ВВЕДЕНИЕ
Строение абелевых групп во многом определяетсястроением максимальных р-подгрупп. В теории конечных групп максимальныеподгруппы также играют существенную роль. Теорема, доказанная норвежскимматематиком Л. Силовом в 1872 году, явилась краеугольным камнем теории конечныхгрупп. Она неоднократно обобщалась в разных направлениях как в нашей стране (С.А. Чунихин и др.), так и за рубежом (Ф. Холл и др.). В связи с этой теоремой ив честь ее автора максимальные р-подгруппы конечных (а часто и бесконечных)групп называются силовскими р-подгруппами. Проблема нахождения силовскойподгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп.Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа можетбыть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядокгруппы, помноженный на количество порождающих элементов).
Говорят, что группа G действует на множестве М, если для каждыхэлементов/>,/>определенэлемент />,причем />иme=m для всех />, />; здесь e — единица группы G.Множество />называетсяорбитой элемента m. Очевидно, орбиты любых двухэлементов из М либо совпадают, либо не пересекаются, так что множество Мразбивается на непересекающиеся орбиты. Людвиг Силов (норв. Peter LudvigMejdell Sylow — фонетически правильней транслитерация «Сюлов»; 1832—1918) — норвежскийматематик. Автор нескольких работ по теории эллиптических функций и по теориигрупп. С 1858 по 1898 годы был учителем в школе в городе Фредериксхальд. В 1862году Силов заменил профессора по теории Галуа в университете Христиании, где онпоставил задачу, которая привела к наиболее важному результату его жизни — такназываемым теоремам Силова, опубликованным в 1872 году.
ГЛАВА 1. ТЕОРЕМЫ СИЛОВА
Пусть G –конечная группа, а р – простое число, которое делит порядок G. Подгруппыпорядка pt называются р-подгруппами. Выделим из порядка группы Gпримарный делитель по р, то есть | G | = pns, где s не делится на р. Тогда силовской р-подгруппой называется подгруппаG, имеющая порядок pn. Под N(P) понимаетсянормализатор подгруппы Р в G.
Теорема 1.(первая теорема Силова).
Силовские р-подгруппы существуют.
Доказательство.
Докажем теорему индукцией по порядку G. При |G| = p теорема верна.Пусть теперь |G| > p. Пусть Z(G) — центр группы G. Возможны два случая:
а) p делит |Z|. Тогда в центре существует циклическая группа />(как элемент примарного разложения центра), котораянормальна в G. Факторгруппа G по этой циклической группе имеет меньший порядок,чем G, значит, по предположению индукции, в ней существует силовскаяp-подгруппа. Рассмотрим её прообраз в G. Он и будет нужной нам силовскойp-подгруппой G.
б) p не делит |Z|. Тогда рассмотрим разбиение G на классысопряжённости:/>(поскольку если элемент лежит вцентре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок G делитсяна p, значит, должен найтись класс Ka, порядок которого не делитсяна p. Соответствующий ему нормализатор имеет порядок pnr, r
Теорема 2.(вторая теорема Силова).
Всякая p-подгруппа содержится внекоторой силовской p-подгруппе. Все силовские p-подгруппы сопряжены (т.е. каждая представляется в виде gPg − 1, где g— элемент группы, а P — силовская подгруппа изтеоремы 1).
Доказательство
Итак, пусть силовские р-подгруппы в G существуют и Р — одна из них. Пусть, далее, />— произвольнаяр-подгруппа группы G, не обязательно силовская.Заставим />действовать левыми сдвигами на множестве />левых смежных классов G по Р. Длина любой орбиты относительно />делит порядок />,/>. Таким образом,
/>
где/>,… — длины орбит. Так как НОД(m,p) = 1, то хотя бы однаорбита имеет длину pki = 1, т.е.
/> (1)
для некоторого элемента/>. Переписав соотношение (1) в виде/>, мы приходимк заключению, что
/> (2)
(поскольку />— группа). В частности, если />— силовскаяр-подгруппа, то |/>| = |Р|, и из (2) следует, что />=/>.
Теорема 3(третья теорема Силова).
Количество силовских p-подгрупп сравнимос единицей по модулю p />и делит порядок G.
Доказательство.
Рассмотрим несколько более общую ситуацию. Именно, пусть />, где />, t может делится на p, ипусть />-число всех подгрупп порядка />в G.Оказывается, что имеет место сравнение />, в частности, G содержит подгруппы любого порядка />, s=1,2,…,n и />.
Рассуждаем следующим образом. Действие левыми сдвигами группы G на себе индуцирует действие G на множестве
/>
всех />-элементных подмножеств />. Причём />. Множество />/>разбивается на G-орбиты />, так что
/>,/>
где /> — стационарная подгруппанекоторого представителя />.
Так как />, то />-объединение нескольких правых смежных классов G по />. Поэтому />, откуда />. В случае />имеем />. Равенства />и />эквивалентны.Получаем
/>
/>(/> — некоторый элемент из G) и, стало быть, /> — подгруппа порядка />. Орбита />исчерпываетсянекоторым числом левых смежных классов />группы G по />.
