Министерство образованияРеспублики Беларусь
Учреждение образованияГомельский государственный университет имени Франциска Скорины
Курсовая работа
«Семейства решений спостоянной четной частью»
Гомель, 2005
Реферат
В даннойкурсовой работе 17 листов. Работа состоит из пяти разделов. Ключевые слова: ДУ,решение, система, общее решение, четность, функция.
В работесодержится исследование семейства решений линейной системы. Выясняется связьсемейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Устанавливаютсяусловия, при которых линейная система имеет общее решение, четная частькоторого не зависит от времени.
Библиография– 5 названий.
Содержание
Введение
1. Определение и свойстваотражающей функции
2. Простейшая система
3. Система чет-нечет
4. Примеры систем,семейства решений которых имеют постоянную четную часть
5. Семейства решений спостоянной четной частью
Заключение
Литература
Введение
Основныминструментом нашего исследования является понятие «отражающей функции».
При изучениивопросов существования периодических решений дифференциальных систем иуравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.)как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.
В даннойработе мы будем изучать семейства решений с постоянной четной частью, когдачетная часть будет представлена в виде константы.
Исследованияс помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для ужехорошо изученных линейных систем.
1.Определение и свойства отражающей функции
Рассмотрим систему
/>/>, (1.1)
считая, чтоеё правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по />. Общее решение этойсистемы в форме Коши обозначим через />. Через /> обозначим интервалсуществования решения />
Пусть
/>.
Определение:Отражающейфункцией системы (1.1) назовем дифференцируемую функцию />, определяемую формулой /> (*) или формулами />.
Дляотражающей функции справедливы свойства:
1). Длялюбого решения />, системы /> верно тождество
/>; (1.2)
2). Дляотображающей функции /> любой системывыполнены тождества:
/>; (1.3)
3).Дифференцируемая функция /> будетотражающей функцией системы (1.1)тогда и только тогда, когда онаудовлетворяет уравнениям в частных производных
/> (1.4)
и начальномуусловию
/>. (1.5)
Уравнение (1.4)будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающейфункции.
► Свойство1) следует непосредственно из определения (*). Для доказательствасвойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения /> системы (1) вернытождества />. Из этих тождеств в силутого, что через каждую точку /> проходитнекоторое решение /> системы (1.1), иследуют тождества (1.3).
Приступим кдоказательству свойства 3). Пусть /> – отражающаяфункция системы (1.1). Тогда для неё верно тождество (1.2). Продифференцируемэто тождество по /> и воспользуемсятем, что /> – решение системы (1.1), исамим тождеством (1.2). Получим тождество
/>
из которого всилу произвольности решения /> следует,что /> – решение системы (1.4).Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.
Пустьнекоторая функция /> удовлетворяетсистеме (1.4) и условию (1.5). Так как этой системе и этому условиюудовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи(1.4) – (1.5) функция /> должна совпадатьс отражающей функцией. Свойство 3) доказано.
Основнаялемма.Пусть правая часть системы (1.1) /> – периодичнапо />, непрерывна и имеетнепрерывные частные производные по переменным />.Тогда отображение за период для системы (1.1) можно найти по формуле
/>,
и поэтомурешение /> системы (1.1) будет /> – периодическим тогда итолько тогда, когда /> есть решениенедифференциальной системы
/> (1.6)
В качествеследствия этой леммы докажем следующее предположение. Пусть непрерывнодифференцируемая функция /> /> – периодична и нечетна по />, т. е. /> и />. Тогда всякое продолжениена отрезок /> решение системы (1.1)будет /> – периодическим и четнымпо />.
Длядоказательства достаточно заметить, что функция /> удовлетворяетуравнению (1.4) и условию (1.5). Поэтому она согласно свойству 3) являетсяотражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение (1.6) в нашем случаевырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое />,для которого определено значение />.Согласно основной лемме любое продолжимое на /> решениесистемы (1.1) будет /> – периодическим.Четность произвольного решения /> системы(1.1) следует из тождеств />,справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.
2.Простейшая система
Простейшейназывают систему вида
/> (2.1),
где /> – отражающаяфункция этой системы.
Теорема: Пусть /> (2.2) простейшаясистема, тогда />, где /> — отражающая функциясистемы (2.2).
Если системапростейшая,
/>;
/>.
Замечание. Доказанная теоремапозволяет нам определять, является данная нам система (2.2.) простейшей илинет. Для этого следует по системе (2.2.) записать соотношение (2.3.), изнего определить функцию />,обладающую свойством /> и для неёпроверить все соотношения. Если соотношения выполнены, то система простейшая.
