Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Допущена кзащите
Зав. кафедройМироненко В.И.
""2007 г.
Системы, эквивалентные системам с известными
качественными свойствами решений
Дипломная работа
Исполнитель:
студентка группы М-51 Поляк Е.М.
Научный руководитель:
к. ф. — м. н., старшийпреподаватель Вересович П.П.
Рецензент:
к. ф. — м. н., доцент кафедрыВМП Карасёва Г.Л.
Гомель 2007
Содержание
Введение
§1. Отображение Пуанкаре
§2. Общие сведения об отражающей функции
§3. Возмущения дифференциальныхсистем, не меняющие отражающей функции
§4. Стационарный интеграл
§5. Способ построения дифференциальных систем,эквивалентных стационарным системам
§6. О некоторых аспектах применения отражающей функции дляисследования свойств решений дифференциальных систем
Заключение
Список используемых источников
Введение
Многочисленные нужды практики приводят нас к необходимостимоделирования динамики развития реальных систем, а тем самым и зачастую кнеобходимости построения систем дифференциальных уравнений с определённымисвойствами. При моделировании задач классической физики дифференциальныеравнения появляются естественным образом, когда мы формулируем наматематическом языке соответствующие физические законы. В последнее время,однако, всё чаще приходится иметь дело с более сложными реальными системами, издесь на первый план выходит качественное моделирование. При этом очень частонам приходится составлять модели таких реальных систем, для которых общиефундаментальные законы могут служить лишь некоторым ориентиром. В этом случаемы, как правило, вынуждены отказаться от точных количественных оценок и строитьмодель, отражающую лишь качественные стороны поведения системы. Обычно этодостигается искусным заданием правых частей соответствующей дифференциальнойсистемы.
Полученная при моделировании дифференциальная системаоказывается, как правило, достаточно сложной для исследования. Поскольку нашазадача состоит лишь в выяснении качественной стороны эволюции реальной системы,то при изучении полученной дифференциальной системы мы можем заменить её накачественно эквивалентную её дифференциальную систему.
Таким образом, практика ставит перед нами следующие задачи:
задача некоторой унификации построения дифференциальныхсистем с заданными качественными свойствами;
в том случае, когда уже построена некоторая сложнаядифференциальная система, встаёт задача о замене этой системы ей качественноэквивалентной, но удобной для дальнейшего исследования.
Для решения этих задач было бы разумно с одной стороны, иметьнабор соответствующих модельных систем, т.е. достаточно богатый наборкачественно различных дифференциальных систем, а с другой стороны, обладатьматематическим аппаратом, позволяющим устанавливать качественнуюэквивалентность модельной системы и исследуемой дифференциальной системы.
Качественное поведение решений дифференциальных систем вомногом определяется наличием и количеством периодических решений, их начальнымиусловиями.
Для выяснения вопросов о наличии и количестве периодическихрешений периодических систем наиболее часто используется отображение Пуанкаре иметод отражающей функции. Ниже будут приведены некоторые сведения о них.
Значительное число работ учёных всех стран мира посвященокачественному исследованию автономных дифференциальных систем небольшихразмерностей.
Неавтономные дифференциальные системы даже не высокихразмерностей изучаются менее интенсивно из-за отсутствия методик их прямогоисследования.
Получить сведения, о качественном поведении решенийисследуемой неавтономной дифференциальной системы, возможно, установив еёэквивалентность, в смысле совпадения отражающих функций, дифференциальнойсистемы, стационарной или нестационарной, качественный портрет решений которойизвестен.
В данной работе рассматривается задача о построениидифференциальных систем, эквивалентных в смысле совпадения отражающих функций,системам с известным первым интегралом.
§1. Отображение Пуанкаре
Рассмотрим систему
/> />
Будем считать, что эта система удовлетворяет следующимусловиям:
а) при всех /> задачаКоши для системы /> имеетединственное решение />, />.
б) система /> />периодична по />, т.е. />.
