/>/>/>/>/>/>/>п.1.Аксиоматическая система натуральных чисел.
Определение. Системой натуральных чисел (системойПеано) называется алгебра />, где /> — бинарные операции, /> — унарная операция(функция «следования»), /> — выделенный элемент в множестве />, для которойвыполнены следующие аксиомы:
Для />, /> (элемент /> называется следующим за />).
Для />, />, />.
/>, />.
Для />, />.
/>, />.
Для />, />.
Аксиома индукции: Пусть />. Если множество /> удовлетворяет условиям:
а) />;
б) для />, />;
то />.
Система аксиом Пеано обладает тем свойством, что ниодна из аксиом системы не является следствием других аксиом.
Из системы аксиом Пеано можно вывести все известныенам свойства натуральных чисел.
/>/>/>/>/>/>/>п.2.Теоремы математической индукции.
Теорема 1. (принцип полной математической индукции).Пусть />-одноместный предикат на />, который удовлетворяет условиям:
/> — истина.
/> (/> — истина ® />-истина).
Тогда предикат /> тождественно истинен на />.
Доказательство. Обозначим через /> множество всех тех />, для которых /> истина.Проверим, что /> удовлетворяет условиям аксиомыиндукции.
Т.к. /> — истина, то />.
Если />, то /> — истина и по второму условиютеоремы индукции /> — истина. Поэтому />.
Множество /> удовлетворяет условиям аксиомыиндукции. Поэтому />.
Обозначение. Множество целых чисел /> состоит из натуральныхчисел, нуля и чисел противоположных натуральным.
Для /> обозначим />.
Теорема 2. (обобщение принципа полной математическойиндукции). Пусть /> — одноместный предикат на />, где />, которыйудовлетворяет условиям:
/> — истина.
/> (/> — истина ®/>-истина).
Тогда предикат /> тождественно истинен на />.
Теорема 3. (сильная форма принципа полнойматематической индукции). Пусть /> — одноместный предикат на />, которыйудовлетворяет условиям:
/> — истина.
/> (/> — истины® />-истина).
Тогда предикат /> тождественно истинен на />.
Теорема 4. (обобщение сильной формы принципа полнойматематической индукции). Пусть /> — одноместный предикат на />, где />, которыйудовлетворяет условиям:
/> — истина.
/> (/> — истины ® />-истина).
Тогда предикат /> тождественно истинен на />.
/>/>/>Числа Фибоначчи
Определение. Числа Фибоначчи />, для />, определяются рекуррентно
(1) />, />;
/> для всех />.
Из определения чисел Фибоначчи следует, что
/>, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />.
Для вычисления чисел Фибоначчи справедлива следующаяформула Бине
(3) />, />.
Из (1) и (2) следует, что индукционное предположение,при доказательстве формулы Бине, должно предполагать справедливость (3) для /> и />, и значит,начальные условия должны требовать выполнение (3) для /> и />. Поэтому доказательство формулыБине может проводиться по следующей теореме математической индукции.
Теорема 5. Пусть /> — одноместный предикат на />, которыйудовлетворяет условиям:
/> — истины.
/> (/> — истины ® />-истина).
Тогда предикат /> тождественно истинен на />.
Проведём доказательство формулы Бине по теореме 5.
Для /> и /> равенство (3) принимает вид
/>, />.
Очевидно, что эти равенства верны.
Предположим, что равенство (3) истинно для чисел /> и />. Тогда из (2)следует, что
/>.
После простых преобразований правой части получим, что
/>
По индукции формула Бине доказана.
Теорема 6. Пусть /> — одноместный предикат на />, которыйудовлетворяет условиям:
/> — истина.
/> (/> — истины ® />-истина).
Тогда предикат /> тождественно истинен на />.
/>/>/>/>/>/>/>/>п.3. Основное свойство ассоциативных операций.
Теорема. Если бинарная операция /> на множестве /> ассоциативна,то /> /> при любойрасстановке скобок, задающих порядок выполнения операций /> в произведении /> значенияпроизведений будут одинаковыми, то есть значение произведения не зависит отспособа расстановки скобок.
