--PAGE_BREAK--Слишком поспешное введение понятий синуса и косинуса «по окружности» приводит к трудностям при дальнейшем обучении: многие учащиеся испытывают затруднения с геометрическим истолкованием «тригонометрического языка». Таким образом, не получается создать надежный фундамент для успешного изучения материала.
В учебнике Мордковича «Алгебра и начала анализа» на работу с числовой окружностью отводится 5 часов, что составляет почти 20% от 28 запланированных часов на изучение всей темы «Тригонометрические функции». Вообще говоря, здесь рассматриваются две математические модели: «числовая окружность» и «числовая окружность на координатной плоскости». То есть учащиеся обучаются работать одновременно в двух системах координат: в прямоугольной декартовой и криволинейной. Это поможет им в дальнейшем, когда понятия синуса и косинуса угла будут вводиться через координаты.
Здесь не только четко выделяется алгоритм построения точки на числовой окружности, но и проводится аналогия с числовой прямой, с указанием основных сходств и различий в построении точки на окружности и на прямой. Неплохо в учебнике Мордковича «Алгебра и начала анализа» мотивируется и само введение числовой окружности: «В реальной жизни двигаться приходится не только по прямой, но и по окружности. Будем считать беговую дорожку стадиона окружностью…». К тому же, уже на этапе изучения числовой окружности в неявном виде происходит подготовка к решению простейших тригонометрических уравнений и неравенств.
Например, рассматриваются задания типа: «Найти на числовой окружности точки с ординатой у = 1/2 и записать, каким числам tони соответствуют», «Найти на числовой окружности точки с абсциссой х tони соответствуют».
Итак, в учебнике Мордковича «Алгебра и начала анализа», в отличие от остальных учебников, проводится достаточно хорошая пропедевтическая работа для введения тригонометрических функций.
В учебнике Башмакова «Алгебра и начала анализа»также присутствуют элементы работы с числовой окружностью, но не в таком количестве как в Мордковиче.Здесь выделяется отдельный параграф «Вращательное движение и его свойства», в котором рассматриваются такие вопросы как построение точки по заданной мере угла и свойства вращательного движения.
В учебнике Колмогорова «Алгебра и начала анализа» в качестве подготовительной работы для введения тригонометрических функций выступает лишь повторение следующих вопросов:
- радианная мера угла (измерение углов в радианах, таблица значений тригонометрических функций (рассматривается исходя из геометрических соображений)),
- основные формулы тригонометрии (основное тригонометрическое тождество, формулы суммы и разности двух аргументов, формулы приведения, формулы суммы и разности синусов и косинусов, формулы двойного и половинного аргументов).
Вообще вопросы тригонометрии в этом учебнике рассматриваются в следующем порядке: тригонометрические преобразования – тригонометрические функции – тригонометрические уравнения и неравенства, в отличие от учебника Мордковича, по которому сначала изучаются функции, затем уравнения и неравенства, а только потом преобразования (как свойства функций).
Обучение же по учебникам Алимова «Алгебра и начала анализа»и Башмакова «Алгебра и начала анализа» предполагает изучение тригонометрических функций не в начале 10 класса (как это представлено в учебниках Колмогоров и Мордковича, а в конце него. Алимов предлагает приступить к изучению тригонометрии после изучения показательной и логарифмической функций. Причем, сначала изучаются тригонометрические преобразования, затем — тригонометрические уравнения и только после этого – тригонометрические функции. Такое расположение темы имеет ряд особенностей:
- изучение тригонометрических уравнений подразумевает изучение обратных тригонометрических функций. Таким образом, сначала учащиеся детально прорабатывают понятия арксинуса, арккосинуса и арктангенса, а затем только приступают к работе с синусом, косинусом и тангенсом, хотя с точки зрения логики, целесообразнее сделать наоборот;
- изучение тригонометрических функций после тригонометрических уравнений выкидывает из рассмотрения один из немаловажных методов решения тригонометрических уравнений – а именно графический метод (к тому времени мы ещё не умеем строить графики тригонометрических функций).
В учебнике же Башмакова «Алгебра и начала анализа» вообще предлагается изучать тригонометрию уже после изучения производной. Это позволяет вычислять приближенные значения тригонометрических функций в точках, тем самым облегчая их исследование, помогая при построении графиков и решении тригонометрических уравнений.
Что касается введения самих тригонометрических функций, то и здесь каждый из учебников имеет свои особенности. Начнем с определения синуса и косинуса. В учебнике Алимова дается следующее определение: «Сosх– это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р (1;0) вокруг начала координат на угол х, а sinх – ее ордината». У Мордковича: «Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t, а ординату точки М называют синусом числа t». Эти два определения, в общем-то, принципиально не различаются, за исключением только того, что в учебнике Алимова тригонометрические функции определяются как функции углового аргумента, а в учебнике Мордковича как функции числового аргумента, да еще присутствуют различия в обозначении переменной (заметим, что при работе с числовой окружностью лучше употреблять символы sin t, cos t, tg t, ctg t, учитывая, что знак х в сознании детей ассоциируется с абсциссой в декартовой прямоугольной системе координат, а не с длиной пройденного по числовой окружности пути).
