Содержание
Введение
Глава 1. Основные понятия теории рядов
1.1 Определения и термины
1.2 Истоки проблемы
Глава 2. Метод степенных рядов
2.1 Суть метода
2.2 Теорема Абеля
2.3 Теорема Таубера
Глава 3. Метод средних арифметических
3.1 Суть метода
3.2 Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро
3.3 Теорема Харди-Ландау
3.4 Применение обобщенного суммирования к умножению рядов
Глава 4. Другие методы обобщенного суммирования
4.1 Методы Г.Ф. Вороного
4.2 Обобщенные методы Чезаро
4.3 Метод Бореля
4.4 Метод Эйлера
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Как мы уже знаем математический анализ,занимается проблемами изучения множества объектов, таких как: числа,переменные, функции, последовательности, ряды и др. При изучении свойств тогоили иного объекта могут возникать пробелы или “пустоты". Это возникаеттогда, когда наука не может объяснить: “Почему происходит так, а не иначе? ”. Такойказус существовал некоторое время и при изучении рядов, а точнее при изучении расходящихсярядов.
При изучении рядов заданномучисловому ряду
/> (А)
в качестве его суммы мыприписывали предел её частичной суммы />,в предположении, что этот предел существует и конечен. “Колеблющийся" расходящийсяряд оказывался лишенным суммы и подобные ряды, как правило, из рассмотренияисключали. Естественно возникает вопрос о возможности суммированиярасходящихся рядов в некоем новом смысле, конечно отличном от обычного. Этотвопрос возник ещё до второй половины XIX века. Некоторыеметоды такого суммирования оказались довольно-таки плодотворными.
В данной своей работе я хочурассмотреть эти методы, обратить внимание на то, где и какой метод наиболееприменим, изучить связь между этими методами. Моя работа состоит из 4 глав,первая из которых содержит основные термины и определения необходимые дляработы. Последующие главы рассматривают непосредственно сами методысуммирования. Вторая и третья главы посвящены двум основным методамсуммирования: метод степенных рядов и метод средних арифметических,а третья содержит сведения о других существующих, но реже применяемых методах. Каждаяиз четырех глав содержит примеры суммирования рядов по данному конкретномуметоду.
Глава 1. Основныепонятия теории рядов1.1 Определения итермины
Как мы упомянули вначале цельнашего исследования — расходящиеся ряды. А что же такое, вообще, ряд?
Пусть задана некотораябесконечная последовательность чисел
/> (1)
Составленный из этих чиселсимвол
/> (2)
называется бесконечным рядом,а сами числа (1) — членами ряда. Вместо (2), пользуясь знаком суммы, частопишут так:
/> (2а)
Станем последовательноскладывать члены ряда, составляя (в бесконечном количестве) суммы;
/> (3)
их называют частичными суммамиряда.
Конечный или бесконечныйпредел А частичной суммы /> ряда (2)при />: />
называют суммой ряда ипишут
/>,
Придавая тем самым символу (2) или(2а) числовой смысл. Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся,в противном же случае (т. е если сумма равна />,либо же суммы вовсе нет) — расходящимся.
Примеры.1) простейшим примеромбесконечного ряда является уже знакомая геометрическая прогрессия:
/>
Его частичная сума будет (если />)
/>
Если знаменатель прогрессии, q, по абсолютной величине меньше единицы, то /> имеет конечный предел
/>
то есть наш ряд сходится, и /> будет его суммой.
При /> таже прогрессия дает пример расходящегося ряда. Если />,то его суммой будет бесконечность (определенного знака), в прочих случаях суммывовсе нет. Отметим, в частности, любопытный ряд, который получается при a=1 и q= — 1;
/>…/>1+ (-1) +1+ (-1) +1+…
Его частичные суммы попеременноравны то 1, то 0.
2) Легко установить расходимостьряда
/>
В самом деле, так как члены егоубывают, то его n-я частичная сумма
/>/>
и растет до бесконечности вместес n.1.2 Истоки проблемы
Различные факты из областиматематического анализа, как, например, расходимость, произведения двухсходящихся рядов, естественно выдвинули вышеупомянутый вопрос: “О возможностисуммирования расходящихся рядов, в некоем новом смысле”.
Нужно сказать, что до созданияКоши строгой теории пределов (и связанной с нею теории рядов) расходящиеся рядынередко встречались в математической практике.