Доказательство. Проводится индукцией по />. Проверим утверждениятеоремы для /> и/>.
Для /> — очевидно, так как порядоквыполнения операций единственен.
Для /> произведение /> может быть вычисленодвумя способами: /> или />. В силу ассоциативности /> — этипроизведения равны.
Предположим, что теорема доказана для всех чисел />, где />.
Докажем теорему для числа />. При любой расстановке скобок впроизведении />, такое произведение естьпроизведение двух скобок /> (1), где />. Внутри каждой скобки расставленысвои скобки. Так как в каждой скобке /> множителей, то по индукционномупредположению значение произведения в скобках не зависит от того, как в нихрасставлены скобки. Поэтому произведение (1) можно записать в виде /> />, применяязакон ассоциативности и индукцирования к множителям. Получим, что произведение(1) равно /> /> и так далеепродолжая, получим />, поэтому произведение (1) независит от способа расстановки скобок.
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическоепособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теориигрупп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры.– М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры.– М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основныеструктуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье –М.: Физмат лит-ра, 2001
Для подготовки данной работы были использованыматериалы с сайта referat.ru/
/>/>/>/>/>/>Группы. Примеры групп.Простейшие свойства групп. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Подгруппы
/>/>/>/>/>/>/>/>/>Даныопределения группы, абелевой, бесконечной, аддитивной, мультипликативной икоммутативной групп, гомоморфизмов и изоморфизмов групп, приведены примерыгрупп и их простейшие свойства с доказательствами.
п.1. Понятие группы.
Определение. Алгебра />, где /> — бинарная операция, /> — унарная операция, /> называетсягруппой, если выполнены 3 аксиомы:
/> — ассоциативно, то есть /> />.
Аксиома существования правого нейтрального элемента: /> />
Аксиома существования правого обратного элемента: /> />, /> — правый обратныйэлемент к />.
Определение. Группа /> называется коммутативной(абелевой), если операция /> коммутативна, то есть /> />.
Определение. Порядком группы /> называется число элементов вмножестве />,если />-конечное множество. Если /> — бесконечное множество, то группа/> называетсябесконечной./>/>/>/>
Аддитивная форма записи группы.
Определение. Алгебра />, где /> — бинарная операция, /> — унарнаяоперация, /> называетсяаддитивной группой, если выполнены аксиомы:
операция /> ассоциативна, то есть /> />
существование правого нейтрального элемента, то есть /> />
существование правого противоположного элемента, тоесть /> />
Определение. Группа называется абелевой, если операция/>-коммутативная операция, то есть /> />.
/>/>/>Мультипликативная формазаписи группы.
Определение. Алгебра />, где /> — бинарная операция, /> — унарная, /> называетсямультипликативной группой, если выполняются следующие аксиомы:
Операция умножения ассоциативна, то есть /> />.
Аксиома существования правого единичного элемента: /> />.
Аксиома существования правого обратного элемента: /> />.
Определение. Группа называется коммутативной, еслиоперация />-коммутативна, то есть /> />.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>п.2. Примеры групп.
/>/>/>Аддитивные группы.
1) Рассмотрим множество натуральных чисел и операции /> />. /> — бинарная операция намножестве /> (суммадвух натуральных чисел – натуральное число), /> — не является унарной операцией намножестве />,/> /> /> — не является алгеброй /> не группа.
2) />. /> — бинарная операция на множестве />, /> — унарная операцияна множестве />, /> /> /> является алгеброй. Проверимаксиомы аддитивной группы:
/> /> — выполняется по свойствам целыхчисел.
/> /> — выполняется по свойствам целыхчисел.
/> /> — выполняется по свойствам целыхчисел.
Значит, /> являются группой, абелева группа,так как /> бесконечнаягруппа называется аддитивной группой целых чисел.
3) />. /> — бинарная операция, /> — унарнаяоперация, /> /> /> является алгеброй.
/> /> — выполняется по свойствамдействительных чисел.
/> /> выполняется по свойствамдействительных чисел.
/> />.