Чтобы не делать далее оговорок, будем считать также, что всерешения системы /> существуют при />
Отображение /> называютоператором или отображением сдвига вдоль решений системы /> [1]. Имеют место следующиесвойства оператора сдвига вдоль решений системы />.
/> />
/> />
/> />
/> />.
Каждое из этих свойств вытекает из свойств функции />.
Докажем, к примеру, свойство />,которое равносильно тождеству
/> />
Для его доказательства отметим, что в силу />периодичности системы /> функция />, как и функция /> является решением системы />. При /> эти решения совпадают. Поэтомуони обязаны совпадать и при всех />, в томчисле и при /> т.е. должно иметь местотождество />, а с ним и свойство />.
Отображение /> прилюбом /> называют отображением запериод, или отображением Пуанкаре для системы />.Областью определения отображения Пуанкаре является множество всех тех /> для которых решение /> системы /> определено при всех />.
Общий принцип.
Для того, чтобы продолжимое на /> решение/> системы /> было />периодическим, необходимо идостаточно, чтобы точка /> быланеподвижной точкой отображения Пуанкаре />.
Необходимость очевидным образом следует из />периодичности решения />.
Достаточность. Пусть /> естьнеподвижная точка отображения за период />.Это означает, что
/> />
Функция /> определенана некотором множестве, содержащем отрезок />,и в силу />периодичности системы /> является решением системы />. Согласно /> оба решения /> и /> при /> совпадают. Так как решениясистемы /> однозначно определяютсясвоими начальными условиями, то
/>.
Теорема доказана.
Таким образом, если при каком-то /> удаётсяотыскать отображение за период />, то изуравнения /> будут найдены начальныеданные всех />периодических решений.
Создаётся впечатление, что отображение Пуанкаре можно найтитолько зная общее решение дифференциальной системы.
Для отыскания отображения Пуанкаре (отображение за период) можноиспользовать некоторые вспомогательные функции, которые не совпадая с общимрешением /> во всей областисуществования решения, совпадают с ним на гиперплоскостях, отличающихся напериод. Если такая функция будет найдена, то будет найдено и отображение запериод.
В.И. Мироненко в качестве такой функции использовал функцию /> [2,3], которую назвалотображающей функцией. При известной отображающей функции /> />периодическойдифференциальной системы отображение за период /> определяетсяформулой
/>
В дальнейшем будем полагать />,где />половина периода.
Приведём теперь известные факты об отражающей функции [3,4].§2. Общие сведения об отражающей функции
Рассмотрим систему
/> />,
cчитая, что правая часть которойнепрерывна и имеет непрерывные частные производные по />. Общее решение в формеКоши обозначим через />). Через />обозначим интервалсуществования решения />.
Пусть
/>
Отражающей функцией системы /> назовём дифференцируемуюфункцию />, определяемую формулой
/> />
Для отражающей функции справедливы свойства:
для любого решения />системы/> вернотождество
/> />
для отражающей функции /> любойсистемы выполнены тождества
/> />
дифференцируемая функция /> будетотражающей функцией системы /> тогда итолько тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных
/> />
и начальному условию />
Совокупность условия /> иначального условия /> назовём основнымсоотношением для отражающей функции.
Как известно, в большинстве случаев система дифференциальныхуравнений /> не может бытьпроинтегрирована в элементарных функциях или в квадратурах. Это вынуждаетисследовать решения системы по самим дифференциальным уравнениям.
Знание отражающей функции системы /> позволяет решать вопросысуществования, количества и начальные данные периодических решений системы.
Поскольку у разных дифференциальных систем может быть одна ита же отражающая функция, то с помощью отражающей функции можно заменить однудифференциальную систему на качественно ей эквивалентную и более простую другуюдифференциальную систему.
Пример.
Уравнение Рикатти /> имеетотражающую функцию />. Такую жеотражающую функцию имеет и уравнение />,которое значительно проще интегрируется в замкнутом виде, а значит проще иисследование свойств решений данного условия.
Приведём более точное понятие эквивалентности, в смыслесовпадения отражающих функций, дифференциальных систем.
