Найпоширенішоюзадачею в теорії звичайних рівнянь є задача Коші. Додаткові умови цієї задачіза своєю суттю є початковими: в них фігурують значення невідомої функції та їїпохідних( якщо порядок рівняння перевищує одиницю) при фіксованому значеннінезалежної змінної. Зрозуміло, що це не єдиний спосіб виділення того, чи іншогочастинного розв’язку з множини всіх функцій, які задовольняють диференціальнерівняння. Часто виникає потреба у знаходженні такого розв’язку, для якоговиконувалися б так звані крайові умови: значення шуканої функції та її похіднихмають задовольняти певні співвідношення в кількох фіксованих точках проміжку,який пробігає незалежна змінна. Причому, задачу відшукання такого розв’язкуназивають крайовою задачею. Такі крайові задачі мають прикладне значення і частішевиникають у практиці. Наприклад, задача про форму провислого каната із закріпленимикінцями зводиться до відшукання такого розв’язку диференціального рівняннядругого порядку, графік якого проходив би через дві наперед задані точки, або,щоб знайти Т-періодичний розв'язок лінійного Т-періодичного рівняння />, потрібно з усіхрозв’язків вибрати той, який задовольняє умову />.Для розв’язання крайових задач використовують так звану функцію Гріна,спробуємо зрозуміти, як вона будується у загальному випадку.
Розглянемовипадок, коли однорідна крайова задача
/> (1)
/>/> (2),
має хоча б одиннетривіальний розв’язок. При цьому, нехай функція /> неперервнодиференційована на />, а дійсніфункції /> - неперервні на />, та /> — задані числа, причому,/>/>
Позначимо цей розв’язокчерез />.
Твердження1.
Одноріднакрайова задача (1),(2) має нетривіальний розв'язок тоді і лише тоді, колирозв’язки /> та />лінійно залежні.
Доведення.
Нехайнеоднорідна крайова задача має нетривіальний розв'язок />. Оскільки як />, так і /> задовольняють першукрайову умову (2), а />, то вронскіанцих розв’язків дорівнює нулю, а отже, вони лінійно залежні. Так само можнадовести лінійну залежність розв’язків /> та/>. Звідси випливає, що /> та />також лінійно залежні.
Навпаки, нехайзазначені розв’язки лінійно залежні. Тоді для деякої сталої /> маємо />. Тепер зрозуміло, що,наприклад, функція />:=/> є розв’язком однорідноїкрайової задачі. Твердження доведено.
Звідси можназробити висновок, що множина всіх розв’язків задачі – це сім’я функцій вигляду,/>, де /> — довільна стала. Тому, необмежуючи загальності викладу, вважатимемо, що /> вибранотак, щоб справджувалась умова нормування
/>
Необхідну умовуіснування розв’язку неоднорідної крайової задачі встановлює таке твердження.
Твердження2.
Якщо задача
/> (3)
/>/> (2)
Має розв’язок />, то функція ортогональнадо нетривіального розв’язку /> відповідноїкрайової задачі (1),(2), тобто
/> (4)
Доведення.
Застосуємоформулу Гріна до пари функцій /> та/> . Оскільки вони задовольняютькрайові умови то згідно з властивістю симетричності оператора /> маємо:
/>
Урахувавши, що /> і/>, дістанемо(4).Зауважимо, що при довільному /> функція/>теж є розв’язком задачі(3),(2). Аби уникнути такої неоднозначності, умови (2) слід доповнити щеоднією. Найприроднішою додатковою умовою є вимога ортогональності
/> (5)
Твердження3.
Якщо задача(3),(2),(5) має розв’язок />, то він єдиний.
Доведення.
Справді, різницядвох розв’язків задачі (3),(2),(5) є розв’язком вигляду /> відповідної однорідноїзадачі. З умови (5) та нормованості функції /> одразувипливає, що
/>
Розв’яжемовироджену крайову задачу за допомогою методу варіації довільних сталих,вважаючи, що умова ортогональності (4) справджується. Виберемо лінійно незалежнийз /> розв’язок /> однорідного рівняння (1)так, щоб виконувалася рівність
/>
Цим ми дещоспростимо формули, які буде одержано нижче. Шукаємо розв’язок(3) методом варіації сталих у вигляді
/> (6)
отримаємо такусистему:
/>
Розв’яжемо їївідносно /> та /> за правилом Крамера.
Маємо рівняння
/>,/> (7)
При цьому
/>/>
Тому, аби розв’язок/>задовольняв крайову умову вточці />, необхідно вимагативиконання рівності />. Звідси /> і з урахуванням (4) />. Остання рівність забезпечитьсправдження крайової умови в правому кінці проміжку />.
Загальний розв’язокпершого з рівнянь (7) візьмемо у вигляді />, де />- довільна стала.Підставивши знайдені функції />,/> в (6), дістанемо однопараметричну сім’ю функцій
/>,(8)
Кожна з яких єрозв’язком крайової задачі (3),(2). Умову ортогональності (5) завжди можназадовольнити, відповідним чином обравши довільнусталус1.
Підсумкомнаведених міркувань є така теорема:
Теорема1
Розв’язоккрайової задачі (3) (2) існує тоді і лише тоді, коли функція />ортогональна до кожного розв'язкувідповідної однорідної крайової задачі.
