Вступ
Введення поняття степеня з ірраціональним показником
Означення поняття степеня з ірраціональним показником
Узагальнення поняття степеня
Список літератури
Вступ
З поняттям степеніз ірраціональним показником учні ознайомуються або у 10 або у 11(12) классізалежно від профілю навчання та навчального закладу. Якщо розглянути підручникБурда М.І. Дубінчук О.С. Мальований Ю.І. Математика 10-11 для шкіл, ліцеїв тагімназій гуманітарного профілю, то це поняття вводиться в 11 класі, причому,воно узагальнюється до поняття степеня з дійсним показником, у підручнику БевзВ.Г. Алгебра 10-11 для загальноосвітніх шкіл, з цим матеріал учні знайомлятьсяще в 10 класі.
Введенняпоняття
Після того, якдля будь-якого дійсного числа ми визначили операцію пінесення до натуральногостепеня, для будь-якого /> мивизначили операцію піднесення до нульового степеня та цілий від'ємний степінь, для будь-якого /> – у додатний дробовийстепінь, для будь-якого />– у від'ємний дробовий степінь, з'являється питання: чи можна якимосьчином визначити операцію піднесення до ірраціонального степеня, тобто визначитизміст виразу />, для будь-якого дійсного х.
Виявляється, щодля додатних чисел а можна надати сенсу запису />,/>.
Для цього требарозглянути 3 випадки: а=1, а>1, 0a
1) а=1, то за визначенням/>.
2) Якщо а>1, то оберемо будь-яке раціональнечисло />, та будь- яке раціональнечисло />, тоді очевидно, що />, а тому />. Але />, та оскільки а>1, тоді/> і нарешті
/>, тобто />.
Під /> розуміють таке число, якележить між /> та />, при будь-якому виборі /> та />. Можна довести, що число /> єдине для будь-якого а>1та ірраціонального />.
3) Якщо 0a, тооберемо будь-якераціональне число />, та будь- якераціональне число />, тоді очевидно,що />, а тому />.
Під /> розуміють таке число, якележить між /> та />, при будь-якому виборі /> та />. Можна довести, що число /> єдине для будь-якого 0aта ірраціонального />.
Розглянемоприклади:
/> Для визначення степеняобирають 2 послідовності:
/>1; 1,7; 1,73; …
/>2; 1,8; 1,74;…
Причому, ціпослідовності такі, що />
Отримаємонаближення /> з надлишком та недостачею.Звідси отримаємо /> з надлишком танедостачею.
/> Для визначення степеняобирають 2 послідовності:
/>1,4; 1,41; 1,414; …
/>1,5; 1,42; 1,415;…
Причому, ціпослідовності такі, що />
Отримаємонаближення /> з надлишком та недостачею.Звідси отримаємо /> з надлишком танедостачею.
Якщо /> - від'ємне ірраціональнечисло (/>,/>), тоді вираз має той жесамий сенс, який маєть степені із від'ємним раціональним показником:
/> та />.
Означення поняття
А тепер дамоозначення степеня з ірраціональним показником:
Означення
Степенем зірраціональним показником /> таосновоюа, де а>0, називається дійсне число />,яке є границею послідовності />, де /> — послідовністьраціональних чисел така, що границя />.
Узагальненняпоняття степеня
Узагальнимопоняття степеня:
Означення
Степенем /> з дійсним показником /> та основоюа, де а>0, називається границя послідовності />, де /> — послідовністьраціональних чисел така, що границя />.
При цьому длястепеня з будь-яким дійсним показником справджуються ті ж самі властивості, які для степеня з раціональним показником, а саме:
1) />, />/>.
2) />, />/>.
3) />, />/>.
4) />, />/>.
5) />, />/>.
6) />,/>,/>.
Списоклітератури
1. Шкіль М.І., Слєпкань З.І.,Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загальноосвіт.навч. закл. – К.: Зодіак-ЕКО, 2006. – 384 с.
2. Бевз Г.П. Алгебра і початкианалізу: Підруч. для 10–11 кл. загальноосвіт. навч. закл. – К.: Освіта, 2005. –255 с.
3. Бурда М.І., Дубінчук О.С.,Мальований Ю.І. Математика 10-11: Навч. посіб. для шкіл, ліцеїв та гімназійгуманітарного профілю. – К.: Освіта,2004. – 223с.
4. Алгебра и начала анализа. 10-11класс. А.Н. Колмогоров — 2001. – 320с.