МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет имениФранциска Скорины»
Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии
Допущена к защите
Зав. кафедрой Шеметков Л.А.
" " 2005г.
Дипломная работа
Свойство централизаторов конгруэнций универсальныхалгебр
Исполнитель
студентка группы М-51
Шутова И.Н.
Руководитель
Д., ф-м н., профессор Монахов В.С.
Гомель 2005
Содержание
Введение
1.Основные определения и используемые результаты
2.Свойство централизаторов универсальных алгебр
3.Мультикольцо
Заключение
Списокиспользованных источников
Введение
Втеории формаций конечных групп, мультиколец и многих других алгебраическихсистем исключительно важную роль играют такие понятия, как локальные экраны,локальные формации, основанные на определении центральных рядов. Впервыепонятие централизуемости конгруэнций было введено Смитом в работе [5].Возникает задача согласованности определения централизуемости Смита сопределением в группах и мультикольцах.Такая задача была решена в указаннойработе Смита [5], где было показано: нормальная подгруппа /> группы /> централизует подгруппу /> тогда и толькотогда, когда конгруэнции, индуцированные этими нормальными подгруппами,централизуют друг друга в смысле Смита.
Возникаетследующий вопрос: справедливо ли аналогичное утверждение для мультиколец, т.е.будут ли выполнятся свойства централизуемости, изложенные в работе [3], дляуниверсальных алгебр.
Внастоящей дипломной работе решается задача взаимосвязи структуры мультиколец иуниверсальных алгебр, получен новый результат: идеал /> тогда и только тогдацентрализуется идеалом />, когда соответствующие этимидеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.
Дипломнаяработа включает в себя введение, три параграфа и список литературы из 10наименований.
Перейдемк краткому изложению содержания дипломной работы.
Раздел1 является вспомогательным и включает в себя все необходимые определения ииспользуемые результаты.
Раздел2 носит реферативный характер. Здесь приводятся свойства централизаторовконгруэнций, доказательства которых изложены в работах [5, 6, 7].
Раздел3 является основным. Здесь вводится определение мультикольца, определениеидеала мультикольца, определение централизатора идеала и с использованиемданных определений доказывается основной результат работы (теоремы 3.4. и 3.5).
1.Основные определения и используемые результаты
Определение1.1.[1] Универсальной алгеброй, или, короче, алгеброй называется пара />, где /> - непустоемножество, /> -(возможно пустое) множество операций на />.
Определение1.2.[1] Конгруэнцией на универсальной алгебре /> называется всякое отношениеэквивалентности на />, являющееся подалгеброй алгебры />.
Определение1.3.[1] Если /> и/> - алгебрысигнатуры />,то отображение /> называется гомоморфизмом, еслидля любой />-арнойоперации /> илюбых элементов /> выполняется равенство:
/>
Взаимнооднозначный гомоморфизм называется изоморфизмом.
Теорема1.1.[1] Пусть /> -гомоморфизм универсальных алгебр, тогда множество
/>
являетсяконгруэнцией на алгебре /> и называется ядром гомоморфизма />
Теорема1.2.[1] Пусть /> -гомоморфное наложение, тогда />.
Теорема1.3.[1] Пусть /> -конгруэнции на алгебре /> и />, тогда />.
Определение1.4.[2] Непустой абстрактный класс алгебр /> сигнатуры /> называется многообразием,если /> замкнутотносительно подалгебр и прямых произведений.
Многообразие/> называетсямальцевским, если конгруэнции любой алгебры из /> попарно перестановочны.
Теорема1.4.[2] Конгруэнции любой алгебры многообразия /> попарно перестановочны тогда итолько тогда, когда существует термальная операция />, что во всех алгебрах из /> справедливытождества
/>
Определение1.5.[3] Пусть /> и/> - факторыалгебры />.Тогда они называются:
1)перспективными, если либо /> и />, либо /> и />;
2)проективными, если в /> найдутся такие факторы />, что длялюбого /> факторы/> и /> перспективны.
Теорема1.5.[4] Между факторами произвольных двух главных рядов алгебры />, принадлежащеймальцевскому многообразию, можно установить такое взаимно однозначноесоответствие, при котором соответствующие факторы проективны и централизаторы в/> равны.
