Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия

Оглавление
 
Введение
Глава I. Развитие геометрии
1.1 История геометрии
1.2 Постулаты Евклида
1.3 Аксиоматика Гильберта
1.4 Другие системы аксиом геометрии
Глава II. Неевклидовы геометрии в системе Вейля
2.1 Элементы сферической геометрии
2.2 Эллиптическая геометрия на плоскости
2.3 Геометрия Лобачевского в системеВейля
2.4 Различные модели плоскостиЛобачевского. Независимость 5-го постулата Евклида от остальных аксиомГильберта
Заключение
Список литературы

Введение
Любая теория современнойнауки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразнаяаксиома развития науки.
Этот факт многократноподтверждался. Физика Ньютона переросла в релятивистскую физику, а та вквантовую. Теория флогистона стала химией, а самозарождение мышей из грязиобернулось биологией. Такова судьба всех наук, и нельзя сказать, чтосегодняшнее открытие через двадцать лет не окажется грандиозной ошибкой. Но этотоже нормально – ещё Ломоносов говорил: «Алхимия – мать химии: дочь невиновата, что её мать глуповата».
Участь эта не обошла игеометрию. Традиционная Евклидова геометрия переросла в неевклидову, геометриюЛобачевского. Именно этому разделу математики, его истории и особенностям ипосвящен этот проект.
В своём реферате я хочу показать, что кроме геометрии,которую изучают в школе (Геометрии Евклида или употребительной геометрии),существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского. Эта геометриясущественно отличается от евклидовой, например, в ней утверждается, что черезданную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных даннойпрямой, что сумма углов треугольника меньше 180 В геометрии Лобачевского не существует прямоугольников,подобных треугольников и так далее.
Я выбрал данную тему по несколькимпричинам: теория геометрии Лобачевского помогает взглянуть по-другому наокружающий нас мир, это интересный, необычный и прогрессивный разделсовременной геометрии, она дает материал для размышлений – в ней не все просто,не все ясно с первого взгляда, чтобы ее понять, нужно обладать фантазией ипространственным воображением. Ситуация с геометрией Лобачевского и геометриейЕвклида во многом похожа на ситуацию с Теорией относительности Эйнштейна иклассической физикой. Геометрия Лобачевского и ОТП Эйнштейна это прогрессивныевзаимосвязанные теории, выполняющиеся на огромных величинах и расстояниях, иостающимися верными на приближениях к нулю. В пространственной модели ОТПиспользуется не обычная евклидовая плоскость, а искривленное пространство, накотором верна теория Лобачевского.