В учебнике же Колмогорова «Алгебра и начала анализа» как таковых определений синуса и косинуса нет, а вместо них присутствует фраза «… нетрудно понять, что ордината точки Рa — это синус угла a, а абсцисса этой точки – косинус угла a», а затем приведено геометрическое подтверждение этого факта. Благодаря этому, у учащихся не возникает недоумения по поводу того, почему раньше синусом называли отношение длин катета и гипотенузы, а сейчас откуда–то выплыли какие–то абсциссы и ординаты. В учебнике Мордковичаэтот факт тоже довольно неплохо пояснен, но с опозданием в 3 параграфа, а в учебнике Башмакова пояснение отсутствует вовсе.
Тангенс же во всех учебниках, за исключением Колмогорова,определяется как отношение синуса к косинусу. В учебнике же Колмогорова опять не дается четкого определения тангенса, а приводится лишь геометрическая интерпретация «ордината точки пересечения прямой ОРa(Рa— точка на единичной окружности) и касательной к окружности в точке (1;0) равна тангенсу угла a».
Определения котангенса авторы дают аналогично определениям тангенса за исключением учебника Алимова, в котором котангенс почему-то совсем игнорируется и не рассматривается как функция.
Остановимся подробнее на вопросах исследования и построения графиков тригонометрических функций.
В учебнике Мордковичапроцесс построения графика и исследования функции происходит следующим образом: уже известные ребятам факты обобщаются и формулируются как свойства функций. Сначала рассматриваются такие свойства функции y=sin(x), как область определения, множество значений, нечетность, возрастание на отрезке [0;p/2] и убывание на отрезке [p/2; 3p/2], ограниченность сверху и снизу, наибольшее и наименьшее значение. Затем составляется таблица основных значений функции на отрезке [0;p], строятся соответствующие точки и плавно соединяются.
Используя свойство нечетности синуса, полученный график отображается относительно начала координат на отрезок [-p;0], используя свойство периодичности, график функции достраивается на остальных отрезках длиной 2p. С опорой на построенный график, выделяется свойство непрерывности функции синус и область ее значений. Исследование функции cos х и построение ее графика как и во всех остальных учебниках основывается на том факте, что cos х = sin (х+p/2).
В учебнике Башмакова построение синусоиды происходит при помощи единичной окружности переносом значения синуса к соответствующим точкам оси ОХ. А затем, после построения графика, еще раз происходит возвращение к свойствам и к тому, как они проявляются на графике. В учебнике Колмогоров «Алгебра и начала анализа» синусоида строится подобно тому, как она строится в учебнике Башмакова, но все свойства функций за исключением области определения и множества значений рассматриваются в следующей теме «Основные свойства функций», а затем только переносятся на тригонометрические.
Отметим, что в учебниках Мордковича и Колмогорова не обоснован тот факт, что областью определения функций sin и cos является множество всех действительных чисел. Конечно, этот факт достаточно очевиден, но тем не менее учебник пишется не для учителя, а для учеников, а «мера очевидности», как известно, у всех разная. Поэтому не стоит забывать об обосновании даже очевидных фактов, ведь это приучает ребят к столь необходимой при изучении математики логической четкости и аккуратности мысли.
Что касается области значений тригонометрической функций, то ни в одном из учебников нет четкого обоснования данного свойства. Все «попытки» обоснования этого свойства сводятся к рассмотрению двойных неравенств:
-1 £ sin х £ 1 и -1 £ соs х £ 1, которые выполняются для всех значений х. Однако, отсюда совершенно не следует то, что в область значений данных функций входят все точки отрезка [-1;1].
При обосновании свойств четности и нечетности тригонометрических функций доказательство тождества sin(-х) = -sin(х) сводится в основном к симметричности точек х и –х, которая также четко не обоснована ни в одном из учебников.
Монотонность же тригонометрических функций во всех учебниках, за исключением Колмогорова,иллюстрируется с помощью числовой окружности. В учебнике в силу того, что тригонометрические преобразования изучаются перед тригонометрическими функциями, монотонность функции у= sin(х) обоснована более доказательно, но все же некоторые недочеты имеются.