Эквивалентные системы.
Рассмотрим класс систем
/> />
считая, что её правая часть непрерывно дифференцируемая. Будемговорить, что множество систем вида /> образуеткласс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция /> со свойствами:
/> отражающаяфункция /> любой системы израссматриваемого множества совпадает в области определения /> с функцией />;
/>любая системавида />, отражающая функция /> которой совпадает вобласти /> с функцией />, содержится врассматриваемом множестве.
Две системы вида />,принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными.Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют однуи ту же отражающую функцию. Функцию /> приэтом будем называть отражающей функцией класса, а класс — соответствующимотражающей функции />.
Для построения систем имеющих одну и ту же отражающуюфункцию можно воспользоваться теоремой:
Лемма 2.1 Для всякой непрерывно-дифференцируемойфункции />,для которой выполнены тождества />, имеют место соотношения
/> />
/> />
Доказательство. Продифференцируем тождество /> по /> и по />. Получим тождества
/>
/>
из которых следует неравенство /> итождества /> и />.
Лемма доказана.
Теорема 2.1. Пусть /> есть отражающая функция некоторойдифференциальной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью, а длядважды непрерывно дифференцируемой функции /> выполнено
/> />
/> />
Тогда, для того, чтобы в области /> функция/> совпадала с />, необходимо и достаточно,чтобы рассматриваемая система имела вид:
/> />
где /> естьнекоторая непрерывно дифференцируемая вектор-функция.
Доказательство. Необходимость. Пусть /> есть отражающаяфункция некоторой системы /> и пусть/> совпадает с />.
Положим
/>
Тогда используя тождества /> и/>. и основное соотношениедля отражающей функции />, получимтождества
/>
/>
/>
/>
/>
из которых следует, что всякая система, для которой /> есть отражающая функция,может быть записана в виде />.
Достаточность. Пусть в системе /> /> есть такая функция,для которой решение системы /> однозначноопределяется своими начальными данными. Тогда, в чём можно убедитьсяподстановкой, выполняется основное соотношение для отражающей функции />. Поэтому, согласнотретьему свойству отражающей функции, функция /> являетсяотражающей функцией системы />.
Теорема доказана.
Т.о. варьируя вектор-функцию /> мыполучим все системы имеющие заданную отражающую функцию.
У эквивалентных систем одинаковое количество периодическихрешений, т.к начальные данные периодических решений определяются из уравнения />, где />половина периода правойчасти соответствующих дифференциальных систем.
Пусть известно, что системы />и
/> /> /> />
принадлежат одному классу эквивалентности, и пусть одна изэтих систем, скажем, система /> является/>периодической. Тогда еслирешения /> и /> систем />и /> соответственно продолжимына отрезок />, то />, хотя система /> может быть непериодической.Откуда следует
Теорема 2.2. Пусть система /> с />периодической по /> правой частью и система /> принадлежат одному классуэквивалентности, а их решения существуют при всех />.Тогда между />периодическими решениямисистемы /> и решениями двухточечнойзадачи /> для системы /> можно установитьвзаимооднозначное соответствие.
Уравнения
/>
/>
например, принадлежат одному классу эквивалентности сотражающей функцией />. Единственное />периодическое решение />
первого уравнения соответствует единственному решению задачи/> второго уравнения.§3. Возмущения дифференциальных систем, не меняющиеотражающей функции
Наряду с дифференциальной системой
/> />
будем рассматривать множество систем
/> />
где />непрерывнаяскалярная нечётная функция, а />произвольнаянепрерывно дифференцируемая вектор-функция. Систему /> назовёмвозмущённой, а добавку />возмущением. Выяснимвопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функцийдифференциальных систем /> и />.
Как известно, отражающая функция системы /> обязана удовлетворятьследующему соотношению
/> />
Для решения поставленной задачи нам потребуются некоторыевспомогательные утверждения. Справедлива [4]
Лемма 3.1. Для любых трёх вектор-функций
/>
имеет место тождество
/> />
Доказательство.