Тепер покажемо, щорозв’язок(8) можна подати у вигляді інтегрального перетворення
/>,
Де функція /> задовольняє крайовіумови й при кожному />
є ортогональноюдо />.
Насамперед,запровадивши функцію
/>
за аналогією зне виродженим випадком, перепишемо (8) у вигляді
/> (9)
Оскільки />,/>/>,
/>,/>,
То />задовольняє умову лише влівому кінці проміжку /> ,адже розв’язок /> не задовольняєжодної умови (2). Отже, функцію />доведетьсявідповідним чином виправити. Для цього звернемо увагу на такий факт: якщо уформулі(9) зробити заміну />/>/>-/>, де /> довільні функції, то вонай надалі визначатиме розв’язок рівняння (3): адже />ортогональнадо />. Неважко зрозуміти, щоперетворена функція />задовольнятимеобидві крайові умови, якщо функцію /> вибратитак, щоб при деякому />виконувалисярівності
/>,/>,/>,/> (10)
Найзручнішимбуде такий вибір:
/>/>
Легкоперевірити, що ця функція не лише задовольняє умови (10), а й є розв’язкомнеоднорідного рівняння />= />. При цьому, якщо додаткововимагати, аби розв'язок /> бувортогональним до /> на />, то />.
Тепер залишилосьпокласти
/>
І вибратифункцію /> так, щоб /> була ортогональноюдо />. Для цього домножимо правучастину останньої нерівності на />, одержанийдобуток зінтегруємо за змінною /> ірезультат прирівняємо до нуля. З одержаного рівняння легко знайдемо
/>.
Остаточно маємо
/> (11)
З урахуваннямвластивостей цієї функції дамо таке означення.
Означення.
Функцію />називатимемо узагальненоюфункцією Гріна крайової задачі (2)-(3), якщо вона задовольняє такі умови:
1. Функція /> неперервнав квадраті К=/>, має неперервнічастинні похідні />,/> у кожному з трикутників />,/>;
2. Для кожного фіксованого /> функція />задовольняє рівняння Lx(t)=-/>/> привсіх />,/>, а також крайовій умові(2).
3. На діагоналі />квадратаК похідна />має розривпершого роду зі стрибком 1/p(s):/>-/>.
4. Для кожного фіксованого /> функція/> ортогональна до функції />: />.
5.
Сформулюємоалгоритм відшукання узагальненої функції Гріна.
· Знаходимо таку фундаментальну систему />,/> лінійного однорідного рівняння(1), щоб розв'язок />задовольнявумови(2).
· Знаходимо будь-який розв'язокg(t,s)неоднорідногорівняння Lx(t)=-/>/>.
· Узагальнену функцію Гріна шукаємо увигляді
/>
Функції /> обираємо так, щоб останнійдоданок задовольняв пунктам 1 і 3 означення узагальненої функції Гріна; функцію /> — так, щоб /> задовольняла крайові умовизадачі; нарешті, вибором функції /> забезпечуємовиконання умови ортогональності 4.
Проаналізувавшивигляд правої частини формули (11), можна зробити висновок, що /> з потрібними властивостямиіснують.
Розглянемоприклад.
Розв’яжемокрайову задачу
/>,/> ;
/>
Розв'яжемо відповіднеоднорідне рівняння />, застосувавши методЕйлера. Тобто розв'язок /> шукаємоу вигляді/>= />. Знайшовши
/> =/>,/>=/>, підставивши ці значення врівняння та скоротивши на /> маємотак зване характеристичне рівняння:/>, з якогознайдемо корені />:/>
З цього маємофундаментальну систему розв’язків рівняння:
/>
За теоремою прозагальний розв'язок однорідногорівняння, маємо:
/>де/>
Тому можемосказати, що відповідна однорідна задача має однопараметричну сім’юрозв’язків /> , де /> – довільна стала, для якоїумова теореми 1 виконано, бо /> . Методомневизначених коефіцієнтів знайдемо частинний розв’язок диференціальногорівняння задачі: />. Загальнийрозв’язок цього рівняння має вигляд:
/>
Для того, щобзадовольнити крайовій умові, достатньо покласти />.Сталу /> виберемо так, щобсправджувалась умова ортогональності шуканого розв’язку й функції />:
/>
Звідси />=/>. Остаточно маємо:
/>
Знайдемо функціюГріна для цієї крайової задачі
За функцію /> візьмемо />(коефіцієнт /> вибирається з умови нормованості/>) Розв'язком однорідногорівняння, який не задовольняє крайові умови, є, наприклад />.
Далі рівняння
/>
Має частиннийрозв'язок вигляду />, отже, узагальненуфункцію Гріна шукаємо у вигляді
/>
(коефіцієнт /> вбирають у себе функції /> і /> ).
Оскільки внашому випадку />,то умови неперервності і стрибка похідної функції /> при/> мають вигляд
/>,/>.
Звідси />,/>;
Наслідкомкрайової умови в точці /> є рівність />. Тоді в точці /> маємо: />.Отже, функція
/>
задовольняє пунктам1-3 означення узагальненої функції Гріна.
Нарешті, функцію/> визначимо з умови ортогональності
/>.Обчисливши відповідні інтеграли, знаходимо
/>/>
Остаточно маємо
/>