Міністерствоосвіти і науки України
Слов'янськийдержавний педагогічний університет
Кафедрафізики
Рефератна тему:
ФРАКТАЛЬНІСТЬ
Підготувала:
Студентка 5курсу групи 2 — М
Садо ЮліяАндріївна
Слов'янськ,2008
План:
Вступ.
Відкриттяфрактальності.
Самоподоба.
Фрактальнівластивості в природі.
Типовіфрактали
Фрактальнарозмірність.
Висновок.
Вступ
Світ, що оточуєнас, постійно змінює свій вигляд. Аж ніяк не останній внесок у ці зміни вноситьнаука, породжуючи нові поняття, нові засоби опису та дослідження звичних абощойно відкритих об'єктів. Понятійний арсенал науки поповнюється часом знадзвичайною швидкістю — так, що вчора ще надійний її інструментарійвиявляється застарілим. Інші нові поняття жорстко вибраковуються, і лишеминулим сувору перевірку на «виживання» призначено залишити свій слід в науці.Ну а яким-то дано перейти в понятійний базис не тільки «своїй» області знань,але отримати статус міждисциплінарного.
Відкриттяфрактальності
Слова «фрактал»,«фрактальна розмірність», «фрактальність» з'явилися в науковій літературіпорівняно недавно і не встигли ще увійти в більшість словників, довідників іенциклопедій. Придумав слово «фрактал» (від латинського «фрактус» — дробовий,нецілих) наш сучасник, математик Бенуа Мандельброт, зумів відкрити зовсім поручз нами воістину дивовижний світ, по-новому (або, принаймні, трохи інакше)глянувши на багато, здавалося б, добре знайомі предмети і явища.
Мандельбротзвернув увагу на те, що при всій своїй очевидності випадало від йогопопередників, хоча траплялося на кожному кроці і буквально «лежало наповерхні»: контури, поверхні і обсяги навколишніх предметів не так рівні,гладкі й досконалі, як прийнято думати. Насправді вони нерівні, шершаві,із'язвлени безліччю отворів самої вигадливої форми, пронизані тріщинами іпорами, покриті мережею зморшок, подряпин і кракелюр.
В арсеналісучасної математики Мандельброт знайшов зручну кількісну міру неідеальностіоб'єктів — звивистості контуру, зморшкуватості поверхні, тріщинуватості іпористості обсягу. Її запропонували два математика — Фелікс Гаусдорф (1868 — 1942) і Абрам Самойлович Безікович (1891-1970). Нині вона заслужено носитьславні імена своїх творців (розмірність Хаусдорфа-Безиковича).
Стосовно доідеальних об'єктів класичної евклідової геометрії розмірністьХаусдорфа-Безиковича давала ті ж чисельні значення, що і відома задовго до неїтак звана топологічна розмірність. Але збігаючись зі старою, топологічної,розмірністю на ідеальних об'єктах, нова розмірність володіла більш тонкоючутливістю до всякого роду недосконалостей реальних об'єктів, дозволяючирозрізняти і індивідуалізувати те, що раніше було безлико і невиразно. Для тогощоб особливо підкреслити здатність розмірності Хаусдорфа-Безиковича прийматидробові, нецілі, значення, Мандельброт і придумав свій неологізм, назвавши їїфрактальної розмірністю. Отже, фрактальна розмірність (не тількиХаусдорфа-Безиковича, але і будь-яка інша) — це розмірність, здатна приймати необов'язково цілі значення, фрактал — об'єкт з фрактальної, розмірністю, афрактальність — властивість об'єкта бути фракталом або розмірності бутифрактальної.
Самоподоба
математикафрактал сніжинка кох
Серед безлічінезвичайних об'єктів, побудованих математиками в кінці XIX — початку XXстоліття при перегляді основ математики, багато хто опинився фракталами, тобтооб'єктами з дробової, або фрактальної, розмірністю Хаусдорфа — Безиковича. Всівони дуже красиві і часто носять поетичні назви: канторівскої пил, крива Пеано,сніжинка фон Коха, килим Серпінського і т. д. І всі вони мають один дужеважливою властивістю, яке ріднить їх з звичайнісінької прямій. Це властивістьназивається самоподібністю: всі ці фігури подібні будь-якому своєму фрагменту.