Будем преобразовывать левую часть тождества />
/>
/>
/>
/>/>
Лемма доказана.
Лемма 3.2. Пусть /> есть отражающая функция системы /> с непрерывнодифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемойвектор-функции /> функция
/> />
удовлетворяет тождеству
/> />
Доказательство.
Подставив функцию /> ввыражение />, придем к следующимтождествам:
/>
Выразим из соотношения /> частнуюпроизводную />, подставим в последнеетождество и будем преобразовывать получившееся выражение:
/>
Применив к первым двум слагаемым последней части этойцепочки тождеств тождество /> придемк следующим соотношениям:
/>
/>
Выразим из соотношения /> выражение,находящееся в скобках последнего тождества и подставим в последнее изполучившихся тождеств:
/>
Учитывая определение функции />,полученное тождество можно переписать в виде
/>
Мы пришли к соотношению
/>
Прибавив к левой и правой частям этого соотношения выражение/>, придем к нужному намтождеству />и тем самым докажем лемму.
Лемма доказана.
Теорема 3.1. Пусть вектор-функция /> является решениемдифференциального уравнения в частных производных
/> />
Тогда возмущенная дифференциальная система /> где />произвольная непрерывнаяскалярная нечетная функция, эквивалентна дифференциальной системе /> в смысле совпаденияотражающих функций.
Доказательство. Пусть />отражающаяфункция системы /> Следовательно,эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению />. Покажем, что помимо этогоуравнения при условиях теоремы она удовлетворяет тождеству
/> />
С этой целью введем функцию /> поформуле />. Согласно предыдущейлемме, эта функция удовлетворяет тождеству />.При условиях доказываемой теоремы, с учетом соотношения /> это тождествопереписывается в виде
/>
Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции /> вернотождество />, имеют место соотношения
/>
Поставим следующую задачу Коши для функции />:
/>
Решение этой задачи существует и единственно [6, с.66]. Такимобразом, имеет место тождество /> влекущееза собой тождество />.
Теперь покажем, что отражающая функция /> дифференциальной системы /> является также иотражающей функцией дифференциальной системы />.Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения />, которое в данном случаедолжно быть переписано в виде
/> />
Последовательно преобразовывая левую часть последнегосоотношения и учитывая нечетность функции />,приходим к следующей цепочке тождеств:
/>
/>
Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественноравны нулю. Первое — потому, что для отражающей функции системы /> верно тождество />, второе — потому, что приусловиях теоремы верно тождество />. Следовательно,тождество />выполняется и функция /> является отражающейфункцией системы />.
Теорема доказана.
Следствие3.1. Пусть функции /> являются решениямидифференциального уравнения в частных производных />. Тогда все дифференциальныесистемы вида
/> />
где />нечетныескалярные непрерывные функции, такие, что ряд /> сходится к непрерывнодифференцируемой функции, эквивалентны между собой в смысле совпаденияотражающих функций и все они эквивалентны дифференциальной системе />.
Доказательствоследствия очевидно и сводится кпоследовательному применению теоремы 3.1
Замечание 3.1. В [2, с.24] доказано, что правая частьстационарной дифференциальной системы, эквивалентной дифференциальнойсистеме/> в смысле совпаденияотражающих функций, если такая система существует, может быть найдена поформуле /> Учитывая этот факт исформулированное выше следствие, для нас важно установить, когда вектор-функция/> может быть представлена ввиде
/> />
где />решения уравнения/>. Последующие рассмотрениянаправлены на решение этой задачи. Решив ее, мы сможем заменить изучениесвойств решений нестационарных систем изучением свойств решений стационарныхсистем вида /> или, если угодно,использовать уже изученные стационарные системы для изучения нестационарныхсистем.§4. Стационарный интеграл
Рассмотрим систему
/> />, /> />
с непрерывной в области /> функцией/>.
