РЕФЕРАТ
«Собственныевектора и собственные значения линейного оператора»
Понятие собственные векторы и собственныезначения
Перед тем как определить понятиесобственные вектора, покажем его на наглядном примере. На рисунке 1, краснымцветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации неизменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующимсобственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору,также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению.Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственноеподпространство.
/>
Рис. 1
Определение. Ненулевой вектор x называетсясобственным вектором линейного оператора />,если найдется такое число λ, называемое собственным значением линейногооператора, что
/>(x) = λ·x(1)
Равенство (1) означает, что вектор x,подвергнутый действию линейного оператора, умножается на число λ.Появляется коллинеарный вектор. Среди векторов линейного векторного пространствамогут существовать такие, воздействие оператора на которые переводит этивекторы в коллинеарные самим себе. Если на таких векторах построить базис,преобразования линейной алгебры значительно упростятся.
Не всякий линейный оператор обладаетсобственными векторами. Например, в геометрической плоскости R2оператор поворота на угол, не кратный π, не имеет ни одного собственноговектора, поскольку ни один ненулевой вектор после поворота не останетсяколлинеарным самому себе.
Решим задачу нахождения собственныхвекторов оператора. Запишем равенство (1) в матричной форме:
P·X= λ·X
Преобразуем матричное уравнение:
P·X – λ·X = 0 или(P – λ·E) X =0
Матричное уравнение всегда имеет нулевоерешение:
X=0=/>
Для существования ненулевых решений рангматрицы коэффициентов должен быть меньше числа переменных r
|P – λ·E|=0 (2)
Расписав уравнение (2) относительно λподробнее, получим
|P – λ·E|=/>
Раскрыв определитель, получим уравнение n-йстепени относительно λ:
Которое называется характеристическимуравнением оператора />. Корни уравненияназываются характеристическими или собственными числами оператора. Множествовсех собственных чисел оператора /> называетсяспектром этого оператора. Многочлен левой части уравнения называетсяхарактеристическим многочленом.
Решив характеристическое уравнение,получаем собственные числа λ1, λ2, …, λn.Для каждого найденного собственного значения λiнайдемненулевые векторы ядра оператора P – λi E. Именно они будут собственными векторами, соответствующимисобственному значению λi. Другими словами, необходиморешить однородную систему уравнений (P – λiE) X=0. Ееобщее решение дает всю совокупность собственных векторов, отвечающих λi.
Общее решение однородной системы, какизвестно, структурировано. Оно представляет собой линейную комбинациюфундаментального набора линейно независимых решений (векторов). Число линейнонезависимых векторов в фундаментальном наборе называется геометрическойкратностью собственного значения λi. Вводиться также алгебраическая кратность – кратность λiкак корня характеристического многочлена.
Независимость собственных векторов
Существование линейно независимых векторовсреди собственных, отвечающих различным собственным числам λ1,λ2, …, λn, определяется следующей теоремой.
Собственные векторы x1, x2, …, xnоператора, отвечающие различнымсобственным значениям λ1, λ2, …, λn, линейно независимы.
На n линейно независимых собственныхвекторах можно построить базис n-мерного линейного векторного пространства.
Замечание. Определитель матрицы P –λE(соответственно характеристическиймногочлен) не зависит от выбора базиса.
|P’ –λE|=|T-1PT –λE|=|T-1PT-λ T-1ET|=|T-1P-λ ET|=|T-1||P-λ ET||T|=|P-λ ET|
Следовательно, при переходе к новомубазису собственные числа сохраняются.
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейногооператора />, заданного матрицей P=/> в пространстве R2.
Решение. Составим характеристическоеуравнение:
|P – λ·E|=/>=λ2-5λ+4=0
Из квадратного уравнения найдемсобственные значения линейного оператора λ1=1, λ2=4.Чтобы найти собственные векторы, решим матричные уравнения:
(P – λ1E) X=0 и (P– λ2E) X=0
В развернутом виде
/> и />
Соответствующие однородные системы:
/> />
Общие решения систем:
/> и />, где с1, с2є R
Таким образом, множество собственныхвекторов, отвечающих собственным значениям λ1=1, λ2=4,имеет вид />; />, где с1, с2є R. Векторы a1=(1, 1), a2=(-2, 1), например, являются линейно независимыми. Они могутбыть приняты в качестве нового базиса в пространстве R2.