Глава I. Развитие геометрии
1.1 Историягеометрии
Геометрия – это одна из древнейших наук. Исследоватьразличные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность.Древнегреческий ученый Эдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами,и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствиеразлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, чтоэта наука, как и другие, возникла из потребности человека».
Считается, что геометрияначалась в так называемой Ионийской школе. Её основателем считается ФалесМилетский (640-540 (546?) гг. до н. э.). Он считался одним из семимудрецов Греции, первым математиком, астрономом и философом. Он доказал, чтоуглы при основании равнобедренного треугольника равны, что вертикальные углыравны, что диаметр делит окружность пополам и ещё множество теорем.Предсказание затмения солнца в 585 году также приписывается ему.
Огромный импульс развитияэтой школе дал Пифагор (569-470 гг. до н. э.). В основном о еголичных качествах пишут то же самое, что и о Фалесе. Но к этому ещё можнодобавить титул чемпиона по боксу на олимпийских играх – звание, средиматематиков редкое.
Несмотря на все егодостижения, мнение современников хорошо выразил Гераклит: «Многознание безразума». Что ж, это было вполне заслужено: Пифагор засекречивал открытия иприписывал себе работы учеников. Пифагор также заставлял своих воспитанниковисполнять целый свод очень странных правил: например, не прикасаться к беломупетуху.
Но факт есть факт — иодна из теорем Пифагора теперь известна каждому – это теорема о равенствеквадрата гипотенузы сумме квадратов катетов. Эта теорема настолько популярна вмире математиков, что одних только доказательств накопилось 39 штук. Их можнопосмотреть на сайте www.cut-the-knot.com/pythagoras.
Платон (428-348) знаменит введениемпринципа дедуктивности в математике, или принципа развития отпростого к сложному. Он также знаменит постановкой трех задач на построение.Используя только циркуль и линейку, надо было:
1.        Разделить угол натри части (задача о трисекции угла).
2.        Построитьквадрат, равный по площади данному кругу (задача о квадратуре круга).
3.        Построить куб,равный по объему данному (задача об удвоении куба).
Нерешаемость этих задач была доказана только в 19 веке, ноперед этим они успели вызвать настоящую бурю: например, задача №2 вызвалапоявление интегрального исчисления.
Многие первоначальные геометрические сведения получили такжешумеро-вавилонские, китайские и другие ученые древнейших времен. Устанавливалисьони сначала только опытным путем, без логических доказательств.
Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции,когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем,были приведены в надлежащую систему и доказаны.
Закончилось развитие традиционной геометрии Евклидом. ВIII веке до нашей эры греческий ученыйпривел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении«Начала».
Его книга «Начала» толькодо 1880 года выдержала 460 изданий, уступив только Библии. Способ построения«Начал» стал единственно верным для всех научных работ: Перечисление основных,естественных понятий ®Перечисление основных аксиом ® Перечисление основных определений ® Формулирование теорем (утверждений) и их доказательство.
Метод доказательства отпротивного – тоже его заслуга. Он же сформулировал пять постулатовгеометрии:
1.        Через два точкиможно провести одну и только одну прямую.
2.        Прямаяпродолжается бесконечно.
3.        Из любого центраможно провести окружность любым радиусом.
4.        Все прямые углыравны между собой.
Пятый постулат являетсясвоеобразным философским камнем геометрии.
Неевклидова геометрия появиласьвследствие долгих попыток доказать V постулат Евклида, аксиомупараллельности. Эта геометрия во многом удивительна, необычна и во многом несоответствует нашим привычным представлениям о реальном мире. Но в логическомотношении данная геометрия не уступает геометрии Евклида.
1.2 ПостулатыЕвклида
Евклид – автор первогодошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложениенастолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с моментапоявления его труда «Начал» оно было единственным руководством для изучающихгеометрию.
«Начала» состоят из 13 книг,посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении.
Каждая книга «Начал»начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Так, например, первойкниге предпосланы 23 определения. В частности,
Определение 1. Точка естьто, что не имеет частей.
Определение 2. Линия естьдлины без ширины
Определение 3. Границылинии суть точки.
Вслед за определениямиЕвклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые бездоказательства.
/>Постулаты
I. Требуется, чтобы от каждой точки ковсякой другой точке можно было провести прямую линию.
II. И чтобы каждую прямую можно былонеопределенно продолжить.
III. И чтобы из любого центра можно былоописать окружность любым радиусом.
IV. И чтобы все прямые углы были равны.
V. И чтобы всякий раз, когда прямаяпри пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонниевнутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались стой стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Аксиомы
I. Равные порознь третьему равны междусобой.
II. И если к ним прибавим равные, тополучим равные.
III. И если от равных отнимем равные, тополучим равные.
IV. И если к неравным прибавим равные,то получим неравные.
V. И если удвоим равные, то получимравные.
VI. И половины равных равны междусобой.
VII. И совмещающиеся равны.
VIII. И целое больше части.
IX. И две прямые не могут заключатьпространства.
Иногда IV и V постулатыотносят к числу аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одниутверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно.
Никто не сомневался вистинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат опараллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавшихнеестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано сотносительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимостьлюбых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, котороеобнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.
Возможно, что уже самЕвклид пытался доказать постулат о параллельных. В пользу этого говорит тообстоятельство, что первые 28 предложений «Начал» не опираются на V постулат. Евклид как бы старалсяотодвинуть применение этого постулата до тех пор, пока использование его нестанет настоятельно необходимым.
Одни математики старалисьдоказать постулат о параллельных, применяя только другие постулаты и те теоремы,которые можно вывести из последних, не используя сам V постулат. Все такие попытки оказались неудачными. Их общийнедостаток в том, что в доказательстве неявно применялось какое-нибудьпредположение, равносильное доказываемому постулату.
Другие предлагалипо-новому определить параллельные прямые или же заменить V постулат каким-либо, по их мнению,более очевидным предложением. Так, например, в XI веке Омар Хайям ввел вместо V постулата «принцип», согласно которому две лежащие в однойплоскости сходящиеся прямые пересекаются и не могут расходиться в направлениисхождения. С помощью этого принципа Хайям доказывает, что в четырехугольнике ABCD, в котором углы при основании А и В– прямые и стороны АС, ВDравны, углы С и D так же прямые, аиз этого предложения о существовании прямоугольника выводится V постулат. Рассуждения Хайямаполучили оригинальное развитие в XIIIвеке у Насирэдинна ат-Туси, работы которого в свою очередь стимулировалиисследования Д. Валлиса. В 1663 году Валлис доказал постулат о параллельных,исходя из явного допущения, что для каждой фигуры существует подобная ей фигурапроизвольной величины. Это допущение он считал вытекающим из существапространственных отношений.
С логической точки зрениярезультаты Хайяма или Валлиса лишь выявляли равносильность V постулата и некоторых другихпредложений геометрии. Так, Хайям, по существу, установил эквивалентностьпостулата и предложения о сумме углов треугольника, а Валлис показал, что нетолько из V постулата можно вывести учение оподобии, но и обратно – их евклидова учения о подобии следует V постулат.
Один из обнадеживающихспособов подхода к доказательству пятого постулата, которым пользовались многиегеометры XVIII и первой половины XIX веков, состоит в том, что пятыйпостулат заменяется его отрицанием или каким-либо утверждением, эквивалентнымотрицанию. Опираясь на измененную таким образом систему постулатов и аксиом,доказываются всевозможные предложения, логически из нее вытекающие. Если пятыйпостулат действительно вытекает из остальных постулатов и аксиом, то измененнаяуказанным образом система постулатов ми аксиом противоречива. Поэтому рано илипоздно мы придем у двум взаимно исключающим выводам. Этим и будет доказан пятыйпостулат.
Именно таким путемпытались доказать пятый постулат Д. Саккери (1667-1733), И. Г. Ламберт(1728-1777) и А.М. Лежандр (1752-1833).