При изучении свойства периодичности авторы учебников Мордкович, Алимов и Колмогоров дают следующее определение периодичности: «Функция f(x) называется периодической, если существует такое число Т¹0, что для любого х из области определения данной функции выполняется равенство f(
x-
T)=
f(
x)=
f(
x+
T). Число Т называется периодом функции f(
x)».В учебнике Башмакова равенство f(
x-
T)=
f(
x)=
f(
x+
T) заменяется менее сильным равенством f(
x)=
f(
x+
T), но зато снимаются ограничения на х. Здесь х может быть любым, а не только из области определения. Заметим, что для функций, областью определения которых является все множество R, эти два определения будут не только равносильными, но и одинаково корректными. Но если применять второе определение к функции у=sinÖх, то у учащихся может вызвать затруднения сравнение значений данной функции в точках, например, -p и p. Поэтому более целесообразным является использование первого определения.
Проанализируем теперь системы задач, направленные на отработку умений и навыков, которые предусмотрены программой по теме «Тригонометрические функции».
Система задач в учебнике Башмакова содержит в себе задания на перевод из градусной меры в радианную и наоборот, построение углов на единичной окружности, движение точки по окружности, определение тригонометрических функций, исследование и построение графиков комбинаций тригонометрических функций, нахождение значений тригонометрических функций в некоторых точках и их знаков на некоторых промежутках, нахождение производных комбинаций тригонометрических функций и вычисление приближенных значений тригонометрических функций.
В учебниках Алимоваи Колмогороваработе со свойствами комбинаций тригонометрических функций уделяется уже гораздо большее внимание, чем в учебнике Башмакова, присутствуют задачи теоретического плана, например, «Докажите, что если функция y=f(x) является периодической, то и y=k*f(x)+b тоже периодическая»,не остаются без практической отработки и гармонические колебания. В учебнике Алимоваприсутствует еще одна особенность: здесь подобрано большое количество задач с ограничением на переменную х, что помогает учащимся в осознании того факта, что «не всякие свойства функции, рассматриваемой на множестве всех действительных чисел, сохраняются при наложении ограничений на область определения этой функции».
Наиболее же полноценной из всех является система задач в учебнике Мордковича. Здесь, кроме всего уже вышеперечисленного, большое внимание уделено отработке навыков и умений работы с числовой окружностью, присутствуют задачи для работы с тригонометрическими функциями как числового, так и углового аргументов, используются функции, заданные кусочно, отрабатываются умения решать уравнения, содержащие тригонометрические функции, графическим методом.
Вообще, говоря о системе задач этих учебников, следует отметить некоторые недостатки учебника Башмакова «Алгебра и начала анализа».В идеале, решение каждой последующей задачи должно не только опираться на предыдущую, но и содержать какие–то дополнительные идеи. Здесь же не везде четко прослеживается система, да и по уровню сложности задачи не столь уж разнообразны.
Зато наличие отдельного задачника к учебнику Мордковича позволило дать в нем полноценную по объему систему упражнений, достаточную для работы в классе, для домашних заданий и повторения. Все задания дифференцированы по блокам, отдельно выделены даже устные и полуустные упражнения, что дает возможность более рационального использования учебного времени.
Таким образом, наиболее удачным учебным пособием в плане изучения темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начала анализа является учебно-методический комплект под редакцией А.Г. Мордковича, хотя оставлять без внимания остальные учебники тоже не стоит.
2.Теория обратных функций
Обратные тригонометрические функции
Определение обратной функции
Определение. Если функция f(x) задает взаимно однозначное соответствие между своей областью определения X и своей областью значений У (иными словами, если любым различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции), то говорят, что функция f(x) имеет обратную функцию или что функция f(x) обратима.
Определение. Обратная функция — это правило, которое каждому числу у є У сопоставляет число х є X, причем y=f(x). Область определения обратной
функции есть множество У, область значений — X.
Теорема о корне. Пусть функция fвозрастает (или убывает) на промежутке I, число а — любое из значений, принимаемых fна этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=aимеет единственный корень в промежутке I.
Доказательство. Рассмотрим возрастающую функцию f(в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию в промежутке I существует такое число b, что f(b)=a. Покажем, что b— единственный корень уравнения f(x)=a.
Допустим, что на промежутке I есть еще число с≠ Ь, такое что f(c)=a. Тогда или сb, или с>b. Но функция fвозрастает на промежутке I, поэтому соответственно либо f(c)f(b), либо f(c)>f(b). Это противоречит равенству f(c)= f(b)=a. Следовательно, сделанное предположение неверно и в промежутке I, кроме числа b, других корней уравнения f(x)=aнет.
Теорема об обратной функции. Если функция fвозрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к fфункция g, определенная в области значений fтакже является возрастающей (соответственно убывающей).
Доказательство. Положим для определенности, что функция fвозрастает. Обратимость функции f— очевидное следствие теоремы о корне. Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к f, возрастает на множестве E(f).