Теорема1.6.[2] (Лемма Цорна). Если верхний конус любой цепи частично упорядоченногомножества /> непуст, то /> содержитмаксимальные элементы.
2.Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
Подтермином ``алгебра'' в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Всерассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевскоемногообразие />. Используются определения иобозначения из работы [1]. Дополнительно отметим, что конгруэнции произвольнойалгебры обозначаются греческими буквами. Если /> - конгруэнция на алгебре />, то /> - классэквивалентности алгебры /> по конгруэнции />, /> - факторалгебра алгебры/> поконгруэнции />.Если /> и /> - конгруэнциина алгебре />,/>, токонгруэнцию /> наалгебре /> назовемфактором на />.Очевидно, что /> тогда и только тогда, когда />. /> или /> и /> или /> -соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры />.
Будемпользоваться следующим определением централизуемости конгруэнций, эквивалентностькоторого определению Смита [5] доказана в работе [6].
Определение2.1.Пусть /> и /> - конгруэнциина алгебре />.Тогда /> централизует/> (записывается:/>), если на/> существуеттакая конгруэнция />, что:
1)из /> всегдаследует />;
2)для любого элемента /> всегда выполняется
/>
3)если />, то/>.
Следующиесвойства централизуемости, полученные Смитом [5], сформулируем в виде леммы.
Лемма2.1.Пусть />.Тогда:
/> существуетединственная конгруэнция />, удовлетворяющая определению 2.1;
/> />;
/> если />, то />.
Излеммы 2.1 и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции /> на алгебре /> существуеттакая единственная наибольшая конгруэнция />, что />. Эту конгруэнцию /> будем называть централизаторомконгруэнции /> в/> иобозначать />.
Лемма2.2.Пусть /> -конгруэнции на алгебре />, />, />, />. Тогда справедливы следующиеутверждения:
/> />;
/> />, где />;
/> если, />, либо
/>, либо
/>, то всегда />;
/> из /> всегдаследует />.
Доказательство.1).Очевидно, что /> - конгруэнция на />, удовлетворяющаяопределению 1. Значит, в силу п.1) леммы 2.1 />.
2)./> -конгруэнция на />, удовлетворяющая определению 2.1.Значит, />.
3).Пусть />.Тогда
/>
/>
Применимк последним трем соотношениям мальцевский оператор /> такой, что />, для любых элементов />. Тогда получим
/>
Аналогичнымобразом доказываются остальные случаи п.3).
4).Пусть />.Тогда справедливы следующие соотношения:
/>
/>
/>
Следовательно,/>, где /> - мальцевскийоператор. Тогда />, т.е. />. Так как /> и />, то />. Таким образом />. Леммадоказана.
Вдальнейшем мы будем часто ссылаться на следующий хорошо известный факт(доказательство см., например [6]).
Лемма2.3.Любая подалгебра алгебры />, содержащая конгруэнцию />, являетсяконгруэнцией на />.
Доказательствоследующего результата работы [5] содержит пробел (следствие 224 [5] неверно,см. [7]), поэтому докажем его.
Лемма2.4.Пусть />.Тогда для любой конгруэнции /> на />
/>
Доказательство.Обозначим /> иопределим на алгебре /> бинарное отношение /> следующим образом:
/>
тогдаи только тогда, когда />, где />, />. Используя лемму 2.3, нетруднопоказать, что /> - конгруэнция на алгебре />, причем />.
Пусть/>, т.е. />, />. Тогда /> и, значит, />.
Пусть,наконец, имеет место /> и />. Тогда справедливы следующиесоотношения:
/>
/>
/>
Применяямальцевский оператор /> к этим трем соотношениям,получаем: />.Из леммы 2.2 следует, что />. Так как /> и />, то />. Значит, />. Но />, следовательно, />. Итак, /> иудовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма2.5.Пусть /> и /> - конгруэнциина алгебре />,/> и /> - изоморфизм,определенный на />. Тогда для любого элемента /> отображение /> определяетизоморфизм алгебры /> на алгебру />, при котором />. В частности, />.
