Теория поляи элементы векторного анализаЭлементыматематической теории скалярных и векторных полей
Математическаятеория поля занимается изучением его свойств, отвлекаясь от его конкретногофизического смысла. Поэтому получаемое в этой теории понятие и закономерностиотносятся ко всем конкретным полям.
Определение1
Полем называется совокупностьзначений той или иной величины (скорость, плотность, давление и т.п.), заданныхв каждой точке рассматриваемой области.
Еслирассматриваемая величина
а) скаляр,то поле называется скалярным, например
/> – поле плотности
б) вектор,то поле называется векторным
/> – поле скоростей
в) тензор,то поле называется тензорным
/> – поле напряжений.
Определение2
Если значениярассматриваемых величин не изменяются во времени, то поленазывается стационарным (установившимся), если же они /> изменяются вовремени, то поле называется нестационарным.
Здесь мыостановимся на рассмотрении свойств стационарных полей.Скалярноеполе />
Характеристикискалярного поля
1) Скалярноеполе характеризуется поверхностью уровня />(см.рис.)
2) Градиентполяопределяется как вектор, составленный из частных производных
/> (1)
Он направленпо нормали к поверхностям уровня и характеризует величину и направлениенаибыстрейшего изменения величины поля. Полный дифференциал скалярного поля /> можно представить в виде:
/>, (2)
где />.
3) Производнаяпо направлению /> (см. рис. 2)определяется как проекция градиента на данное направление
/> (3)
Частныйслучай: производная по нормали:
/> (4)
4) Частныеи полные производные по времени
Рассмотримнестационарное скалярное поле:
/>
Скоростьизменения r в фиксированной точке /> равна /> и называется частнойпроизводной (локальной производной). Пусть задана некоторая траектория впространстве, где определено скалярное поле (рис. 3)
/>
/>
Скорость измененияrвдоль траектории определяется как полная производная по t от сложной функции иравна:
/> (5)
/> – конвективная производная,она связана с перемещением точки (частицы) из одной точки пространства вдругую.
Замечание:
ОператорÑ «набла» – этогреческое слово, означающее «арфа» – музыкальный инструмент, по форменапоминающий перевернутый треугольник.
Характеристикивекторного поля />
1) Векторнаялиния –кривая, направление которой в каждой ее точке совпадает с направлением вектора />, отвечающего этой точке(см. рис. 4) />
/> и />
–коллинеарные (параллельные) векторы и, следовательно,
/> | | = />
/> = l/>Þ />= l
/> (6)
2) Производнаяот вектора по направлению определяется следующим образом:
/> (7)
/>– направляющие косинусывектора />, в декартовой системекоординат.
Доказательство:
Учтем, что
/>
и так далее, подставимв />, получим:
/>
+/>
+/>
/>
Итак, мыдоказали
/>.
3) Частнаяи полная производные по времени от вектора
/> (9)
Доказательство:
/>
/>
/>
4) Потоквектора через поверхность. Дивергенция
/>– поток векторнойвеличины через элементарную площадку (элементарный поток)
/> (11)
векторныйпоток через незамкнутую площадку;
/> (12)
поток векторачерез замкнутую площадку.
/> –
поток вектораскорости через поверхность S равен объему жидкости, протекающей через этуплощадку поверхности за единицу времени.
По теоремеОстроградского-Гаусса (рис. 7)
/> (13)
Сжимая объем /> и, следовательно /> получим, используя теоремуосреднения
/> (14)
Следовательно,/> можно определить как предел
/> (15)
Пример:
В гидродинамикеполе скоростей /> имеет
/>
дивергенцияравна количеству жидкости, рассчитанному на единицу объема, вытекающему изданной точки пространства за одну секунду, т.е. /> равна мощности источникажидкости (если />> 0).
Если /> .
5. Циркуляциявектора вдоль линии
Ротоквекторного поля
Элементарнаяциркуляция вектора /> вдоль линии dl равна (рис. 8а)
/> (16)
Циркуляциявектора />вдоль замкнутой линии L (рис. 8б)
/> (17)
Пусть контур L ограничивает некоторуюповерхность S (рис. 8в). Используем теорему Стокса и преобразуем интеграл покривой L в интеграл по поверхности S:
/> (18)
Роток (вихрь)вектора />определяется как
/> (19)
Определение
Циркуляция вектора /> вдоль замкнутого контураравна потоку его ротора через поверхность, ограниченную этим контуром(рис. 9)
/> (20)
Потенциальноевекторное поле
Определение:
Векторноеполе />называется потенциальным, если существуетскалярная величина />, такая, что
/>
/> – называется скалярнымпотенциалом поля.
Свойствапотенциального поля
1. Впотенциальном поле отсутствуют вихри (отсутствует ротация), т.е.
/>
Доказательство:
/>
2. Циркуляцияпо любому замкнутому контуру равна нулю (это следствие п.1)
/>
3. Работапотенциального поля при перемещении точки из одного положения в другое независит от пути соединяющего эти положения и равна разности потенциалов вконечных точках.
Циркуляцияпотенциального поля не зависит от вида кривой, соединяющей две различные точки,и равна разности значений потенциала в данных точках.
/>
отсюдаполучаем
/>
/>
/>
4. Векторныелинии потенциального поля не могут быть замкнутыми.
Доказательствоот противоположного:
Допустим, чтоесть замкнутая векторная линия L. Тогда по определению векторной линии вдольсоответствующего контура /> и,следовательно, и циркуляция по нему больше нуля />,что противоречит свойству 2.