Якщо ви точнотак само не зможете відрізнити знімок якого-небудь об'єкта від належним чиномзбільшеного знімка будь-якого його фрагмента, то перед вами — самоподібнихоб'єкт. Всі фрактали, які мають хоча б який-небудь симетрією, самоподібних.
Самоподобаозначає, що в об'єкта немає характерного масштабу: будь у нього такий масштаб,ви відразу б відрізнили збільшену копію фрагмента від вихідного знімка.Самоподібні об'єкти мають нескінченно багатьма масштабами. Зрозуміло, далеко невсі фрактали мають настільки правильною, нескінченно повторюється структурою.Багато фрактали, що зустрічаються в природі (поверхні розлому гірських порід іметалів, хмари, турбулентні потоки, піна, гелі, контури частинок сажі і т. д.),позбавлені геометричної подоби, але вперто відтворюють у кожному фрагментістатистичні властивості цілого. Таке статистичне самоподібність, абосамоподібність в середньому, виділяє фрактали серед безлічі природних об'єктів.
Навітьнайпростіші з фракталів — геометрично самоподібні фрактали — володіютьнезвичними властивостями. Наприклад, сніжинка фон Коха має периметром нескінченноїдовжини, хоча обмежує кінцеву площу. Крім того, вона така колюча, що ні в однійточці контуру до неї не можна провести дотичну (математик сказав би, щосніжинка фон Коха ніде не диференційовна).
Фрактальнівластивості в природі
Фрактальнівластивості — не примха і не плід дозвільної фантазії математиків. Вивчаючи їх,ми вчимося розрізняти і передбачати важливі особливості навколишніх предметів іявищ, які раніше, якщо і не ігнорувалися повністю, то оцінювалися лишеприблизно, якісно, на око. Наприклад, порівнюючифрактальні розмірності складних сигналів, енцефалограм чи шумів у серці, медикиможуть діагностувати деякі тяжкі захворювання на ранній стадії, коли хворому щеможна допомогти.
Метеорологинавчилися визначати за фрактальної розмірності зображення на екрані радарашвидкість висхідних потоків у хмарах, що дозволяє з великим випередженнямвидавати морякам і льотчикам штормові попередження.
Такого родузастосувань фракталів вже зараз існує велика кількість, і число їх усезбільшується. Про один несподіваному застосуванні і не менш несподіваномуприкладі природного статистично самоподібного фрактала ми хочемо розповіститрохи докладніше, тим більше що це дає нам можливість звернути увагу на однунадзвичайно важливу обставину, яка зазвичай не беруть до уваги або замовчують,- роль спостерігача і роздільної здатності приладів при визначенні розмірності.
При розборіархіву видатного фахівця з гідродинаміки Луїса Фрая Річардсона серед йогопаперів були виявлені чернетки дивного дослідження. Кілька перефразовуючи словаЛьюїса Керролла, можна сказати, що при переході від географії до дрібнихкамінцях він виявив необмежену збільшення протяжності берегової лінії. Контуридоброї старої Англії вели, себе зовсім не так, як мало би бути евклідовоїкривої. Але якщо берегова лінія Великобританії не крива, то що це? Тепервідповідь відома: фрактал.
Публікуючи даніРічардсона, Мандельброт привів свої оцінки фрактальної розмірності Хаусдорфа — Безиковича для декількох берегових ліній. Вони коливалися від майже одиниці дляпорівняно гладкого (погляньте на будь-яку карту!) Південного узбережжя Африкидо 1,3 — для західного узбережжя Великобританії і рекордної позначки 1,52 — дляпорізаного фіордами узбережжя Норвегії.
