--PAGE_BREAK--II Основная часть Общие сведения о тригонометрических функциях
Тригонометрия– слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников.
В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.
Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в IIIвеке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (Iвек н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги. В IV-Vвеках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IXвеке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus– изгиб, кривизна).
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completelysinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa= sin(90°— a)). Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в Xвеке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIVвеке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin и cos были впервые введены в 1739 г. швейцарским математиком Иоганном Бернуллив письме к Леонарду Эйлеру, который и стал употреблять их в своих математических работах. Эйлер ввел также обозначения для функций угла х: tgx, ctg
x, secx, cosecx.
Синус, косинус, тангенс, котангенс.
· Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе (AB/OB).
· Косинусомострого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе (ОА/OB).
· Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету(AB/OA).
· Котангенсомострого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету(ОА/AB).
Значения тригонометрических функций.
Значения тригонометрических функций для некоторых углов.
Значения косинуса и синуса на окружности.
Свойства тригонометрических функций
Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или основному тригонометрическому тождеству, имеем:
Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, имеем далее:
Формулы приведения:
sin(90° — α) = cosα
cos(90° — α) = sinα
sin(180° — α) = sinα
cos(180° — α) = — cosα
Чётность и нечетность функций.
Чётная функция— функция y
=
f
(
x
)называется чётной, если область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство
f
(-
x
) =
f
(
x
)
Нечётная функция— функция, область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство
f(-
x) = -
f(
x)
Косинус — единственная чётная функция. Остальные три функции — нечётные, то есть:
продолжение
--PAGE_BREAK--Теоремы Теорема о площади треугольника:
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
S = ½ ab sinC
Дано:
∆АВС, АВ= с, ВС= a, СА = b
,
h
-
высота
Доказать:
S= ½ absin
C
Доказательство:
Введём систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S= ½ ah
, где h
– высота треугольника. Но h
равна ординате точки А, т.е. h
=
bsinC(т.к. sinC= h
/
b) => S= ½ absin
C
Ч.т.д.
Теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC
Дано:
∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b
Доказать
:
a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC
Доказательство:
По теореме о площади треугольника S= ½ absinC, S= ½ bcsinA, S= ½ acsinB.
Из первых двух равенств получаем ½ absinC = ½ bcsinA,
½ ab sinC = ½ bc sinA │: ½ b
a sinC = c sinA │: sinA sinC
a/sinA= c/sinC
Точно также из второго и третьего равенства получаем
½ bc sinA = ½ ac sinB │: ½ c
b sinA = a sinB │: sinA sinB
b/sinB = a/sinA
Таккакa/sinA = c/sinC иb/sinB = a/sinA, тоa/sinA= b/sinB= c/sinC.
Ч.т.д.
Замечание:
Дано:
R – радиус описанной окружности, ВС = a, BA1 — диаметр
Доказать:
BC/sinA= 2R(BC=2RsinA)
Доказательство:
Проведем диаметр ВА1. Рассмотрим ∆А1ВС, ∟С — прямоугольный => ВС=ВА1×sinA1. Если т.А1 лежит на дуге ВАС, то ∟А1=∟А, если на дуге BDC, то ∟A1= 180° - ∟A. И в том, и в другом случае sinA1 = sinA=> BC= BA1*sinA, BC= 2RsinAили BC/sinA= 2R.
Ч.т.д.
продолжение
--PAGE_BREAK--