3. Системачет-нечет
Рассмотримсистему
/> (3.1)
Будемсчитать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:
а.) Функция /> непрерывнодифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы (3.1) имеет единственноерешение;
б.) Правая часть системы(3.1) /> – периодична по />.
Лемма. Пусть система (3.1)удовлетворяет условиям а). и б). Тогда продолжимое на отрезок /> решение /> этой системы будет /> – периодическим тогда итолько тогда, когда
/>,
где /> – есть нечетная частьрешения />.
Пусть /> – /> – периодическое решениесистемы (3.1). Тогда />. Необходимостьдоказана.
Пусть /> – решение системы (3.1),для которого />. Тогда /> , и поэтому />. Таким образом, точка /> есть неподвижная точкаотображения за период, а решение /> – /> – периодическое.
Доказаннаялемма вопрос о периодичности решения />,сводит к вычислению одного из значений нечетной части/>. Иногда относительно /> можно сказать больше, чемо самом решении />. Это позволяет втаких случаях делать различные заключения относительно существованияпериодических решений у систем вида (3.1).Дифференцируемые функции />; />, удовлетворяют некоторойсистеме дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим:
/> (3.2)
Так как /> решение системы (3.1). Заменяяв тождестве (3.2) /> на /> и учитывая, чтопроизводная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции –функция четная, получаем тождество
/> (3.3)
Из тождеств (3.2)и (3.3) найдем производные:
/>;
/>.
Таким образом,вектор-функция
/> (3.4)
Удовлетворяетследующей системе дифференциальных уравнений порядка
/>: />;
/>
При этом />. Систему (3.5) будемназывать системой чет-нечет, соответствующей системе (3.1) решение системычет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальнымиусловиями.
4. Примерысистем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть
1/>. />
Найдемрешение:
/>;
/>;
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> /> />
Такимобразом: />
Сделаемпроверку: />
/>; />
Четная частьобщего решения: />/>
2/>./>
Найдемрешение:
/> />
/>
/>
/>
/>
/>
/> />/>/> /> /> /> />
/>
Такимобразом: />
Сделаемпроверку: />;
/>;/>, четная часть общегорешения />
3/>. />
Найдемрешение:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> />
/> />.
Сделаемпроверку:
/>/>/>/>/>/>
/>
/>/>
/>
/>
/>
/> Таким образом: /> Четная часть общегорешения
/>
Из данныхпримеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:
/>
где /> и /> – нечетные функции, ачетная часть представлена константой.
/>
/> />
/> (4.1)
Системы вида(4.1) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью.
5.Семейства решений с постоянной четной частью
Рассмотримсистему
/> (5.1)
Надовыяснить, когда и при каких условиях семейства решений этой системы будут иметьпостоянную четную часть />. Иначеговоря, когда /> не будетзависеть от />.
Рассмотримуравнение />. Его решение
/>/>.
Возьмем отражающуюфункцию /> системы (5.1), тогда,используя (1.2) можем записать четную часть следующим образом:
/> (5.2)
Если четнаячасть будет представлена константой, то
/>. (5.3)
Продифференцируем(5.2) и прировняем к (5.3). Получаем: />. Учитывая (5.1),имеем:
/>.
Воспользуемсясоотношением (1.4)
/> />
/> (5.4)
Таким образом,приходим к теореме:
Теорема: Еслисистема вида /> (5.1)имеетсемейства решений с постоянной четной частью, то выполнено тождество
/> (5.4)
Заключение
Мыисследовали понятие «отражающей функции».
Дляпериодических решений дифференциальных систем и уравнений были использованысвойства симметричности (четность, нечетность и т.д.) как функций, задающихизучаемую систему, так и самих решений.
Были изученысемейства решений с постоянной четной частью.
На примерахмы убедились, что для различных систем, семейства решений которых имеетпостоянную четную часть, была получена одинаковая четная часть общего решения.
Такимобразом, в работе мы исследовали семейства решений линейной системы. Выяснили связьсемейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Установилиусловия, при которых линейная система имеет общее решение, четная частькоторого не зависит от времени.
Литература
1. Арнольд В.И.«Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1971–240 с.
2. Бибиков Ю.Н. «Общийкурс дифференциальных уравнений», изд. Ленинградского университета, 1981–232 с.
3. Еругин Н.П. «Книгадля чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание», М. изд.Наука и Техника, 1979–744 с.
4. Мироненко В.И.«Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений», г. Минск:изд. «Университетское», 1986–76 с.
5. Понтрягин Л.С.«Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1970–331 с.