Пусть х1 и х2 — произвольные значения из E(f), такие, что х2> х1 и пусть y1= g(х1), у2= g(х2). По определению обратной функции х1= f(y1) и х2= f(y2).
Воспользовавшись тем условием, что f— возрастающая функция, находим, что допущение y1≥y2 приводит к выводу f(y1) > f(y2), то есть х1 > х2. Это
противоречит предположению х2> х1Поэтому, y1> y2, то есть из условия х2> х1 следует, что g(x2)> g(х1). Что и требовалось доказать.
Исходная функция и обратная ей являются взаимно обратными.
Графики взаимно обратных функций
Теорема. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у=х.
Доказательство. Заметим, что по графику функции fможно найти числовое значение обратной к fфункции gв произвольной точке а. Для этого нужно взять точку с координатой а не на горизонтальной оси (как это обычно делается), а на вертикальной. Из определения обратной функции следует, что значение g(a) равно b.
Таким образом, если считать, что выбрана несколько необычная система координат, то можно сказать, что график обратной к fфункции g— это график функции f(построенной в обычной системе координат).
Для того, чтобы изобразить график gв привычной системе координат, надо отразить график fотносительно прямой у=х.
Алгоритм составления обратной функции для функции y=f(x), xX.
1.Убедиться в том, что функция y=f(x) обратима на X.
2.Из уравнения y=f(x) х выразить через у, учитывая при этом, что х є X.
З.В полученном равенстве поменять местами х и у.
продолжение
--PAGE_BREAK--
2.2.Определение, свойства и графики обратных тригонометрических
функций
Арксинус
Функция синус возрастает на отрезке и принимает все значения от -1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числа а, такого, что , в промежутке существует единственный корень уравнения sinx= a. Это число и называют арксинусом числа а и обозначают arcsinа.
Определение.Арксинусом числа а, где , называется такое число из отрезка, синус которого равен а.
Свойства.
1. D(у) = [ -1;1 ]
2. Е(у) = [-π/2;π/2]
3. у (-х) = arcsin(-х) = — arcsin х – функция нечетная, график симметричен относительно точки О(0;0).
4. arcsin х = 0 при х = 0.
5. arcsin х > 0 при х є (0;1]
arcsin х при х є [-1;0)
6. у = arcsin х возрастает при любом х є [-1;1]
-1 ≤ х12 ≤ 1 arcsin х12 – функция возрастающая.
Арккосинус
Функция косинус убывает на отрезке [0;] и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа а, такого, что |а|1, на отрезке [0;] существует единственный корень в уравнении cosx=a. Это число в называют арккосинусом числа а и обозначают arcosа.
Определение. Арккосинусом числа а, где -1 а 1, называется такое число из отрезка [0;], косинус которого равен а.
Свойства.
1. D(у) = [-1;1]
2. Е(у) = [0;π]
3. у(-х) = arccos(-х) = π — arccos х – функция не является ни четной, ни нечетной.
4. arccos х = 0 при х = 1
5. arccos х > 0 при х є [-1;1)
arccos х
6. у = arccos х убывает при любом х є [-1;1]
-1 ≤ х12 ≤ 1 arcsin х1 ≥ arcsin х2 – убывающая.
Арктангенс
Функция тангенс возрастает на отрезке-, следовательно, по теореме о корне уравнение tgx=a, где а — любое действительное число, имеет единственный корень х на интервале -. Этот корень называют арктангенсом числа а и обозначают arctga.
Определение. Арктангенсом числа aR называется такое число х ,тангенс которого равен а.
Свойства.
1. D(у) = R
2. Е(у) = (-π/2;π/2)
3. у(-х) = у = arctg(-х) = — arctg х – функция является нечетной, график симметричен относительно точки О(0;0).
4. arctg х = 0 при х = 0
5. Функция возрастает при любом х є R
-∞ 1 2 arctg х12
6. Функция непрерывна при любом х є R.
Арккотангенс
Функция котангенс на интервале (0;) убывает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а в интервале (0;) существует единственный корень уравнения ctgх = а. Это число а называют арккотангенсом числа а и обозначают arcctgа.
Определение.Арккотангенсом числа а, где а R, называется такое число из интервала (0;),котангенс которого равен а.
Свойства.
1. D(у) = R
2. Е(у) = (0;π)
3. у(-х) = arcctg(-х) = π — arcctg х – функция не является ни четной, ни нечетной.
4. arcctg х = 0– не существует.
5. Функция у = arcctg х убывает при любом х є R
-∞ 1 2 arcctg х1 > arcctg х2
6. Функция непрерывна при любом х є R.
2.3 Тождественные преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции
Пример 1. Упростить выражение:
а) где
Решение. Положим . Тогда и Чтобы найти , воспользуемся соотношением Получаем Но . На этом отрезке косинус принимает только положительные значения. Таким образом, , то есть где .