Дифференцируемая функция />,заданная в некоторой подобласти /> области/>, называетсяпервым интеграломсистемы /> в области />, если для любого решения />, />/>, системы />, график которогорасположен в /> функция />, />/>, постоянна, т.е. /> зависит только от выборарешения /> и не зависит от />.
Пусть /> />, есть некоторая функция. Производнойот функции /> в силу системы /> назовем функцию /> />, определяемуюравенством
/>/>
Лемма 4.1. Для любого решения />, />/>, системы />, график которого расположен в />, имеет местотождество
/>/> />/>.
Доказательство. Действительно,
/>
Лемма 4.2. Дифференцируемая функция />, /> представляет собойпервый интеграл системы /> тогда и только тогда, когдапроизводная /> всилу системы /> тождественно в /> обращается в нуль.
Необходимость. Пусть />естьпервый интеграл системы />. Тогдадля любого решения /> этой системы,применяя лемму 1 будем иметь тождества
/>/>/>/>
откуда при /> получимравенство />/> справедливое при всехзначениях /> и />. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть теперь />при всех /> Тогда для любого решения /> системы /> на основании леммы1будем иметь тождество
/>
а с ним и достаточность.
Лемма доказана.
Из определения первого интеграла следует, что постоянная на /> функция также являетсяпервым интегралом системы />. Первыйинтеграл />будем называтьневырожденным на />, если при всех />/> выполняется неравенство
/>
Функцию /> будемназывать стационарным первым интегралом системы />, если она не зависит от /> и является первыминтегралом системы />.
Теорема 4.1. Для того, чтобы система /> с /> раз дифференцируемой по/> правойчастью имела в /> невырожденный стационарный первыйинтеграл, необходимо выполнение тождества
/> /> />
где />, />компоненты вектор-функции />.
Доказательство. Пусть />стационарныйпервый интеграл системы />. Тогдасогласно лемме 4.2 должно выполняться тождество
/> />
Это означает, что при каждом фиксированном /> функции /> линейно зависимы наинтервале их существования. Поэтому вронскиан этих функций (левая частьтождества />) обязан обращаться в нуль.
Теорема доказана.
Выясним условия, при которых система /> имеет стационарныйинтеграл. Будем считать, что условия теоремы 4.1 выполнены. Составим системулинейных уравнений относительно неизвестных функций />
/>
/>
…………………………………………. />
/>
Теорема 4.2. Для того, чтобы система /> с /> раз дифференцируемой по/> правойчастью имела хотя бы один стационарный интеграл />, необходимо и достаточносуществование такого независящего от /> решения /> системы />, для которого уравнение Пфаффа
/> />
интегрируется одним соотношением />.
Необходимость. Пусть система /> имеетстационарный интеграл />. Тогдасогласно лемме 4.2 должно выполняться тождество />.Дифференцируя тождество /> /> раз по />, убеждаемся в том, чтосовокупность функций />решение системы />.
Достаточность. Пусть теперь система /> имеет не зависящее от /> решение, для которогоуравнение Пфаффа /> интегрируетсяодним соотношением />. Тогдасуществует [6] такая функция />, для которой
/> />
Поэтому
/>
так как /> удовлетворяетпервому уравнению системы />. Изтождества /> следует достаточность.
Теорема доказана.
Теорема 4.3. Пусть система /> имеет /> линейно независимых при каждом /> решений
/>, />,
для которых соответствующие уравнения Пфаффа
/> />
интегрируется с помощью соотношений /> />.
Тогда /> представляютсобой /> независимых стационарныхинтегралов системы />.
Доказательство. Согласно теореме 4.2 функции /> являются первымиинтегралами системы />. Покажем, чтоони независимы. Отметим, что для каждой функции /> существуетфункция />, для которой
/> /> />
Поэтому матрица Якоби /> имеетвид
/>
Из линейной независимости векторов />, /> при каждом /> следует, что при всех /> ранг матрицы Якоби равен />. Поэтому функции />, />, являются независимыми [7,c.682].
Теорема доказана.
