Дипломнаяработа
По теме
Структуранекоторых числовых множеств
Введение
В 1870-х годах немецкийматематик Георг Кантор (1845-1918) создал теорию множеств — исключительномощное и важное математическое учение, оказавшее огромное влияние на развитиесовременной математики. Теория множеств не только явилась фундаментом целогоряда новых математических дисциплин, но и оказала глубокое влияние на пониманиесамого предмета математики. Помимо прочего в канторовской теории множестввпервые были развиты конструктивные подходы к анализу проблемы бесконечности,более двух тысяч лет являвшейся лишь предметом филологических упражненийфилософов.
Теория множеств изучаетобщие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшеематематическое понятие, оно не поддается определению, ибо определить понятие —значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качествевида, но множество — это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики.
Однако Кантор попытался определить данноепонятие так: «Подмножеством, — разъяснял Георг Кантор, — я понимаю вообще всякое многое, котороеможно мыслить как единое, то есть всякую совокупность определенных элементов,которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона...» 1. Но этаконцепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела, и даннаятеория стала называться наивной теорией множеств.
Парадокс Рассела —открытая в 1903 году Бертраном Расселом и позднее независимо переоткрытаяЭрнестом Цермело теоретико-множественная антиномия, демонстрирующаяпротиворечивость наивной теории множеств Г. Кантора. Антиномия Расселаформулируется следующим образом: Пусть K — множество всех множеств, которые несодержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K самого себя в качествеэлемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K —противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементоммножеств, включающихся в К — вновь противоречие.
После этого теориямножеств была аксиоматизирована. На сегодняшний день множество определяется какмодель, удовлетворяющая ряду аксиом (так называемая аксиоматика Цермело –Френкеля).
Множества могут состоять из самыхразличных элементов. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к самым разнымобластям знания.
Для математики особоважную роль играют множества, составленные из математических объектов, вчастности числовые множества, о которых и пойдет речь в данной работе.
При написании этой дипломнойработы мы задавались целью — изучить исходные понятия и важнейшие теоремытеории множеств, а также на основании данного материала, решить ряд нестандартныхзадач по выявлению структуры некоторых числовых множеств.
Данная работасостоит из трех глав: «Мощностибесконечных множеств», «Точечныемножества», «Решение некоторых задач».
В первой главе приводится краткоеисторическое описание становления теории множетсв, определяются основные понятия, такие как мощность,счетное множество, континуальное множество, с которыми нужно ознакомиться длядальнейшей работы. Устанавливаются связи между ними и доказываются основныетеоремы о мощностях бесконечных множеств. В конце главы рассматривается важнаятеорема Шредера – Бернштейна, позволяющая проводить сравнения мощностейбесконечных множеств.
Во второй главерассматриваются только числовые множества, т.е. множества точек числовойпрямой. Вводятся основные понятия, такие как замкнутое множество, открытоемножество, совершенное множество, рассматривается структура таких множеств,формулируются и доказываются основные теоремы, на основании которых, в итоге,делается важный вывод о мощности замкнутого множества.
Третья глава посвященадетальному и подробному решению ряда интересных задач (теорем) по определениюструктуры некоторых бесконечных числовых множеств. Также приведена задача,решение которой на первый взгляд может показаться верным, но при подробноманализе представленного доказательства можно заметить, что в решении содержитсяошибочное предположение, в результате чего данное доказательство теряет своюсилу. Строгое решение этой задачи также приведено в работе.
Глава 1. Мощностибесконечных множеств
§ 1. К истории становления теории множеств
С самого зарожденияматематической науки как самостоятельной отрасли знания и на протяжении болеечем двух тысячелетий математики занимались поисками истины и добились на этомпути выдающихся успехов. Шаг за шагом древние греки, а вслед за ними ипредставители других цивилизаций открывали математические законы, полагая, что план,по которому построена вселенная, имеет математический характер. Необозримоемножество теорем о числах и фигурах, казалось, служило неисчерпаемым источникомабсолютного знания, которое никогда и никем не может быть поколеблено [4; 19].Однако по мере развития математики связь с реальным миром становится все менееощутимой, встает вопрос о логическом обосновании математики.
В конце 19 века напередний план выступает проблема доказательства непротиворечивости математики.Движение за аксиоматизацию математики в этот период заставило математиковпонять, сколь глубокая пропасть отделяет математику от реального мира. Каждаяаксиоматическая система содержит неопределяемые понятия, свойства которыхзадаются только аксиомами. Новой теорией, которая привела к противоречиям иоткрыла многим глаза на противоречия, существовавшие в более старых областяхматематики, была теория бесконечных множеств. Первые шаги в изучении теориичисловых множеств связаны с именем Георг Кантор (1845 – 1918). В 1873 г. Канторпоставил задачу классифицировать бесконечные множества. Введенные Канторомопределения позволяли сравнивать два бесконечных множества по мощности.Основная идея Кантора сводилась к установлению взаимнооднозначного соответствиямежду множествами.
Идея взаимнооднозначногосоответствия привела Кантора к неожиданному результату: он показал, что можноустановить взаимнооднозначное соответствие между точками прямой и точкамиплоскости. Следуя принципу взаимнооднозначного соответствия, Кантор установилдля бесконечных множеств отношение эквивалентности, или равенства(«равномощности» двух множеств). Множество натуральных чисел и множества, которыеможно поставить во взаимнооднозначное соответствие с этим множеством, содержатодинаковое число элементов, которое Кантор обозначил символом />. Так как множество всехвещественных чисел больше по мощности множества натуральных чисел, Канторобозначил его мощность новым символом – с. Возник вопрос – существует лимножество промежуточной мощности (утверждение о том, что такого множества несуществует, носит название континуум гипотезы). В последствии было доказано,что в системе аксиом Цермело – Френкеля утверждение о существованиипромежуточной мощности не может быть ни доказано, ни опровергнуто.
Когда Кантор в 70-х годах19 века приступил к созданию теории бесконечных множеств и еще много летспустя, эта теория находилась на периферии математической науки. Но к началу 20века канторовская теория множеств нашла широкое применение во многих областяхматематики. Кантор и Рихард Дедекинд понимали, сколь важна теория множеств дляобоснования теории целых чисел, для анализа понятий линии и размерности и дажедля обоснований математики. Другие математики, в частности Эмиль Борель и АнриЛеон Лебег, к тому времени уже работали над обобщением интеграла, в основукоторого была положена канторовская теория множеств. Поэтому, когда сам Канторобнаружил, что его теория множеств сопряжена с определенными трудностями, этобыло далеко немаловажным событием. Кантор дал несколько словесных определениймножества, но эти определения не отличались строгостью, и теорию множеств в томвиде, как ее изложил Кантор, нередко называют наивной. По мнению многих ученых,тщательный подбор аксиоматической основы должен был избавить теорию множеств отмногих проблем и противоречий [8; 135].
Приступая к построениюматематики на основе теории множеств, можно выбрать ту или иную из возможныхисходных позиций. Можно запретить использование гипотезы континуума, но этосущественно ограничит круг теорем, доказываемых в рамках системы. Можнопоступить иначе и включить в систему аксиом гипотезу континуума или ееотрицание. При этом неизвестно, к каким важным следствиям может привестиотрицание гипотезы континуума. Сказанное означает, что существует не одна, амного математик. Теория множеств (рассматриваемая отдельно от остальныхоснований математики) может развиваться во многих направлениях. Остановить свойвыбор на одном из направлений нелегко, так как в любом случае принятиеопределенной редакции аксиом имеет свои положительные и отрицательные стороны.
§ 2. Счетные множества
Определение 1. Пусть А и В два множества. Правило, которое каждому элементуа множества А соотносит один и только один элемент /> множества В, причем каждыйэлемент /> оказываетсясоотнесенным одному и только одному элементу />, называется взаимнооднозначнымсоответствием между множествами А и В.
В этом случае множества Аи В называются эквивалентными или же говорят, что эти множества имеют одинаковуюмощность. Обозначение
/>
Определение 2. Пусть /> множество всех натуральных чисел.Всякое множество А, эквивалентное множеству />, называется исчислимым, или счетным,или короче имеет мощность />.
Теорема 1. Для того чтобы множество А было счетным, необходимои достаточно, чтобы его можно было перенумеровать, т.е. представить в форме последовательности
/>
Теорема 2. Из всякого бесконечного множества можновыделить счетное подмножество.
Теорема 3. Всякое бесконечное подмножество счетногомножества счетно.
Следствие 1. Если из счетного множества А удалить конечноеподмножество М, то оставшееся множество А – М будет счетным.
Теорема 4. Сумма конечного множества и счетногомножества есть счетное множество.
Теорема 5. Сумма конечного числа счетных множествесть счетное множество.
Теорема 6. Сумма счетного множества конечных множествесть счетное множество.
Теорема 7. Сумма счетного множества счетных множеств есть счетное множество.
Теорема 8. Множество /> всех рациональных чисел счетно.
Доказательство
Множество дробей вида /> сзафиксированным знаменателем />, т.е. множество
/> очевидно счетно
Но знаменатель можетпринимать также счетное множество натуральных значений. Значит, в силу теоремы7, множество
М=/> — счетно
Удаляя из М всесократимые дроби и применяя теорему 3, убеждаемся в счетности всехположительных рациональных чисел />, а значит в счетности всехотрицательных рациональных чисел />, т.к. множества
/>
Отсюда множество всерациональных чисел />счетно, поскольку
/>
Теорема доказана.
Следствие 1. Множество рациональных чисел любогоотрезка /> счетно.