Значит /> является группой, абелева группа,/> />, бесконечнаягруппа называется аддитивной группой действительных чисел.
4) />. /> /> не является алгеброй /> не являетсягруппой.
/>/>/>Мультипликативные группы.
1) />. />-бинарная операция на множестве />, /> — не является унарнойоперацией на множестве />, /> /> не является алгеброй /> не являетсягруппой.
2) /> не является алгеброй /> не являетсягруппой, так как /> не является унарной операцией.
3) />. /> — бинарная операция на множестве />, /> — не являетсяунарной операцией /> не является алгеброй /> не являетсягруппой.
4) />. /> — бинарная операция на множестве />, /> — унарнаяоперация на множестве />, />/> /> является алгеброй /> является группой, таккак аксиомы выполняются по свойствам рациональных чисел коммутативнаябесконечная группа называется мультипликативной группой не равных /> рациональныхчисел.
5) />. /> — бинарная операция на множестве />, /> — не являетсяунарной операцией на множестве />, /> /> не алгебра /> не группа.
6) Симметрическая группа множества />, где />. /> биекция. Рассмотрим />, где /> — бинарнаяоперация на множестве /> (по определению биекции), /> — унарнаяоперация на множестве />, /> (из определения тождественнойфункции и биекции) /> является алгеброй.
Проверим аксиомы групп:
/> — ассоциативная операция.
/> /> свойство />
/> /> свойство обратной функции /> - группа.
Если множество /> — конечное множество, то группа /> — конечнаягруппа и её порядок равен />. Если множество /> — бесконечное, то /> — бесконечнаягруппа. Если в множестве />элементов, то группа коммутативна.Группа /> называетсясимметричной группой множества />.
7) Группа вращений и симметрии правильноготреугольника.
/>/>I — группа вращений правильноготреугольника.
Под вращением треугольника понимается поворот, которыйвершины переводит в вершины.
/> тождественное вращение.
/> />
/>
Составим таблицу умножения (роль умножения выполняеткомпозиция)
/>
/>
/>
/>
/>
Из таблицы видим, что композиция элементов множества /> множеству />, значиткомпозиция – бинарная операция.
/> /> /> унарная операция на множестве />.
Тождественное вращение с />, тогда /> является алгеброй.
Проверим аксиомы группы:
Операция композиция ассоциативна на произведениемножеств, а значит, ассоциативна на множестве />.
/> /> по свойству тождественнойфункции.
/> /> по свойству обратной функции.
Значит, /> является группой, это конечнаягруппа третьего порядка, коммутативная группа (таблица симметрична относительноглавной диагонали).
II – группа вращений и симметрии правильноготреугольника.
/>/> /> />
/> /> />
Рассмотрим множество />
Рассмотрим />
Построим таблицу умножения (для операции композиции)
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> — бинарная операция.
/>/> /> унарная операция.
/>, значит /> — алгебра. Аксиомы группы намножестве выполняются.
Операция композиция не коммутативна (не симметрична) />
Конечная группа шестого порядка называется группойвращения и симметрии правильного треугольника.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>п.3.Простейшие свойства групп.
Пусть /> мультипликативная группа.
Свойства.
/> />, то есть правый обратный элемент /> является левымобратным элементом к />.
Доказательство. Левая часть равна /> />/> равна правой части.
/> /> то есть правый единичный являетсялевым единичным элементом.
Доказательство. Левая часть равна /> /> равна правой части.
/>, если />
Доказательство.
/>
/>
/> если />
Доказательство.
I способ:
/>/> />
II способ:
/>
I способ:
/>/>/>
II способ:
/> правый
То есть существует и единственен правый, существует иединственен левый обратный элементы.
/> если />
Доказательство.
а) />/>/>
б) />/>/>
То есть существует и единственен правый, существует иединственен левый единичные элементы.
/> />
Доказательство.
/>/>/>
/> />, /> имеют в группе единственноерешение.
Доказательство.
а) Проверим, что />решение уравнения />
Левая часть равна /> равна правой части.