б)
Решение.
в)
Решение. Положим . Тогда и Найдем сначала , для чего воспользуемся формулой , откуда Так как и на этом интервале косинус принимает только положительные значения, то .
Теперь найдем . Имеем . Это значит, что
г)
Решение. Воспользуемся известной формулой где
д)
Решение.Из тригонометрии нам известно формула
где
Тогда
Пример
2
. Вычислить:
а)
Решение. Пусть Тогда b Более того, так как то . Для вычисления воспользуемся формулой из нее следует, что .
Таким образом. Необходимо сначала найти Так как и ясно, что , то
Так как в интервале , то Итак, и так как а в этом интервале синус принимает только положительные значения, то Таким образом,
б)
Решение.Положим Тогда и Но Таким образом, и, так как получаем Итак,
в)
Решение. Так как то
г)
Решение.
д)
Решение. Пусть Тогда и и
Более того, так как и то и Воспользуемся формулой
Необходимо сначала найти и .
Так как и
В интервале , то
Из основного тригонометрического тождества найдем Так как в интервале то также можем найти из основного тригонометрического тождества Но так как в интервале косинус принимает только положительные значения, то
Итак, Таким образом, .
Пример
3
.Проверьте справедливость равенства:
а)
Решение. Положим , Тогда и и
Проверим в какой части четверти находятся левая и правая части равенства:
Левая часть:
Правая часть:
Рассмотрим равенство на промежутке , где монотонна любая тригонометрическая функция, но удобнее взять косинус от обеих частей.
Необходимо сначала найти
Но так как в промежутке косинус принимает только положительные значения, то
Для вычисления воспользуемся формулой откуда и так как а в этом промежутке то
найдем из формулы Так как в промежутке то
Таким образом, а
Следовательно, равенство верно.
б)
Решение.Пусть
Тогда , а
Более того, так как и то , .
Рассмотрим равенство на промежутке , где монотонна любая тригонометрическая функция, поэтому возьмем синус от обеих частей.
Следовательно,
продолжение
--PAGE_BREAK--
Пример
4
.Доказать тождества.
а) если
Доказательство. Вычислим значения тангенса от обеих частей равенства:
т.е. тангенсы равны.
Далее, так как то
Но по определению и т.е. и и принадлежат одному и тому же промежутку монотонности тангенса. Тем самым тождество доказано.
б) arctg = arcsin
Доказательство.Вычислим значения тангенса от обеих частей равенства
tg(arctgx)=x
tg
т.е. тангенсы равны.
Так как . Но и по определению т.е.
и , и arctgxпринадлежат одному и тому же промежутку монотонности тангенса.Что и требовалось доказать.
в) 2
Доказательство. Вычислим значения косинуса от обеих частей равенства
.
cos(arccosx)=x, т.е. косинусы равны.
Так как и , т.е. и arccosx, и принадлежат одному и тому же промежутку монотонности косинуса. Тем самым тождество доказано.
2.4.Задания, предлагаемые на вступительных экзаменах
Пример 1. Вычислить:
а)
б)
в)
Решение.а) Пусть arctg(-2) = γ. Тогда по определению арктангенса tgγ=-2 и γ. Отсюда . Из уравнения находим, что . Поскольку γ, то sin γsinγ=-. Окончательно, .
б) Обозначим . Тогда и .
в) с учетом тождества , , получаем .
Пример 2.
Сравните два числа: и .
Решение.Напишем сравнение и . Взяв от обеих частей косинус, за счет его убывания получим обратное сравнение . Далее заметим, что — известная величина. И задача сводится к числовому сравнению.
Следовательно, , а .
Пример 3.
Вычислить угол .
Решение. Из определений обратных тригонометрических функций следует
.
Следовательно, . Для нахождения нужно вычислить значение какой-либо тригонометрической функции от , например, sin или cos. Однако на интервале функция синус немонотонна и угол по найденному значению sin определяется неоднозначно, а функция косинус монотонно убывает, следовательно, по значению cos и угол определяется однозначно.
Используя формулу для косинуса суммы, получим
Отсюда следует, что =.
Пример 4. Вычислите значение выражения .
Решение. 1) Найдём ОДЗ данного выражения:
Итак, данное выражение определено на промежутке .
2) Оценим, какие значения может принимать рассматриваемое выражение. Из неотрицательности выражений и следует справедливость неравенств: 0
.
Сложив неравенства одного знака, получим, что исходное выражение
может принимать значения из интервала .
3) На интервале функция является монотонной и, следовательно, зная её значение, можно однозначно определить и значение аргумента.
4) Найдём значение котангенса исходного выражения:
.
Для преобразования полученного выражения применим следующее соотношения: если
при любых значениях .
Тогда получим, что
( с учётом ОДЗ) и, наконец, на ОДЗ рассматриваемого выражения.
