Задание 1
Районнойадминистрацией принято решение о газификации одного из сёл района, имеющего 25жилых домов. Разработать такой план газификации села, чтобы общая длиннатрубопроводов была наименьшей. Проанализировать решение задачи на единственность.В случае не единственности решения найти все решения и доказать, что другихнет.
Выберемнаикротчайшие пути между узлами. Из расчёта моего варианта, по условию задачи,газификацию в селе нужно начинать с дома под номером 20.
А24=40 переходим к дому (12). А23=90 переходим к дому (18) А27=60 переходим к дому (17). А28=40 переходим к дому (13) А34=70 переходим к дому (22). А38=70 переходим к дому (21) А39=90 переходим к дому (25). А20=100 переходим к дому (19) А29=160 переходим к дому (16). А45=110 переходим к дому (14) А14=30 переходим к дому (9). А16=30 переходим к дому (10) А13=100 переходим к дому (8). А43=100 переходим к дому (7) А15=30 переходим к дому (15). А12=80 переходим к дому (2) А2=80 переходим к дому (3). А5=120 переходим к дому (4) А7=60 переходим к дому (5). А4=100 переходим к дому (1) А19=180 переходим к дому (11). А42=210 переходим к дому (24) А32=410 переходим к дому (23). А11=220 переходим к дому (6)
Находим общую протяжённостьтрубопровода:
40+90+60+40+70+70+90+100+160+110+30+30+100+100+30+80+80+120+60+100+180+210+410+220= 2610 метров.
На рисункепоказан самый экономичный вариант газификации села начиная с дома №20.
/>
Задание 2
Транспортномупредприятию требуется перевезти груз из одно пункта в другой. Нужно определитьмаршрут доставки груза, которому соответствуют наименьшие затраты. Из расчётамоего варианта, по условию задачи, доставить груз нужно из пункта 20 в пункт 1.Ограничим транспортную сеть до пунктов, стоимость перевозки которых к пунктуназначения, наиболее дешевая. В результате получим сеть:
/>
Введемобозначения:
аk – стоимость перевозкиединицы груза между отдельными пунктами;
Uj – наиболее дешеваяперевозка между узлами i и j, U18 = 0.
Формула длявычисления Uj:
/>
Из формулы следует,что наиболее дешевую перевозку Uj до узла j можно вычислить лишь после того, как определена наиболее дешеваяперевозка до каждого предыдущего узла i, соединенного дугой с узломj. Процедуразавершается, когда получено Ui последнего звена.
Начнемопределять наименьшие затраты с пунктов, стоимость перевозки к которым, отисходного пункта, наиболее дешевая.
1.U20 = 0;
2. U12 = U20 +ак = 0 + 40 = 40;
3. U19 = U20 + ак = 0 + 170 = 170;
4. U12 = min {U20 + a24; U19 + a20} = min{40; 270} = 40;
5. U19 = min {U20 + a25; U12 + a20} = min{170; 140} = 140;
6. U10 = U12 +а21 = 40 + 440= 480;
7. U11 = U19 + а19 = 140 +180 = 320;
8. U11 = min {U19 + a19; U10 + a18} = min {320;830} = 320;
9. U10 = min {U12 + a21; U11 + a18} = min {480;670} = 480;
10. U5 = U10 +а9 = 480 + 150 = 630;
11. U4 = U11 + а17 = 320 +530 = 850;
12. U4 = min {U11 + a17; U5 + a7} = min {850; 690} =690;
13. U5 = min {U10 + a9; U4 + a7} = min {630; 750} =630;
14. U3 = min {U5 + a6; U4 + a5} = min {990; 810} =810;
15. U1 = min {U4 + a4; U3 + a3} = min {790; 1040} =790.
Такимобразом из расчетов видно, что минимальные затраты перевозки груза между узлами20 и 1 равны 790, а соответствующий маршрут c наименьшими затратами будет:
/>
20 – 12 – 10 – 5 – 4 – 1 + 40+440+150+60+100= 790
Задание 3
Предприятиерешило для улучшения финансового состояния наладить выпуск конкурентноспособной продукции. Ожидается, что производительность после новой линиисоставит 20 т продукции в смену. Прибыль от реализации 1 т продукции составит0,5 тыс. руб. в смену. Деньги на покупку и переоборудование участка в размере 2млн. руб. взяты в банке под 20% годовых из расчёта 1,5 млн. руб. на закупкуоборудования и 0,5 млн. руб. на работы по демонтажу старого оборудования иустановку нового оборудования. Определить, через какое время может бытьвозвращён кредит в банк. Затраты на проведение работ в нормальном имаксимальном режимах указаны в таблице.Работа Нормальный режим Максимальный режим Продолжительность дн. Затраты Продолжительность дн. Затраты
1
2
3
4
5
6
7
40
50
50
70
80
40
30
20
30
30
70
70
20
20
35
35
40
50
65
35
17
30
50
40
100
80
25
25
1. Составим график проведения работ по пуску новой линии.
/>
Напереоборудование цеха необходимо: 40+50+50+70+80+40+30 = 360 дней.
2. Графикможно улучшить, выполняя некоторые работы параллельно. Получим график:
/>
На этом графике обозначены работы:
(0;1) — подготовка технического задания;
(1;2) — заказ и поставка нового оборудования;
(1;3) – заказ и поставка нового электрооборудования;
(2;4) – установка нового оборудования;
(3;4) – установка нового электрооборудования;
(1;4) – переобучение персонала;
(4;5) – сдача в эксплуатацию новой линии.
По графику, путь (0;1), (1;2), (2;4), (4;5) имеетпродолжительность: 40+50+70+30 = 190 дней.