Исследования Саккери былиопубликованы в 1733 году под названием «Евклид, очищенный от всяких пятен, илиопыт, устанавливающий самые первые принципы универсальной геометрии».
Саккери исходил израссмотрения четырехугольника /> с двумяпрямыми углами при основании/>и сдвумя равными боковыми сторонами /> и />. Из симметрии фигурыотносительно перпендикуляра /> ксередине основания />следует, что углыпри вершинах /> и /> равны. Если принять пятыйпостулат и, следовательно, евклидову теорию параллельных, то можно установить,что углы /> и /> прямые и /> - прямоугольник. Обратно,как доказывает Саккери, если хотя бы в одном четырехугольнике указанного видауглы при верхнем основании окажутся прямыми, то будет иметь место евклидовпостулат о параллельных. Желая доказать этот постулат Саккери делает тривозможных предположения: либо углы /> и /> прямые, либо тупые, либоострые (гипотезы прямого, острого и тупого угла). Для доказательства пятогопостулата необходимо опровергнуть гипотезы острого и тупого угла. Совершенноточными рассуждениями Саккери приводит к противоречию гипотезу тупого угла.Вслед за тем, приняв гипотезу острого угла, он выводит весьма далеко идущие ееследствия с тем, чтобы и здесь получить противоречие. Развивая эти следствияСаккери строит сложную геометрическую систему, не заключая о противоречиитолько потому, что полученные им выводы не соответствуют привычнымпредставлениям о расположении прямых. В результате он «находит» логическоепротиворечие, но в результате вычислительной ошибки.
Идеи Ламберта, развитыеим в сочинении «теория параллельных линий» (1766г.), близко примыкают ксоображениям Саккери.
Он рассматриваетчетырехугольник с тремя прямыми углами. Относительно четвертого угла так жевозникают три гипотезы: этот угол прямой, тупой или острый. Доказавэквивалентность пятого постулата гипотезе прямого угла и сведя к противоречиюгипотезу тупого угла, Ламберт, подобно Саккери, вынужден заниматься гипотезой острогоугла. Она приводит Ламберта к сложной геометрической системе, в которой ему неудалось встретить логического противоречия. Ламберт нигде в своем сочинении неутверждает, что V постулат имдоказан, и приходит к твердому заключению, что и все другие попытки в этомнаправлении не привели к цели.
«Доказательства евклидовапостулата, — пишет Ламберт, — могут быть доведены столь далеко, что остается,по-видимому, ничтожная мелочь. Но при тщательном анализе оказывается, что вэтой кажущейся мелочи и заключается вся суть вопроса; обыкновенно она содержитлибо доказываемое предложение, либо равносильный ему постулат».
Более того, развиваясистему гипотезы острого угла, Ламберт обнаруживает аналогию этой системы сосферической геометрией и в этом усматривает возможность ее существования.
«Я склонен даже думать,что третья гипотеза справедлива на какой-нибудь мнимой сфере. Должна же бытьпричина, вследствие которой она на плоскости далеко не поддается опровержению,как это легко может быть сделано со второй гипотезой».
Лежандр в своемдоказательстве пятого постулата рассматривает три гипотезы относительно суммыуглов треугольника.
1.        Сумма угловтреугольника равна двум прямым.
2.        Сумма угловтреугольника больше двух прямых.
3.        Сумма угловтреугольника меньше двух прямых.
Он доказал, что перваягипотеза эквивалентна пятому постулату, вторая гипотеза невозможна; и принявтретью гипотезу приходит к противоречию, неявно воспользовавшись вдоказательстве пятым постулатом через один из его эквивалентов.
В результате проблемапараллельных оставалась к началу XIXвека неразрешенной и положение казалось безвыходным. Большой знаток вопросавенгерский математик Фаркаш Бояи в 1820 году писал своему сыну Яношу: «Молютебя, не делай только и ты попыток одолеть теорию параллельных линий: тызатратишь на это все свое время, а предложения этого вы не докажете все вместе.Не пытайся одолеть теорию параллельных линий ни тем способом, который тысообщаешь мне, ни каким-либо другим. Я изучил все пути до конца: я не встретилни одной идеи, которой бы я не разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мракэтой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил… Этотбеспросветный мрак… никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный родчеловеческий не будет владеть чем-либо совершенным даже в геометрии. Этобольшая и вечная рана в моей душе…». Беспросветный мрак, о котором с горечьюписал старший Бойяи, рассеял Лобачевский и, несколько позднее, Я. Бояи.
Но многовековые попыткидоказательства пятого постулата Евклида привели в конце концов к появлениюновой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что в ней V постулат не выполняется. Этагеометрия теперь называется неевклидовой, а в России носит имя Лобачевского,который впервые опубликовал работу с ее изложением.
И одной из предпосылок геометрическихоткрытий Н. И. Лобачевского (1792-1856) был как раз его материалистическийподход к проблемам познания. Лобачевский Он был твердо уверен в объективном ине зависящем от человеческого сознания существовании материального мира и ввозможности его познания. В речи «О важнейших предметах воспитания» (Казань,1828) Лобачевский сочувственно приводит слова Ф. Бэкона: «оставьте трудитьсянапрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу,она хранит все истины и на все вопросы ваши будет отвечать вам непременно иудовлетворительно». В своем сочинении «О началах геометрии», являющемся первойпубликацией открытой им геометрии, Лобачевский писал: «первые понятия, скоторых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самомуменьшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основаниемучения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным – не должно верить».Тем самым Лобачевский отвергал идею об априорном характере геометрическихпонятий, поддерживавшуюся И. Кантом.
Первые попыткиЛобачевского доказать пятый постулат относятся к 1823 году. К 1826 году онпришел к убеждению в том, что Vпостулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826года сделал на заседании факультета казанского университета доклад «Сжатоеизложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных», вкотором были изложены начала открытой им «воображаемой геометрии», как онназывал систему, позднее получившую название неевклидовой геометрии. Доклад1826г. вошел в состав первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии– статьи «О началах геометрии», напечатанной в журнале Казанского университета«Казанский вестник» в 1829-1820гг. дальнейшему развитию и приложениям открытойим геометрии были посвящены мемуары «Воображаемая геометрия», «Применениевоображаемой геометрии к некоторым интегралам» и «Новые начала геометрии сполной теорией параллельных», опубликованные в «Ученых записках» соответственнов 1835, 1836 и 1835-1838 гг. Переработанный текст «Воображаемой геометрии»появился во французском переводе в Берлине, там же в 1840г. вышли отдельнойкнигой на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельныхлиний» Лобачевского. Наконец, в 1855 и 1856 гг. он издал в Казани на русском ифранцузском языках «Пангеометрию».
Высоко оценил«Геометрические исследования» Гаусс, который провел Лобачевского (1842) вчлены-корреспонденты Геттингенского ученого общества, бывшего по существуАкадемией наук ганноверского королевства. Однако в печати в оценкой новойгеометрической системы Гаусс не выступил.
Высокая оценка гауссомоткрытия Лобачевского была связана с тем, что Гаусс, еще с 90-х годов XVIII в. занимавшийся теориейпараллельности линий, пришел к тем же выводам, что и Лобачевский. Свои взглядыпо этому вопросу Гаусс не публиковал, они сохранились только в его черновыхзаписках и в немногих письмам к друзьям. В 1818 г. в письме к австрийскому астроному Герлингу (1788-1864) он писал: «Я радуюсь, что вы имеетемужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей теориипараллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии. Но осы, гнездо которых Выпотревожите, полетят Вам на голову»; по-видимому, под «потревоженными осами»Гаусс имел в виду сторонников традиционных взглядов на геометрию, а такжеаприоризма математических понятий.
Независимо отЛобачевского и гаусса к открытию неевклидовой геометрии пришел венгерскийматематик Янош Бояи (1802-1860), сын Ф. Бояи.
Когда Я. Бояи пришел ктем же идеям, что Лобачевский и Гаусс, отец не понял его, однако предложилнапечатать краткое изложение его открытия в виде приложения к своемуруководству по математике, вышедшему в 1832г. Полное название труда Я. Бояи –«Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящуюот истинности или ложности XIаксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)» и егообычно коротко называют просто «Аппендикс». Открытие Я. Бояи не было признанопри его жизни; Гаусс, которому Ф. Бояи послал «Аппендикс», понял его,но никак не способствовал признанию открытия Я. Бояи.
1.3 Аксиоматика Гильберта
Хотя в современномаксиоматическом изложении геометрии Евклида не всегда пользуются аксиоматикойГильберта, приведём её, как первую полную, независимую и непротиворечивуюсистему аксиом.