5) В силу монотонности функции на интервале равенство возможно лишь при .Следовательно, выражение принимает значение при и не имеет смысла при других значениях x.
Ответ
. при не имеет смысла при.
Пример 5. Найдите множество значений функции если x.
Решение.Заметим, что ; так, что . Тогда при хфункция cos2xдостигает максимума . Также , так как , а , так как Так что минимум cos2x достигается при
Так что .
Пример 6. Найдите множество значений функции y=sin2x, если .
Решение.Так как arccosx-убывающая функция, то arccos, так что ; .
Тогда , т.е. 2x находится во второй четверти, так, что sin2x – убывает. Значит,
Так, что
Ответ:
Пример 7
. Решите систему уравнений
В ответе запишите значение
Решение.
Решим отдельно (*):
Система имеет вид:
Выберем
Ответ:
3. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции
3.1. Уравнения, левая и правая части которых являются одноименными и
разноименными обратными тригонометрическими функциями
Решение уравнений, левая и правая части которых представляют собой одноименные обратные тригонометрические функции различных аргументов, основывается, прежде всего, на таком свойстве этих функции, как монотонность.
Справедливы следующие равносильные переходы:
а)
б)
в)
г)
Замечание 1. Какой из двух равносильных систем пользоваться при решений уравнений а) и б), зависит от того, какое неравенство проще:
(тогда использовать первую систему), или (в этом случае используем вторую систему).
Пример
1
. Решитьуравнение.
.
Ответ. x=-
Замечание 2. Решать неравенства, входящие в систему, необязательно. Достаточно проверить, удовлетворяют ли неравенству найденные корни уравнения.
Пример 2. Решить уравнение.
Ответ..
Пример 3.arcsin(1+2х) = arcsin(2х — х – 1). Запишем равносильную систему:
2х — 3х -2 = 0, х.
Неравенство мы можем не решать, а подставить в него найденные корни.
Итак, х удовлетворяет неравенству системы, а х не удовлетворяет ему.
Ответ:
При решении уравнений, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями, пользуются известными тригонометрическими тождествами. Решение их основано на следующих рассуждениях: пусть требуется решить уравнение
.
Предположим, что -решение этого уравнения. Обозначим
Тогда
Откуда
Итак
(1)
Рассуждая аналогично, можно получить следующие переходы:
(2)
(использована формула ).
(3)
(использована формула ).
(4)
(использована формула )
(5)
(использована формула ).
(6)
(использована формула ).
Замечание 3. Корнем каждого из уравнений (1)-(4) может быть только такое число , для которого и . В противном случае множества
значений левой и правой частей уравнения не пересекаются.0> продолжение
--PAGE_BREAK--
Пример 4.решить уравнение
.
Решение.
Корень является посторонним, так как при и
Ответ.
При решении уравнений данного типа, содержащих параметры, становится актуальным вопрос о равносильности преобразований. Чтобы преобразования (1)-(4) сделать равносильными, следует учесть естественные ограничения, связанные с областями определения обратных тригонометрических функций и множествами их значений (см. замечание 3 ). Так, например,
Пример 5. Решить уравнение с параметром a:
.
Решение. Данное уравнение равносильно системе:
Графиком квадратного трехчлена является парабола, ветви которой направлены вверх. Поскольку , то при любом а уравнение имеет ровно 2 корня, между которыми и заключено число 2а. поэтому только больший корень удовлетворяет условию x>2a. Это корень .
Ответ. При любом
3.2. Уравнения, решаемые другими методами
Уравнения, сводящиеся к алгебраическим
Некоторые уравнения могут быть свелены к алгебраическим уравнениям, при их решении приходиться использовать самые разнообразные преобразования.
Пример
1. arcsin 2 x –arcsinх+ = 0. Пусть arcsin x = y, y
у, D = , y
arcsin x = или arcsin x =
x=sin , x= x=sin
,x=.
Ответ: ;.
Пример 2. arccos2x – arccosx +=0. Пустьarcros х= y, у [0; ]
y2 –y + =0, D =,
arccos x = или arccos x =
x = cos, х=0 x = cos , x=
Ответ; 0; .
Пример 3.arctq2(3x + 2) + 2 arctq (3x + 2)=0.
Пусть arctq (3x + 2)=y, y
y2 + 2y=0, y (y + 2 )=0,
y=0 или y=-2 , -2
arctq (3x + 2)=0, 3x + 2=tq 0, 3x + 2=0, х=
Ответ:
Пример
4.arcsin2x –arcsinx + = 0. Пустьarcsin x=y, y .
y2 –y + = 0, D =
Корней нет.
Ответ: корней нет
Пример 5. arctg2x –arctg x+ = 0.