Теорема 9. Если к бесконечному множеству М прибавитьконечное или счетное множество А новых элементов, то это не изменит егомощности, т.е.
/>
Доказательство
Выделим, пользуясьтеоремой 2, из М счетное подмножество /> и пусть />, тогда />, />. Так как />, />, применяя теоремы 4 и 5,получаем />.
Теорема доказана.
Теорема 10. Если бесконечное множество /> несчетно, а Аего конечное или счетное подмножество, то />.
Доказательство
Множество /> не может быть конечным,иначе исходное множество /> было бы конечным или счетным. Нотогда по теореме 9, будет />, а это и значит, что />. Теоремадоказана.
Теорема 11. Если элементы множества А определяются/> значками,каждый из которых, независимо от других, пробегает счетное множество значений
/> (/>, то множество А счетно.
Доказательство
Докажем теорему методомматематической индукции.
Теорема очевидна, если />.
Допустим, что теоремасправедлива для />, покажем, что она справедлива идля />.
Пусть
/>
Обозначим через /> множество техэлементов А, для которых />, где /> одно из возможных значений />-го значка,т.е. положим />
В силу сделанногодопущения множество /> счетно, а так как
/>, то счетно и А
Теорема доказана
Следствие 1. Множество точек плоскости, у которыхобе координаты рациональны, счетно.
Следствие 2./>Множество многочленов /> с целымикоэффициентами счетно.
Теорема 12. Множество алгебраических чисел счетно[6; 20].
§ 3. Мощность континуума
Теорема 1. Отрезок /> несчетен.
Доказательство
Допустим противное.
Пусть отрезок /> - счетноемножество. Тогда все его точки можно расположить в виде последовательности
/> (1)
Пусть это сделано, т.е.всякая точка /> находится в последовательности(1).
Разделим /> на три равные частиточками /> и/> (рис. 1).Ясно, что точка /> не может принадлежать всем тремотрезкам />,/>, /> и хотя бы одиниз них не содержит ее. Обозначим через /> тот отрезок, который не содержит /> (если такихотрезков два, то через /> называем любой из них). /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Рис. 1
Теперь разделим на триравных отрезка отрезок />и обозначим через />тот из новых отрезков,который не содержит точки />.
Затем делим на три равныхотрезка отрезок />и обозначаем через />тот из них, который несодержит точки /> и т.д.
В результате мы получимбесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков /> которые обладают темсвойством, что />,/>.
Так как длина отрезка /> с возрастанием/> стремитьсяк нулю, то по теореме Кантора о вложенных отрезках, существует точка />, общая для всех отрезков />, />.
Так как />, то точка /> должна входитв последовательность (1). Но это невозможно, ибо />, />. Отсюда получаем, что точка /> не может совпасть ни с одной източек последовательности (1).
Теорема доказана
Определение 1. Если множество А эквивалентно отрезку /> то говорят, что А имеетмощность континуума, или короче, мощность с.
Теорема 2. Всякий отрезок />, всякий интервал /> и всякийполуинтервал /> или /> имеет мощность с.
Доказательство
Пусть />, />
Формула
/>
устанавливаетвзаимнооднозначное соответствие между множествами /> и />, откуда и следует, что А имеетмощность континуума.
Так как удаление одногоили двух элементов из бесконечного множества приводит к множеству,эквивалентному исходному, то промежутки />, />, /> имеет ту же мощность, что иотрезок />,т.е. мощность с.
Теорема доказана.
Теорема 3. Сумма конечного числа попарно не пересекающихсямножеств мощности с имеет мощность с.
Доказательство
Пусть
/>, /> />
где каждое из множеств /> имеет мощностьс.
Возьмем полуинтервал /> и точками /> разложим егона /> полуинтервалов/>, />
Каждый из этихполуинтервалов имеет мощность с, так что мы можем связать множество /> и полуинтервал/>/> взаимнооднозначнымсоответствием. Легко видеть, что таким образом оказывается, установленовзаимнооднозначное соответствие между суммой /> и полуинтервалом
/>
Теорема доказана.
Теорема 4. Сумма счетного множества попарно непересекающихся множеств мощности с имеет мощность с.
Доказательство
Пусть
/>, /> />
где каждое из множеств /> имеет мощностьс.
Возьмем на полуинтервале /> монотонновозрастающую последовательность и точками /> для которой />.
Установиввзаимнооднозначное соответствие между множествами /> и /> для всех />, мы тем самым установимвзаимнооднозначное соответствие между /> и />.
Теорема доказана.
Следствие 1. Множество /> всех действительных чисел имеетмощность с.
Следствие 2. Множество всех иррациональных чисел имеетмощность с.
Следствие 3. Существуют трансцендентные(неалгебраические) числа.
Теорема 5. Множество /> всех последовательности натуральныхчисел
/> имеет мощность />.
Доказательство
Докажем теорему двумяспособами:
1) Основанное на теориинепрерывных дробей.
Установимвзаимнооднозначное соответствие между Р и множеством всех иррациональных чиселинтервала (0, 1), считая взаимосоответствующими последовательность /> ииррациональное число />, для которого разложение внепрерывную дробь имеет вид
/>.
Возможность соответствияи доказывает теорему.
2) Основанное на теориидвоичных дробей.
Рассмотрим некоторыефакты этой теории:
1. Двоичной дробьюназывается сумма ряда/>, />
Указанная суммаобозначается символом />
2. Всякое число /> допускаетпредставление в форме />
Это представлениеединственно в случае, когда х не есть дробь вида /> /> Числа 0 и 1 разлагаются (единственнымобразом) в дроби />, />
Если же /> />, то /> допускает дваразложения. В этих разложениях знаки /> />…/>совпадают, а знак /> в одном из них равен 1,а в другом 0. Все остальные знаки у первого разложения нули (0 в периоде), а увторого единицы (1 в периоде).
Например
/>
3. Всякая двоичная дробьравна некоторому числу />.
Если эта дробь содержит 0или 1 в периоде, то /> есть число вида /> />, исключение составляютдроби /> и />, и тогда,наряду с исходным, существует еще одно двоичное разложение />.
Если же двоичная дробь несодержит цифру 0 или 1 в периоде, то /> и других двоичных разложений /> не имеет
Вернемся к доказательствутеоремы.
Условимся не пользоватьсядробями, содержащими единицу в периоде. Тогда каждое число из полуинтервала /> будет иметьединственное представление в форме
/> (1)
причем, какое бы число /> ни взять,найдутся такие />, что
/> />
Обратно, любой дроби (1)с этим свойством отвечает точка из />. Но задать дробь (1) можно,указав те />,для которых />
Эти /> образуют возрастающуюпоследовательность натуральных чисел
/> (2)
и каждой такойпоследовательности отвечает дробь (1). Значит, множество /> последовательностей (2)имеет мощность />. Но между множествами /> и /> легкоустановить взаимнооднозначное соответствие. Для этого достаточно соотнестипоследовательности (2) последовательность
/> из />, для которой />, />, />,…
Теорема доказана.
Теорема 6. Если элементы множества А определяются/> значками,каждый из которых, независимо от прочих значков, принимает множество значений мощностью/>
/>, то множество А имеет мощность />.
Доказательство
Достаточно рассмотретьслучай для трех значков, так как рассуждение имеет общий характер.
Пусть />
Назовем через /> (соответственно,/> и />) множествозначений значка /> (соответственно, /> и />), при этом каждый иззначков изменяется независимо от прочих и каждое из множеств /> />, /> имеет мощность />.
Установимвзаимнооднозначное соответствие между каждым из множеств /> />, /> и множеством /> всехпоследовательностей натуральных чисел. Это позволит установить такое жесоотношение между /> и />.
Пусть />, где />, />, />.
В соответствиях между /> />, /> и /> элементам />, />,/>отвечают какие-тоэлементы из />.
Пусть
элементу /> отвечаетпоследовательность />,
элементу /> отвечаетпоследовательность />,
элементу /> отвечаетпоследовательность />.
Соотнесем элементу /> последовательность/>,очевидно входящую в />.
Этим мы действительнополучили взаимнооднозначное соответствие между А и Р, значит множество А имеетмощность />.
Теорема доказана.
Следствие 1. Множество всех точек плоскости имеетмощность />.
Следствие 2. Множество всех точек трехмерногопространства имеет мощность />.
Следствие 3. Сумма с попарно не пересекающихся множествмощности с имеет мощность с [6; 27].
Теорема 7. Если элементы множества А определяютсяс помощью счетного множества значков />, каждый из которых, независимо отпрочих значков, принимает множество значений мощностью />, то множество А имеет мощность с.
Доказательство
Пусть множество значенийзначка /> есть/>.
Свяжем еговзаимнооднозначным соответствием с множеством Р всех последовательностейнатуральных чисел.
Пусть это соответствиеобозначено /> />.
Сделав это, выберемпроизвольный элемент />.
Тогда />, где /> />.
Пусть в соответствии /> значению /> значка /> отвечаетпоследовательность
/>
Тогда элементу /> отвечаетбесконечная целочисленная матрица
/> (*)
Легко видеть, чтополученное соответствие между А и множеством /> матриц (*) взаимнооднозначно.Стало быть, остается обнаружить, что множество /> имеет мощность с. Но этоочевидно, так как, соотнеся матрице (*) последовательность
/>
мы сразу получимвзаимнооднозначное соответствие между /> и />.
Значит множество А имеетмощность />.
Теорема доказана.
Теорема 8. Множество /> всех последовательностей вида />, где />, независимодруг от друга, принимают значения 0 и 1, имеет мощность с.