Доказательство.Очевидно, что /> - изоморфизм алгебры /> на алгебру />, при которомконгруэнции />,/> изоморфнысоответственно конгруэнциям /> и />. Так как />, то определена конгруэнция />,удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм /> алгебры /> на алгебру /> индуцирует в своюочередь изоморфизм /> алгебры /> на алгебру /> такой, что /> для любыхэлементов /> и/>,принадлежащих />. Но тогда легко проверить, что /> - конгруэнцияна алгебре /> изоморфнаяконгруэнции />.Это и означает, что />. Лемма доказана.
Если/> и /> - факторы наалгебре /> такие,что />, токонгруэнцию /> обозначимчерез /> иназовем централизатором фактора /> в />.
Напомним,что факторы /> и/> наалгебре /> называютсяперспективными, если либо /> и />, либо /> и />.
Докажемосновные свойства централизаторов конгруэнций.
Теорема2.1.Пусть /> -конгруэнции на алгебре />. Тогда:
/> если />, то />;
/> если />, то />;
/>;
/> если />, /> и факторы />, /> перспективны,то
/>
/> если /> - конгруэнциина /> и />, то
/>
Доказательство.1).Так как конгруэнция /> централизует любую конгруэнцию и />, то />.
2).Из п.1) леммы 2.2 следует, что />, а в силу леммы 2.4 получаем, что/>.
Пусть/> -изоморфизм />.Обозначим
/>
Полемме 2.5 />,а по определению
/>
Следовательно,/>.
3).Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнций /> и /> на алгебре /> имеет месторавенство:
/>
Покажемвначале, что
/>
Обозначим/>. Тогда,согласно определения 2.1, на алгебре /> существует такая конгруэнция />, чтовыполняются следующие свойства:
а)если />, то/>;
б)для любого элемента />, />;
в)если /> и />, то />.
Построимбинарное отношение /> на алгебре /> следующим образом:
/>
тогдаи только тогда, когда /> и />, />. Покажем, что /> - конгруэнция на />. Пусть />, />. Тогда /> и />, />. Так как /> - конгруэнция,то для любой />-арной операции /> имеем:
/>
Очевидно,что (/>, /> и />, />.Следовательно, />. Очевидно, что для любой пары />. Значит, />. Итак, полемме 2.3, /> -конгруэнция на />. Покажем теперь, что /> удовлетворяетопределению 2.1, т.е. /> централизует />.
Пусть
/>
Тогда/> и />. Так как />, /> и />, то />.Следовательно, /> удовлетворяет определению 2.1.
Если/>, то />, значит,
/>
Пусть,наконец, имеет место (1) и
/>
Тогда/>. Так как /> и />, то />,следовательно, />. Из (2) следует, что />, а по условию />. Значит, /> и поэтому />. Тем самымпоказано, что конгруэнция /> удовлетворяет определению 2.1,т.е. /> централизует/>. Докажемобратное включение. Пусть />. Тогда на алгебре /> определена конгруэнция />,удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение /> на алгебре /> следующимобразом:
/>
тогдаи только тогда, когда
/>
и/>, />. Аналогично,как и выше, нетрудно показать, что /> - конгруэнция на алгебре />. Заметим, чтоиз доказанного включения /> следует, что />. Покажем поэтому, что /> централизует />. Так как />, /> и />, то />, т.е. /> удовлетворяетусловию 1) определения 2.1.
Если/>, то />,следовательно, />.
Пустьимеет место (3) и />. Так как />, />, то /> и />. Из (4) следует, что />,следовательно, />, т.е. />. На основании леммы 2.2заключаем, что />. Следовательно, />. Но так как />, то />, т.е. />.
4)Обозначим />.Пусть /> иудовлетворяет определению 2.1. Определим бинарное отношение /> на /> следующим образом /> тогда итолько тогда, когда />. Аналогично, как и выше, нетруднопоказать, что /> - конгруэнция, удовлетворяющаяопределению 2.1. Это и означает, что />. Теорема доказана.
Какследствие, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторовв группах и мультикольцах.
