--PAGE_BREAK--Теорема:
Если угол 1го 3-угольника
равны, то их
S
относятся равен углу другого 3-угольника, то S
как основания. этих 3-угольников относятся как про-
изведения сторон, заключающих равные
Теорема:
S
трапеции = про- углы.
изведению полусуммы её осно-
ванийна высоту.
Теорема:
В прямоугольном 3-угольни-
ке квадрат гипотенузы = сумме квадра-
Теорема:
Если квадрат 1ой тов катетов.
стороны 3-угольника = сумме
квадратов 2 других сторон, то
3-угольник прямоугольный.
ГлаваVII
.
Подобные треугольники.
Определение:
2 3-угольника
Теорема:
Отношение
S
2ух подоб-
называются подобными, если их ных 3-угольников = квадрату коэф-
углы соответственно равны и фициента подобия.
стороны 1го 3-угольника про-
порциональносходственны
Теорема:
Если 2 угла 1го 3-уголь-
сторонам другого. ника соответственно = 2ум углам
другого, то такие 3-угольники по-
Теорема:
Если 2 стороны 1го
добны.
3-угольника пропорциональны 2ум
сторонам другого 3-угольника и углы, заключённые между этими сторо-
нами, равны, то такие 3-угольники подобны.
Теорема:
Если 3 стороны 1го
Теорема:
Средняя линия параллель-
3-угольника пропорциональны на 1ой из его сторон и равна ½ этой
3ём сторонам другого, то такие стороны.
3-угольники подобны.
sin
острого угла прямоугольного cosострого угла прямоугольного 3-уголь-
3-угольника – отношение ника – отношение прилежащего катета
противолежащего катета к к гипотенузе.
гипотенузе.
tgугла = отношению
sin
к cos
tgострого угла прямоугольного этого угла: tg=
sin
/ cos.
3-угольника – отношение противо-
лежащего катета к прилежащему. Основное тригонометрическое
тождество:
Если острый угол 1го прямоугольного
sin
2
α+ cos2
α=1.
3-угольника = острому углу другого прямо-
угольного 3-угольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.
x
°
30
°
45
°
60
°
90
°
180
°
270
°
360
°
sinx
1/2
2/2
3/2
1
-1
cosx
1
3/2
2/2
1/2
-1
1
tgx
1/ 3
1
3
—
—
ctgx
—
3
1
1/ 3
—
—
П
/6
П/4
П/3
П/2
П
3П/2
2П
Глава
VIII
.
Окружность.
Если расстояние от центра окруж- Если расстояние от центра окруж-
ностидо прямой
мая и окружность имеют 2 общие мая и окружность имеют 2 общие
точки. Прямая является секущей. точки. Прямая является касательной.
Если расстояние от центра окруж- Теорема:
Касательная к окруж-
ностидо прямой > радиуса, то пря- ностиперпендикулярна к r
, прове-
мая и окружность не имеют общих дённому в точку касания.
точек.
Теорема:
Если прямая проходит
Отрезки касательных к окружнос — через конец r
, лежащий на окруж —
ти, проведённые из 1ой точки, рав- ности, и перпендикулярна к этому
ныи составляют равные углы с r
, то она является касательной.
прямой, проходящей через эту точ-
куи центр окружности. Дуга является полуокружностью.
Угол с вершиной в центре окруж- Если дуга АВ окружности с центром
ности— её центральный угол. О
полуокружностью, то её градусная
Сумма градусных мер 2ух дуг ок- мера считается равной градусной
ружностис общими концами = мере центрального угла АОВ. Если же
= 360°. дуга АВ > полуокружности, то её
градусная мера считается =
Угол, вершина кот-го лежит на = 360°–
окружности, а стороны пересе-
кают окружность, называется Теорема:
Вписанный угол измеряя-
вписанным углом. ется ½ дуги, на кот-ую он опирается.
Луч ВО совпадает с 1ой из сто- Луч ВО делит угол АВС на 2 угла, если
ронугла АВС. луч ВО пересекает дугу АС.
Луч ВО не делит угол АВС на 2 Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту
угла и не совпадает со сторона- же дугу, равны.
ми этого угла, если луч ВО не
пересекает дугу АС. Вписанный угол, опирающийся на полу-
окружность, — прямой.
Теорема:
Если 2 хорды ок-
Теорема:
Каждая точка бисс-сы
ружностипересекаются, то неразвёрнутого угла равноудалена
произведение отрезков 1ой от его сторон. Каждая точка, ле-
хорды = произведению отрез- жащая внутри угла и равноудалённая
ков другой хорды. от сторон угла, лежит на его бисс-се.
Бисс-сы3-угольника пересека- Серединным перпендикуляром к отрезку
ютсяв 1ой точке. называется прямая, проходящая через
середину отрезка и перпендикулярная
Теорема:
Каждая точка се- к нему.
рединногоперпендикуляра к
отрезку равноудалена от концов Серединные перпендикуляры к сторо-
этого отрезка. Каждая точка, нам 3-угольника пересекаются в 1ой
равноудалённая отконцов отрез- точке.
ка, лежит на серединном перпен-
дикуляре. Теорема:
в любой 3-угольник мож-
но вписать окружность.
Теорема:
Высоты 3-угольника
(или их продолжения) пересека- В 3-угольник можно вписать только 1у
ютсяв 1ой точке. окружность.
Теорема:
Около любого треу- В любом вписанном 4-угольнике сумма
гольникаможно онисать окруж- противоположных углов = 180°.
ность.
Если сумма противоположных углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.
Глава
IX
.
Векторы.
Физические величины, характери- Определение:
Отрезок, для кот-
зуещиесянаправлением в прост- го указано, какой из его концов счи-
ранстве– векторные. тается началом, а какой – концом,
называется вектором.
Длина (модуль) – длина АВ.
Длина нулевого вектора = 0.
Нулевые векторы называются
коллинеарными, если они лежат Если 2 вектора направлены одинаково,
либо на одной прямой, либо на то эти векторы – сонаправлены.
параллельных прямых; нулевой
вектор считается коллинеар- Если 2 вектора направлены противопо-
нымлюбому вектору. ложно, то они противоположно напра —
влены.
Определение:
Векторы,
называются равными, если От любой точки М можно отложить
они сонаправлены и их дли- вектор, равный данному вектору ã, и
ныравны. притом только один.
Теорема:
для любых векторов ă, č и ĕ справедливы равенства:
1. ă+ č = č + ă (переместительный закон);
2.
( ă + č )+ ĕ = ă +( č + ĕ ).
Теорема:
Для любых векто- Произведение любого вектора на число
ров ă и č справедливо равенство: 0 есть нулевой вектор.
ă– č = ă + ( — č ).
Для любого числа
k
и любого векто- ( kl)ă=
k
(
lă) (сочетательный закон);
раă векторы ă и
kăколлинеарны. (
k
+
l
)ă=
kă+lă(1ый рспред-ный закон);
k
(ă+č )=
kă+kč.
Теорема:
Средняя линия тра-
пециипараллельна основаниям
и = их полусумме.
9 класс.
Глава
X
.
Метод координат.
Лемма:
Если векторы ă иč Теорема:
Любой вектор можно раз-
коллинеарныи ă=0, то сущес- ложить по 2ум данным неколлинеар-
твуеттакое число
k
, что č=
kă. ным векторам, причём коэффициен-
ты разложения определяются един-
Каждая координата суммы 2ух продолжение
--PAGE_BREAK--