Міністерствоосвіти і науки України
Закарпатськийдержавний університет
ІНСТИТУТІНФОРМАТИКИ
КАФЕДРАФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН
Реєстраційний№____
Дата______________
КУРСОВАРОБОТА
звищої математики
Тема:Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупністьрозв'язків.
Рекомендованодо захисту
“__”____________ 2006 р.
Роботазахищена
“__”____________ 2006 р.
зоцінкою
__________
Підписичленів комісії:
студентаII курсу
денноговідділення
П. І.Б.
Науковийкерівник
проф.П. І. Б.
Ужгород
Зміст
I. Вступ ______________________________________________________3
II. Теоретичний виклад матеріалу_________________________________4
1. Сумісністьлінійних алгебраїчних рівнянь _____________________4
2. Рангматриці ______________________________________________5
3. Фундаментальнасистема розв’язків __________________________7
4. Приклади розв’язаннязавдань _______________________________9
III. Висновок __________________________________________________14
Використана література______________________________________15
Вступ
Спочаткунам потрібно розглянути те, як виглядають системи лінійних одноріднихалгебраїчних рівнянь, ознайомитися з тими компонентами, які входять у цісистеми.
Отже,система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими в загальному випадку маєвигляд:
/>
(2.1)
Тутn і m — довільні натуральні числа, ніяк не пов'язані між собою; x1, x2,…,xn— невідомі величини; /> /> (коефіцієнти системи), /> (вільні члени)— довільні відомі числа.
Вцій роботі нас цікавитиме система, у якої всі вільні члени дорівнюють нулю.Тобто однорідна система до системи (2.1), яка має такий вигляд:
/> />
(2.2)
Вонабуде називається однорідною системою, відповідною до системи (2.1).
Системаж (2.1) називається неоднорідною, якщо /> (принаймні одне з чисел /> є відміннимвід нуля).
Розв'язкомсистеми (2.1)(системи (2.2)) називається така впорядкована система n чисел /> яка при підставленні всистему (2.1) (систему (2.2)) на місце невідомих /> відповідно, тобто замість />, підставляємо />, замість />, підставляємо /> і т. д., перетворює всірівняння системи (2.1) (системи (2.2)) в правильні рівності. Розв'язок /> записують увигляді n- вимірного вектора />.
Теоретичнийвиклад матеріалу
5. Сумісністьлінійних алгебраїчних рівнянь.
Будь-якасистема рівнянь називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв'язок, і— несумісною, якщо вона не має жодного розв'язку. При цьому сумісна системаназивається визначеною, якщо вона має тільки один розв'язок, і — невизначеною, якщовона має більше, ніж один розв'язок.
Двісистеми рівнянь називаються еквівалентними, якщо обидві вони несумісні, абоякщо обидві вони сумісні та мають одні й ті ж розв'язки. Системи лінійнихалгебраїчних рівнянь є еквівалентними, якщо вони одержуються одна з однієїшляхом застосування скінченної послідовності таких перетворень.
•переставляння місцями двох рівнянь системи (елементарне перетворення першогороду),
•додавання до якогось рівняння системи іншого рівняння цієї системи, помноженогона деяке число (елементарне перетворення другого роду).
Кожнійсистемі лінійних алгебраїчних рівнянь (2 1) чи (2.2) відповідає деяка матриця
/> (2.3)
їїназивають матрицею цієї системи. Для системи (2.1) можна виписати матрицю
/> (2.4)
Їїназивають розширеною матрицею системи (2.1).
Зіншого боку, кожну /> - матрицю можна розуміти якматрицю деякої системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими, а /> - матрицю якрозширену матрицю деякої неоднорідної системи m лінійних алгебраїчних рівнянь зn невідомими. Останнє зауваження означає, що система m лінійних алгебраїчнихрівнянь з n невідомими з точністю до позначень невідомих, задається своєюрозширеною /> -матрицею.
Неважкопомітити, що, проводячи елементарні перетворення першого і другого роду всистемі лінійних алгебраїчних рівнянь, ми маємо справу лише з коефіцієнтами приневідомих. Через це значно простіше виконувати елементарні перетворення,оперуючи не з самою системою, а лише з її розширеною матрицею. Таким чином,елементарні перетворення першого і другого роду над системами лінійнихалгебраїчних рівнянь з невідомими здійснюються, як перетворення відповідних їмматриць. При цьому переставлянню місцями двох рівнянь системи відповідає переставляннямісцями двох рядків матриці системи (елементарне перетворення першого роду), адодаванню до якогось рівняння системи іншого рівняння цієї системи, помноженогона деяке число, відповідає додавання до якогось рядка матриці системи іншого їїрядка, помноженого на деяке число (елементарне перетворення другого роду).
6. Рангматриці.
Нехай/> – систематаких n-вимірних векторів, що:
/>,
тобто/> — системавекторів-рядків матриці А. Цю систему можна впорядковувати різними способами.
Нехай/> — певним чиномвпорядкована система векторів-рядків матриці А. Вилучаючи з цієї системи ті вектори-рядкиматриці А, які лінійно виражаються через попередні, одержуємо лінійно незалежнупідсистему /> векторів-рядківматриці А.
Зрозуміло,що впорядковуючи різними способами систему векторів-рядків матриці А, ми будемоодержувати, загалом, різні лінійно незалежні підсистеми лінійно незалежнихвекторів-рядків матриці А. Спільним для всіх таких підсистем є кількістьвекторів-рядків матриці А, що входять до них. Власне, це число називається рангомсистеми векторів-рядків матриці А.
Означення.Рангом матриці Аназивається рангсистеми її векторів-рядків.
НехайА — довільна прямокутна /> матриця, k — таке натуральнечисло, що /> Зафіксуємов цій матриці k рядків і k стовпців. Не змінюючи взаємного розташуванняелементів матриці А, розташованих на перетині зафіксованих рядків і стовпців,складемо з них матрицю k-го порядку. Детермінант цієї матриці називається міноромk-го порядку матриці А.
Кажуть,що мінор r+1-го порядку матриці А обводить мінор 1-го порядку, якщо він міститьйого в собі повністю.
Теорема.Найвищий порядокr відмінних від нуля мінорів матриці А дорівнює рангу цієї матриці.
Наслідок1. Ранг системивекторів-рядків матриці А дорівнює рангові системи векторів-стовпців цієї матриці.
Наслідок2. Детермінантквадратної матриці дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли якийсь її рядок єлінійною комбінацією інших її рядків.
Длязнаходження рангу матриці А розмірності /> використовують такий алгоритм:
1)Якщо всі елементи матриці А дорівнюють нулю, тобто