Теорема 4.4. Пусть выполнены все условия теоремы 4.1и существует некоторое /> при котором уравнение Пфаффа
/> />
не вырождается в тождество и интегрируется однимсоотношением />. Тогда функция /> является независимымстационарным первым интегралом системы />.Всякий другой стационарный первый интеграл зависит от />.
Доказательство. Так как уравнение /> не вырождается втождество, то для функций /> />, переменного /> при фиксированном /> выполнены все условияпримечания к теореме 1 §1 [2, с 13]. На основании этого примечания функции /> линейно зависимы. Соответствующиекоэффициенты /> могут быть найдены путёмразложения по элементам первой строки определителя
/>
Эти коэффициенты образуют единственное с точностью домножителя решение /> системы />, которому соответствуетуравнение Пфаффа вида />. Ссылкана теорему 4.3 завершит доказательство.§5. Способ построения дифференциальных систем,эквивалентных стационарным системам
Как известно исследованию стационарных дифференциальныхсистем посвящено огромное число работ. Это объясняется тем, что эти системы вомногих отношениях являются более просто исследуемыми, чем неавтономные системы.Благодаря этому целесообразно использовать для изучения дифференциальныхнеавтономных систем стационарные системы, если удаётся установить одинаковостькачественного поведения решений этих систем. Такая эквивалентность в поведениирешений может быть установлена с использованием метода отражающей функции. Когдадве системы имеют одну и ту же отражающую функцию, то качественное поведениерешений этих систем одинаково, т.е. периодические решения остаются таковыми,ограниченные — ограниченными, устойчивые — устойчивыми. В этом параграфе сиспользованием [1] и понятия первого интеграла системы показана возможностьпостроения дифференциальных систем, эквивалентных данной (стационарной).
Пусть имеется дифференциальная система
/> />
с правой частью, удовлетворяющей теореме существования иединственности. Предположим, что функция /> являетсяпервым интегралом системы />.
Теорема 5.1. Дифференциальная система
/> />
в которой />нечётнаяскалярная функция, а функция /> являетсянепрерывно дифференцируемой функцией, имеет ту же отражающую функцию что исистема />
Доказательство. Правую часть системы /> обозначим />. Положим, /> и покажем, что функция /> удовлетворяет уравнению
/> />
Находим /> />. Подставим эти выражения влевую часть уравнения />. Получим
/>
Выражение /> в силуопределения интеграла системы и, следовательно, функция /> действительноудовлетворяет уравнению />. Согласнотеореме 2 [см.5] системы /> и /> эквивалентны.
Из теоремы вытекают следующие замечания:
Замечание 5.1. Известно, что если дифференциальнаясистема /> эквивалентна некоторойстационарной, то она эквивалентна и системе /> [3,с.24; 4, с.79]. Положив />, ииспользуя утверждение теоремы 5.1, мы построим нестационарную дифференциальнуюсистему, эквивалентную />.
Замечание 5.2 Особый интерес представляет построениенестационарных систем, эквивалентных хорошо исследованной стационарной. Приведёмпример такого построения. Как известно исследованию стационарныхдифференциальных систем посвящено огромное количество работ. Это объясняетсятем, что эти системы во многих отношениях являются более просто исследуемымичем неавтономные системы. Если различные дифференциальные системы имеют одну иту же отражающую функцию, то значит они имеют одно и то же отображение за периодв том случае, когда эти системы периодичны. При этом следует учитывать, чтокачественное поведение решений дифференциальных систем с одной и той жеотражающей функцией одинаково.
Рассмотрим дифференциальную систему
/> /> />
которая имеет, в зависимости от знака />, асимптотически устойчивыйили неустойчивый предельный цикл />.
Справедлива следующая
Теорема 5.2. Дифференциальная система
/> />
в которой
/>, />,
функции />, />непрерывные нечётные,вектор функции
/>, />,
где />
и функции /> и /> непрерывнодифференцируемы, имеет ту же отражающую функцию, что и система />.
Доказательство. Правую часть системы /> обозначим /> и положим
/>.
Проверим для указанного /> выполнениеравенства
/>.