Типові фрактали
Фрактали можутьбути введені з допомогою динаміки, але це з'ясувалося не відразу. Спочатку вонибули введені Бенуа Мандельброт для подання математичних об'єктів, які не мають«природного» масштабу виміру, і виглядають у різних масштабах приблизнооднаково. У природі є об'єкти, практично не змінюють свій образ за зміноюмасштабу. Так, структура берега біля острова або материка на картах різнихмасштабів завжди характеризується наявністю мисів та заток, а — рельєфу — піків і западин. Тому протяжність берега і рельєфу функціонально залежить відмасштабу карти. Ця функція називається степеневим законом. На графікузалежності довжини від масштабу карти, побудованому в подвійному логарифмічномумасштабі, точки приблизно розташовуються на прямій лінії (Power Law). У цихструктур немає природного масштабу, вони є фракталами. Зрозуміло, існуютьнабагато більш складні способи математичного визначення фрактальних моделей,зокрема є випадкове фрактали, мультифракталів та ін [8]. У більш широкомусенсі, практично всі природні межі, в тому числі і фазові переходи, зберігаютьсвою структуру в значному, але кінцевому, діапазоні масштабів. Про такі об'єктичасто говорять, що вони «самоподібних». Однак самоподібність — занадтозагальний термін. Насправді всі реальні об'єкти, що складаються з частин,самоподібних. Фрактали, звичайно, мають самоподібністю, але це математичнесамоподібність правильніше називати самоафінностью. Саме присутність прихованоїматематичної регулярності, необхідної для їх побудови, надає їм незвичайневитонченість. У неповторному розмаїтті химерних форм інтуїтивно вгадуєтьсяприхований математичний порядок, який робить фрактальні зображення воістинупрекрасними [9] Проте тут поки що більше загадок, ніж ясності. Особливо цестосується так званої фрактальної розмірності.
Фрактальнарозмірність
Ми вжевідзначили, що фрактали визначають ті об'єкти, які не змінюють зі зміноюмасштабу свою форму, на відміну від звичайних геометричних фігур, таких яктрикутник, квадрат, коло та ін Коло, наприклад, при цьому, перетворюється напряму лінію. У той же час, спеціально створені на початку ХХ століття длядемонстрації математичних монстрів, фігури, такі як сніжинка Хельги фон Кох,губка Менгера, або безліч Кантора, а також багато інших, зберігають своюструктуру в нескінченному діапазоні масштабів. Математичні фрактали маютьдивними рисами: вони мають нескінченну довжину, неперервні, здатні заповнитиплощину, але ні в одній точці не мають похідної. Порівняння фракталів між собоютому являє собою досить актуальну проблему [10]. Спочатку, для цієї метиМандельброт запропонував надприродне дробове число, введене Хаусдорфа іБезікович на початку ХХ століття для демонстрації математичних монстрів. Упринципі фрактальна розмірність показує ступінь грубості фрактала в порівнянніз чистою, зрозумілою топологічної розмірністю, якою володіють традиційнігеометричні фігури. Так, пряма лінія має розмірність 1, а значно більшезвивиста лінія морського берега від 1.15 до 1.25. Таке уявлення,, ниніперетворилася на ключове властивість аттрактора, управляє різноманітнимикількісними особливостями його динаміки. Разом з тим накопичилися і питання.З'ясувалося, наприклад, що існують фрактали, фрактальна розмірність якихвизначається цілим числом. Фрактальна розмірність безперервно змінюється, і, впринципі, може бути будь-який, проте поки не вдалося зробити цю характеристикуунікальною і використовувати її для ідентифікації фракталів. Дуже багато,зовсім різні фрактали мають однакову розмірність.
Висновок
Сьогодніфрактали з'являються в науці двома різними способами. По-перше, вони можутьвиникати як первинний предмет дослідження і як описову засіб при дослідженняхнерегулярних процесів і форм. І, по-друге, вони можуть бути математичнимивисновками з деякою, що лежить в їх основі, хаотичної динаміки. Тим не менш,багато чого ще залишається неясним. Певною мірою, ми поки не знаємо всьогорозмаїття фракталів. Ми поки їх відшукуємо у природі, хоча вже існує фрактальнамузика, фрактальна живопис та ін Поки ще немає загальної теорії хаосу іфракталів, неясно, як далеко простягаються моделі подібного типу, немає такожясного і загального підходу до визначення фрактальної розмірності та ін УЗокрема, тому ми не можемо з упевненістю стверджувати, чи є даний об'єктфракталом, чи ні. Це область сучасних досліджень і узагальнень. Тут багато щепитань до математики і математикам.
Списоквикористання літератури:
Матеріали п'ятого Всеросійськогопостійно діючого наукового семінару «Самоорганізація стійких целостностейв природі і суспільстві».
Данилов Ю.А. «Фрактальность».
Тішин А.І., Егембердіев Т.М.«Фрактальность людини».
Жіков В.В. «Фрактали».