Доказательство
Пусть /> - множество техпоследовательностей из />, в которых, начиная с некоторогоместа, все /> равны1.
Каждой последовательности/>, входящейв />, можносоотнести число, имеющее двоичное разложение />; это число будет 1 или /> />, причем полученноесоответствие между /> и множеством чисел указанноговида, очевидно взаимнооднозначно, откуда следует, что /> множество счетное.
С другой стороны, если />, входящей в /> соотнестичисло с двоичным разложением />, то мы получим взаимнооднозначноесоответствие между /> и полуинтервалом [0,1), откудавытекает, что />, а значит и Т, имеют мощность с. Теоремадоказана.
Следствие 1. Если элементы множества Аопределяются с помощью счетного множества значков, каждый из которых,независимо от прочих, принимает два значения, то множество А имеет мощность с[6; 28].
§ 4. Сравнение мощностей
Мы определили выше смыслвыражений «два множества имеют одинаковую мощность», «множество имеет мощность />», «множествоимеет мощность с». Таким образом, встретив слово «мощность» в одном из подобныхвыражений, мы знаем, что оно означает, но само по себе понятие «мощностьмножества» у нас не определено.
Еще Г. Кантор пыталсядать определение данному понятию:
«Мощностью данногомножества А называется та общая идея, которая остается у нас, когда мы, мысляоб этом множестве, отвлекаемся как от всех свойств его элементов, так и от ихпорядка» 2.
В связи с этим Г. Канторобозначал мощность множества А символом /> (две черты – «двойное»отвлечение).
В настоящее времяканторовский способ определения понятия мощности не считаетсяудовлетворительным (хотя обозначение /> оказалось очень удачным). Вместоэтого принято такое формальное определение.
Определение 1. Пусть все множества разбиты по классам, так что два множествапопадают в один класс тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Соотнесемкаждому такому классу множеств какой-либо символ и будем его называть мощностьюлюбого множества данного класса. При этом, если мощность некоторого множества Аесть />, топишут />
При таком способеопределения ясно, что эквивалентные множества действительно имеют одинаковуюмощность, а также что, соотнеся классу, содержащему множество /> всех натуральных чисел,символ />,можно сказать, что счетное множество имеет мощность />.
Далее, буква с естьсимвол, соотнесенный классу, содержащему множество /> и поэтому про все множества,эквивалентные />, мы говорим, что они имеютмощность с.
Пусть классу, содержащемумножество />,соотнесен символ «3». Тогда можно сказать, что любое множество, эквивалентное множествуА, имеет мощность 3. Мы видим, что понятие количества элементов конечногомножества есть частный вид более общего понятия мощности.
Наконец, 0 есть мощностьпустого множества, а 1 – мощность любого «одноэлементного» множества.
Имея, таким образом,определение понятия мощности, естественно поставить вопрос о сравнениимощностей.
Определение 2. Пусть /> и />множества, имеющие соответственномощности
/> и /> (/>, />)
Если: 1) множества /> и /> неэквивалентны, но 2) в множестве В есть подмножество />, эквивалентная множеству А, тоговорят, что множество В имеет большую, а множество А — меньшую мощность, ипишут />, />.
Например
Пусть />, />,
/>, />,
тогда /> не />, но />, где />.
Поэтому />.
Теорема 1. Множество /> всех действительных функций,заданных на отрезке />, имеет мощность, большую с.
Доказательство
Покажем сначала, что /> не />, где />.
Допустим противное. Пусть/>, и пусть /> - некотороевзаимнооднозначное соответствие между /> и />.
Условимся обозначатьчерез /> туфункцию из />,которая отвечает в соответствии /> числу />.
Положим />. Это некотораясовершенно определенная функция двух переменных, заданная в области />, />.
Положим теперь />. Эта функциязадана для />,т.е. />. Но тогдав соответствии /> функция /> отвечает некоторому числу />, т.е. />, или />.
Таким образом, получаем />, />. А этоневозможно, например для />.
Итак, действительно /> не />.
Рассмотрим множествофункций />,где />. Приэтом /> и />. Значитмножество /> всехдействительных функций, заданных на отрезке />, имеет мощность, большую с.
Теорема доказана.
Определение 3. Мощность множества /> всех функций, заданных на отрезке/>, обозначаетсясимволом />.
Возникает вопрос:существуют ли мощности, большие чем />? Оказывается, что да, существуют.Больше того, исходя из множества любой мощности, можно построить множествабольшей мощности [6; 29].
Теорема 2. Пусть М какое-либо множество. Если Т множествовсех подмножеств множества М, то />.
Доказательство
Отметим, что элементамимножества Т являются все подмножества М, в частности само М, пустое множество 0и все одноэлементные подмножества М.
Покажем сначала, что Т не/>.
Допустим противное. Пусть/>, и пусть /> - какое-либовзаимнооднозначное соответствие между этими множествами.
Каждому /> в соответствии /> отвечаетопределенный элемент Т, который мы обозначим через />, и каждый элемент Т есть />для одного итолько одного />.
Назовем элемент /> «хорошим»,если />, и«плохим» в противном случае. Элемент, который в соответствии /> отвечает самомумножеству М, наверное «хороший», а элемент, отвечающий пустому множеству,наверное «плохой».
Пусть /> множество всех «плохих»(и только «плохих») элементов М. Так как />, то в соответствии /> множеству /> отвечаетэлемент />, />.
Каков же этот элемент /> - «хороший»или «плохой»? Допустим, что /> «хороший» элемент. Это значит,что />, атак как /> состоиттолько из «плохих» элементов, то /> элемент «плохой», чтопротиворечит сделанному допущению.
Итак, /> «плохой» элемент. Нотогда />, аэто означает, что /> «хороший» элемент.
Стало быть, элемент /> ни «хороший»,ни «плохой», а так как всякий элемент или «хороший» или «плохой», то получаетсяабсурдная ситуация, которая и обнаруживает, что Т не />.
Если /> - множество всеходноэлементных подмножеств М, то, очевидно, />, а так как />, то теорема доказана.
Замечание. Пусть Мконечное множество, состоящее из /> элементов.
Тогда множество Тсодержит /> элементов.
В самом деле, Т содержитодно пустое множество, /> одноэлементных множеств, /> двухэлементныхмножеств, и т.д., а всего в Т будет входить 1 + /> + /> + … + /> = /> элементов.
Отметим, что этот результатверен и для случаев, когда М пустое, или одноэлементное множество.
Определение 4. Если множество М имеет мощность />, а множество всех его подмножествТ имеет мощность />, то говорят, что />.
Теорема 3. Справедлива формула />.
Доказательство
Пусть Т – множество всехподмножеств натуральных чисел />, а /> множество всехпоследовательностей вида
/> />.
Тогда />, />
Возьмем произвольныйэлемент /> /> некотороемножество натуральных чисел. Соотнесем /> последовательность /> по такому правилу: если/>, то />, а если />, то />. Очевидно, мыполучаем при этом взаимнооднозначное соответствие между /> и />, что и доказываеттеорему [6; 32].
Теорема 4.
Пусть />. Если />, то и />
Доказательство
Пусть /> есть некоторое взаимнооднозначноесоответствие между /> и />. Каждому элементу множества А вэтом соответствии отвечает некоторый элемент множества />.
В частности те элементы />, которые отвечаютэлементам />,образуют определенное множество />.
Таким образом, /> связановзаимнооднозначным соответствием с />. Но />, значит те элементы />, которые приэтом отвечают элементам />, образуют определенное множество />.
Теперь, поскольку />, а /> и /> связанывзаимнооднозначным соответствием />, можно образовать множество /> и состоящее изтех элементов />, которые отвечают элементам />.
Продолжая этот процесс, мыполучим последовательность множеств
/>
такую что
/>,
/>,
/>,
/>,
… .
Отметим при этом, чтосправедливы и такие соотношения:
/> (*)
вытекающие из самогоопределения множеств />.
Пусть />
Легко видеть, что
/>
/>
Причем отдельныеслагаемые каждой из строк не пересекаются.
В силу (*) одинаковоподчеркнутые слагаемые этих сумм эквивалентные друг другу. Но прочие слагаемыеэтих слагаемых попарно тождественно, откуда и вытекает эквивалентность А и />.
Теорема доказана
Теорема 5. (Э. Шрёдер – Ф. Бернштейн). Пусть А и В два множества. Если каждое из нихэквивалентно некоторому подмножеству другого, то они эквивалентны между собой.
Доказательство
Пусть />, />,
/>, />.
Установимвзаимнооднозначное соответствие между /> и />, при этом те элементы />, которыеокажутся соответствующими элементам множества />, образуют некоторое множество />. Очевидно /> и /> (так как /> и />). Отсюда, /> по теореме 4(стр.20), а так как />, то />.
Теорема доказана
Следствие 1. Если /> и /> две мощности, то соотношения />, />, /> несовместимы.
Доказательство
Действительно, тот факт,что соотношение /> исключает оба прочих, вполнеочевиден.
Допустим теперь, чтоодновременно выполняются соотношения /> и />. Пусть А и В два множествамощностей /> и/> соответственно:
/>, />
Так как />, то
1) А и В не эквивалентны;
2) />, где />.
Но из того, что />, следует, что
3) />, где />.
Из 2) и 3) вытекает, что />, а этопротиворечит 1).
Следствие доказано.
Следствие 2. Если />, />, /> три мощности и />, />, то />, т.е. отношение /> транзитивно.