Находим
/>
/>
/>
Здесь учтены равенства
/>
/>
/>
Аналогичным образом легко убедиться, что и /> является решениемуравнения
/>.
Действительно
/>
/>/>
В соответствии с теоремой 1 [5, с.1326] добавка к правойчасти системы /> слагаемых /> и /> не изменяет её отражающейфункции.
Теорема доказана.
Теорема 5.3. Пусть в системе /> функции /> и /> />периодичны. Тогда все решения этойсистемы, начинающиеся при /> на окружности />, являются />периодическими.Все остальные решения, кроме тривиального, при /> либо стремятся к одному изуказанных периодических, либо уходят от них в зависимости от знака />.
Замечание 5.3. Если правая часть системы представляетсобой многочлены от искомых функций и известен полиномиальный первый интегралтакой системы, то с помощью указанной теоремы легко строится система сполиномиальной правой частью степень многочленов которой выше, чем в исходнойсистеме. Следует отметить также и возможность решения обратной задачи. Примеррешения такого типа задачи приведём ниже.
Рассмотрим уравнения
/> />/> />
Здесь />нечётнаяфункция />.
Правую часть уравнения /> обозначим/>. Положим
/>
и подберём функции /> и/> так, чтобы функция /> удовлетворяла уравнению />, при этом учитываем, чтофункции /> и /> известны.
Лемма 5.1. Если функция /> удовлетворяет уравнению />, товыполняются равенства
/>
Доказательство: Вычислим />,/>, />. Получим
/>
Подставим полученные выражения в уравнение />, получим:
/>
Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковыхстепенях /> к />, получаем:
/> />
Выражая из первого, второго и третьего уравнений системы />, />, /> соответственно и умножаячетвёртое и пятое уравнения системы на /> получаемто, что требовалось доказать.
Лемма доказана.
Лемма 5.2. Пусть функции /> и /> обращаются в нуль лишь вотдельных точках, в которых функции /> доопределены до непрерывнойдифференцируемости. Тогда
/>, /> />
Доказательство: Рассмотрим более подробно четвёртоеуравнение системы />
/>
Или
/>
Поскольку по условию леммы />,то сократим обе части равенства на />. Получим:/>.
Поскольку /> ифункцию /> можно определить донепрерывно-дифференцируемой, то /> (этоследует из последнего равенства) удовлетворяет равенствам из условия леммы 5.1.
Аналогично, из пятого уравнения системы />
/>.
Лемма доказана.
Лемма 5.3. Пусть функция /> обращается в нуль лишь визолированных точках, в которых функции />, />, где функции />, /> определяется формулой />, доопределеныдо непрерывной дифференцируемости. Тогда
/> />
Доказательство: Рассмотрим равенство
/>
из условия леммы 5.1. Тогда
/>.
Поскольку />, то
/>.
Поскольку функция /> доопределенадо непрерывной дифференцируемости и /> полемме 5.2 непрерывно-дифференцируема, то /> задаваемаявыражением /> удовлетворяетравенствам из условия леммы 5.1.
Лемма доказана.
Теорема 5.4. Если функции /> и /> таковы, что выполняются условия
/> и
/>,
то уравнение
/>,
где /> - нечётнаяфункция, эквивалентно уравнению />.
Это следует из теоремы 2 [8]
Следствие 5.1.
Уравнение
/>
эквивалентно уравнению Риккати вида />, в котором
/>, />, />.§6. О некоторых аспектах применения отражающейфункции для исследования свойств решений дифференциальных систем
Рассмотрим систему
/> />
Лемма 6.1. Пусть />периодическая дифференциальнаясистема /> срешением /> иотражающей функцией /> эквивалентна в смысле совпаденияотражающих функций некоторой дифференциальной системе с решением /> и отражающей функцией />, причём имеетместо равенство />, а /> и /> продолжимы на />. Тогда для любогонатурального /> имеет место равенство
/>
Теорема 6.1. Пусть />периодическая дифференциальнаясистема /> срешением /> эквивалентнав смысле совпадения отражающих функций стационарной системе
/> />
с решением />. Ипусть выполняются следующие условия:
А) верно равенство
/> />
Б) /> ограничено на />;
В) существует число />,такое, что неравенство /> выполняетсядля всякого натурального />;
Г) все решения /> системы/>, для которых вернонеравенство />, продолжимы на />.
