/>Функционально-графическийподход к решению задач с параметрами
(Слайд 1 -2)
Введение
Изучение многих физических процессов и геометрическихзакономерностей часто приводит к решению задач с параметрами.
Задачи с параметрами вызывают большие затруднения. Этосвязано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функцийи уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокойлогической культуры и хорошей техники исследования.
(Слайд 3)
Математическое понятие параметра
Параметромназываютсякоэффициентыпри неизвестных или свободные члены, заданные не конкретными числовымизначениями, а обозначенные буквами.
Решитьзадачу с параметром – этозначит, для каждого значения параметранайти значения x, удовлетворяющие условию этой задачи.
(к 4 слайду)
Выделяют несколько типов задач с параметрами..
Основные типы задач с параметрами:
Тип 1. Задачи, которыенеобходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра иззаданного промежутка.
Тип 2.Задачи, где требуется найтиколичество решений в зависимости от значения параметра.
Тип 3. Задачи, где необходимонайти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений
Тип 4. Задачи, в которых необходимонайти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданнымусловиям.
(к 5 слайду)
Основные методы решения задач:
-аналитический, т е с помощью алгебраических выражений
-графический, т е с помощью построения графиков функций
-решение относительно параметра, т е в случае, когдапараметр считается еще одной переменной..
Наш доклад посвящен второму способу решения задач спараметрами.
(к 6 слайду) построение графиков функций.
При этом важно знать основные правила построения функций, которыеможно рассмотреть на примере графика функции у = |х|.
График функции у = |х- а| получается из графика функции у =|х| с помощью параллельного переноса вправо если а больше 0 на а единиц, ивлево если а меньше 0 на –а единиц.
График функции у = |х| + b получается из графика функции у =|х| при параллельном переносе вверх на b единиц если b больше 0, и вниз на – bединиц если b меньше 0.
Задача1
Заданафункция у = f(х). Нужно указать количество корней уравнения f(х) =а при всехзначениях параметра.
Данная задачаотносится ко 2му типу задач с параметрами. Здесь возможно несколько случаев:при а уравнение имеет 1 корень, при а =- 5 — 2 корня,при— 5три корня, приа = — 2- четыре корня,при— 2пять корней, приа = 1 – четыре корня, при1три корня, приа =3 – два корня и приа>3 – одинкорень.
/>Задача 2
Следующаязадача относится к 4 типу задач с параметрами.
Намнеобходимо найти значения параметра, при которых множество точек, заданное неравенством(1) является подмножеством множества точек, заданного неравенством (2).
Графикомвторого неравенства является область, ограниченная ромбом.
Нашазадача сводится к тому, чтобы найти все значения параметра а, при которыхмножество точек сжимается до таких размеров, чтобы поместиться в этот ромб.
Неравенство(1) равносильно системе (3).
Очевидно, чтопри а ≤ 0 эта система задает неограниченное множество точек (рис 2),которое не может поместиться внутри ромба.
Если а > 0,то система задает фигуру, изображенную на рис 3.
Изсоображений симметрии для поиска значений параметра потребуем, чтобы уравнение1 — ах² = 5/4 – 2х при а > 0 имело не более одного корня. Отсюда а ≥4.
Задача 3
Данную задачу можно отнести к смешанному типу (3, 4)
В ней нужно указать положительные значения параметра, прикоторых площадь фигуры, ограниченная параболами (1) и (2) равна а? и найтизначения а, при которых задача имеет смысл.
Решение: Найдем абсциссы точек пересечения этих парабол, дляэтого решим квадратное уравнение (). Его корнями являются числа x1 и x2. Затемвычислим площадь фигуры, ограниченной параболами. Площадь находим с помощьюопределенного интеграла с пределами интегрирования от x1 до x2.
/>
По условию площадьфигуры = а, тогда выразим значение параметра b. Из условия, а и b больше 0следует, что решение задачи существует при а принадлежащем интервалу (о;4/3)
/>Задача5
Найти значение параметра к, при котором площадь фигурыограниченной линиями будет наименьшей?
Решение: Найдем абсциссы точек пересечения параболы ипрямой. Для этого решим уравнение (3) или (4). Так как дискриминант > 0 тоуравнение при все значениях параметра будет иметь 2 корня x1 и x2. Вычислимплощадь фигуры ограниченную линиями 1) и 2). Ее так же вычисляем с помощьюопределенного интеграла с пределами интегрирования x1 и x2.
Согласно т.Виета для корней x1 и x2. уравнения(2): сумма корней равна к-2, а их произведение -4.
/>
Min площадьдостигается при к=2 и
Эту задачу можно отнести к 4 типу.
При какомзначении а площадь фигуры, ограниченной линиями />/> x=2, равна
/>
Заключение
Итак, мы рассмотрели часто встречающиеся типы уравнений испособы их решений и сделали вывод, что наиболее эффективным является графическийметод решения задач с параметрами.
Изучениефизических, химических, экономических и многих других закономерностей частоприводит к решению задач с параметрами, к исследованию процесса в зависимостиот параметра. Поэтому навыки решения задач с параметрами, знание некоторых ихособенностей нужны всем специалистам, в любой области научной и практическойдеятельности