Хотя применение их придоказательствах и оспаривалось, тем не менее иной раз делались попыткипридавать им даже числовой смысл.
Вспомним, опять, наш колеблющийсяряд
/>
Еще со времен Лейбница вкачестве «суммы» приписывалось число />.Эйлер, например, мотивировал это тем, что из разложения
/>
(которое в действительностиимеет место лишь для />) при подстановкевместо х единицы как раз и получается
/>
В этом уже содержалось зерноистины, но постановке вопроса не хватало четкости; самый произвол в выбореразложения оставлял открытой возможность, скажем из другого разложения (гдеп и т — любые, но />)
/>
получить одновременно
/>
Современный анализ ставит вопроспо-другому. В основу кладется то или иное точно сформулированное определение“обобщенной суммы" ряда, не придуманное только для конкретно интересующегонас числового ряда, но приложимое к целому ряду классов таких рядов. Определение“обобщенной суммы" обычно подчиняется двум требованиям.
Во-первых, если ряду /> приписывается “обобщеннаясумма" А, а ряду /> - “обобщеннаясумма" В, то ряд />, где p, q — две произвольные постоянные, то должен иметь в качестве “обобщенной суммы"число />. Метод суммирования,удовлетворяющий этому требованию, называется линейным.
Во-вторых, новое определениедолжно содержать обычное определение как частный случай. Точнее говоря, ряд,сходящийся в обычном смысле к сумме А, должен иметь “обобщенную сумму", ипритом также равную А. Метод суммирования, обладающий этим свойством,называют регулярным. Разумеется, интерес представляют лишь такиерегулярные методы, которые позволяют устанавливать “сумму” в более широкомклассе случаев, нежели обычный метод суммирования: лишь тогда с полным правомможно говорить об “обобщенном суммировании”. Мы переходим к теперьнепосредственно к рассмотрению особо важных с точки зрения приложений методов‘обобщенного суммирования".
Глава 2. Методстепенных рядов2.1 Суть метода
Этот метод, в существенномпринадлежит Пуассону, который сделал первую попытку применить его ктригонометрическим рядам. Он состоит в следующем.
По данному числовому ряду (А)строится степенной ряд
/> (1)
Если этот ряд для /> сходится и его сумма /> при /> имеет предел А:
/>,
то число А и называют“обобщённой (в смысле Пуассона) суммой” данного ряда. Примеры.1) Ряд,рассмотренный Эйлером:
/>
Здесь уже в силу самогоопределения приводит к степенному ряду, сумма которого /> при /> стремится к пределу />. Значит, число />, действительно, является“обобщенной суммой” указанного в точном установленном здесь смысле.
2) Возьмем более общий пример: тригонометрическийряд
/> (2)
является расходящимся при всехзначениях />
Действительно, если /> имеет вид />, где />и /> - натуральные числа, тодля значений />, кратных />, будет />, так что нарушено необходимоеусловие сходимости ряда. Если же отношение /> иррационально,то, разлагая его в бесконечную непрерывную дробь и составляя подходящие дроби />, будем иметь, какизвестно,
/> откуда />
Таким образом, для бесконечногомножества значений />
/>, так что />.
Это также свидетельствует онарушении необходимого условия сходимости. Если образовать степенной ряд:
/> />
(здесь буква /> заменяет прежнюю букву />), то его сумма призначении />, отличном от 0, будет
/> (3)
и при /> стремится к 0. Такимобразом, для /> “обобщенной суммой” рядабудет 0. если />, то ряд (2),очевидно имеет сумму, равную />; впрочем,выражение (3), которое в этом случае сводится к />,также имеет пределом />.
3) Аналогично ряд
/> />,
который сходится лишь при /> или />, приводит к степенномуряду
/>.
Так что “обобщенная сумма" наэтот раз оказывается равной /> при /> и равной нулю при />.
Непосредственно ясно, чторассматриваемый метод “обобщенного суммирования” является линейным. Что жекасается регулярности этого метода, то она устанавливается следующей теоремойпринадлежащей Абелю.2.2 Теорема Абеля [1]
Теорема. Если ряд (А) сходитсяи имеет сумму А (в обычном смысле), то для /> сходитсястепенной ряд (1), и его сумма стремится к пределу А, когда />.