По графику, путь (0;1), (1;3), (3;4), (4;5) имеетпродолжительность: 40+50+80+30 = 200 дней.
По графику, путь (0;1), (1;4), (4;5) имеет продолжительность:40+40+30 = 110 дней.
Критическим путём графика является путь, на котором находятсяработы: (0;1), (1;3), (3;4), (4;5).
График улучшается на 360 – 200 = 160 дней.
Определим, через какое время после начала выпуска продукциивозвращаем кредит в банк.
Через 200 дней после начала работ предприятие истратит 1500 т.руб. на приобретение оборудования и 265 т. руб. на его установку и сдачу вэксплуатацию.
В наличии у предприятия останется: 2000-1500-260 = 240 т. руб. откредита.
Построим график изменения кредита в зависимости от времениполучения прибыли предприятия от выпуска продукции.
/>
С (200;240) D (300;1240) А (0;2000) В (360;2400).
Дляпостроения графика изменения кредита в зависимости от времени, составимуравнение. Через 360 дней после выдачи банком кредита под 20% годовых, долгпредприятия составит 2400 т. руб. Поэтому известны две точки этой прямой: А (0;2000)В (360;2400).
Согласно уравнению прямой,проходящей через две точки:
(у – уА) / (уВ– уА) = (х – хА) / (хВ – хА),
(у – 2000) / (2400 – 2000) =(х – 0) / (360 – 0).
Решая уравнение получим:
(у – 2000) / 400 = х) / 360;
400х = 360 (у – 2000);
400х – 360у + 720000 = 0/ 40;
10х – 9у + 18000 = 0.
Найдёмуравнение прибыли предприятия. Известно, что через 200 дней после начала работу предприятия осталось от кредита 240 т. руб. Через 100 дней после началавыпуска продукции предприятие получит прибыль: 0,5 т.р. *20 тонн *100 дней =1000 т. руб. У предприятия будет в наличии: 1000+240 = 1240 т. руб.
Такимобразом, для нахождения уравнения прибыли имеем две точки: С (200;240) D (300;1240).
(у – уС) / (уD – уC) = (х – хC) / (хD– хC);
(у – 240) / (1240 – 240)= (х – 200) / (300– 200);
(у – 240) / 1000 = (х – 200)/ 100;
1000 (х – 200) =100 (у – 240);
1000х – 200000 = 100у –24000;
1000х – 100у – 176000 = 0 /:100;
10х – у – 1760 = 0.
Определим время, когдакредит может быть возвращён в банк. Для этого составим систему уравнений:
/> 10х – 9у + 18000 = 0
10х – у – 1760 = 0
— 8у + 19760 = 0 10х – 2470– 1760 = 0
-8у = 19760 10х = 4230
у = 2470 т.р. х = 423 день.
3. Графиквыполнения работ может быть сжат за счёт выполнения некоторых операций вмаксимально интенсивном режиме. Учитывая наклоны кривой, производим сжатие операций (0;1), (2;4), (3;4), (4;5), получим сетевой график.
/>
Новый график имеет пути:
(0;1), (1;2), (2;4), (4;5) –152 дня;
(0;1), (1;3), (3;4), (4;5) –152 дня;
(0;1), (1;4), (4;5) – 92 дня.
Такимобразом, критический путь сокращён с 200 до 152 дней, а это значит, чтопредприятие начнёт производить продукцию через 152 дня после начала работ.Определим, сколько предприятию придётся заплатить за уменьшение критическогопути:
(0,1) 30 – 20 = 10 т.р. (3,4)80 – 70 = 10 т.р.
(1,2) 50 – 30 = 20 т.р. (4,5)25 – 20 = 5 т.р.
(2,4) 100 – 70 = 30 т.р.
Такимобразом, сжатие работ обойдётся предприятию в: 10 + 20 + 30 + 10 + 5 = 75 т.руб.
Графикизменения кредита в зависимости от времени определяет уравнение: 10х – 9у +18000 = 0.
Найдёмуравнение прибыли. Через 152 дня после начала работ у предприятия осталось откредита: 2000 – 1500 – 260 – 75 = 155 т. руб.
Через 100дней после начала выпуска продукции предприятие получит прибыль: 20 т. руб. *0,5 т. руб. * 100 дн. = 1000 тыс. руб., и у него будет в наличии 1000 + 155 =1155 т. руб.
Таким образом,для нахождения уравнения прибыли предприятия имеем две точки: С (152;155) D (252;1155).
Согласноуравнению прямой, проходящей через 2 точки, получим:
(у – уС)/ (уD – уC) = (х – хC) / (хD– хC),
(у – 155) / (1155 – 155)= (х – 152) / (252– 152);
(у – 155) / 1000 = (х – 152)/ 100;
1000 (х – 152) = 100 (у –155);
1000х – 152000 = 100у – 15500/: 100.
Составляем системууравнений:
/>10х – у – 1365 = 0 у = 10х – 1365;
10х – 9у + 18000 = 0 10х — 9(10х – 1365) + 18000 = 0;
10х – 90х + 12285 + 18000 =0.
-80х + 30285 = 0;
-80х = 30285 у = 3780-1365;
х = 378 дней у = 2415 т.руб.
Такимобразом, через 378 дней предприятие может вернуть кредит в банк. По сравнению спредыдущим случаем предприятие вернёт в банк деньги раньше на 423–378 = 45дней. При нормальном режиме работ критический путь составляет 200 дней,стоимость работ 260 т. руб. При максимальном режиме критический путь уменьшитсядо 152 дней, минимальная стоимость работ составит: 260 + 75 = 335 т. руб.