5. Суммапотенциальных векторных полей является потенциальным полем, и потенциал суммыполей равен сумме потенциалов.Соленоидальное векторное поле
Определение:
Векторное поле/>называется соленоидальным(вихревым), если существует векторная величина />такая,что
/>= rot />
/>– называется векторнымпотенциалом поля />.Свойства соленоидального поля
1. Длятого чтобы поле /> былосоленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всей рассматриваемой областивыполнялось равенство div />= 0, т.е. его поток черезвсякую замкнутую поверхность, погруженную в поле, = 0. Следовательно,соленоидальные поля лишены источников и стоков.
Замечание: Это свойство можноположить в определение.
Доказательство основывается на том, что
/>=
Следствие />= 0
/>
как следствиеэтого свойства получаем, что поток вектора />соленоидальногополя через две одинаково ориентированные поверхности S1 и S2, опирающиеся на один итот же контур L, одинаков.
2. Потоксоленоидального поля через два любых сечения векторной трубки одинаков.
Доказательство:
Отрезоквекторной трубки, ограниченный сечениями S1, S2 и Sd, можно рассматривать как замкнутую поверхность, помещенную всоленоидальное поле. Поэтому />
/>, но />,т.к. />.
Учитывая, что/> и /> направлены впротивоположные стороны, и вводя (–/>),получим
/> отсюда следует />
3. Всоленоидальном поле векторные линии либо замкнуты, либо уходят к границе поля.Так как />, то векторные линии поля /> не могут начинаться иликончаться в области поля, иначе в…? будет существовать сток или исток, чтопротиворечит свойству 1.
4. Суммасоленоидальных векторных полей есть соленоидальное поле.Потенциальноенесжимаемое поле. Гармоническое поле
/>, /> отсюда следует />=/>
/> />
Это полечасто называют гармоническим или полем Лапласа.
Резюме
По заданномуполю />мы всегда можем найти поля u и />. Справедливо и обратноеутверждение: по известным u и /> всегдаможно найти искомое поле />.
Пусть поле />известно, тогдапотенциалы u и /> находятся изуравнений:
/> />
Если u и /> известны, тогда векторноеполе />определяется из уравнений:
/>
Эти уравнениявсегда разрешимы.Теорема о разложимостипроизвольного векторного поля
Произвольноевекторное поле />всегда может быть представлено в видесуммы потенциального /> исоленоидального /> полей.
Задано
/>
где />; />
/>
и,следовательно />
Потенциалы /> и uдолжны удовлетворятьследующему соотношению:
1. />
нодивергенция соленоидального поля должна быть равна 0.
/>
отсюда
/> />
2. />
/> (**)
Дляопределения /> и u получили двадифференциальных уравнения, которые всегда имеют решения и, следовательно,произвольное поле /> всегда можно представить в виде суммы потенциальногои соленоидального полей.Нахождениевекторного поля по его характеристикам
Длянахождения /> и u нужно решить системучетырех уравнений
/>
Пустьизвестны характеристики векторного поля />
/> (1)
или винтегральной форме:
/>
Будем искатьраспределение поля />. Для этогоразложим его на потенциальное /> ивихревое />.
/>= />+ /> (2)
Подставляя(2) в уравнение (1), получим систему уравнений для отыскания />:
/> (3)
Потенциальноеполе удобно представить через градиент
/> (4)
т.к. в этомслучае приходится находить всего лишь одну скалярную величину вместо трех.Подставляем (4) в первое уравнение (3), получаем уравнение
/> – уравнение Пуассона (5)
Его решениеизвестно и имеет следующий вид:
/>. (6)
Соленоидальное(вихревое) поле будем искать через векторный потенциал
/> (7)
Тогда для /> получаем следующееуравнение:
/> (8)
Т.к. поле /> тоже векторное, то дляего нахождения кроме rot необходимо задать еще одно условие на div/>. В качестве такогоусловия (которое заранее ниоткуда не вытекает) удобно выбрать div/>= 0 (это называетсякалибровкой Кирхгофа). В этом случае уравнение (8) упрощается
/> (8а)
и его решениеимеет вид:
/> (9)
Следовательно,искомое поле /> равно:
/>
Интегральныесоотношения теории векторного поля
1. ТеоремаОстроградского-Гаусса
/>
2. ТеоремаСтокса
/>
3. ТеоремаГрина
(перваяформа)
/>
(втораяформа)
/>
4. Интегралот скаляра по замкнутому контуру
/>
5. Интегралот /> по объему
/>
/>
Используятеорему о среднем при /> находим
/>
/>
/> – источник
/> – сток
6. Циркуляциявектора вдоль линии
Ротоквекторного поля
/> – элементарнаяциркуляция вектора вдоль линии L
/> – циркуляция векторавдоль замкнутой линии.ТеоремаСтокса
/>
/>
Механическийсмысл ротора векторного поля
Рассмотримдвижение твердого тела. Линейная скорость /> произвольнойточки /> равна твердого тела равна />
где /> – скорость полюса />
/> – мгновенная угловаяскорость
/>
Представим
/>
Следовательно,компоненты скоростей т.М равны
/>
/>
/>
Вфиксированный момент времени t переменными являются только координаты т. />, все остальные величины />, /> /> являются постоянными
/>=
/>
Дифференцированиескалярных и векторных полей
Скалярноеполе />
/>
/>
Векторноеполе />
/>
/>
/>
Таблица 1.Операции 2-го порядка Скалярное поле j Векторное поле А
/>
/>
/>
grad нет
/>;
/> нет
div
/> Нет
/>
rot
/> нет
/> Таблица 2. Дифференцирование произведений
/>
/>
/>
grad нет
/>
/> нет
div
/> нет
/>
rot
/> нет
/>/>+
/>