Доказательство
Действительно, если А, В,С три множества мощностей />, />, />, соответственно, то />, />, откудаследует, что />, где /> - множество тех элементов />, которые всоответствии между В и /> отвечают элементам />.
Остается доказать, что Ане />.
Но если бы было />, то оказалосьбы, что />,а тогда по теореме 4 (стр. 20), мы имели бы, что />, откуда /> и />, что невозможно.
Следствие доказано.
Теорема 6. Множество /> всех непрерывных функций,заданных на отрезке /> имеет мощность с.
Доказательство
Пусть />, />. Очевидно, /> и />, откуда следует,что
/> (1)
Остается показать, что
/> (2)
Назовем через Н множествовсех последовательностей вида
/>
где />, независимо друг отдруга, принимают все вещественные значения. В силу теоремы 7 (стр. 14) />.
Перенумеруем всерациональные числа отрезка />: /> и каждой функции /> соотнесемпоследовательность />.
Очевидно, />. При этом, еслинепрерывные функции /> и /> не тождественны, то />.
Действительно, если быбыло />, торавенство /> выполнялосьбы для любого рационального значения /> из />, откуда, в силу непрерывностиобеих функций, следовал бы, что это равенство верно для всякого /> из />, и функции /> и /> были бытождественны.
Значит, множество /> эквивалентномножеству />.
Так как /> и />, то доказано соотношение(2), а с ним и теорема.
Глава 2. Точечные множества
§ 1. Предельная точка
В этом разделе будутрассмотрены множества точек числовой прямой и все основные понятия и теоремысвязанные с ними.
Определение 1. Точка х0называется предельной точкой (или точкойсгущения) точечного множества Е, если всякий интервал, содержащий эту точку,содержит хоть одну точку Е, отличную от точки х0.
Сама точка х0может принадлежать, а может и не принадлежать множеству Е.
Если точка х0 принадлежитмножеству Е, но не является его предельной точкой, то она называется изолированнойточкой множества Е.
Теорема 1. (свойство предельной точки). Если х0есть предельная точка множестваЕ, то всякий интервал (а, b),содержащий эту точку, содержит бесконечное множество точек Е.
Доказательство
Допустим противное.
Пусть интервал (а, b), содержащий точку х0,содержит только конечное число точек множества Е. Пусть отличные от х0точки множества Е ∙ (а, b) этоу1, у2,…, уn,и пусть к = min{│ х0– уi │, i = 1,2,…,n}.
Рассмотрим интервал (х0– к, х0+ к). Ни одна из точек у1, у2,…, уn в него не попадает, а так как (х0– к, х0+ к) /> (а, b), то интервал (х0– к, х0+ к) вообщене содержит точек Е, отличных от х0, а это противоречит тому, что х0предельная точка множества Е.
Теорема доказана.
Понятие предельной точкиможно рассмотреть с другой точки зрения.
Теорема 2. Для того, чтобы точка х0 былапредельной точкой множества Е, необходимо и достаточно, чтобы из этогомножества можно было выделить последовательности различных точек х1,х2,…, хn…,такую, что
/>
Доказательство
Достаточность очевидна.Докажем необходимость.
Пусть х0естьпредельная точка множества Е.
Выберем в интервале (х0 — 1, х0 +1) точку х1/> Е, отличную от х0. Затемв интервале (х0 — />, х0 +/>) выберем точку х2/> Е,отличную от х0 и от х1 и т.д.
На n–м шагу процесса выбираем в интервале(х0 — />, х0 +/>) точку хn/> Е, отличную от х0, х1,…, хn-1. В результате из множества Евыделена последовательность {хn}, для которой />
Теорема доказана
Доказанная теоремапозволяет рассмотреть эквивалентное определение предельной точки.
Определение 2. Точка называется предельной точкой множества Е, если изэтого множества можно выделить последовательность различных точек х1,х2,…, хn…,такую, что
/>
Теорема 3. (Б. Больцано – К. Вейерштрасса о множествах). Всякое бесконечное ограниченноемножество Е имеет хотя бы одну предельную точку (которая может и непринадлежать Е).
Доказательство
Так как множество Еограничено, то можно указать содержащий его отрезок
[a, b]. Пусть с = /> и рассмотримотрезки [a, c] и [с, b]. Неможет оказаться, чтобы каждый из этих отрезков содержал только конечное числоточек Е, так как в этом случае и все множество Е было бы конечным. Значит, хотябы один из этих отрезков содержит бесконечное множество точек Е. Обозначим егочерез [a1, b1] (если оба отрезка содержатбесконечное множество точек Е, то в качестве отрезка [a1, b1] выбираем любой из них).
Пусть с1 = /> и обозначимчерез [a2, b2] тот из отрезков [a1, с1] и [b1, a1], на котором лежит бесконечноемножество точек Е (существование его устанавливается также как и выше).
Продолжая этот процесс,мы построим бесконечную последовательность вложенных отрезков [a, b]/>[a1, b1] />[a2, b2] />…, каждый из которых содержитбесконечное множество точек Е.
Так как />, то длина отрезка [an, bn] стремится к нулю при />. Тогда по теоремеКантора о вложенныхотрезках, сущесвтует точка х0, общая для всех отрезков [an, bn], n = 1,2,…, причем lim an = lim bn = х0.
Покажем, что х0предельная точка множества Е. Для этого возьмем произвольный интервал />, содержащий х0.Очевидно, если n достаточно велико, то [an, bn] />/>, так что в /> находится бесконечноемножество точек Е. Значит х0предельная точка множества. Теоремадоказана.
Замечание. Условиеограниченности множества Е не может быть опущено. Рассмотрим множество N всех натуральных чисел. Оно хотя ибесконечно, но не имеет ни одной предельной точки.
Часто оказываетсяполезной другая форма теоремы Больцано — Вейерштрасса, в которой речь идет не омножествах, а о числовых последовательностях.
Определение 3. Последовательность х1, х2,…, хn… называется ограниченной, еслисуществует такое число k, чтопри всех n выполняется условие />.
Теорема 4. (Больцано — Вейерштрасса о последовательностях). Из всякой ограниченнойпоследовательности х1, х2, х3,… можно выделитьсходящуюся последовательность
/>, />,/>,… (/>
Доказательство
Рассмотрим множество Ечленов последовательности х1, х2, х3, …. Еслиэто множество конечно, то одна из его точек встречается в этойпоследовательности бесконечно много раз.
Пусть эта точка у и пусть
/>=/>=/>=…= у, тогда последовательность />искомая.
Если же указанноемножество бесконечно, то к нему применима теорема Больцано – Вейерштрасса омножествах.
Пусть х0 естьпредельная точка множества Е, тогда из Е можно выелить последовательность />, />, />,…, сходящуюсяк точке х0, причем все ее члены, а тем более их индексы />, различны.
Положим, /> = />, и обозначим через /> первое изчисел />,которое окажется больше, чем />, затем обозначим через />, первое изэтих чисел, которое больше, чем />, и т. д. В результате мы получимпоследовательность />,/>,/>,…, где />, то ясно, что lim />= х0.
Теорема доказана
§ 2. Замкнутые множества.
Рассмотрим определенияряда понятий, тесно связанных с понятием предельной точки.
Определения 1. Пусть Е точечное множество.
1. Множество всехпредельных точек Е называется производным множеством для множества Е иобозначается через Е'.
2. Если Е' /> Е, то множество Еназывается замкнутым.
3. Если Е /> Е', то множество Еназывается плотным в себе.
4. Если Е = Е', томножество Е называется совершенным.
5. Множество Е + Е'называется замыканием множества Е и обозначается через />.
Таким образом, множествоназывается замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Плотное в себе множестволишено изолированных точек.
Совершенное множествозамкнуто к плотно в себе [4; 60].
Теорема 1. Производное множество Е' любоготочечного множества Е замкнуто.
Доказательство
Теорема очевидна, если Е'пусто.
Пусть Е' не пусто и х0 — предельная точка Е'.
Возьмем произвольныйинтервал />,содержащий точку х0 (рис. 2). По определению предельной точки, вэтом интервале найдется точка />Е'. Значит, интервал /> есть интервал,охватывающий предельную точку исходного множества Е, а потому он содержитбесконечное множество точек Е.
/>/>/>/>/>/> ( )
/>
Рис. 2
Итак, всякий интервал,содержащий точку х0содержит бесконечное множество точек Е, так чтоточка х0есть предельная точка Е. Иначе говоря, /> Е'. Таким образом,множество Е' содержит все свои предельные точки и, стало быть, замкнуто.
Теорема доказана
Теорема 2. Если /> то />.
Теорема 3. Справедлива формула
/>
Доказательство
1) Так как /> и />, то />.
2) Докажем />
Пусть />. Тогда из />+/>выделяетсяпоследовательность различных точек />, такая, что />.
Если в этойпоследовательности найдется бесконечное множество точек, входящих в />, то /> будетпредельной точкой множества /> и />. Если же среди точек /> лишь конечноечисло принадлежит />, то />.
Таким образом, всегда />.
Итак, /> и />, значит />.
Теорема доказана
Следствие 1. Замыкание /> любого множества /> замкнуто.
Доказательство
Действительно
/>
Следствие доказано.
Следствие 2. Для того чтобы множество Е былозамкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замыканием />.
Доказательство
Достаточность этогоусловия вытекает из предыдущего следствия.
Обратно, пусть множество /> замкнуто,тогда />,откуда и следует, что />.
Следствие доказано.
Теорема 4. Сумма конечного числа замкнутыхмножеств есть множество замкнутое.
Доказательство
Рассмотрим сначала случайдвух слагаемых множеств />. В силу теоремы 3 (стр. 28),имеем />,но, так как /> /> то />, откуда иследует теорема.
