3. Точечные и интервальные оценки.
Уровень значимости α.
Уровень значимости обычно обозначают греческой буквой />(альфа).
Статистическая значимость результата представляет собой меру уверенности в его истинности (в смысле репрезентативности выборки). Более точно, уровень значимости α — это показатель, обратно пропорциональный надежности результата. Более высокий уровень соответствует более низкому уровню доверия найденным в выборке результатам, например, зависимостям между переменными. А именно, уровень значимости представляет собой вероятность ошибки, связанной с обобщением наблюдаемого результата на всю популяцию.
Например, α = 0.05 (т.е. 1/20) показывает, что имеется 5% вероятность того, что найденная в выборке зависимость между переменными является лишь случайной особенностью данной выборки. Иными словами, если данная зависимость в популяции отсутствует, а вы многократно проводили бы подобные эксперименты, то примерно в одном из двадцати повторений эксперимента можно было бы ожидать такой же или более сильной зависимости между изучаемыми переменными. Во многих исследованиях α=0.05 рассматривается как приемлемая граница уровня ошибки.
Параметр
Параметр – это величина, обычно неизвестная и, следовательно, подлежащая оценке, которая представляет определенную характеристику генеральной совокупности. Например, математическое ожидание μ распределения – это параметр, характеризующий центральную тенденцию. По имеющейся у нас выборке мы можем посчитать значение статистики, используемой для оценки параметра.
Например, среднее выборки />дает информацию о среднем μ генеральной совокупности, из которой была сделана эта выборка. Поскольку выборка случайна, это значение />также случайно.
Параметры часто обозначают греческими буквами (например, />), а соответствующие статистики – латинскими (например, s).
Точечные и интервальные оценки.
Оценки неизвестных параметров бывают двух видов – точечные и интервальные.
Точечная оценка — оценка имеющая конкретное числовое значение. Например, среднее арифметическое:
/>= (x1+x2+...+xn)/n,
где: /> — среднее арифметическое (точечная оценка математического ожидания μ);
x1,x2,...xn — выборочные значения; n — объем выборки.
Интервальная оценка — оценка представляемая интервалом значений, внутри которого с задаваемой исследователем вероятностью 1-α находится истинное значение оцениваемого параметра. Интервал в интервальной оценке называется доверительным интервалом, задаваемая исследователем вероятность, 1-α, называется доверительной вероятностью. В практике статистических вычислений применяются стандартные значения доверительной вероятности: 0,95, 0,98 и 0,99 (95%, 98% и 99% соответственно).
Например, пусть интервальная оценка математического ожидания μ равна (3; 8) при доверительной вероятности 0,95. Это означает, что μ лежит в пределах от 3 до 8 с вероятностью 0,95, следовательно вероятность того, что μ меньше 3 или больше 8 не превышает α=0.05.
Выборочное среднее
Перечень всех значений, которые может принимать среднее выборки (или выборочное среднее), а также указание того, как часто эти значения встречаются, называется выборочным распределением выборки. В соответствии с центральной предельной теоремой, при увеличении размера выборки n выборочные средние начинают подчиняться нормальному распределению вероятностей и концентрироваться вокруг среднего значения генеральной совокупности. Это утверждение оказывается верным независимо от распределения совокупности, из которой была получена выборка.
Распределение всех возможных выборочных средних />является приблизительно нормальным для выборок достаточно большого размера.
Изменчивость (стандартное отклонение) выборочного распределения измеряется стандартными ошибками. Стандартная ошибка среднего рассчитывается по формуле:
/>.
По мере увеличения размера выборки изменчивость среднего снижается.
Доверительный интервал — это допустимое отклонение наблюдаемых значений от истинных. Размер этого допущения определяется исследователем с учетом требований к точности информации.
Доверительные интервалы для среднего задают область вокруг среднего, в которой с заданным уровнем доверия содержится «истинное» среднее популяции. Если среднее в вашей выборке равно 23, а нижняя и верхняя границы для />=0.05 равны 19 и 27 соответственно, то вы можете заключить, что с 95% вероятностью среднее выборки больше 19 и меньше 27.
Говоря более точно, если вы последовательно вычисляете доверительный интервал по большому количеству независимых случайных выборок одинакового размера, то 95% этих интервалов будут, действительно, включать в себя истинные значения среднего, т. е. в 95% случаев вы окажетесь правы, утверждая, что истинное значение среднего содержится внутри данного доверительного интервала.
Если вы установите меньшее значение />-уровня, то интервал будет шире, и увеличится «уверенность» в оценке, и наоборот; как мы знаем из прогнозов погоды, чем «неопределеннее» прогноз (т.е. шире доверительный интервал), тем скорее он сбудется. Заметим, что ширина доверительного интервала зависит от размера выборки и дисперсии наблюдений. Вычисление доверительных интервалов основывается на предположении, что переменная в совокупности нормально распределена.
Маленькая выборка (n
Для нахождения доверительных интервалов />для среднего значения используем следующие формулы:
/>/>/>,
нижняя граница верхняя граница
где />среднее по выборке;
s выборочное стандартное отклонение;
n объём выборки;
/> — стандартная ошибка
/>уровень значимости;
/> — t-значение Стьюдента.
В Excelе для нахождения доверительных интервалов можно использовать специальные функции. Прежде всего надо найти выборочное среднее и стандартное отклонение (используя STDEV-функцию), после этого использовать формулы:
нижняя граница = /> — TINV(
;n-1)*/>/SQRT(n)
верхняя граница = />+ TINV(
;n-1)*/>/SQRT(n)
Болшая выборка (n
60)
Для нахождения доверительных интервалов />для среднего значения используем следующие формулы:
/>/>/>,
нижняя границаверхняя граница
где /> — z-значение из стандартного нормального распределения, соответствующее желаемому доверительному интервалу.
Excel: Аналогично, как и в предыдущем пункте находим прежде всего стандартное отклонение (используя не STDEV-функцию, а STDEVP). Далее:
нижняя граница = /> — CONFIDENCE(
;s;n)
верхняя граница = />+ CONFIDENCE(
;s;n)
Задачи.
В течении 124 дней учитывали количество заказов. Откройте файл Orders.xls. Используя уровень значимости α = 0.01; 0.05, найдите доверительный интервал для среднего значения.
Автобаза проявляет интерес к времени потраченному на ремонт машин. Анализ эксплуатации 9-ти машин показал, что машины в течение года были в ремонте 16, 10, 21, 22, 8, 17, 19, 14, 19 дней соответственно. Найти доверительный интервал для среднего времени ремонта машин на уровне доверия 95%.
В обслуживающей фирме каждый день регистрировали число поступивших жалоб. Для исследования среднего числа заявлений были случайно выбраны 7 дней. Число жалоб в эти дни: 10, 12, 8, 5, 11, 9, 14, соответственно. Вычислить доверительный интервал для среднего числа ежедневных заявлений на уровне доверия 99%.