3Мультикольцо
Согласно[2] алгебра /> сигнатуры/> называетсямультикольцом, если алгебра />-группа(не обязательноабелева).Все операции из /> имеют ненулевые арности и длялюбой />-арнойоперации /> илюбых элементов /> имеет место />=/>, для любого />. Заметим, чтомультикольцо является дистрибутивной />-группой в смысле определенияХиггинса [10] или мультиоператорной группой согласно А.Г.Куроша [9]. Длямультиколец справедливы следующие равенства:
/>
/>
/>
где/>, какобычно, обозначается элемент, противоположный к элементу />.
Докажем, например, первоеравенство.
/>
Прибавляяк обеим частям равенства элемент, противоположный к элементу
/>
получаемтребуемое равенство.
Определение.Подалгебра /> мультикольца/> называетсяидеалом [9], если />-нормальная подгруппа группы /> и для любой />-арной операции/>,произвольного /> и любых />,/>имеет место
/>
Вчастности, если />-нульарная или унарная операция, тоэто означает, что
/>
Какследует из примера [8] конгруэнции на мультикольце перестановочны. Следующаятеорема устанавливает соответствие между идеалами и конгруэнциями мультикольца.
Теорема3.1 [2] Пусть />-идеал мультикольца /> и
/>
Тогда/>-конгуэнцияна /> илюбая конгруэнция на /> имеет такой вид для подходящегоидеала />.
Доказательство.
Таккак
/>
то/>.Покажем, что />-подалгебраалгебры />.Проверимвначале замкнутость /> относительно групповых операций.Пусть />,т.е. />.Тогда в силу того, что />, получаем
/>
т.е./>
/>
т.е./>. Пусть теперь/>-n-арнаяоперация и />,/>Так как />-идеал, тополучаем
/>
/>
/>
т.е./>. Теперьиз леммы [8] следует, что />-конгруэнция на />. Обратно, пусть />-конгруэнция на/>. Положим
/>
Из[8] следует, что />-нормальная подгруппа группы />. Аналогичнымобразом, как и в [8], показывается, что />-идеал мультикольца />. Теорема доказана.
Следствие3.2.Решетка идеалов мультикольца /> изоморфна решетке егоконгруэнций.
Определение3.3[3].Пусть />-идеалмультикольца />.Тогда централизатором /> в /> называетсянаибольший идеал /> в /> такой, что для любого /> и любого /> выполняютсяследующие условия:
1)/>;
2)для любой />-арнойоперации /> />, любыхразличных />, произвольных/> справедливо
/>
/>
Теорема3.4.Пусть /> и />-идеалымультикольца /> и />. Тогда /> и /> индуцируют на /> соответственноконгруэнции /> и/>, где
/>
тогда
/>
Доказательство:
Определимбинарное отношение /> на /> следующим образом /> тогда и только тогда,когда найдутся такие элементы /> и />, что справедливы равенства
/>
Очевидно, что/>-отношенмеэквивалентности на />, удовлетворяющее условиям 1)-3)определения 2.1., замкнутость которого относительно групповых операций доказанав примере [8]
Пустьтеперь />-/>-арная операцияи /> Тогда
/> и/>
длялюбых /> Следовательно,
/>
/>/>
/>
Подставляяв правую часть последнего равенства значения /> и учитывая, что после раскрытияскобок члены, одновременно содержащие элементы /> и />, равны нулю />, получаем в правойчасти равенства выражение
/>/>/>
Таккак />-идеал, то
/>
/>
/>
Итак,
/>
тогда/>.
Теорема3.5Пусть /> и />-идеалымультикольца />, />, />-конгруэнции, определенные втеореме 3.4. и /> .Тогда />.
Доказательство:Пусть />-конгруэнциимультикольца /> и />. Обозначим смежные классы по /> и />, являющиесяидеалами мультикольца, соответственно /> и />. Возьмем произвольные элементы />, />, />. Тогда
/>
/>
/>
Следовательно, длялюбой />-арнойоперации />,любых различных /> получаем
/>
Изопределения 2.1. следует, что
/>
Очевидно, чтосправедливо и другое аналогичное равенство определения [8] Т.к. из примера [8]следует, что />, тоэто означает, что />.
