, взяв достаточно многопервых членов сходящегося ряда, можно сумму этого ряда вычислить с любойточностью.
Отсюда становитсяпонятным, что основной задачей теории рядов является исследование сходимостиряда. Задача нахождения суммы сходящегося ряда имеет второстепенное значений,поскольку после установления сходимости ряда его сумма может быть легконайдена.
Свойстварядов
1. Если ряды />и />сходятся и их суммы U иV, то ряд />такжесходится и его сумма равнаU /> V.
2. Если ряд />сходится и его сумма равна S, то ряд />,где А=const, такжесходится и его сумма равна АS.
3. Конечное количествочленов ряда на его сходимость не влияет.
Теорема 8.1. (необходимое условие сходимостиряда). Если ряд />сходящийся, топредел его общего члена равен нулю
/>.
Доказательство.
/>.
Отсюда />. Если ряд сходящийся, то />и />. Поэтому />/>-/>-S=0.
Следствие. Если />,то ряд />расходящийся.
Замечание. Условие />являетсянеобходимым условием сходимости ряда, но не достаточным, то есть выполнениеэтого условия не гарантирует сходимости ряда.
Пример 8.1. Рассмотрим ряд />.
Хотя необходимое условиесходимости ряда выполняется,
/>,
но />, />/>/> и ряд являетсярасходящимся, несмотря на то, предел его общего члена равен нулю.
2. Первый признак сравнения. Пусть члены рядов />и />удовлетворяют условию
/> п=1,2,3,… .
Тогда, если ряд/>сходящийся, то сходящийся иряд />, а если ряд />расходящийся, торасходящийся и ряд />.
Второй признаксравнения. Пустьчлены рядов />и />положительны, причёмсуществует конечный предел
/>.
Тогда оба ряда сходятсяили расходятся одновременно.
Сравнивать ряди удобно срядами />и />, сходимость которых известна.
Ряд /> являетсясуммой бесконечной геометрической прогрессии. Он сходится при />(когда прогрессияубывающая) и расходится при/>.
Ряд />называется обобщеннымгармоническим рядом. Он сходится при /> ирасходится при />.
Признак Даламбера. Если для членов ряда />с положительными членами />существует предел
/>,
то ряд будет сходящимсяпри />и расходящимся при />.
Радиальный признакКоши. Если длячленов ряда />с положительными членами />существует предел
/>,
то ряд будет сходящимсяпри />и расходящимся при />.
Интегральный признакКоши. Если />, где /> — положительнаяневозрастающая непрерывная функция, то ряд />иинтеграл /> сходятся или расходятсяодновременно.
Применим интегральныйпризнак Коши для исследования обобщенного гармонического ряда/>.
1. />, /> - гармонический ряд.
/>=/>, />=/>=/> — расходится.
2. />, />=/>, />
Значит, ряд /> сходится при /> и расходится при />.
Знакочередующимися называют ряды, в которых знаки членовстрого чередуются
/>, где />. (8.2)
Признак Лейбница. Если для членов ряда (8.2)выполняется два условия:
1) />.
2) />,
то этот ряд сходится, егосумма положительна и не превышает />.
Следствие. Если сумму Sсходящегося ряда (8.2) заменитьсуммой S/> его п первых членов, тодопущенная при этом погрешность не превышает абсолютной величины первого из отброшенных членов, то есть
/>.
Это следствие широкоиспользуется при приближённых вычислениях.
Знакопеременными называются ряды, у которых членыимеют разные знаки.
Знакопеременный ряд />называется абсолютносходящимся, если сходится ряд />,составленный из абсолютных величин его членов.
Знакопеременный рядназывается условно сходящимся, если он сходящийся, а ряд, составленныйиз абсолютных величин его членов, расходящийся.
Теорема 8.2. Любой абсолютно сходящийся рядсходится.
Для чего надо различатьабсолютную и условную сходимость? Как ответ на этот сформулируем две теоремы.
Теорема 8.3. Абсолютно сходящийся ряд остаётсяабсолютно сходящимся при произвольной перестановке его членов. При этом суммаряда не зависит от порядка его членов.
Теорема 8.4. Члены условно сходящегося рядавсегда можно переставить так, чтобы его сумма равнялась наперёд заданномучислу. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтоновый ряд будет расходящимся.
Интересные свойстваусловно сходящихся рядов показывает такой пример.
Пример 8.2. Пусть 1-/>.
Запишем ряд иначе:
/>=
=/>(1-/>,
/> /> 2=1?
Значит, переставляя членыусловно сходящегося ряда, получили неверный результат.
3. Ряд />,членами которого является функцией от х, называется функциональным рядом.Давая переменной х конкретные числовые значения, получим разные числовыеряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.
Множество всех значений х,для которых ряд />сходящийся,называется областью сходимости этого ряда.
Функциональный рядвида /> (8.3)
где /> — числа, называется степеннымрядом.
Переобозначив />на х, ряд(8.3)всегда можно свести к виду /> (8.4)
Для простоты будемизучать ряды вида (8.4). Ряд (8.4) всегда сходится, по крайней мере, в точке х=0.
Теорема Абеля.(1802-1829). Если ряд (8.4)сходящийся при />, то он абсолютносходящийся для всех значений х, что удовлетворяют неравенству />, то есть в интервале />. Если при /> ряд (8.4) расходящийся, тоон расходящийся для всех значений х, что удовлетворяют неравенству />.
Из теоремы Абеля следует,что если ряд (8.4) сходится хотя бы в одной точке />,то существует такое число R>0,что при />ряд сходится абсолютно, апри /> расходится. Это число R называют радиусом сходимости степенногоряда, а интервал /> — его интерваломсходимости.
Радиус сходимости ряда(8.5) можно найти по формулам
/> или />. (8.5)
Вывод. Чтобы найти область сходимости ряда(8.5) надо:
1) найти интервалсходимости/>ряда, применяя к ряду /> признаки Даламбера и Коши,или пользуясь формулами (8.5);
2) исследоватьсходимость ряда на концах интервала сходимости, то есть в точках />.
В середине интерваласходимости степенные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать,причём полученные при этом ряды будут иметь тот же радиус сходимости, что иисходный ряд.
Если функция f(х) в интервале />имеет производные всехпорядков и существует такое число М>0, что/>,/>/>,п=0, 1, 2,…, где />, тофункцию f(х) можно разложить в рядТейлора
/>.
При />ряд Тейлора имеет вид
/>
и называется рядомМаклорена.
Приведём примеры рядовМаклорена некоторых элементарных функций.
/> />/>;
/> /> />/>;
/> /> />/>;
/> />/>;
/>= /> />/>;
/>/> />/>;
Ряды широко используютсядля приближённого вычисления функций, интегралов, для приближённогоинтегрирования дифференциальных уравнений.