Доказательство. Начнем с того,что радиус сходимости ряда (1) не меньше 1, так что для /> ряд (1),действительно, сходится. Мы имели уже тождество
/>
(где />); вычтем его почленно изтождества
/>.
Полагая />, Придем к тождеству
/> (4)
Так как /> то по произвольнозаданному /> найдется такой номер />, что />, лишь только />.
Разобьем сумму ряда в правойчасти (4) на две суммы
/>
Вторая оценивается сразу инезависимо от />:
/>
Что же касается первой, то онастремится к 0 при /> и придостаточной близости /> к 1 будет
/>
так что окончательно /> что и доказываетутверждение.
Если ряд (А) суммируем поПуассону-Абелю к сумме А, то в обычном смысле, как мы видели, он может и неиметь суммы. Иными словами из существования предела
/>, (5)
вообще говоря, не вытекаетсходимость ряда (А). Естественно возникает вопрос, какие дополнительныеусловия надлежит наложить на поведение членов этого ряда, чтобы из (5) можнобыло заключить о сходимости ряда (/>), т.е. осуществовании для него суммы /> вобычном смысле. Первая теорема в этом направлении была доказана Таубером.2.3 Теорема Таубера
Теорема. Пусть ряд (1) сходитсяпри 0x
/> (6)
то и />
Доказательство. Разобьемдоказательство на две части. Сначала
предположим, что /> Если положить /> то при /> величина />, монотонно убывая,стремится к нулю.
Имеем при любом натуральном N
/>
так что:
/>
Взяв произвольно малое число />, положим
/>
Так что /> при />. Пусть теперь /> выбрано достаточно большимчтобы: выполнялось неравенство />; соответствующееx было настолько близкок 1, что
/>. Тогда />
Что и доказывает утверждениетеоремы.
К рассмотренному частному случаютеоремы приводится и общий. Положим
/> такчто
/> и затем
/> (7)
Но из предположения теоремы, т.е.из того, что /> при />, легко получить, что
/>. (8)
Для доказательства этогодостаточно разбить здесь сумму на две:
/>
и выбрать N таким, чтобы во второй сумме все множители /> были по абсолютнойвеличине меньшими наперед заданного числа />,тогда и вторая сумма по абсолютной величине будет меньше />, каково бы ни было х;относительно первой суммы, состоящей из определенного конечного числаслагаемых, того же можно достигнуть за счет приближения х к 1.
/>
Но здесь уже можно применитьдоказанный частный случай теоремы, так что и
/>С другой стороны,
/>
Отсюда, так как первое слагаемоесправа стремится к нулю
/>
Что и завершает доказательствотеоремы.
Глава 3. Методсредних арифметических3.1 Суть метода
Идея метода в простейшем егоосуществлении принадлежит Фробениусу, но связывают его обычно с именем Чезаро,который дал методу дальнейшее развитие.
По частичным суммам /> данного числового ряда (А)строятся их последовательные средние арифметические
/>
Если варианта />при /> имеет предел А, то эточисло и называют “обобщенной (в смысле Чезаро) суммой” данного ряда.
Примеры.1) Возвращаясь к ряду
/> Имеемздесь
/>
так что />. Мы пришли к той же сумме,что и по методу Пуассона-Абеля.
2) Для ряда />. Частичные суммы будут (еслитолько />)
/>
Теперь нетрудно подсчитатьсредние арифметические:
/>
Итак, окончательно
/>
Очевидно, />: для значений /> “обобщенной суммой” издесь служит 0.
3) Наконец, пусть сновапредложен ряд />
Имеем при />,
/>
и затем
/>
Отсюда ясно, что />
Во всех случаях по методу Чезарополучилась та же “обобщенная сумма", что и выше, по методу Пуассона-Абеля.Оказывается это не случайность.3.2 Взаимоотношениемежду методами Пуассона-Абеля и Чезаро
Начнем с простого замечания: еслиряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, тонеобходимо />
Действительно, из /> и /> следует, что
/> а тогда и
/>
что и требовалось доказать.
Теорема (Фробениуса). Еслиряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, тоодновременно он суммируем также по методу Пуассона-Абеля и притом к той жесумме.
Доказательство. Итак, пусть />. Ввиду сделанного вначалезамечания очевидна сходимость степенного ряда
/>
для 0xВыполнив дважды преобразование Абеля,последовательно получим
/>
[при этом следует помнить, что />].