Пусть arctg x=y, y
y2 –y + = 0, D =, y
arctg x= arctg x=
x=tg х=1 x=tg , x=
Ответ: 1;
Уравнения, решаемые с помощью определений обратных тригонометрических функций
Пример 1.arcsin (x2 – 4x + 3)=0
x2 – 4x + 3= sin 0, а + в + с = 0, X1=1, X2=3
Проверка: x=1, arcsin 0=0 – верно, x =1 – корень уравнения
x=3, arcsin 0=0 – верно, x=3 – корень уравнения
Ответ: 0;3
Пример 2. 4 arctq( x2– 3x– 3 ) — =0 . 4 arctq( x2— 3x– 3 ) =
arctq ( x2 – 3x – 3 ) =
x2 – 3x – 3= tq , x2 – 3x – 3 = 1, x2 – 3x – 4 = 0, x1= -1,x2= 4
Проверка: x=-1, 4 arctq (1 + 3 – 3) – = 0 – верно, x= -1 – корень уравнения
x=4, 4 arctq (16 – 12 – 3) – =0-верно, x=4 – корень уравнения .
Ответ: -1;4
Пример 3. arrcos (x2 – 2) =, x2 – 2 = cos, x2 – 2= -1, x2=1, x=±1
Проверка: x=1, arrcos (1 – 2)= – верно, x=1 – корень уравнения
x= -1, arrcos (1 – 2)= – верно, x= -1 – корень уравнения.
Ответ: -1; 1
Пример 4. arcsin (x2 – 3x +)= .
x2 – 3x +=sin , x2 – 3x= 0, x (x – 3)=0, x1=0, x2=3
Ответ: 0;3
Пример 5.6arcsin (x2 – 6x + 8,5) = .
arcsin (x2 – 6x + 8,5) =
x2 – 6x + 8,5 = sin , x2 – 6x + 8,5 = 0,5,
x2 – 6x + 8 = 0, D =36 – 32=4, x
Ответ: 2;4
Уравнения, содержащие разные аргументы
Пример
1. arcsin 6x + arcsin6x + =0, arcsin 6x = -arcsin 6x –
sin (arcsin 6x) = -sin (arcsin 6x +)
6x = – cos arcsin 6x, где cos arcsin 6x=
6x= 2 , 144x2 = 1, X= ±
Проверка: x =, arcsin + arcsin = — — не верно, x=– посторонний корень
x= — , arcsin(-) + arcsin(-)= - – верно, x= -– корень уравнения.
Ответ: — .
Пример 2. 2arrcos(-) = arrcos(x+ 3)
О. Д. З. , х= — 2.
I способ: cos (2arrcos (-)) = cos (arcos (x + 3)). Вычислим cos (2arrcos (-)).
Пустьarccos (-) = α, α [0; ], cos α = —
cos2α= 2 cos2α– 1 = 2, тогда исходное уравнение принимает вид
= x+ 3, x2– 2 – 2x– 6 = 0, x2– 2x– 8 = 0, D=36, х
x=4 – посторонний корень, т.к. не удовлетворяет О.Д.З.
IIспособ: Т.к. О.Д.З. включает одно значение, то только оно может быть корнем
уравнения или уравнение корней не имеет. Проверяем х = — 2.
2 arrcos1 = arcos(-2+ 3), 0 = 0 – верно, х = -2 – корень уравнения.
Ответ: -2
продолжение
--PAGE_BREAK--
Пример 3. arcsinx+ arcsin. sin (arcsin x) = sin (– arcsin )
x = cos (arcsin ), x = , x2=1 – , 3x2 = 3 – x2, 4x2 = 3, х= ±
Проверка: x=, arcsin + arcsin = — верно, x= — корень уравнения.
x=- , аrcsin(-) + arcsin(-) = – неверно, x=- — пост. кор. ур. Ответ:.
Уравнения, содержащие разные аркфункции
Пример
1. arcos x – arcsin x = arrcosx. cos (arcos x – arcsin x) = cos (arcosx)
cos (arcos x) cos (arcsin x) + sin (arcos x) sin (arcsin x) = x
x2+ x2= x, 2x2= x, 2x2— x= 0,
x(2 2 - ) = 0 , x=0 или 2 2=
4 – 4x2= 3 ,x2=, х Проверка: x=0, arrcos0 – arcsin0 = arrcos0 – верно, x=0 – корень уравнения
х =, arrcos– arcsin = arrcos– неверно, x=– посторонний корень
x= -, arrcos(-) – arcsin(-)= arrcos(-)– неверно, x= -–постор.корень.