Общий случайисчерпывается способом математической индукции.
Замечание.Сумма бесконечного множества замкнутых множеств может и не быть замкнутыммножеством. Рассмотрим множества
/> />.
Все /> - замкнуты, ноих сумма
/> не замкнута.
Теорема5. Пересечение любогомножества замкнутых множеств есть множество замкнутое.
Доказательство
Пусть/>-замкнутые множества (отмечены знаком /> для отличия друг от друга) и /> — ихпересечение. Тогда />, откуда следует/>и тем более/>. Так как этоверно при любом />, то />, то есть />.
Теоремадоказана
Лемма 1. Пусть множество Е ограничено сверху(снизу) и /> (/>), тогда /> (/>).
Доказательство
Если />, то и подавно />
Допустимже, что />.Так как при каждом е>0 существует такая точка />, что />, то любой интервал, содержащийточку />,содержит и точки множества />, которые, очевидно, отличны от />, так как />. Значит, /> это предельнаяточка множества />, стало быть, />.
Итак,всегда />.
Леммадоказана.
Теорема6. В ограниченном сверху(снизу) замкнутом множестве F естьсамая правая (самая левая) точка.
Доказательство
Действительно,пусть />.Тогда по лемме />.
Теоремадоказана.
Определение 2. Пусть /> — точечное множество, а /> — некотораясистема интервалов. Если для каждого /> существует интервал /> такой, что />, то говорят,что множество /> покрыто системой интервалов />.
Теорема7. (Э. Борель). Если замкнутое ограниченное множество/> покрытобесконечной системой интервалов />, то из последней можно извлечьконечную систему />, также покрывающую множество />.
Доказательство
Допустимпротивное.
Пустьиз /> нельзяизвлечь никакой конечной системы интервалов, покрывающей множество F (отсюда, между прочим, вытекает, что множество /> бесконечно).
ЗаключимF в некоторый отрезок />, поскольку F ограничено, и положим
/>
Неможет оказаться, чтобы каждое из множеств /> и />могло быть покрыто конечный числоминтервалов системы />, потому что в этом случае и всемножество /> покрывалосьбы конечным числом этих интервалов. Значит, хотя бы одни из отрезков /> и /> содержитподмножество />, которое не может быть покрытоконечным подмножеством />. Обозначим через /> тот из отрезков,который содержит такое подмножество />. При этом, если оба отрезка /> и /> содержат такиеподмножества />, которые не могут быть покрытыконечными подмножествами />, то через /> обозначим только однииз них, какой — безразлично. Ясно, что множество /> бесконечно.
Положимтеперь /> иобозначим через /> тот из отрезков /> и />, который содержит подмножествомножества />,которое не может быть покрытым конечным числом интервалов системы />.
Втом, что хотя бы один из отрезков /> и /> этим свойством обладает, мыубеждаемся так же, как и выше (если они оба им обладают, то через /> мы обозначимтолько одни из них).
Продолжаяэтот процесс, мы построим последовательность вложенных отрезков />, обладающих темсвойством, что ни одно из множеств /> (/>) не может быть покрыто конечнымчислом интервалов системы /> (и, стало быть, каждое из этихмножеств бесконечно).
Таккак длина отрезка />, равная />, с возрастанием /> стремится к нулю, то тогдапо теореме Кантора о вложенных отрезках существтует точка х0, общая для всех отрезков />, причем />.
Покажем,что точка /> принадлежитнашему множеству />. С этой целью выберем в множестве/> точку />, затем в(бесконечном) множестве /> выберем точку />, отличную от />, затем вмножестве /> выберемточку />,отличную от />,ни от />, итак далее.
Врезультате мы получим последовательность />, различных точек множества />, причем />. Но тогда,очевидно, />,так что /> естьпредельная точка множества />. Но так как множество /> замкнуто,значит, действительно />.
Таккак множество /> покрыто системой />, то в системе /> существуетинтервал /> такой,что />. Если/> достаточновелико, то очевидно /> и тем более />, то есть множество />покрываетсяодним интервалом из />, а это противоречит самомуопределению отрезка />.
Теоремадоказана
Замечание. Теорема перестаетбыть верной, если отбросить условие ограниченности или условие замкнутостимножества />.Рассмотрим множество N всехнатуральных чисел. Оно замкнуто (так как N’=0), но неограниченно. Рассмотрим систему /> всех интервалов вида />, (n=1,2,3,…)покрывающую множество N. Таккак каждый из интервалов системы /> содержит только одну точкумножества N, то ясно, что никакая конечнаясистема этих интервалов не в состоянии покрыть бесконечного множества N. Итак, условие ограниченностисущественно.
Рассмотрим другое множествоЕ всех чисел вида
/>: />
Это множество ограничено,но не замкнуто. Построим около каждой точки /> интервал />, содержащий эту точку, нонастолько малый, чтобы он не содержал никакой другой точки множества />, и обозначимчерез /> системувсех интервалов />. Ясно, что система /> покрывает множество Е,но те же соображения, что и в предыдущем примере, показывают, что /> не покрываетсяникаким подмножеством />. Значит, условие замкнутоститакже существенно.
Теорема 8. Пусть Р замкнутое множество и /> последовательностьточек />
Если />, то />
Доказательство
Если последовательность /> содержитбесконечное множество различных точек, то /> есть предельная точка Р и />, если же впоследовательности /> лишь конечное число различныхточек, то, как легко понять, все члены последовательности, начиная снекоторого, совпадают с /> и />
§ 3. Внутренние точки иоткрытые множества
Определение 1. Точка />, называется внутренней точкоймножества E, если существует содержащий этуточку интервал />, целиком содержащийся в множестве
E />
Замечание. Из самогоопределения ясно, что внутренняя точка множества Е принадлежит этому множеству.
Определение 2. Множество Е называется открытым, если все его точки есть внутренниеточки.
Примеры:
1) Всякий интервал /> есть открытоемножество;
2) Множество всехдействительных чисел открыто;
3) пустое множество 0открыто;
4) Отрезок /> не является открытыммножеством, так как его концы не являются внутренними точками.
Теорема 1. Сумма любого множества открытых множествесть множество открытое.
Доказательство
Пусть
/>
где все множества />открыты. Пусть />, тогда />, при некотором/>. Так как />открытоемножество, то существует такой интервал />, что />, но тогда />, следовательно /> — внутренняяточка />.Так как />произвольнаяточка множества />, то теорема доказана.
Следствие 1. Любое множество, представимое в формесумме интервалов, открыто.
Теорема 2. Пересечение конечного числа открытыхмножеств открыто.
Доказательство
Пусть />
где все /> открыты.
Если />пусто, теорема доказана.
Допустим, что /> не пусто, ипусть />.Тогда /> />1, 2, …, />и для каждого /> />1, 2, …, /> найдется интервал /> такой, что />. Пусть /> и />. Тогдаочевидно />,то есть />внутренняяточка />.
Теорема доказана
Замечание. Пересечениебесконечного множества открытых множеств не может открытым множеством. В самомделе, если />,/>1,2,3,…/>, то /> открыты, нопересечение их /> не открытое множество.
Определение 3. Пусть /> и /> два точечных множества. Если />, то множество /> называется дополнениеммножества /> домножества /> иобозначается так: />. В частности, множество />, где /> — множестводействительных чисел, называется просто дополнением множества /> и обозначается через />.
Теорема 3. Если множество /> открыто, то егодополнение /> замкнуто.
Доказательство
Пусть />, тогда существует такойинтервал />,что />.Этот интервал вовсе не содержит точек множества />, стало быть, /> не предельная точкамножества />,а поэтому точка, являющаяся предельной точкой множества />, не может входить в />. Отсюдаследует, что />содержит все свои предельныеточки.
Теорема доказана.
Теорема 4. Если множество /> замкнуто, то его дополнение/> открыто.
Доказательство
Пусть/>
Тогда />не является предельнойточкой множества /> и, следовательно, существуетинтервал />,содержащий точку /> и не содержащий ни одной,отличной от />,точки />. Нотак как и /> невходит в />,то в /> вообщенет точек />,так что /> и/>-внутренняя точка/>.
Теорема доказана
Замечание. Каждое из взаимнодополнительных множеств 0 и R одновременно и замкнуто и открыто.
Следствие 1. 1) если /> открытое множество, а /> - содержащийего отрезок, то множество /> замкнуто;
2) если /> замкнутое множество, а /> — содержащийего интервал, то множество />открыто.
Доказательство
Эти утверждения следуютиз очевидных тождеств
/>
где /> и /> - замкнутые множества,следовательно, их пересечение /> также замкнуто.
/>
где /> и /> - открытые множества,следовательно, их пересечение /> также открыто.
Следствие доказано.
Замечание. Если /> замкнуто и />, то множество />, не является,вообще говоря, открытым. Пусть, например, /> и />, тогда /> - неоткрытое множество.
Определение 4. Пусть /> непустое ограниченное множество и/>, />. Отрезок /> называется наименьшимотрезком, содержащим Е.
Теорема 5. Если /> есть наименьший отрезок, содержащийограниченное замкнутое множество />, то множество /> открыто.
Доказательство
Очевидно, достаточно убедитьсяв справедливости тождества
/>
Пусть/>, этозначит, что />,/>. Но если />, то /> и />, так как /> и /> входят в /> по теореме 6(стр. 29). Значит />. Кроме того, />, очевидно, входит в />, так что />. Обратноевключение очевидно.
Теоремадоказана
§ 4. Расстояния иотделимость.