Известно, что (для 0x) /> или
/>
Умножим обе части тождества на Аи вычтем из него почленно предыдущее тождество:
/>
Сумму справа разобьем на две:
/>
Причем число N выберем так, чтобы при /> было
/>
где /> -произвольное наперед заданное положительное число. Тогда вторая сумма поабсолютной величине и сама будет меньше /> (независимоот />), а для первой суммы тогоже можно добиться за счет приближения x к 1. Этим и завершается доказательство.
Итак, мы установили, что во всехслучаях, где приложим метод Чезаро, приложим и метод Пуассона-Абеля с тем жерезультатом.
Обратное же неверно: существуютряды суммируемые методом Пуассона-Абеля, но не имеющие “обобщенной суммы" всмысле Чезаро. Рассмотрим, например, ряд
/>
Так здесь явно не соблюдено необходимоеусловие суммируемости по методу средних арифметических, то этот метод неприложим. В то же время ряд
/>
Имеет (при 0x) сумму />,которая при /> стремится к пределу />. Это и есть “обобщеннаясумма" нашего ряда по Пуассону-Абелю.
Таким образом, методПуассона-Абеля является более мощным, то есть приложим в более широком классеслучаев, чем метод Чезаро, но не противоречит ему в тех случаях, когда ониоказываются приложимыми оба.3.3 ТеоремаХарди-Ландау
Как и в случае Пуассона-Абеля,для метода Чезаро также могут быть доказаны теоремы “тауберовского” типа,устанавливающие те дополнительные условия относительно членов ряда, при наличиикоторых из суммируемости ряда по методу средних арифметических вытекает егосходимость в обычном смысле слова. Ввиду теоремы Фробениуса ясно, что каждаятауберовская теорема для метода Пуассона-Абеля приводит, в частности, к такойже теореме для метода Чезаро. Например, сама теорема Таубера перефразируетсятеперь так: если/> и выполняетсяусловие
/> (9)
то одновременно и />. Впрочем, здесь онанепосредственно вытекает из легко проверяемого тождества
/>,
которое для данного случаяуказывает даже на необходимость условия (9).
Харди установил, что заключениеот /> к /> можно сделать не только,если />, но и при более широкомпредположении, что
/> (/>).
Ландау показал, что можноудовольствоваться даже “односторонним” выполнением этого соотношения;
Теорема. Если ряд (А) суммируемк “сумме” А по методу средних арифметических и при этом выполняется условие /> (/>),то одновременно и
/>.
[Изменяя знаки всех членов ряда,видим, что достаточно также предположить неравенство другого смысла:
/>.
В частности, теорема, очевидноприложима к рядам с членами постоянного знака.
Доказательство. Длядоказательства рассмотрим сначала сумму
/>,
где n и k — произвольные натуральные числа; путем тождественного преобразования она легкоприводится к виду
/>
/> (10)
Если взять любое /> (при />), то используяпредположенное неравенство />, можнополучить такую оценку снизу:
/>,
откуда, суммируя по m, найдем
/>.
Отсюда, сопоставляя с (10),приходим к такому неравенству:
/>. (11)
Станем теперь произвольноувеличивать п до бесконечности, а изменение k подчиним требованию, чтобы отношение /> стремилось к напередзаданному числу />. Тогда праваячасть неравенства (11) будет стремиться к пределу />,так что для достаточно больших значений п будет
/>.(12)
Совершенно аналогично,рассматривая сумму
/>
и проведя для /> (при />) оценку сверху:
/>,
придем к неравенству
/>
Отсюда
/>
Если /> иодновременно />, как и прежде (нона этот раз пусть />), то праваячасть этого неравенства стремится к пределу
/>.
Следовательно, для достаточнобольших n окажется
/>. (13)
Сопоставляя (12) и (13), видим,что, действительно,
/>.
Теорема доказана.3.4 Применениеобобщенного суммирования к умножению рядов
Остановимся на примененииобобщенных методов суммирования в вопросе об умножении рядов по правилу Коши. Пусть,кроме ряда (А), дан ещё ряд
/> (В)
тогда ряд
/> (С)
и называется произведением рядов(А) и (В) в форме Коши. Если данные ряды сходятся и имеютобыкновенные суммы А иВ, то ряд (С) все же можетоказаться расходящимся.