Тогда /> продолжимои ограничено на />.
Доказательство. Докажем сначала продолжимость решения/> на />. Это решение продолжимо на/>, что следует из условия Г),равенства /> и условия Б) (при />): />. Покажем, что решение /> продолжимо и на />. Заметим, что функция /> является решением системы /> и для него выполняютсясоотношения />, справедливость которыхследует из основного свойства отражающей функции. Тогда по условию теоремы /> продолжимо на />, т.е. /> действительно продолжимона />. Индукцией по /> доказывается, что /> продолжимо на />. В силу произвольности /> отсюда следует продолжимость/> на />.
Теперь докажем, что /> ограниченона />. Из продолжимости на /> тех решений /> системы />, для которых выполняетсянеравенство />, следует существованиечисла />, для которых выполняетсянеравенство /> для любого /> из />. Из леммы 6.1 вытекает,что /> для любого натурального />. Поэтому для /> справедливы соотношения />, и, значит, в своюочередь, имеют место соотношения /> при />.
Таким образом, для любого натурального /> имеет место неравенство,обозначающее ограниченность решения /> на />.
Теорема доказана.
Теорема 6.2. Пусть выполнены условия А), В), и Г) теоремы6.1, а решение /> системы /> является />периодическим и асимптотическиустойчивым (асимптотически неустойчивым). Тогда решение /> системы /> также />периодично иасимптотически устойчиво (асимптотически неустойчиво).
Доказательство. Пусть решение /> является />периодическим. Тогда верныравенства
/>,
т.е. />. Этоозначает, что /> являетсянеподвижной точкой отображения за период />.Откуда и следует />периодичностьрешения />.
Дальнейшее доказательство следует из факта совпаденияотображений /> и /> за период /> для двух рассматриваемыхсистем.
Теорема доказана.
Заключение
При изучении поставленных вопросов важную роль играетотображение за период (отображение Пуанкаре), для отыскание которого используютвспомогательные функции, названные отображающими функциями.
Отражающей функцией названа функция, позволяющая посостоянию системы x (t)в момент времени t найти состояние этойсистемы x (-t) вмомент времени (-t). Эта функцияприменена для качественного исследования неавтономных систем и, в частности,для решения вопросов существования и устойчивости периодическихдифференциальных систем.
Знание отражающей функции позволяет определить отображениеза период системы и, значит, найти начальные данные её периодических решений, атакже проверить их на устойчивость.
Основное соотношение
/>
позволяет найти отражающую функцию или установить еёструктуру. Даны необходимые и достаточные условия, того, чтобы перваякомпонента отражающей функции дифференциальной системы второго порядка не зависелаот второй компоненты.
Частным случаем этого результата являются необходимые идостаточные условия чётности первой компоненты любого решения рассматриваемойсистемы. Установлен вид отражающей функции при указанном условии.
Список используемых источников
1. 1. Красносемский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальныхуравнений. — М.: Наука, 1966 — 332 с.
2. 2. Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решенийдифференциальных уравнений. — Минск: Издательство БГУ имени В.И. Ленина. 1981 — 104 с.
3. 3. Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решениядифференциальных уравнений. -Минск, издательство «Университетское».1981 — 76 с.
4. 4. Мироненко В.И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальныхсистем. — Гомель:. 2004. — 196 с.
5. 5. Мироненко В.И. Возмущения дифференциальных систем, не изменяющиевременных симметрий. — Дифференц. уравнения, Т.40, №10, 2004. С.1325-1332 с.
6. 6. Богданов Ю.С. Лекции по дифференциальным уравнениям. Минск, 1977. — 191 с.
7. 7. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. М., 1979- 682 с.