Определение 1. Пусть /> и /> две точки числовой прямой. Число /> называется расстояниеммежду точками /> и /> и обозначается через />.
Замечание. Очевидно, что />= />, и что /> />/>.
Определение 2. Пусть /> некоторая точка и /> непустое точечноемножество. Точная нижняя граница расстояний между /> и точками множества />называется расстояниеммежду точкой /> и множеством /> и обозначается через /> или /> /> />.
Замечание. Очевидно, /> всегда существуети не отрицательно. Если />, то />, но обратное утверждение было быневерно. Например, если />, а />, то />, но />.
Определение 3. Пусть /> и /> два непустых точечных множества.Точная нижняя граница расстояний между точками множества /> и точками множества /> называется расстояниеммежду множествами /> и /> и обозначается через
/> /> />
Замечание. Очевидно, что /> существует всегдаи что />.Если множества /> и /> пересекаются, то />, но обратноеутверждение неверно. Например, если />, />, то />, но />.
Замечание. Расстояние междуточкой />имножеством Е есть не что иное, как расстояние между множеством Е и множеством />, единственнойточкой которого является />
Теорема 1. Пусть /> и /> два непустых замкнутых множества,причем хоть одно из них ограничено. Тогда существуют такие точки />, />, что />.
Доказательство
По определению точной нижнейграницы, для каждого натурального /> существуют две точки
/>, /> такие, что />
По условию одно измножеств /> и/> ограничено.Допустим, например, что это А. Тогда ограничена последовательность /> и по теоремеБольцано-Вейерштрасса из нее выделяется сходящаяся подпоследовательность />, />. В силузамкнутости множества А, точка /> должна принадлежать этомумножеству, />.
Рассмотримпоследовательность
Если />, то />
Отсюда видно, чтопоследовательность /> тоже ограничена и значит из неевыделяется подпоследовательность />, имеющая предел, />. При этом, благодарязамкнутости множества В, будет />. Нетрудно видеть, что
/>
Теорема доказана.
Замечание. Данная теоремастановится неверной, если оба множества А и В не ограничены. Например, пусть /> и /> (/>). Оба этимножества замкнуты /> и />, но так как />, то двух точек />, />, для которыхбыло бы />,не существуют. Ясно также, что если хоть одно из множеств /> и /> не замкнуто, то теорематакже неверна, что видно хотя бы из примера /> /> где />
Следствие 1. Если А и В замкнуты, хоть одно изних ограничено и />, то А и В пересекаются.
Следствие 2. Пусть /> произвольная точка и /> непустоезамкнутое множество. Тогда в /> есть точка />, для которой />.
Следствие 3. Если точка /> и замкнутое множество /> таковы, что />, то />.
Теорема 2. Если замкнутое множество А непустоеи отлично от всей числовой прямой R, то оно не может оказаться открытым.
Доказательство
Допустим противное
Пусть />, А замкнуто и Аоткрыто. Тогда таково же и его дополнение />. Пусть /> отрезок, содержащий точки обоихмножеств А и В. Обозначим через /> и /> точки, для которых /> /> />, и положим />. Тогда /> и одно изсоотношений /> выполняется. Пусть хотя бы />. Тогда />, что неверно,так как />.
Теорема доказана
Для доказательства однойиз важных теорем «отделимости» понадобиться несколько лемм.
Лемма 1.Пусть А непустое точечное множество и />. Положим
/>
Тогда /> и В есть открытоемножество.
Доказательство
Включение />очевидно.
Докажем, что множество В открыто.Пусть />.Тогда /> и вА найдется такая точка />, что />. Положим /> и покажем, что интервал/>содержитсяв В. Отсюда будет следовать, что />внутренняя точка В, а, стало бытьВ открыто.
Возьмем произвольнуюточку />.Тогда />, и таккак />, то />. Значит, />, и тем более />, значит />. Такимобразом, действительно />.
Лемма доказана
Лемма 2
Пусть />и />два непустых множества,причем
/>.
Положим
/>, />
Тогда />
Доказательство
Допусти противное.
Пусть /> и />. Тогда />, />, и найдутся точки /> и /> такие, что />, />, откуда />, значит />, чтоневозможно.
Лемма доказана
Теорема 3. (Свойство отделимости). Пусть />и /> два взаимно не пересекающихсянепустых замкнутых ограниченных множества. Существуют открытые множества /> и /> такие, что
/>, />, />
Доказательство
По следствию 1 (стр. 36)имеем />.
Положим /> /> и применим леммы 1 и 2(стр. 37).
Теорема доказана
Замечание. Условие ограниченностимножеств />и/>можноснять без нарушения справедливости теоремы. А условие замкнутости обоихмножеств существенно, что видно хотя бы из примера
/>
§ 5. Структура открытых изамкнутых ограниченных множеств
Определение 1. Пусть /> открытое множество. Если интервал/> содержитсяв />, но егоконцы этому множеству не принадлежат
/>
то мы будем называть этотинтервал составляющим интервалом множества />.
Теорема 1. Если /> есть непустое ограниченноеоткрытое множество, то каждая его точка принадлежит некоторому егосоставляющему интервалу.
Доказательство
Пусть />. Положим />. Каждое измножеств /> и/>замкнуто,а поэтому множество /> также замкнуто.
Кроме того, поскольку /> ограничено, /> не пусто.
Наконец, ни одна точкамножества /> нележит левее точки />, так что множество /> ограничено снизу. Втаком случае в этом множестве есть самая левая точка />, причем, />. Но />, значит />, так что />, то есть />. Так как />, значит />.
Докажем, что />
От противного, пусть этоне так. Тогда существует такая точка />, что />. Но из этих соотношений вытеклобы, что />, />, а это противоречитсамому определению точки />, следовательно/>.
Итак, для точки /> установленотри свойства:
1) />, 2) />, 3) />
Аналогично доказываетсясуществование точки /> со свойствами:
1) />, 2) />, 3) />.
Отсюда следует, что /> составляющийинтервал множества />, содержащий точку />. Теорема доказана.
Замечание. Из доказанной теоремыследует существование составляющих интервалов у каждого непустого,ограниченного, открытого множества
Теорема 2. Если /> и /> два составляющий интервала одного и того же открытогомножества G, то они или тождественны, или непересекаются.
Доказательство.
Допустим противное
Пусть существует точка /> общая обоим интервалам/> и />, />, />. Предположим, что />. Тогда, очевидно, />, но этоневозможно, так как />. Значит />.
Но так как /> и /> совершенно равноправны,то по тем же соображениям />, а тогда />.
Аналогичноустанавливается, что />, откуда следует, что интервалы /> и /> тождественны.
Теорема доказана.
Следствие 1. Множество различных составляющийинтервалов непустого ограниченного открытого множества /> конечно или счетно.
Доказательство
Если мы выберем в каждомиз этих интервалов по рациональной точке, то множество составляющих интерваловокажется поставленным во взаимнооднозначное соответствие с ю множества /> всехрациональных чисел.
Следствие доказано.
Теорема 3. Каждое непустое ограниченное открытое множество /> представимо вформе суммы конечного числа или счетного множества взаимно не налегающихинтервалов
/>,
концы которых непринадлежат множеству
/>, т.е. />.
Верно и обратное: всякоемножество, представимые в форме суммы интервалов, открыто.
Замечание. Условиеограниченности множества /> может быть опущено, при этом вкачестве составляющий интервалов дополнительно следует рассмотреть интервалывида />, /> и />.
Теорема 4. Пусть /> непустое ограниченное открытое множествои /> -интервал, содержащийся в />. В таком случае средисоставляющихся интервалов множества /> найдется такой, который содержитв себе интервал />.
Доказательство
Пусть />. Тогда />, и среди интервалов,составляющих множество />, найдется такой интервал />, что />.
Допустим, что />, получим, что />, а этоневозможно, потому что />. Значит />. Аналогично можно убедится, что />, а тогда />.
Теорема доказана
Теорема 5. Непустое ограниченное замкнутое множество/> илиявляется отрезком, или получается из некоторого отрезка удалением конечногочисла или счетного множества взаимно не налегающих интервалов, концы которыхпринадлежат множеству />.
Доказательство
Пусть /> такое множество и /> наименьшийотрезок, содержащий />. Множество /> открыто. Если этомножество не пусто, то к нему применима теорема 3 (стр. 40).
Теорема доказана.
Замечание. Верно такжеобратное утверждение: всякое множество, получаемое из отрезка удалениемнекоторого множества интервалов, — замкнуто.
Определение 2. Составляющие интервалы множества /> называются дополнительнымиинтервалами множества />.
Теорема 6. Пусть /> непустое ограниченное замкнутое множествои /> наименьшийотрезок, содержащий />. Тогда
1. Точка />, являющаяся общимконцом двух дополнительных интервалов />, есть изолированная точка />.
2. Если точка /> (или />) есть конецодного из дополнительных интервалов />, то она изолированная точка />.
3. Никаких других, кромеотмеченных в 1 и 2, изолированных точек /> не имеет.
Доказательство
Утверждение 1 и 2очевидны. Докажем 3.
Пусть /> есть изолированнаяточка />.Допустим сначала, что />. По определению изолированнойточки, существует содержащий эту точку интервал />, в котором нет отличных от /> точекмножества />,причем, очевидно, />. Но тогда интервал />.
Согласно теореме 4 (стр.40), существует дополнительный интервал /> множества />, содержащий интервал />. Если бы было />, то точка /> непринадлежала бы множеству />, поэтому необходимо, чтобы />. Нонеравенство /> противоречилобы тому, что />. Значит />, то есть /> является левым концом одного издополнительных интервалов множество />.