Обратно: каждая подгруппа />порядка />приводит к орбите />длины t. Различные подгруппы />с />приводят к различным орбитам />, поскольку из />следует />, откуда />и />. Таким образом,имеется взаимно однозначное соответствие между подгруппами порядка />и орбитами />длины t. Тогда сравнение записывается как
/>
Где следовало бы написать />, чтобы подчеркнуть зависимость />от G.
Если взять за G циклическую группупорядка />,то для неё />и поэтому
/>
Так как левые часть сравнений по одному и тому же модулю совпадают,то имеем
/>
А это и даёт искомое сравнение
/>
Получим полезное уточнение теорем Силова.
Теорема 4.
Справедливы следующие утверждения:
1).силовская p-подгруппа P группы G нормальна в G тогда и только тогда, когда />
2).конечная группа G порядка />является прямымпроизведением своих силовских /> — подгрупп />в точности тогда, когдавсе эти подгруппы нормальны в G.
Доказательство.
1).Все силовские подгруппы, отвечающие данному простому делителю рпорядка />,по второй теореме Силова сопряжены, и если P–одна изних, то
/> />нормальна в G
2).Если /> — прямое произведение своихсиловских подгрупп, то />нормальна в G как любой прямой множитель. Значит условие нормальностинеобходимо.
Пусть теперь />нормальна в G, />, т.е. />. Заметим, что />. Стало быть, />, а отсюда длялюбых />имеем
/>
Т.е. элементы />и />перестановочны.
Представим, что единичный элемент />записан в виде />, где /> — элемент порядка />. Положив />ивоспользовавшись перестановочностью />получим
/>
Но так как а и />взаимно просты, то />. Это вернопри любом j, и, стало быть, равенство />возможно лишь при />
С другой стороны, каждый элемент />порядка />, />записывается в виде />, />, />.Достаточно положить />, где показатели определяютсяусловиями
теорема силов конечная группа
/>,/>
Если теперь /> — другая запись x в виде произведения />-элементов, то в силуперестановочности />, />с различными нижними индексамибудем иметь
/>,
что, как было показано выше, влечёт равенства
/>, т.е. />.
Итак, каждый элемент группы G записывается,и притом единственным образом в виде />.
Замечание
Нормальная силовская p-подгруппа P группы G характеристична в G, т.е. инвариантна при действии любого автоморфизма />.Действительно, />, поэтому /> — силовская р-подгруппа, и, сталобыть, />,если />.Аналоги силовских подгрупп прослеживаются в алгебраических структурах, далёкихот конечных групп.
Следствие
Если все делители | G |, кроме 1, последеления на p дают остаток, отличный от единицы, то вG есть единственная силовская p-подгруппаи она является нормальной (и даже характеристической).
Примеры силовских подгрупп.
Пример 1.
Аддитивная группа кольца вычетов />разлагается в прямое произведениесвоих силовских p-подгрупп, которые являютсяциклическими подгруппами порядков />, если n имеетканоническое разложение n=/>.
Пример 2.
Силовские p-подгруппы симметрическихгрупп. Как мы знаем, />Каков максимальный показатель e(n), при котором />делит n!? В последовательности 1,2,…,n кратнымиp будут числа p,2p,…,kp, где />, поэтому />. Так как />, то />Удобноразложить n по основанию p: />, тогда />
Рассмотрим сначала группы />, когда n степеньp. Пусть в />уже найдена силовская p-подгруппа, т.е. подгруппа />порядка />. Построим по ней в />подгруппу />порядка />. Для этого разобьёмпереставляемые символы 1,2,…,/>на последовательные отрезки длины/>. Если />и x – подстановка на символах i-гоотрезка, то легко сообразить, что /> — подстановка на символах (i+1)-го отрезка (сложение по модулю p). Отсюда видно, что подгруппа, порождённая подгруппами />, является изпрямым произведением, и, стало быть, подгруппа />, порожденная подгруппой />и элементом с,изоморфна сплетению />. Подгруппа /> — искомая, так как />.
Одновременно мы видим, что силовская p-подгруппав />изоморфнапоследовательному сплетению (…(/>циклической группы />с самой собою m раз.
Теперь пусть n произвольно. Разобьёмсимволы 1,...,n на />одноэлементных, />р-элементных и т.д.отрезков. На каждом из этих отрезков рассмотрим симметрическую группу – онабудет некоторой степени />, а в ней возьмём силовскую p-подгруппу, построенную как выше. Так как эти подгруппыдействуют на непересекающихся множествах, то их порождение />является их прямымпроизведением, а потому имеет порядок
/>
Следовательно, /> — силовская p-подгруппа в />. Из построения видно, что онаизоморфна прямому произведению нескольких последовательных сплетений типа (…(/>.
Пример 3
Рассмотрим общие линейные группы над конечными полями. Пусть p – простое число, m, n – целые числа />и />. Покажем, что /> — силовская p-подгруппа группы />. Посчитаем порядки этих групп.