Пусть e1, e2, …, en –собственные векторы линейного оператора /> впространстве Rn, которые примем в качестве базиса. Тогда разложениевекторов />(e1), />(e2), …, />(en) по базису e1, e2, …, enпримет вид
/>
Отсюда следует, что aij=λi, если i=j и aij=0, если i≠j. Поэтому в базисе, составленном изсобственных векторов, матрица оператора будет иметь диагональный вид:
/>
Симметричный оператор
Определение. Линейный оператор /> в евклидовом пространствеRn называется симметричным, если для любых векторов x и y изпространства Rn выполняется равенство
(/>(x),y)= (x, />(y))
Для того чтобы линейный оператор былсимметричен, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированномбазисе была симметрична.
Рассмотрим для простоты евклидовопространство R2. Пусть в ортобазисе e1, e2 заданы векторы x=(x1, x2), y=(y1, y2). Линейные операторы />1и />2 определенысвоими матрицами:
/> и />.
Вычислим векторы />1(x) и />2(y):
/>,
/>.
Найдем скалярные произведения (/>(x), y) и (x, />(y)):
(/>(x), y)=(a11x1+a12x2)y1+(a21x1+a22x2) y2=a11y1x1+a12y1x2+a21y2x1+a22y2x2,
(x, />(y))= (b11y1+b12y2)x1+(b21y1+b22y2) x2=b11x1y1+b12x1y2+b21x2y1+b22x2y2.
Найдем разность скалярных произведений:
(/>(x), y) – (x, />(y)) = (a11-b11) x1y1+(a21-b12) x1y2+(a12-b21) x2y1+(a22-b22) x2y2.
Если для любых векторов x и y изпространства R2 равенство
(/>(x), y) – (x, />(y))=0 (3)
Выполнено (необходимость), то вернасистема
a11=b11,
a21=b12,
a12=b21, (4)
a22=b22,
и обратно: если условия (4) соблюдены длялюбых векторов x и y, то равенство (3) выполнено (достаточность). Системаравенств (4) означает, что />1=/>2=/>.
Ортогональность собственных векторов
Собственные векторы симметричноголинейного оператора, соответствующие различным собственным числам, взаимоортогональны.
Пусть x и y – собственные векторыоператора />, соответствующиесобственным числам λ1и λ2,причем λ1≠ λ2. По определениюсимметричного оператора:
(/>(x),y)= (x, />(y))
Подставив сюда правые части равенства (/>(x))=λ1x, (/>(y))=λ1y, получим
(λ1x, y)=(x, λ2y).Вынесем числа λ1и λ2, за знакскалярного произведения, перенесем слагаемые влево и разложим на множители: (λ1– λ2) (x, y)=0
Поскольку λ1≠λ2, получаем (x, y)=0, что и означает взаимнуюортогональность векторов x и y.
Отметим другие важные свойствасимметричного оператора.
1) Характеристическоеуравнение симметричного оператора имеет только действительные корни.
2) Если в евклидовомпространстве Rn задан симметричный оператор />, то в Rnсуществует ортонормированный базис e1, e2, …,en, составленный из собственных векторов />.
3) Если все собственныечисла λ1, λ2, …, λnсимметричного оператора положительны, то (/>(x), x) > 0 для любогоненулевого вектора x.
Положительные матрицы
Квадратная вещественная матрица A = (aij)называется положительной, если все её элементы положительны: aij> 0.
Теорема Перрона (частный случай теоремыПеррона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительноесобственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строгопревосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этойматрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор er,все координаты которого строго положительны. Вектор er – единственныйсобственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющийнеотрицательные координаты.
Список литературы
1. Арутюнов Ю.C. и др. Высшая.математика: Методические указания и контрольныезадания (с программой) для студентов-заочников инженерно-техническихспециальностей вузов. 3-е изд. М.: Высш. шк., 2005. 144 с.
2. Высшая математика: Программа, методические указания иконтрольные задания для студентов-заочников иижеиерио-техиическихспециальностей сельскохозяйственных вузов. 4-е изд., перераб. М.: Высш.шк.,2005. 110 с.
3. Мироненко Е.С. Высшая математика: методические указанияи контрольные задания для студентов-заочников инженерных специальностей вузов. М.:Высш. шк., 2008. 110 с.
4. Зимина О.В. и др. Высшая математика. 2-е изд., испр. М.:Физматлит, 2009. 368 с. (Решебиик).