Все двадцать аксиомсистемы Гильберта подразделены на пять групп.
·         Группа I содержит восемь аксиомпринадлежности.
·         Группа II содержит четыре аксиомы порядка.
·         Группа III содержит пять аксиом конгруэнтности.
·         Группа IV содержит две аксиомы непрерывности.
·         Группа V содержит одну аксиомупараллельности.
Переходим к формулировкеаксиом по группам. Одновременно будем указывать некоторые утверждения,вытекающие из формулируемых аксиом.
I. Аксиомы принадлежности
I, 1. Каковы бы ни были две точки Aи B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.
I, 2. Каковы бы ни были две точки Aи B, существует не более одной прямой,которой принадлежат эти точки.
I, 3. Каждой прямой aпринадлежат по крайней мере дветочки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.
Указанные три аксиомыисчерпывают список аксиом принадлежности планиметрии. Следующие пять аксиомвместе с указанными тремя завершают список аксиом принадлежности стереометрии.
I, 4. Каковы бы ни были три точки A, Bи C, не принадлежащие одной прямой,существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждойплоскости принадлежит хотя бы одна точка.
I, 5. Каковы бы ни были три точки A, Bи C, не принадлежащие одной прямой,существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки.
I, 6. Если две принадлежащие прямой aразличные точки Aи Bпринадлежат некоторой плоскостиα, то каждая принадлежащая прямой aточка принадлежит указаннойплоскости.
I, 7. Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостямα и β, то существует по крайней мере ещё одна точка B, принадлежащая обоим этимплоскостям.
I, 8. Существуют по крайней мере четыреточки, не принадлежащие одной плоскости.
С целью использованияпривычной для нас геометрической лексики договоримся отождествлять между собойследующие выражения: 1) «точка А принадлежит прямой a (плоскости α)», 2) «прямая а(плоскость α) проходит через точку А» 3) «точка А лежит напрямой а (плоскости α)» 4) «точка А является точкой прямой а(плоскости α)» и тому подобные.
Теорема 1. Две различные прямые не могут иметьбольше одной общей точки.
Теорема 2. Две плоскости либо совсем не имеютобщих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.
Теорема 3. Плоскость и не лежащая на ней прямаяне могут иметь более одной общей точки.
Теорема 4. Через прямую и не лежащую на нейточку, или через две различные прямые с общей точкой проходит одна и толькоодна плоскость.
Теорема 5.Каждая плоскость содержит по крайнеймере три точки.
II. Аксиомы порядка
II, 1. Если точка Bпрямой а лежит между точками А и Стой же прямой, то А, В и С – различные точки указанной прямой, причем В лежиттакже и между С и А.
II, 2. Каковы бы ни были две различные точкиА и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере она точка В такая,что С лежит между А и В.
II, 3. Среди любых трёх точек, лежащих наодной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
Сформулированные триаксиомы относятся к расположению объектов на прямой и потому называютсялинейными аксиомами порядка. Формулируемая ниже последняя аксиома порядкаотносится к расположению геометрических объектов на плоскости. Для того, чтобысформулировать эту аксиому, введём понятие отрезка.
Пару различных точек А иВ назовём отрезком и будем обозначать символом АВ или ВА. Точки прямой,определяемой А и В, лежащие между ними, будем называть внутренними точками, илипросто точками отрезка АВ. Остальные точки указанной прямой будем называть внешнимиточками отрезка АВ.
II, 4 (Аксиома Паша). Если А, В и С – три точки, не лежащиена одной прямой, и а – некая прямая в плоскости, определяемой этими точками, несодержащая ни одной из указанных точек и проходящая через некоторую точкуотрезка АВ, то эта прямая проходит также либо через некоторую точку отрезка АС,либо через некоторую точку отрезка ВС.
Подчеркнём, что из однихаксиом порядка II, 1 – 4 ещё невытекает, что любой отрезок имеет внутренние точки. Однако привлекая ещёаксиомы принадлежности I, 1 –3 можно доказать следующее утверждение:
Теорема 6. Каковы бы ни были две различные точкиА и В на прямой, ими определяемой, существует по крайней мере одна точка С,лежащая между А и В.
Теорема 7. Среди любых трёх точек одной прямойвсегда существует одна точка, лежащая между двумя другими.
Теорема 8. Если точки А, В и С не принадлежатодной прямой и если некоторая прямая а пересекает[1]какие-либо два из отрезков АВ, ВС и АС, то эта прямая не пересекает третий изуказанных отрезков.
Теорема 9. Если В лежит на отрезке АС, и С – наотрезке ВD, то В и Слежат на отрезке АD.
Теорема 10. Если С лежит на отрезке АD, а В – на отрезке АС, то В лежиттакже на отрезке АD, а С – на отрезке BD.
Теорема 11. Между любыми двумя точками прямойсуществует бесконечно много других её точек.
Теорема 12. Пусть каждая из точек С и Dлежит между точками А и В. Тогдаесли М лежит между С и D, то М лежит и между А и В.
Теорема 13. Если точки С и Dлежат между точками А и В, то всеточки отрезка СDпринадлежат отрезку АВ (в этом случае мы будем говорить, что отрезок СDлежит внутри отрезка АВ).
Теорема 14. Если точка С лежит между точками А иВ, то 1) никакая точка отрезка АС не может быть точкой отрезка CВ, 2) каждая отличная от С точкаотрезка АВ принадлежит либо отрезку АС, либо отрезку СВ.
Указанные утвержденияпозволяют упорядочить множество точек любой прямой и выбрать на этой прямойнаправление.
Будем говорить, что дверазличные точки А и В прямой aлежат по разные стороны (по одну сторону) от третьей точки О той же прямой,если точка О лежит (не лежит) между А и В.
Из указанных вышеутверждений вытекает следующая теорема.
Теорема 15. Произвольная точка О каждой прямой аразбивает все остальные точки этой прямой на два непустых класса так, что любыедве точки прямой а, принадлежащие одному и тому же классу, лежат по однусторону от О, а любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по разныестороны от О.
Таким образом, задание налюбой прямой двух различных точек О и Е определяет на этой прямой луч илиполупрямую ОЕ, обладающую тем свойством, что любая её точка и точка Е лежат поодну сторону от О.
Выбрав на прямой адве различные точки О и Е, мы можем теперь определить порядок следования точекна прямой по следующему правилу: 1) если А и В – любые точки луча ОЕ, то будемговорить, что А предшествует В, если А лежит между О и В, 2) будем говорить,что точка О предшествует любой точке луча ОЕ, 3) будем говорить, что любаяточка, принадлежащая той же прямой и не принадлежащая лучу ОЕ, предшествует какточке О, так и любой точке луча ОЕ, 4) если А и В – любые точки, непринадлежащие лучу ОЕ, то мы будем говорить, что А предшествует В, если В лежитмежду А и О.
Легко проверить, что длявыбранного нами порядка следования точек прямой а справедливо свойствотранзитивности: если А предшествует В, а В предшествует С, то А предшествуетС.
Аксиомы, приведённыевыше, позволяют упорядочить и точки, принадлежащие произвольной плоскостиα.
Теорема 16. Каждая прямая а, принадлежащаяплоскости α, разделяетне лежащие на ней точки этой плоскости на два непустых класса так, что любыедве точки А и В из разных классов определяют отрезок АВ, содержащий точку прямойа, а любые две точки А и А’ из одного класса определяют отрезок АА’, внутрикоторого не лежит ни одна точка прямой а.
В соответствие сутверждением этой теоремы мы можем говорить, что точки А и А’ (одного класса) лежатв плоскости αпо одну сторону от прямой а, а точки А и В(разных классов) лежат в плоскости αпо разные стороны от прямойа.
III. Аксиомы конгруэнтности
III, 1. Если А и В – две точки на прямой а,А’ – точка на той же прямой или на другой прямой а’, то по данную от точки А’сторону прямой а’ найдется, и притом только одна, точка В’ такая, что отрезокА’B’ конгруэнтен отрезку АВ. Каждыйотрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА.1
III, 2. Если отрезки А’B’ и А”B” конгруэнтны одному и тому жеотрезку АВ, то они конгруэнтны и между собой.
III, 3. Пусть АВ и ВС – два отрезка прямой а,не имеющие общих внутренних точек, А’B’ и B’C’ – два отрезка той же прямой, илидругой прямой а’, также не имеющие общих внутренних точек. Тогда если отрезокАВ конгруэнтен отрезку А’B’, а отрезок ВС конгруэнтен отрезку B’C’, то отрезок АС конгруэнтен отрезкуА’C’.
Сформулированные триаксиомы относятся к конгруэнтности отрезков. Для формулировки следующих аксиомнам понадобятся понятие угла и его внутренних точек.
Пара полупрямых h и k, выходящих из одной и той же точки О и не лежащих наодной прямой, называется углом и обозначается символом /> или />.
Если полупрямые задаютсядвумя своими точками ОА и ОВ, то мы будем обозначать угол символом /> или />. В силу теоремы 4 любыедва луча h и k, составляющие угол />,определяют, и притом единственную, плоскость α.
Внутренними точками /> будем называть те точкиплоскости α, которые, во-первых, лежат по ту сторону от прямой, содержащейлуч h, что и любая точка луча k, и, во-вторых, лежат по ту сторонуот прямой, содержащей луч k, чтои любая точка луча h.