Совершенно такжеустанавливается, что /> служит и правым концом какого-тодополнительного интервала />, откуда и следует 3.
Случай /> и />исчерпывается таким жеобразом.
Теорема доказана
Теорема 7. Всякое непустое ограниченное совершенноемножество /> естьотрезок, или получается из некоторого отрезка удалением конечного числа илисчетного множества взаимно не налегающих интервалов, которые не имеют общихконцов ни друг с другом, ни с исходным отрезком. Обратно, всякое множество,полученное этим способом, совершенно.
Пример совершенного множества
Канторовы множества /> и />. Разделимотрезок /> натри части точками />и /> и удалим из него интервал />. Каждый издвух оставшихся отрезков /> и /> разделим на три части и удалимсредние интервалы />, />. Далее делим на три равные частикаждый из оставшихся четырех отрезков и удаляем из них средние интервалы. Этотпроцесс мы продолжаем неограниченно.
В результате из /> окажетсяудаленным открытое множество />, являющееся суммой счетногомножества интервалов.
/>
Оставшееся множество /> в силу теоремы7 (стр. 42) оказывается совершенным. Множества /> и />носят название канторовыхмножеств.
Нетрудно датьарифметическую характеристику этих множеств. Рассмотрим разложение в троичнуюдробь. Выясним, какие точки попадают в первый из удаленных интервалов/>. Приразложении каждой из этих точек в троичную дробь />, /> необходимо окажется />.
Концы же этого интерваладопускают каждый по два представления:
/> ; />
Все остальные точкиотрезка /> приразложении в троичную дробь не могут иметь на первом месте после запятойединицу.
Итак, на первом шагупроцесса построения множества /> из отрезка /> удаляются те и только теточки, первый троичный знак которых единица.
Аналогично, можноустановить, что на втором шагу удаляются те и только те точки, второй троичныйзнак которых единица, и т.д.
Поэтому после окончанияпроцесса останутся неудаленными те и только те точки, которые могут бытьизображены троичной дробью />, в которой ни одно из /> не равноединице. Таким образом, множество /> состоит из точек, троичноеразложение которых невозможно без помощи единицы, а /> - из точек, для которых такоеразложение возможно.Следствие 1. Канторово совершенное множество /> имеет мощность />
Замечание. Полученный результатпоказывает, что, кроме концов удаленных интервалов (которых есть только счетноемножество), канторово множество /> содержит и другие точки. Примеромтакой «не концевой» точки служит дробь /> />, не содержащая 0 или 2 в периоде.
§ 6. Точки конденсации.Мощность замкнутого множества.
Теорема 1. Всякое непустое совершенное множество/> имеет мощность/>.
Доказательство
Пусть /> непустое совершенноемножество. Возьмем точку /> и интервал />, содержащий эту точку.Так как точка x не изолированная точка />, то множество /> бесконечно.
Выберем в /> две различные точки /> и /> и построимтакие интервалы /> и />, чтобы при /> было:
1) />, 2) />, 3) />, 4) />
где />замыкание интервала />, />длина />.
Так как /> есть предельная точкамножества />,то интервал /> бесконечноемножество точек />. Выберем среди них две различныеточки /> и /> и построимтакие интервалы /> и /> такие, чтобы при /> было
1) />, 2) />, 3) />, 4) />.
Аналогичное построение будетвыполнено, исходя из точки />.
В результате у нас будутпостроены точки /> /> и интервалы /> такие, что:
1) />, 2) />, 3) />, если />, 4) />.
Продолжаем процесспостроения дальше. После />ого шага у нас будут построеныточки /> /> /> и интервалы /> такие, что
1) />/>,
2) />/>,
3) />/> (если />/>).
4) />.
Так как каждая точка /> естьпредельная точка множества />, то можно найти в множестве /> две различныеточки /> и /> и построитьинтервалы /> и/> такие,что (при />)
1) />/>,
2) />/>,
3) />/>,
4) />.
Предположим, что этотпроцесс проведен для всех натуральных />. Соотнесем каждой бесконечнойпоследовательности /> /> точку />, являющуюся единственной точкойпересечения последовательности вложенных отрезков />/>/>
Легко видеть, что точки /> и />, отвечающиедвум различным последовательностям /> и /> различны.
В самом деле, если /> естьнаименьшая из тех />, для которых />, то
/>, />, …, />, /> и отрезки /> и /> не пересекаются, откудаи следует, что />/>
Пусть />, тогда /> по теореме 8 (стр. 15).Но легко видеть, что />, откуда следует, что />. Но с другойстороны, ясно, что />, откуда />.
Теорема доказана
Следствие 1. В любой окрестности точки,принадлежащей непустому совершенному множеству />, содержится несчетное множествоточек, принадлежащих множеству />.
Определение 1. Точка /> называется точкой конденсациимножества />,если всякий интервал />, содержащий эту точку, содержитнесчетное множество точек Е.
Замечание. Очевидно, что всякаяточка конденсации какого-либо множества является его предельной точкой.
Теорема 2. (Э. Линделёф). Если ни одна из точек множества Е не является его точкойконденсации, то множество Е разве лишь счетно.
Доказательство
Назовем интервал /> «правильным», если1) его концы /> и /> рациональны; 2) в этом интервалесодержится разве лишь счетное множество точек множества Е. Очевидно, что«правильных» интервалов существует разве лишь счетное множество, так как вообщесуществует только счетное множество пар /> рациональных чисел.
Докажем, что каждая точкамножества Е (предполагаем, что множество Е непустое) содержится в некотором«правильном» интервале.
Действительно, пусть />. Так как /> не точкаконденсации множества Е, то существует интервал />, содержащий эту точку, и такой,что в нем имеется разве лишь счетное множество точек Е.
Если взять такиерациональные числа /> и />, что />, то интервал /> и будет «правильным»интервалом, содержащим точку х. (Отсюда и вытекает существование «правильных»интервалов).
Перенумеруем все«правильные» интервалы />. Из доказанного выше предложенияследует, что
/>
В сумме, стоящей в правойчасти этого равенства, есть счетное множество слагаемых, каждое из которых, всвою очередь, разве лишь счетно. Отсюда следует, что множество разве лишьсчетно.
Теорема доказана.
Следствие 1. Если множество Е несчетно, то существуетхоть одна точка конденсации этого множества, принадлежащая ему.
Замечание. Сопоставим этоследствие с теоремой Больцано-Вейерштрасса. В то время как теоремаБольцано-Вейерштрасса относится ко всякому бесконечному множеству, в данномследствии речь идет только о несчетных множествах. Но здесь, в отличие оттеоремы Больцано-Вейерштрасса, нет надобности требовать ограниченностимножества Е и, кроме факта существования точек конденсации, можно гарантироватьсуществование таких точек конденсации, которые входят в множество Е
Следствие 2. Пусть Е точечное множество и Рмножество всех точек конденсации множества Е. Тогда множество /> разве лишь счетно.
Доказательство
Действительно, ни однаточка множества />, не будучи точкой конденсации Е,и подавно не является точкой конденсации самого множества />.
Следствие доказано.
Следствие 3. Пусть множество Е несчетно и Рмножество всех его точек конденсации. Тогда множество ЕР несчетно.
Замечание. Следствие 3 покрываетсобой следствие 1.
Теорема 3. Пусть множество Е несчетно. Тогда множествоР всех точек конденсации множества Е есть множество совершенное.
Доказательство
Докажем сначалазамкнутость множества Р.
Пусть /> предельная точка этогомножества. Возьмем произвольный интервал />, содержащий точку />. В нем имеется хотьодна точка /> множестваР. Но тогда интервал />, как интервал, содержащий точкуконденсации множества Е, содержит несчетное множество точек Е. Так как /> произвольныйинтервал, содержащий />, то /> оказывается точкой конденсации Еи, стало быть, принадлежит Р. Итак, множество Р замкнуто.
Остается доказать, что Рне имеет изолированных точек. Пусть /> и /> есть интервал, содержащий точку />. Тогдамножество /> несчетно,а значит по следствию 3 (стр. 46) в /> содержится несчетное множествоточек конденсации множества />. Но />, а потому все точки конденсациимножества />иподавно являются точками конденсации Е, так что в /> (а следовательно и в />) содержитсянесчетное множество точек Р. Итак, любой интервал, содержащий точку />, содержитнесчетное множество точек Р, откуда следует, что />.
Теорема доказана.
Теорема 4. (Г. Кантор – И. Бендиксон). Каждое несчетно замкнутое множество /> представимо в форме />, где Р –совершенное, а /> — разве лишь счетное множествоточек.
Доказательство
Если Р есть множествоточек конденсации множества />, то /> и /> разве лишь счетно.
Теорема доказана.
Следствие 1. Несчетное замкнутое множество имеетмощность с
Глава 3. Решениенекоторых задач
Задача №1
Если /> непрерывная функция,заданная на />,то множество точек, в которых />, при любом c замкнуто.
Доказательство
Допустим противное.
Пусть /> такое, что /> /> - незамкнуто. Значит /> /> — предельная точкамножества /> и/>, т.е. />.
/> - непрерывная функция на />, значит /> />
/> />
/>
/>/>
/>
/> />
/>/>/>/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> />
/>
/>
/> />
Рис. 3
Рассмотрим
/>
тогда /> /> />, т.е. /> (рис. 3). (*)
Т.к. /> - предельная точка />, то любойинтервал, содержащий точку />, содержит хоть одну точкумножества />,отличную от />,т.е.