Однако во всех случаях ряд (С)суммируем по методу Пуассона-Абеля и именно к сумме АВ.
Действительно, для 0x ряд (1) равно как и ряд
/>
оба абсолютно сходятся; обозначимих суммы, соответственно, через /> и />. Произведение этих рядов,то есть ряд
/>,
По классической теореме Кошитакже сходится и имеет суммой произведение />*/>. Эта сумма при /> стремится к АВ, ибокак мы видели, по отдельности
/>
Итак, “обобщенной (в смыслеПуассона-Абеля) суммой” ряда (С) действительно будет АВ, что итребовалось доказать.
Отсюда как следствие получаетсятеорема Абеля об умножении рядов. Равным образом из самого доказательства ясно,что то же заключение остается в силе, если ряды (А) и (В) — вместо того,чтобы сходиться в собственном смысле — лишь суммируемы по методуПуассона-Абеля к суммам А и В.
В таком случае, учитывая теоремуФробениуса, можно сделать и следующее утверждение: если (А), (В) и (С) суммируемыв смысле Чезаро и имеют, соответственно, “обобщенные суммы" А, В и С, тонеобходимо С=АВ.
В качестве примера рассмотримвозведение в квадрат ряда
/>
который получается избиномиального разложения
/>
при х=1. умножая указанныйчисловой ряд на самого себя, придем к хорошо знакомому нам ряду
/>
“обобщенная сумма" которогоесть />.
Далее, “возведем в квадрат"и этот расходящийся ряд. Мы получим ряд
/> “обобщеннаясумма" которого в смысле Пуассона-Абеля есть />.
Глава 4. Другиеметоды обобщенного суммирования4.1 Методы Г.Ф. Вороного
Пусть мы имеем положительнуючисловую последовательность /> и
/>
Из частичных сумм /> ряда (А) составимвыражения
/>
Если /> при/> то А называется“обобщенной суммой” ряда(А) в смысле Вороного — при заданном выборепоследовательности />.
Теорема.
Для регулярности метода Вороногонеобходимо и достаточно условие.
/>
Доказательство. Необходимость.
Допустим сначала регулярностьрассматриваемого метода: пусть из /> всегдаследует и />. Если, в частности, взятьряд /> для которого /> а прочие/> (так что и />), то необходимо
/>
Достаточность. Предположимтеперь условие теоремы выполненным и докажем, что из /> вытекает и />.
Обратимся к теореме Теплица изаменим там /> на /> и /> на /> Условие (а) этой теоремыудовлетворено, ибо
/>
Выполнение условий (б) и (в) очевидно,так как
/>
Следовательно, как и требовалосьдоказать, />.4.2 Обобщенные методыЧезаро
Мы уже знакомы с методом среднихарифметических; он является простейшим из бесконечной последовательностиметодов суммирования, предложенных Чезаро.
Фиксируя натуральное число к,Чезаро вводит варианту
/>
и ее предел при /> рассматривает как“обобщенную сумму" (к-го порядка) ряда (А). При к=1мы возвращаемся к методу средних арифметических.
В дальнейшем нам не разпонадобится следующее соотношение между коэффициентами:
/>
Он легко доказывается по методуматематической индукции относительно n, B и если исходить из известного соотношения
/>. (14)
Прежде всего, покажем, что методыЧезаро всех порядков являются частными случаями регулярных методов Вороного. Дляэтого достаточно положить />, ибо из(14) тогда следует, что /> и ктому же, очевидно,
/>
С помощью того же равенства (14),пользуясь самим определением величин />,устанавливается, что
/>.(15)
Это дает возможность выяснитьвзаимоотношение между суммированием по Чезаро к-го и (к-1) — гопорядка. Пусть ряд (А) допускает суммирование (к-1) — го порядка,так что />. В силу (14) и (15) имеем
/>
/>
Применяя сюда теорему Теплица,причем полагаем
/>
придем к заключению, что и />. Таким образом, еслиряд (А) допускает суммирование по методу Чезаро какого-нибудь порядка, то ондопускает и суммирование любого высшего порядка, и притом к той же сумме.
Приведем теперь обобщение ужеизвестной нам теоремы Фробениуса: если ряд (А) суммируем по какому-либо изметодов Чезаро (скажем к-го порядка), то он суммируем к той жесумме и по методу Пуссона-Абеля.