Проверим, что решение единственно: пусть /> и /> - решенияуравнения />.Имеем />/>/>
б) Проверим что /> — решение уравнения />. Левая часть равна /> равна правойчасти.
Проверим, что решение уравнения единственно: Пусть /> и /> — два решенияуравнения />.Имеем />/>/>
/> />
Доказательство.
/>/>
/>/>/>/>/>/>/>/>/>п.4.Гомоморфизмы групп.
Определение. Гомоморфизмом группы /> в группу /> называетсяотображение /> такое,что:
/> />
/> />
/>
То есть /> сохраняет операции в группе />.
Определение. Гомоморфизмом группы /> в группу /> называетсяотображение /> такое,что:
/> />
/> />
/>
Определение. Гомоморфизмом группы /> в группу /> называетсяотображение /> такое,что:
/> />
/> />
/>
Определение. Гомоморфизмом группы /> в группу /> называетсяотображение /> такое,что:
/> />
/> />
/>
Пример.
Пусть />
Рассмотрим функцию />; />
Проверим, что /> — гомоморфизм:
1./>/>
2./>/>
3./>
Значит /> — гомоморфизм.
Пусть />.
Рассмотрим функцию /> /> и />.
Проверим:
1) /> />
2) /> />
3) />
Значит /> — гомоморфизм группы /> в группе />.
Теорема. Пусть />, /> — мультипликативные группы. Если /> и /> />, то /> — гомоморфизмгрупп.
Доказательство. Проверим, что /> обладает тремя свойствамиопределения гомоморфизма. Одно свойство дано в условии. Докажем, что />: /> />/>/>/>/>.
Докажем, что />: /> /> />/>
Значит /> — гомоморфизм групп.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>п.5.Изоморфизмы групп.
Пусть /> — мультипликативные группы.
Определение. Отображение /> называется изоморфизмом групп,если /> обладаетдвумя свойствами: /> — биекция и /> — гомоморфизм групп.
Если существует изоморфизм группы /> на />, то группы называютсяизоморфными.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>п.6. Подгруппы.
Определение. Пусть /> — мультипликативная группа, />, />. Говорят, чтомножество />-замкнуто относительно операции умножения, если /> />.
Говорят, что /> — замкнуто относительно операции />, если /> />.
Определение. Пусть /> — аддитивная группа, />, />.
Говорят, что /> — замкнуто относительно бинарнойоперации />,если /> />.
Говорят, что /> — замкнуто относительно операции />, если /> />.
Теорема. Пусть /> — мультипликативная группа, />, />.
Если /> — замкнуто относительно бинарнойоперации /> иунарной операции />, то /> — группа, которая называетсяподгруппой группы />.
Доказательство.
Так как /> — замкнуто относительно бинарнойоперации /> иунарной операции />, то /> — бинарная операция на множестве />, а /> — унарнаяоперация на множестве />.
Проверим, что />. Так как />, то />/>/> (так как операция /> — унарная операция).Имеем /> (таккак />-бинарная операция на множестве />) /> />. Проверено, что /> — алгебра.
Проверим, что /> — группа.
Все аксиомы группы на множестве /> выполнены, так как />. Поэтому /> — группа.
Пример.
Рассмотрим аддитивную группу целых чисел />, найдёмподгруппы этой группы. Из теории следует, что для того, чтобы найти подгруппу,необходимо найти />, замкнутое относительно операций /> и />.
Пусть />; /> — подгруппа.
/> /> — подгруппа (то есть сама группаявляется своей подгруппой)
/> — это множество не замкнутоотносительно операции />: />/>/> — не образует подгруппу.
Рассмотрим множество /> — множество целых чётных чисел(делящихся на целое число 2). Множество /> — замкнуто/>/> — подгруппа аддитивной группыцелых чисел.
Рассмотрим /> — множество целых чисел, кратныхчислу 3. Это множество замкнуто относительно операций /> и />, значит /> — подгруппа аддитивной группыцелых чисел.
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики.Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теориигрупп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры.– М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры.– М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основныеструктуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье –М.: Физмат лит-ра, 2001
Для подготовки данной работы были использованыматериалы с сайта referat.ru/