III, 4. Пусть даны /> на плоскости α, прямаяа’ на этой же или на какой-либо другой плоскости α’ и заданаопределённая сторона плоскости α’ относительно прямой а’. Пусть h’ – луч прямой а’, исходящий изнекоторой точки О’. Тогда на плоскости α’ существует один и только одинлуч k’ такой, что /> конгруэнтен />, и при этом всевнутренние точки /> лежат позаданную сторону от прямой а’. Каждый угол конгруэнтен самому себе.
III, 5. Пусть А, В и С – три точки, нележащие на одной прямой, А’, B’ и С’ – другие три точки, также не лежащие на одной прямой.Тогда если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А’B’, отрезок АС конгруэнтен отрезку А’C’ и /> конгруэнтен/>, то /> конгруэнтен /> и /> конгруэнтен />
Договоримся теперь осравнении неконгруэнтных отрезков и углов.
Будем говорить, чтоотрезок АВ больше отрезка А’B’,если на прямой, определяемой точками А и В, найдётся лежащая между этимиточками точка С такая, что отрезок АС конгруэнтен отрезку А’В’. Будем говорить,что отрезок АВ меньше отрезка А’B’,если отрезок А’B’ больше отрезкаАВ.
Символически тот факт,что отрезок АВ меньше отрезка А’B’(конгруэнтен отрезку А’B’)будем записывать так:
АВ
Будем говорить, что /> больше />, если в плоскости,определяемой />, найдётся луч ОС, всеточки которого являются внутренними точками />,такой, что /> конгруэнтен />. Будем говорить, что /> меньше />, если /> больше />.
С помощью аксиом принадлежности,порядка и конгруэнтности можно доказать целый ряд теорем элементарнойгеометрии. Сюда относятся: 1) три широко известные теоремы о конгруэнтности(равенстве) двух треугольников, 2) теорема о конгруэнтности вертикальных углов,3) теорема о конгруэнтности всех прямых углов, 4) теорема о единственностиперпендикуляра, опущенного из точки на прямую, 5) теорема о единственностиперпендикуляра, проведённого к данной точке прямой, 6) теорема о внешнем углетреугольника, 7) теорема о сравнении перпендикуляра и наклонной.
IV. Аксиомы непрерывности
С помощью аксиомпринадлежности, порядка и конгруэнтности мы произвели сравнение отрезков,позволяющее заключить, каким из трёх знаков связаны этиотрезки.
Указанных аксиом, однако,недостаточно 1) для обоснования возможности измерения отрезков, позволяющеепоставить в соответствие каждому отрезку определённое вещественное число, 2)для обоснования того, что указанное соответствие является взаимно однозначным.
Для проведения такогообоснования следует присоединить к аксиомам I, II и III две аксиомы непрерывности.
IV, 1 (аксиома Архимеда). Пусть АВ и СD– произвольные отрезки. Тогда напрямой, определяемой точками А и В существует конечное число точек А1,А2, ..., Аn, расположенных так, что точка А1 лежит между А иА2, точка А2 лежит между А1 и А3,..., точка Аn-1лежит между Аn-2и Аn, причём отрезки АА1, А1А2,..., Аn-1Anконгруэнтны отрезку CDи точка В лежит между А и Аn.
IV, 2 (аксиома линейной полноты). Совокупность всех точек произвольнойпрямой а нельзя пополнить новыми объектами (точками) так, чтобы 1) напополненной прямой были определены соотношения «лежит между» и «конгруэнтен»,определён порядок следования точек и справедливы аксиомы конгруэнтности III, 1 – 3 и аксиома Архимеда IV, 1, 2) по отношению к прежним точкампрямой определённые на пополненной прямой соотношения «лежит между» и«конгруэнтен» сохраняли старый смысл.
Присоединение к аксиомам I, 1 – 3, II и III,1- 3 аксиомы Архимеда позволяет поставить в соответствие каждой точке произвольнойпрямой а определённое вещественное число х, называемоекоординатой этой точки, а присоединение ещё и аксиомы линейной полнотыпозволяет утверждать, что координаты всех точек прямой а исчерпываютмножество всех вещественных чисел. Пользуясь этим, можно обосновать методкоординат.
V. Аксиома параллельности
Самая последняя аксиомаиграет в геометрии особую роль, определяя разделение геометрии на две логическинепротиворечивые и взаимно исключающие друг друга системы: евклидову инеевклидову геометрии.
В геометрии Евклида этааксиома формулируется так.
V. Пусть а – произвольная прямая и А – точка, лежащаявне прямой а, тогда в плоскости α, определяемой точкой А и прямой асуществует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей а.
Долгое время геометрыпытались выяснить, не является ли аксиома параллельности следствием всехостальных аксиом. Этот вопрос был решен Николаем Ивановичем Лобачевским,который доказал независимость аксиомы V от аксиом I – IV.
По-другому результатЛобачевского можно сформулировать так: если к аксиомам I– IVприсоединить утверждение, отрицающеесправедливость аксиомы V, то следствия всех этих положений будут составлять логическинепротиворечивую систему (неевклидову геометрию Лобачевского).
Систему следствий,вытекающих из одних только аксиом I – IV обычно называют абсолютнойгеометрией. Абсолютная геометрия является общей частью как евклидовой, так инеевклидовой геометрий, ибо все предложения, которые могут быть доказаны толькос помощью аксиом I – IV, верны как в геометрии Евклида, таки в геометрии Лобачевского.
Доказательствонепротиворечивости аксиоматики Гильберта
Чтобы доказатьнепротиворечивость некоей теории Х, необходимо из материала другой, заведомонепротиворечивой, теории А построить такую модель, в которой выполняются всеаксиомы теории Х. Если это удастся, теорию Х можно считать непротиворечивой.Следовательно, для того, чтобы доказать непротиворечивость гильбертовойсистемы, необходимо построить такую модель евклидовой геометрии, в которойвыполнялись бы все аксиомы, предложенные Гильбертом.
Для построения такоймодели, необходима вышеупомянутая заведомо непротиворечивая теория. В модели,построенной Гильбертом, такой теорией служит теория действительных чисел. Идеяпостроения модели состояла в рассмотрении системы координат на плоскости. Втакой системе каждой точке М плоскости соответствуют два числа х и у – еёкоординаты. Чтобы понять суть построения модели забудем о плоскости и имеющейсяна ней координатной системе, «точками» будем называть упорядоченные парыдействительных чисел (х; у) т. е. пары (х; у) и (у; х) с различными х и у будемсчитать различными. Теперь попытаемся определить «прямую». Вспомним, что каждаяпрямая описывается в координатах линейным уравнением вида ax+ by+ c= 0, где хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля. Например, уравнение прямой, не параллельнойоси ординат, имеет вид у = kx+ l,или, что то же самое, ax+ by+ c= 0, где a= k, b= -1, c= l. Если же прямая параллельна оси ординат, ейсоответствует уравнение x= p (т. е.уравнение ax+ by+ c= 0, где a = 1, b = 0, c= -p;). При этом если все коэффициенты уравнения ax+ by+ c= 0 умножить на одно и то же число k ≠ 0, то полученное уравнениебудет описывать ту же прямую. Мы же в своей модели будем называть «прямой»любое линейное уравнение вида ax+ by+ c= 0, в котором хотя бы один изкоэффициентов a и b отличен от нуля, причём коэффициентырассматриваются с точностью до ненулевого множителя пропорциональности (при k ≠ 0 уравнения ax+ by+ c= 0 и (ak)x+ (bk)y+ kc= 0 считаются одной и той же прямой).
Далее, «точка» (х1;у1) лежит на «прямой», если числа х1 и у1 удовлетворяютуказанному уравнению. Как видим, для определения «прямых», «точек» ирасположения «точек» на «прямой» достаточно опереться на теорию действительныхчисел. Легко проверить, что в указанной модели выполняются, например, такиеаксиомы:
1. Через дверазличные «точки» проходит «прямая»
2. На «прямой»имеется не менее двух «точек»
Легко определить случай,при котором одна из трёх «точек» лежит на «прямой» «между» двумя другими. КогдаA(x1; y1), B(x2; y2) и C(x3;y3) – три«точки», лежащие на одной «прямой», «точка» B считается расположенной «между» A и C приусловии, что число x2 заключено между числами x1 и x3(если x1 = x2 = x3, то y2 заключено между y1 и y3). Тогда очевидно, что
3. Из трёх «точек»,лежащих на одной «прямой», одна и только одна расположена между двумя другими.
Выполняются и другиеаксиомы порядка (в частности, аксиома Паша). Заметим, что мы специально неиллюстрируем содержание аксиом чертежами, поскольку при чисто аксиоматическомизложении не следует использовать привычные геометрические представления.
Будем говорить, что две«прямые» a1x+ b1y+ c1= 0 и a2x+ b2y+ c2= 0 «параллельны», если коэффициенты a1, b1 и a2, b2 пропорциональны. Это можно краткозаписать равенством a1b2– a2b1= 0. Нетрудно проверить, что две«параллельные» «прямые» либо не имеют ни одной общей «точки», либо совпадают (вобычной геометрии тоже часто принимают, что прямая параллельна самой себе).Более того,
4. Через любую«точку» A1(x1; y1) проходит одна и только одна «прямая», параллельнаяданной «прямой» Ax+ By+ C= 0.
Иначе говоря, в указанноймодели выполняется аксиома параллельности. Можно здесь говорить и о длинахотрезков, и о величинах углов. Например, «расстоянием» между двумя «точками» A1(x1; y1) и A2(x2; y2) называется число
A1A2= />
Далее, в привычнойевклидовой геометрии справедлива теорема косинусов:

cosC= />
 
(величина угла С равнаарккосинусу правой части равенства. Можно возразить, что тригонометрическиефункции (и, в частности, косинус) определяются геометрически и обойтись безобычной евклидовой геометрии в данном случае невозможно. Однако это неверно. Вматематическом анализе доказывается, что функция cosx задаётся бесконечным рядом
cosx = />,
который сходится длялюбого действительного x.Таким образом, в рассматриваемой модели допустимо говорить и о расстояниях, и овеличинах углов.
Так же легко проверить,что в ней выполняются и аксиомы конгруэнтности (в частности, первый и второйпризнаки равенства треугольников). В итоге все гильбертовы аксиомы(представляющие собой развитие и уточнение аксиом Евклида) в рассматриваемоймодели выполняются. Это и означает, что система аксиом евклидовой геометрииусловно непротиворечива. Другими словами, она непротиворечива, еслинепротиворечива теория действительных чисел.
1.4 Другие системы аксиом геометрии
Вернёмся, однако, кевклидовой геометрии. В настоящее время систему аксиом Гильберта часто заменяютэквивалентной ей системой. Мы приведём те группы аксиом одной такой системы, покоторым она отличается от вышеизложенной системы (группы аксиом порядка идвижения, заменяющей в этой системе группу аксиом конгруэнтности).
Преимущество этой системызаключается в том, что она позволяет проще и быстрее получить первоначальныегеометрические факты, лучше, как многим кажется, описывает свойства основныхгеометрических объектов с точки зрения привычных представлений.
II. Аксиомы порядка
Будем полагать, что напрямой есть два направления, взаимно противоположных друг другу, и по отношениюкаждому из них каждая пара точек А и В находится в известном отношении, котороевыражается словом «предшествовать». Это отношение обозначается знаком
А
Требуется, чтобыуказанное отношение для точек на прямой удовлетворяло нижеследующим пятиаксиомам.
II, 1. Если А
II, 2. В одном из двух направлений А
II, 3. В одном из двух направлений если А
II, 4. В одном из двух направлений длякаждой точки В найдутся точки А и С такие, что А BC.
Каждое из утвержденийаксиом II, 2 – 4 относится к одному из двухнаправлений на прямой. По аксиоме II, 1 оно верно также и для противоположного направления.
Прежде чем сформулироватьпоследнюю аксиому, определим некоторые понятия. Пусть а – прямая и А –точка на ней. При фиксированном направлении на прямой точка А разбивает её надве части (полупрямые), для каждой точки Х одной из них Х А,а для каждой точки Х другой полупрямой А X. Очевидно, это разбиение прямой начасти не зависит от выбранного на ней направления (аксиома II, 1).
Пусть А и В – две точки прямойа. Если для точки С прямой а выполняется условие А а, все точки которойлежат между А и В, мы будем называть отрезком АВ, а точки А и В – концамиотрезка.
II, 5. Прямая а, лежащая в плоскости α,разбивает эту плоскость на две полуплоскости так, что если Xи Y– две точки одной полуплоскости, тоотрезок XYнепересекается с прямой а, если же Xи Yпринадлежат разным полуплоскостям,то отрезок XYпересекается с прямой а.
Из аксиом принадлежности(связи), которые в этой системе аксиом аналогичны аксиомам принадлежностиГильберта, и аксиом порядка выводятся следующие следствия.
Теорема 1.Среди точек А, В, С на прямой а однаи только одна лежит между двумя другими.
Теорема 2. Каждый отрезок содержит по крайнеймере одну точку.
Теорема 3. Если В – точка отрезка АС, то отрезкиАВ и ВС принадлежат АС, т. е. каждая точка отрезка АС и каждая точка отрезка ВСпринадлежит отрезку АС.
Теорема 4.Если В – точка отрезка АС и X– точка того же отрезка, отличная отВ, то она принадлежит либо отрезку АВ, либо ВС.
Теорема 5. Пусть α – плоскость, и а –лежащая на ней прямая, b– другая прямая, или полупрямая, или отрезок в той же плоскости α.
Тогда, если bне пересекает а, то все точки bлежат по одну сторону от а, т. е. водной из полуплоскостей, определяемых прямой а.
Пусть А, В и С – триточки, не лежащие на одной прямой. Фигура, составленная из трёх отрезков АВ, ВСи АС называется треугольником, точки А, В и С – вершинами треугольника, аотрезки АВ, ВС и АС – сторонами треугольника.
Теорема 9.Пусть АВС – треугольник в плоскости αи а – прямая в этойплоскости, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда если эта прямаяпересекает сторону АВ, то она пересекает и притом только одну из двух другихсторон ВС или АС.
Нельзя не заметить, чтопоследняя приведённая теорема почти аналогична аксиоме Паша, входящей в системуГильберта (см. страницу 9), и отличается от неё только тем, что в аксиоме неутверждается единственность второй пересекаемой стороны треугольника.
III. Аксиомы движения
В данной системе группааксиом конгруэнтности заменена этой группой аксиом. Впрочем, третьи группы аксиомобоих систем в конечном итоге выполняют одну и ту же задачу, определяя разнымиспособами одни и те же явления (группа аксиом конгруэнтности у Гильбертаопределяет отношения конгруэнтности напрямую, аксиомы движения – через своиследствия).
Итак, будем требовать,чтобы существовали такие отражения точек, прямых и плоскостей на точки, прямыеи плоскости, именуемые движениями, удовлетворяющие следующим аксиомам.
III, 1. Каждое движение Н сохраняет отношениепринадлежности.
То есть, если точка Апринадлежит прямой а (плоскости α), то её образ при движении Н(обозначаемый НА) принадлежит образу прямой На (соответственнообразу плоскости Нα).
III, 2.Каждое движение Н сохраняетотношение порядка на прямой.
Это означает, как,наверное, уже догадался читатель, что каждому из двух направлений на прямой аможно сопоставить такое направление на прямой На, что каждый раз, когдадля точек X и Y прямой а имеет местоXY, для соответствующих им точек прямой На имеетместо HXHY.
Из этих двух аксиомследует, что каждое движение переводит полупрямую в полупрямую, полуплоскость вполуплоскость.
III, 3. Движения образуют группу.
Это значит:
а) Сопоставление Н0каждому элементу х (точке, прямой, плоскости) его самого есть движение.Это движение называется тождественным.
б) Если движение Н1сопоставляет произвольному элементу х элемент y, а движение Н2сопоставляет y элемент z, то сопоставление элементу х элемента z есть движение. Оно обозначается Н2Н1и называется произведением движений.
в) Для каждого движения Нсуществует движение Н-1 такое, что Н-1Н=Н0.Движение Н-1 будем называть обратным.
III, 4. Если при движении Н прямая h, как целое, и её начальная точка Аостаются неподвижными, то все точки полупрямой hостаются неподвижными.
III, 5. Для каждой пары точек А и В существуетдвижение Н, которе переставляет их местами: НА=В, НВ=А
III, 6. Для каждой пары лучей h, k(полупрямых), исходящих из однойточки, существует движение Н, их переставляющее: Нh=k, Hk=h.
III, 7. Пусть αи β– любыеплоскости, а и b– прямые в этих плоскостях, А и В – точки на прямых а и b. Тогда существует движение, котороепереводит точку А в В, заданную полупрямую прямой а, определяемую точкой А, — взаданную полупрямую прямой b, определяемую точкой В, заданную полуплоскость плоскости α, определяемую прямой а, – взаданную полуплоскость плоскости β, определяемую прямой b.
Теорема 10. Пусть α– плоскость,и а – принадлежащая ей прямая. Тогда если движение Н переводит каждую изполуплоскостей плоскости α, определяемых прямой а, в себя иоставляет неподвижными точки прямой а, то оно является тождественным.
Действительно,тождественное движение Н0 обладает указанными в теоремесвойствами Н, а следовательно, по аксиоме III, 7 совпадает с ним.
Определим теперь понятиеконгруэнтности. Фигуру F1 мыбудем называть конгруэнтной фигуре F2, если существует движение Н, переводящее F1 в F2: HF1=F2. Из групповых свойств движения(аксиома III, 3) вытекают следующие свойстваотношения конгруэнтности:
1.        Каждая фигура Fконгруэнтна сама себе.
Действительно,тождественное движение Н0 переводит F в F.
2.        Если фигура F1конгруэнтна F2, то фигура F2конгруэнтна F1.
В самом деле, если Н– движение, переводящее фигуру F1 в F2, то движение Н-1переводит фигуру F2 в фигуру F1.
3.        Если фигура F1конгруэнтна F2, а фигура F2конгруэнтна фигуре F3, то фигура F1конгруэнтна F3.
Действительно, если Н'– движение, переводящее фигуру F1 в F2, а Н'' – движение,переводящее фигуру F2 в F3, то движение Н''Н' переводит F1 в F3.
Впервые подобную системупредложил спустя десять после появления гильбертовой аксиоматики Фридрих Шур.
Спустя ещё десять летнемецкий математик Герман Вейль (Weyl;9.11.1885, Эльмсхорн, Шлезвиг-Гольштейн, – 8.12.1955, Цюрих) создал векторнуюаксиоматику геометрии. У Вейля первоначальными являются понятия «точка» и«вектор», а прямая и отрезок определяются с их помощью. Имеются аксиомысложения векторов (означающие, что векторы образуют коммутативную группу),аксиомы умножения вектора на действительное число, аксиомы откладываниявекторов (в частности, аксиома треугольника: />),аксиомы скалярного произведения векторов и аксиома размерности (для планиметриив ней утверждается: если даны три ненулевых вектора />,/> и />, то какой-нибудь из нихвыражается в виде комбинации двух других: />).При заданных точке А и ненулевом векторе /> прямая(А, />) определяется какмножество всех точек М, для которых вектор/> пропорционален/>, то есть найдётся такоедействительное число t,что />. Далее определяютсяотрезки, углы, многоугольники, окружность и другие фигуры: например, расстояниемежду А и В – как квадратный корень из скалярного квадрата вектора />, то есть />. Теорема Пифагора легкодоказывается с помощью скалярного произведения, а аксиома параллельности – спомощью векторного определения прямой и аксиомы разномерности.
В заключение отметим, чтогильбертова аксиоматика полностью уточнила не вполне совершенную системуаксиом, созданную Евклидом более двух тысяч лет тому назад. АксиоматикаФридриха Шура и аксиоматика Германа Вейля связали геометрию с понятиями группыпреобразований и векторного пространства, которые играют важнейшую роль вомногих разделах современной математики, физики, экономики, химии, биологии идругих областей знания.