Очевидно, чтоиз теорем 3.4. и 3.5. и результатов раздела 2 следуют все известные свойствацентрализаторов подгрупп, а так же свойства централизаторов идеалов мультиколецработы [3](Лемма 2.8).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Внастоящей дипломной работе решается задача взаимосвязи структуры мультиколец иуниверсальных алгебр, получен новый результат: идеал /> тогда и только тогдацентрализуется идеалом />, когда соответствующие этимидеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.
Результатыданной дипломной работы могут быть использованы при чтении спецкурса длястудентов математического факультета, а так же аспирантами и научнымисотрудниками, занимающимися проблемами современной алгебры.
СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.Кон П.М. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1968. — 351 с.
2.Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. — М.Наука, 1983. — 272 с.
3.Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. — М.: Наука, 1989. — 256 с.
4.Ходалевич А.Д. Универсальные алгебры с />-централизаторными рядамиконгруэнций // Весцi Акадэмii навук Беларусi. Сер.фiз.-мат.навук.- 1994. — № 1. — с.30--34.
5.Smith D.H. Mal'cev varieties // Lect. Notes Math. — 1976. — V. 554. — 158 p.
6.Ходалевич А.Д. Формационные свойства нильпотентных алгебр // Вопросы алгебры. — Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1992. — Вып. 7. — с.76--85.
7.Ходалевич А.Д. Класс нильпотентных универсальных алгебр / Ред. ж. Изв. АН БССР.Сер. физ.-мат.н. — Минск, 1991. — 19 с. — Деп. в ВИНИТИ 10.02.91: 4555 — В91.
8.Ходалевич А.Д. Прикладная алгебра //Спецкурс.-Гомель: Изд-во Гомельскогоун-та,2002.-с.30
9.Курош А.Г. Лекции по общей алгебре.- М.: Наука,1973.-339с.
10.Higgins P.J. Groups with multiple operators //Proc. London math.Soc.-1956.-V.6,--№3.-p.366--416.
Отзыв
на дипломную работу
``Свойства централизаторов конгруэнций универсальныхалгебр''
студентки 5 курса математического
факультета Шутовой И.Н.
Дипломнаяработа Шутовой И.Н. посвящена решению задачи изучения формационных свойствподалгебр универсальных алгебр.В отличии от теории многообразий, где основнымметодом изучения является понятие тождеств, в теории формаций одним из основныхявляется понятие централизуемости. Это связано с определением локальныхформаций.
Вдипломной работе ''Свойства централизаторов конгруэнций универсальных алгебр''решена задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, полученновый результат: идеал /> тогда и только тогдацентрализуется с идеалом />, когда соответствующие этимидеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.
Впроцессе работы над дипломной работой студентка Шутова И.Н. проявиласпособность к самостоятельным исследованиям, умение работать с научнойлитературой.
Считаю,что дипломная работа студентки Шутовой И.Н. удовлетворяет необходимымтребованиям, предъявляемым к дипломным работам, и заслуживает оценки«отлично», а студентка Шутова И.Н. заслуживает присвоения ейквалификации «Математик. Преподаватель математики.»
Научныйруководитель,
к.ф.-м.н.,доцент А.Д.Ходалевич
Рецензия
на дипломную работу
``Свойства централизаторов конгруэнций универсальныхалгебр''
студентки 5 курса математического
факультета Шутовой И.Н.
Теорияуниверсальных алгебр вплоть до 70-х годов развивалась исключительно в рамкахтеории многообразий. Появление в свет книги Л.А.Шеметкова и А.Н.Скибы''Формации алгебраических систем'' указало на новые возможности в исследованииуниверсальных алгебр. Особую значимость в указанной теории играет понятиелокальных формаций, в основе которых лежит понятие централизуемости.
Врецензируемой дипломной работе решается проблема адаптирования понятия''централизуемость идеалов мультиколец'' работы [3] с работой Смита [5] иполучен новый результат: идеал /> тогда и только тогда централизуетсяс идеалом />,когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смыслеСмита.
Дипломнаяработа аккуратно оформлена. Полученные здесь результаты являются новыми ипредставляют научный интерес.
Считаю,что дипломная работа студентки Шутовой И.Н. удовлетворяет необходимымтребованиям, предъявляемым к дипломным работам, и заслуживает оценки``отлично''.
Рецензент
к.ф.-м.н., доцентХарламова В.И.