/>, />. (**)
Из (*) и (**) получаемпротиворечие.
Значит />, множества />/> - замкнуты.
Утверждение доказано.
Замечание. Аналогичнымобразом можно доказать, что, если /> непрерывная функция, заданная на />, то множествоточек, в которых />, при любом /> замкнуто.
Задача №2
Если функция />, заданная на />, такова, чтомножества /> и/> прилюбом /> замкнуты,то />-непрерывна.
Доказательство
Допустим противное.
Пусть /> - разрывная функция на />, т.е. /> /> /> />, т.е. />.
Рассмотрим множество
/>/>/> = />/>
/>/>/>.
/>/> /> - замкнуты
/>/> /> по условию задачи,
следовательно /> - замкнуто.
Пусть />, выберем последовательностьточек следующим образом
/>, /> /> />/>;
/>, /> /> />/>;
/>, /> /> />/>;
…
/>, /> /> />/> (рис. 4).
(Если />, то рассматриваемокрестности />,/>)
/>
/> /> /> /> /> />
Рис. 4
Предположим, что этотпроцесс проведен для всех натуральных />, тогда получаемпоследовательность точек множества />: />,/>,…,/>…, при этом />. Значит /> — предельная точкамножества />.
Множество /> - замкнуто, значит />, следовательно/> /> />, что невозможно. Значит/> непрерывнаяфункция.
Утверждение доказано.
Задача №3
Доказать, что множествовнутренних точек любого множества открыто.
Доказательство
Пусть /> - некоторое множество, /> — множествовсех внутренних точек А.
Выберем произвольно точку/>, тогда /> I – интервал, />.
Так как любая точка /> интервала /> содержится в Авместе с данным интервалом, то каждая точка интервала I является внутренней точкой множества А, т.е. />, />, следовательно />.
Получаем />, /> I – интервал, />, следовательно множество В –открыто.
Утверждение доказано.
Задача №4
Доказать, что множествоточек />,десятичное разложение которых возможно без помощи цифры 7, совершенно.
Доказательство
Разделим отрезок /> на 10 равных частейточками />, />, />, />, />, />, />, /> и />. И удалим изнего «восьмой по счету» интервал />.
Каждый из 9 оставшихсяотрезков />,/>, />, />, />, />, />, /> и /> разделим на 10равных частей и удалим «восьмые по счету» интервалы />, />, />, />, />, />, />, />
и так далее, продолжаемэто процесс неограниченно (рис. 5).
множествотеорема мощность счетный
/> 0 /> /> /> /> /> /> /> /> /> 1
0 /> /> /> 1
Рис. 5
В результате из /> окажетсяудаленным открытое множество />, являющееся суммой счетногомножества интервалов
/>/>+/>+/>+/>+/>+
/>+ +/>+/>…
Оставшееся множество /> оказываетсясовершенным по теореме 7 (стр. 42). Рассмотрим разложение в десятичнуюдробь. Выясним, какие точки попадают в первый из удаленных интервалов />. Приразложении каждой из этих точек в десятичную дробь />, /> необходимо окажется />.
Концы же этого интерваладопускают каждый по два представления
/> ; />.
Все остальные точкиотрезка /> приразложении в десятичную дробь не могут иметь на первом месте после запятойцифру семь.
Итак, на первом шагупроцесса построения множества /> из отрезка /> удаляются те и толькоте точки, первый десятичный знак которых семь.
Аналогично, можноустановить, что на втором шагу удаляются те и только те точки, второйдесятичный знак которых семь, и т.д.
Поэтому после окончания процессаостанутся неудаленными те и только те точки, которые могут быть изображеныдесятичной дробью />, в которой ни одно из /> не равно семи.Таким образом, множество /> состоит из точек, троичноеразложение которых невозможно без помощи семи, а /> - из точек, для которых такоеразложение возможно.
Задача №5
Найти ошибку в следующемдоказательстве теоремы:
Каждое замкнутоемножество есть пересечение счетного множества открытых множеств.
Доказательство
Пусть /> - некоторое замкнутоемножество. Рассмотрим дополнение /> множества />. Множество /> - открыто,следовательно, представимо в форме суммы конечного числа или счетного множествавзаимно не налегающих интервалов, концы которых не принадлежат />, при этом, если /> -неограниченно, то среди этих интервалов возможно есть интервал (или интервалы),одним концом которого является бесконечность (т.е. интервалы вида /> или (/>) (рис. 6).
/>
Рис. 6
Обозначим полученныеинтервалы через />, где />, тогда
/>
Пусть
/>
где />. Заметим, что концами /> и /> данныхинтервалов возможно являются не только действительные числа, но /> и />.
В каждом интервале />, где /> произвольновыберем две точки
/> (/>), />
В каждом интервале вида /> или /> произвольновыберем только одну точку
/> или
/>./>
И рассмотрим отрезки />, которыемогут иметь один бесконечный конец (рис. 7).
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
Рис. 7
/> — замкнуто, значит, дополнение /> — открыто (рис.8).
/>
Рис. 8
Теперь в каждом интервале/> выберемдругие точки следующим образом:
в интервале />
где /> выберем две точки
/> (/>):
/>,
/> (рис. 9);
в каждом интервале вида /> или /> выберем толькоодну точку
/> или
/>./>/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/>/>/>/>/>/>/>/>
Рис. 9
И рассмотрим отрезки />, которыемогут иметь один бесконечный конец (рис. 10).
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
Рис. 10
/> — замкнуто, значит, дополнение /> — открыто (рис.11).
/>
Рис. 11
В каждом интервале /> выберем ещеточки следующим образом:
в интервале />, где /> выберем дветочки
/> (/>)
/>,
/>;
в каждом интервале вида /> или /> выберем толькоодну точку
/> или
/>./>
Рассмотрим отрезки
/>
которые могут иметь одинбесконечный конец.
/> — замкнуто, значит, дополнение /> — открыто.
Продолжим этот процесс неограниченно.
В результате в каждоминтервале /> получимпоследовательности точек /> и (или) />, причем />, /> (рис. 12).
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
Рис. 12
Т.о. получаем />.
Рассмотрим />
/> — открытые множества, значитмножество /> естьпересечение счетного множества открытых множеств.
Т.к. /> — произвольное замкнутоемножество, то утверждение доказано.
Решение
При подробном анализепредставленного доказательства можно заметить, что в решении содержитсяошибочное предположение, а именно, что множества
/> /> замкнуты
В результате чего данноедоказательство теряет свою силу.
Задача №6
Доказать, что каждоезамкнутое множество есть пересечение счетного множества открытых множеств.
Доказательство
Пусть /> - некоторое замкнутоемножество.
Рассмотрим множества
/> где />
Тогда />, /> — открытое множество и /> по лемме 1(стр. 37), а значит
/>
Возьмем произвольнуюточку />, тогда/> по следствие3 (стр. 36).
А значит можно найти /> такое, что /> (например: />).
Тогда ясно, что />, а значит />
Так как /> – произвольная точка,не принадлежащая множеству />, значит
/>
Отсюда получаем, что />, т.е. /> - пересечениесчетного множества открытых множеств.
Утверждение доказано.
Заключение
Основной целью даннойработы являлось изучение основных понятий и теорем теории множеств и ихприменение к выявлению структуры различных числовых множеств. Для достиженияэтой цели в работе были рассмотрены все исходные понятия и теоремы теориимножеств, при этом доказательства наиболее важных теорем и следствий былидетально разобраны. Основное внимание было уделено числовым множествам иизучению их структуры, которым была посвящена вся вторая глава.
Важной ю дипломной работыявилось решение ряда интересных задач, которые дают некоторые представление охарактере проблем, решаемых в самой теории множеств и ее приложениях.
Теория множеств, хотя и являетсяодной из наиболее молодых отраслей математики, оказала огромное влияние наразвитие математики и стала фундаментом целого ряда новых математическихдисциплин. Хотелось бы отметить, что некоторые вопросы теории множеств должныбыть включены в программы средней школы. Несмотря на высокую степеньабстракции, усвоение теории множеств не представляет особых трудностей, так какне требует предварительной подготовки.
Библиография
1. Бурбаки, Н. Теория множеств [Текст] /Н. Бурбаки.– М.: Мир, 1965.– 272 с.: ил.
2. Виленкин, Н.Я. Рассказы о множествах[Текст] / Н.Я. Виленкин.– М.: Наука, 1969.– 160 с.: ил.
3. Кантор,Г. Труды по теории множеств [Текст] / Г. Кантор; Под ред. А.Н. Колмогров, А.П.Юшкевич.– М.: Наука, 1985.– 387 с.
4. Колмогоров,А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] / А.Н. Колмогоров,С.В. Фомин.– 7-е изд.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.– 544 с.
5. Мирошниченко, П.Н. Что же разрушалпарадокс Рассела в системе Фреге? [Текст] / П.Н. Мирошниченко.– СПб., 2000.– 514 с.
6. Натансон,И.П., Теория функций вещественной переменной [Текст] / И.П. Натансон.–
М.: Гостехиздат,1974.–480с.
7. Столл, Р.Р. Множества. Логика.Аксиоматические теории [Текст] / Р.Р. Столл.– М.: Просвещение, 1968.– 232 с.
8. Френкель, А. Основание теориимножеств [Текст] / А. Френкель, И. Бар-Хиллел – М.: Мир, 1966.– 416 с.
9. Хаусдорф,Ф. Теория множеств [Текст] / Ф. Хаусдорф; под ред. А.Н. Колмогоров, П. С.Александров. – М.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР,1937. – 287 с.