Доказательство. Пусть дано, что
/> (16)
Легко заключить отсюда, что ряд
/> (17)
для — 1xсходится. Действительно, так как /> то из (16) имеем:
/>
Если />,то
/>
так что по теореме Коши-Адамара,радиус сходимости ряда (17) равен 1. Он во всяком случае не меньше 1, если А=0.
Рассмотрим теперь ряд тождеств
/>
/>[2]
/>/>
Выше мы установили сходимостьпоследнего ряда в промежутке (-1,1); отсюда вытекает сходимость и всехпредшествующих рядов. Кроме того,
/> (18)
Сопоставим с этим тождествомдругое:
/> (19)
которое имеет место в том жепромежутке (-1;
1); оно получается к-кратнымдифференцированием прогрессии
/>
Умножив обе части тождества (19)на А и вычитая из него почленно равенство (18), получим наконец,
/>
Дальнейшие рассуждения [с учетом(16)] вполне аналогичны тем, с помощью которых была доказана теорема Абеля и теоремаФробениуса. В результате мы и получим:
/>
что и требовалось доказать.
Отметим, что существуютрасходящиеся ряды, суммируемые по методу Пуассона-Абеля, но не суммируемые ниодним из обобщенных методов Чезаро. Таким образом, первый из названных методовоказывается сильнее всех последних, даже вместе взятых.4.3 Метод Бореля
Он состоит в следующем: по ряду(А) и его частичным суммам /> строитсявыражение:
/>
Если последний ряд сходится,хотя бы для достаточно больших значений х, и его сумма при /> имеет предел А, то эточисло и является “обобщенной суммой” в смысле Борелядля данного ряда (А).
Докажем регулярность методаБореля. Допустим сходимость ряда (А) и обозначим его сумму через А,а остатки /> через />. Имеем (для достаточнобольших х)
/>
Зададимся произвольно малымчислом />; найдется такой номер N, что для /> будет:
/>.
Представим последнее выражение ввиде суммы,
/>.
Второе слагаемое по абсолютнойвеличине />, каково бы ни было х,а первое представляющее собой произведение /> намногочлен, целый относительно х, становится абсолютно /> при достаточно больших х.Этим все доказано.4.4 Метод Эйлера
Пусть дан ряд />. Формула, выражающая“преобразование Эйлера” выглядит следующим образом
/>. (20)
При этом, как былодоказано, из сходимости ряда в левой части вытекает сходимость ряда в правойчасти и равенство между их суммами.
Однако и при расходимостипервого ряда второй ряд может оказаться сходящимся; в подомном случае его суммуЭйлер приписывал в качестве “обобщенной суммы" первому ряду. В этомсобственно и состоит метод Эйлера суммирования рядов; сделанное только чтозамечание гарантирует регулярность метода.
Если писать рассматриваемый рядв обычном виде (А), не выделяя знаков />,и иметь в виду вырыжение
/>
для р-ой разности, томожно сказать, что методу суммирования Эйлера в качестве “обобщенной суммы"ряда (А) берется обычная сумма ряда
/>
(в предположении, что последний сходится)
Методы Гельдера представляютсобой ещё один класс методов обобщенного суммирования. Но они состоят в простомповторении метода средних арифметических. Поэтому рассматривать их не стоит.
Заключение
В своей дипломной работе ярассмотрел методы суммирования расходящихся рядов, теоремы, вытекающие из этихметодов, а также взаимосвязь этих методов между собой. Мы увидели многообразиеподходов к вопросу суммирования расходящихся рядов. Регулярность каждого методамы устанавливали во всех случаях. К сожалению, я не всегда имел возможностьдостаточно углубиться в вопрос о взаимоотношении этих методов между собой. Амежду тем может случиться, что два метода имеют пересекающиеся областиприложимости, или, наоборот, может оказаться и что два метода приписываютодному и тому же расходящемуся ряду различные “обобщенные суммы”.
Теория рядов является важным ишироко используемым разделом математического анализа, или другими словами бесконечныеряды являются важнейшим орудием исследования в математическом анализе и егоприложениях.
Список использованнойлитературы
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М., 1982.
2. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах, часть1, М., 1974.
3. Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих. М., 1970.
4. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М., 1983.
5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, I, II т., М., 1966.