Какие n-ки над полем />могут быть первой строкойневырожденной матрицы? Очевидно, любые, кроме нулевой, т. е. />штук. Если первая строкавыбрана, то в качестве второй строки можно взять любую, не пропорциональнуюпервой; таких строк/>. Если две первые строки ужевыбраны, то в качестве третьей можно взять любую строку, не зависящую линейноот первых двух; это дает />возможностей. И так далее. Значит,/>.
Так как угловые элементы матриц />пробегают независимо друг отдруга всё поле, а всего угловых мест />, то />. Из сравнения порядков мы видим,что />-силовская p-подгруппа группы />.
Нахождение силовской подгруппы.
Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы являетсяважной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок УильямКантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальноеот размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный наколичество порождающих элементов).
ГЛАВА 2.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕОРЕМ СИЛОВА
Задача 1.
Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой.
Решение
/>,значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. N5 должно делить 14 и сравнимос 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в G однасиловская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому G не может бытьпростой.
Задача 2
Найти силовские р-подгруппы в группе всех матриц />с определителем 1 надполем />изр элементов.
Решение.
Пусть /> — группа />с определителем 1 над полем />из рэлементов. Из разложения
/>
полной линейной группы />в смежные классы по />следует, что
/> (1)
Рассматривая />как группу автоморфизмовдвумерного векторного пространства V над />, легко найтипорядок />.Действительно, />действует на множестве пар />базисныхвекторов. Образом />может быть любой отличный от нулявектор />(ихвсего />штук), а при всяком выборе />образом />может быть любой вектор />из />(таких векторовимеется />штук). Стало быть, />, что в сочетании с (1) приводит кформуле
/>
По крайней мере две силовские р-подгруппы группы />мы находим сразу:
/>, />.
В соответствии с теоремой 3 имеем />
а так как
/>
и, следовательно, нормализатор />содержит подгруппу
/>
порядка p(p-1), тоостаётся единственная возможность
/>.
Между группой
/>
и симметрической группой />непосредственно устанавливаетсяизоморфизм
/>
(обе группы имеют одинаковое задание образующими и соотношениями).При p>2 группа />имеет центр />порядка 2. Фактор-группа />,которую естественно называть проективной специальной группой(она являетсягруппой преобразований проективной прямой />), играет важную роль в алгебресо времён Галуа. Дело в том, что при p>3 группа/>простая,и это, наряду с />,- один из самых ранних примеровконечных простых групп.
Задача 3
Описать с помощью теоремы Силова все возможные типы групп порядка pq.
Решение
Пусть р, q — простые числа, р
а) Силовская р-подгруппа (а) единственна. Тогда она нормальна и,значит,/>.Так как />, то />. Такимобразом, в этом случае />.
б) Имеется q силовских р-подгрупп. Конечно, это возможно лишь приусловии />. Пусть />. Если r=1, то снова />, т. е. />. Пусть />. Индукцией пох получаем />, откуда /> для всехцелых х, у. При х=р, у=1 это дает />, кроме того, получаемформулу умножения />.
Обратно, легко проверить, что если />, />, />, то этаформула умножения определяет неабелеву группу порядка pq. Наконец, решениясравнения />составляют циклическую группу порядка р, поэтому те из них, которые/>, имеют вид />, где r — одно из них. Все эти решения определяют одну и ту жегруппу, так как замена порождающего а на />приводит к замене r на />.
Таким образом, с помощью теоремы Силова мы описали все возможныетипы групп порядка pq; их оказалось два — абелев и неабелев, причем второйсуществует только при условии />.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При изучении абелевых групп видно, что их строение во многомопределяется строением максимальных р-подгрупп. В теории конечных группмаксимальные р-подгруппы также играют существенную роль. В этом курсовой былидоказаны теоремы Силова о конечных группах: для каждой степени />, делящей порядокгруппы, существует подгруппа порядка />, причем если />делит порядок группы,то всякая подгруппа порядка />содержится в некоторой подгруппепорядка />;все максимальные р-подгруппы попарно сопряжены в группе, а их число сравнимо с1 по модулю р. Эта теорема была доказана норвежским математиком Л. Силовом в1872 году. В связи с этой теоремой и в честь ее автора максимальные р-подгруппыконечных (а часто и бесконечных) групп называются силовскими р-подгруппами.
Из теоремы Силова вытекает, в частности, что силовские р-подгруппыконечной группы — это в точности подгруппы порядка />, где />— максимальная степень р, делящаяпорядок группы. Отметим, что если число m делитпорядок конечной группы G, но не является степенью простого числа, то в G можети не быть подгрупп порядка m — например, взнакопеременной группе А4 порядка 12 нет подгрупп порядка 6.
В теории групп теоремы Си́лова представляютсобой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителейпорядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.:Физматлит, 2001.
2. Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.
3. М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. Основы теории групп.М.: Наука, 1982.