Глава II. Неевклидовы геометрии в системеВейля
2.1 Элементы сферической геометрии
В этом пунктерассмотрены элементы так называемой сферической геометрии — геометрии сферыевклидова пространства. Кратчайшими (геодезическими) или прямыми линиями насфере являются большие окружности, т. е. такие окружности, плоскости которыхпроходят через центр данной сферы.
Так каклюбые два больших круга пересекаются, то в сферической геометрии неосуществляется ни постулат Евклида, ни аксиома параллельности Лобачевского. Вэтой геометрии не выполняется также ряд других фактов абсолютной геометрии.
Например,прямые в сферической геометрии замкнуты и на них невозможно установить понятиеточки, лежащей «между» для трех точек, инцидентных прямой, так как каждую изэтих точек на окружности можно считать точкой, лежащей между двумя другими. Дветочки на большом круге определяют два отрезка и прямые имеют конечную длину.Таким образом, аксиомы порядка в сферической геометрии должны описыватьсвойства циклического расположения точек на прямой. И все же, несмотря науказанные различия в сферической геометрии имеется много свойств, аналогичныхсоответствующим свойствам в евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. Этигеометрии, включая и геометрию достаточно малых кусков сферы, в основныхвопросах не противопоставляются между собою, а копируют друг друга.
Возьмемна сфере три точки А, В, С, не лежащие в одной плоскости сцентром О данной сферы. Совокупность этих точек и дуг АВ, ВС и АСбольших окружностей, меньших полуоборота, называется сферическим треугольникомАВС. Точки А, В, С называются вершинами сферического треугольника, а дуги, АВ,ВС, АС — его сторонами. Углом А сферического треугольника АВС называется, уголмежду касательными, проведенными к дугам АВ и АС в точке их пересечения А. Очевидно,этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостямибольших окружностей АВ и АС. Ясно, что сферический треугольникможно получить с помощью трехгранного угла, если пересечь его сферой, центркоторой будет совпадать с вершиной данного угла. В самом деле, в пересечениисферы с гранями данного трехгранного угла получим сферический треугольник.
Изшкольного курса геометрии известно, что в трехгранном угле любой его плоскийугол меньше суммы двух других плоских углов и больше их разности. В геометриисферы этому предложению соответствует следующая теорема. Во всяком сферическомтреугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон и больше ихразности.
Наосновании этой теоремы, как и в обычной планиметрии, доказывается, что всферическом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, обратно,против большего угла лежит большая сторона.
В этойгеометрии имеются сферические двуугольники — фигуры более простые, чемсферические треугольники. Сферический двуугольник, по определению, представляетчасть сферы, ограниченную двумя большими полуокружностями, пересекающимися вдвух диаметрально противоположных точках.
Симметриясферы относительно диаметральной плоскости и поворот ее вокруг диаметра наданный угол, очевидно, представляют собой примеры преобразований сферы, прикоторых расстояния между любыми двумя точками равно расстоянию между ихобразами. Приведем общее определение.
Преобразованиясферы, при которых сохраняются расстояния между любыми двумя ее точками,называются движениями. Сферическая геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиесяпри любых движениях сферы.
Полярныетреугольники
Всякаяплоскость />,проходящая через центр сферы, пересекает эту сферу по большой окружности. КонцыА, А' диаметра, перпендикулярного плоскости />, называются полюсами этойокружности. В этом случае большая окружность называется полярой точек А и А'.
Очевидно,все точки поляры удалены от своего полюса на расстояние, равное />R/2, где R обозначает радиус данной сферы. Ясно также, что если данная точкаудалена от двух точек большой окружности на расстояние />R/2, то она является полюсом этой большой окружности. Перейдем теперь копределению полярного треугольника.
Есливершины треугольника АВС являются полюсами сторон другого сферическоготреугольника А1В1С1, то этот последний называетсяполярным треугольником по отношению к данному.
Такимобразом, радиус-вектор /> перпендикулярен векторам /> и />, т. е.
/>
Аналогичнобудем иметь
/>
Отсюдаследует, что если треугольник А1В1С1будет полярным к треугольнику АВС, то треугольник АВС в своюочередь будет полярным по отношению к треугольнику А1В1С1.
Такимобразом, сферические треугольники АВС и А1В1С1,взаимно полярны друг другу.
Будемобозначать вершины и углы сферического треугольника большими буквами латинскогоалфавита А, В, С, а противоположные им стороны — соответствующими малымибуквами того же алфавита а, Ь, с. Вершины и противоположные им стороныполярного треугольника будем обозначать теми же буквами с индексами А1,В1, С1, соответственно a1, b1, c1.
Линейныеэлементы треугольника здесь и в дальнейших формулах входят в виде отношений крадиусу сферы, поэтому целесообразно ввести следующее понятие приведеннойдлины. Расстояние между двумя точками на сфере, отнесенное к ее радиусу, будемназывать приведенным расстоянием.
Докажемследующее предложение о взаимно полярных треугольниках.
Теорема.Угол одного сферического треугольника и соответствующая ему приведеннаясторона взаимно полярного треугольника дополняют друг друга до />, т. е.
/>
и т. д.Так как
/> (*)
То из(*) следует, что
/>
Такимобразом, выводим
/>

Аналогичнодоказываются остальные равенства:
/>
Перейдемк выводу некоторых формул сферической геометрии.
Формулыпрямоугольного треугольника в сферической геометрии
Перейдемк выводу некоторых формул сферической геометрии. Пусть в евклидовомпространстве нам дана сфера радиуса R. Возьмем на ней прямоугольный треугольник AВС со сторонами a, b, с, которые будут дугами больших круговсоответственно ВС, СА и АВ, причем условимся считать />(рис. 2).Последнее означает, что касательные в точке С, проведенные к большимдугам СА, СВ, перпендикулярны. Выясним связь между линейными иугловыми элементами данного прямоугольного треугольника.
Опустимиз точки В перпендикуляры ВС1, и ВА1напрямые ОС и ОА евклидова пространства. Из треугольника ОВС1,имеем
/> (*)
Аналогичноиз треугольников OBA1и BA1C1следует, что
/>  (**)
Исключаяиз этих трех соотношений BC1 и BA1, получим