Ответ: 0
Пример
2. arcsin x – arcos x = arcsin (3x – 2)
sin (arcsin x – arccos x) = sin (arcsin (3x – 2))
sin(arcsin x) cos(arccos x) – sin(arccos x) cos(arcsin x) = 3x – 2
x2 – (1 – x2) – 3x + 2 =0, x2 – 1 + x2 – 3x + 2 = 0, 2x2 – 3x + 1 = 0, x1=1 , x2=
Проверка: x1=1, arcsin1 – arcos1 = arcsin(3 – 2), – верно, х =1- корень ур.
x2=, arcsin – arсcos = arcsin(3.– 2), -верно, x2=-кор.ур.
Ответ:;1.
При решении уравнений, содержащих разноимённые обратные тригонометрические функции, можно пользоваться тригонометрическими тождествами.
При решении многих уравнений такого рода бывает целесообразно не обсуждать вопрос о равносильности преобразований, а сразу переходить к уравнению-следствию и после его решения делать необходимую проверку.
Рассуждения могут быть примерно следующими.
Пусть требуется решить уравнение аrcsinf(x) = arсcosg(x).
Предположим, что х — решение этого уравнения.
Обозначим аrcsinf(x) = arсcosg(x) через α. Тогда sinα = f(x), cosα. = g(x), откуда
f(x) + g(x) = 1.
Итак, аrcsinf(x) = arсcosg(x) f(x) + g(x) = 1.
Аналогично получаем :
arctgf(x) = arctgg(x) f(x) g(x) = 1. (По формуле tgxctgx= 1.)
аrcsinf(x) = arcctgg(x) f(x) =. (По формуле sinx=
arctgf(x) = arсcosg(x) = g(x). . (По формуле cosx=
аrcsinf(x) = arctgg(x) f(x) . (По формуле sinx=
arсcosg(x) = arcctgg(x) f(x) . (По формуле соsx=
Приведём пример.
arсcos = аrcsin . ,
65х + 78х — 143 = 0, т.к. а+в+с = 0, то х = 1 и х =
Проверка: х = 1, arсcos = аrcsin — верно, х = 1 – корень уравнения.
Х = — посторнний корень, т.к. arсcos = аrcsin ,
arсcos(-) = аrcsin(-) — неверно. Ответ: 1.
Использование свойств монотонности обратных тригонометрических функций
Решить уравнение: arctg .
Решение: Пусть х2 + х = t. Тогда уравнение примет вид arctg.
Функции Z= Z= , y= arctgz и y= arcsinz являются монотонно
возрастающими. Поэтому функция y= arctg +arcsin также является
монотонно возрастающей.
Уравнение arctg.
имеет не более одного корня. Находим подбором t= 0 – корень данного уравнения.
Поэтому х2+ х = 0, х = 0, х = -1.
Ответ: -1; 0.
Использование ограниченности обратных тригонометрических функций
Решить уравнение: аrcsin(х ( х+у )) + аrcsin(у ( х+у )) =
Т.к. аrcsint при , то левая часть уравнения не превосходит .
Знак равенства возможен, лишь если каждое слагаемое левой части равно .
Таким образом, уравнение равносильно системе:
Итак, х = у, тогда получаем уравнение 2х = 1, х, у
Ответ:
3.3. Задания, предлагаемые в ЕГЭ
Пример 1. Решить уравнения:
а) .
Решение.Достаточно вначале выписать и решить систему неравенств, которые задают область определения и область значений арксинуса.
Проверка показывает, что x=-3 подходит.
Ответ.x=-3
б)
Решение.ОДЗ: . Вычисляя тангенсы обеих частей уравнения, получим
Ясно, что являются корнями исходного уравнения; — корень уравнения в силу нечетности функции арктангенс.
Ответ.
в)
Решение.ОДЗ: . По определению Вычисляя котангенсы обеих частей, получим эквивалентное уравнение (т.к. котангенс на интервале (0; ) монотонно убывающая функция и, следовательно, из равенств котангенсов двух углов следует равенство этих углов):
Ответ. .
г) .
Решение.ОДЗ: Запишем уравнение в эквивалентной форме:
.
Отметим, что
и, следовательно, вычисляя синусы обеих частей уравнения, мы получим в качестве следствия уравнение
Проверка показывает, что является корнем исходного уравнения, а ему не удовлетворяет:
Значение появилось при переходе от исходного уравнения к уравнению-следствию.
Ответ.
д)
Решение.ОДЗ: Отметим, что знаки обеих частей уравнения совпадают только на отрезке , где (на отрезке и, следовательно, уравнение не имеет решения). Но на отрезке функция синус монотонна и, следовательно, взяв синусы обеих частей уравнения, на отрезке получим уравнение, эквивалентное исходному:
Ответ.
е)
Решение.Перепишем уравнение в виде
и перейдем к уравнению-следствию, взяв косинус от обеих частей
При таком решении необходима проверка. Легко видеть, что х=0 – корень уравнения.
Ответ. х=0.
продолжение
--PAGE_BREAK--