/> (1.1)
Формула(1.1) показывает, что синус приведенного катета равняется синусу приведеннойгипотенузы, умноженному на синус противолежащего угла треугольника.
Впредыдущем рассуждении основание С1, перпендикуляра ВС1,может совпадать с центром сферы или быть левее его на диаметре ОС. Номожно убедиться, что получаемые ниже формулы, как и формула (1.1), будут всегдасправедливы. Кстати отмечу еще раз, что рассматриваются только такиесферические треугольники, которые определяются его вершинами и наименьшимидугами больших окружностей, попарно их соединяющими.
Выяснимсвязь гипотенузы cс катетами а иb. Из треугольника ОВС1, имеем
/>  (1.2)
Далее изтреугольника ОВА1и ОС1А1следует,что
/>
Исключаяиз полученных трех равенств ОС1и ОА1будемиметь
/>.  (1.3)
Этаформула выражает теорему Пифагора: косинус приведенной гипотенузыпрямоугольного треугольника равняется произведению косинусов приведенныхкатетов. Аналогичным образом выводятся другие формулы. Например, изпрямоугольного треугольника А1ВС1следует, что

/> (1.4)
Далее,так как
/>
то из(1.2) имеем
/>  (1.5)
С другойстороны,
/>  (1.6)
Из (*,1.4- 1.6) вытекает, что
/>  (1.7)
Наряду сэтой формулой справедлива также парная формула
/> (1.7')
Перемножаяпочленно последние два соотношения, получим
/>

Отбрасываяненулевые сомножители и применяя теорему Пифагора, окончательно будем иметь
/> (1.8)
Возьмемтеперь другое выражение А1С1 через соsA. Так как
/>
то из(**) и (1.5-1.6), имеем
/>
Отсюдаследует, что
/>  (1.9)
Из (1.1)вытекает также, что
/>
Последниедва равенства дают
/>
Или

/>  (1.10)
Доказанныеформулы прямоугольного треугольника можно выписать, пользуясь так называемымправилом Непера. Чтобы сформулироватьэто правило, условимся располагать элементы прямоугольного треугольника а,В, с, А, b в указанном на циклическом порядке.
Длякаждого из этих элементов предшествующий и последующий элементы называются прилежащими,а остальные два элемента — противолежащими. Для катета b, например, элементы a, А будут прилежащими, а элементы с, В — противолежащими.Прилежащими элементами для гипотенузы являются углы A и В, а противолежащими — катеты а и b.
Сформулируемтеперь правило Непера. Косинус любого элемента сферического прямоугольноготреугольника равняется произведению синусов противолежащих элементов илипроизведению котангенсов прилежащих элементов. Если под знаком функции стоиткатет, то тригонометрическая функция меняется на смежную — синус а косинус,тангенс на котангенс и наоборот. Заметим также, что во всех формулах длиныкатетов и гипотенузы делятся на радиус сферы R.
Формулы косоугольноготреугольника в сферической геометрии
Получимсначала теорему косинусов. Пусть АВС произвольный сферическийтреугольник. Опустим из вершины В высоту ВD. Применяя к треугольнику ВDС теорему Пифагора, получим
/>,
гдеd=AD, a=BC, b=BC, AB=c.
Перепишемпредыдущее равенство, преобразуя второй множитель о формуле косинуса разности:
/>.(1.11)
Первый итретий множители в первом члене правой части по теореме Пифагора дают />. Упростим второй член в правойчасти. Так как
/>,
тозаменяя /> по формуле (1.9) на/>, получим
/>
Такимобразом, из (1.11) следует, что
/> (1.12)
Этазависимость, выражающая сторону сферического треугольника через две другиестороны в косинус противолежащего угла, называется теоремой косинусов.
Докажемтеперь теорему синусов. Из прямоугольного треугольника АВDи ВDС (рис. 6) получаем

/>
Отсюдаследует, что
/>
Еслиопустить теперь высоту из вершины А, то будем иметь
/>
Следовательно
/> (1.13)
Этизависимости сторон и синусов противолежащих углов составляют теорему синусовсферического треугольника АВС.
Втораятеорема косинусов
Предположим,что сферический треугольник А1В1С1,является полярным к данному треугольнику АВС. Применяя к нему теоремукосинусов, получим
/>
Но всилу формул (см. Полярные треугольники), имеем

/>
Заменяяв предыдущем равенстве стороны и углы только что выписанными выражениями,получим
/>
Или
/> (*)
Формулаи составляет содержание 2-й теоремы косинусов: Косинус угла сферическоготреугольника равен произведению косинусов двух других углов, взятому с обратнымзнаком, и сложенному с произведением синусов тех же углов на косинусприведенной противоположной стороны. Аналогичные две формулы можно получитькруговой заменой линейных и угловых элементов данного треугольника АВС.
Извторой теоремы косинусов следует, что в сферической геометрии не существуетнеравных треугольников с соответственно равными углами. Другими словами,если углы, одного сферического треугольника равны соответствующим углам другогосферического треугольника, то такие треугольники равны.
Взаключение установим лишь совпадение формул сферической геометрии для фигур смалыми линейными размерами с соответствующими формулами евклидовой геометрии.
Осферической геометрии в малом
Пустьлинейные размеры а, b, с сферическоготреугольника малы по сравнению с радиусом сферы R. Очевидно, эти условия можно осуществить за счетмалости указанных линейных размеров или за счет выбора достаточно большогозначения R. Из формулы, выражающей теоремукосинусов, следует
/>
Учитываяв этом равенстве члены до второго порядка малости включительно, получим теоремукосинусов евклидовой геометрии:
/> (1.14)
В случаепрямоугольного сферического треугольника с углом имеем cosA=0 и формула (1.12) в пределе приводит к соотношению
/>,
составляющемутеорему Пифагора в геометрии Евклида. Это равенство следует также из (1.14) при/>.
Так какпри малых размерах приведенных сторон их синусы в первом приближениипропорциональны аргументам, то из (1.13) следуют две связи
/>,
выражающиетеорему синусов в евклидовой геометрии.
Следовательно,формулы сферической геометрии для фигур с малыми линейными размерами посравнению с радиусом сферы совпадают с соответствующими формулами евклидовойгеометрии. Аналогичный результат получим ниже при рассмотрении формул геометрииЛобачевского.

2.2 Эллиптическая геометрия на плоскости
Былипоказаны простейшие факты сферической геометрии, в которой всякие две прямыепересекаются в двух диаметрально противоположных точках. Для того, чтобыосвободиться от указанного недостатка и прийти к новой геометрии, в которойпрямые имели бы не более одной общей точки, условимся считать всякую парудиаметрально противоположных точек сферы за одну точку. Полученную новуюповерхность после такого отождествления пар точек сферы будем называть эллиптическойплоскостью и обозначать символом S2.
Ясно,что получим ту же плоскость, если будем строить фактормножество множества векторовевклидова пространства отношению эквивалентности в которой /> />/> тогдаи только тогда, когда векторы /> и/> непропорциональны.
Прямыеэллиптической плоскости получаются из больших кругов в результате указанногоотождествления пар точек и будут по-прежнему замкнутыми линиями. Но построеннаяплоскость S2 стала принципиально новым объектомматематического исследования.
Оставаясьзамкнутой поверхностью, она утратила свойство двухсторонности. Эллиптическаяплоскость является односторонней поверхностью, то есть, раскрашиваякакую-нибудь одну сторону этой поверхности, раскрасим ее с обеих сторон. Вэллиптической геометрии отсутствует понятие точки, лежащей между двумя другими,если они инцидентны прямой, так как две точки на прямой определяют два взаимнодополнительных отрезка. В этой геометрии можно установить понятие разделениядвух пар точек А, В и М, N, инцидентных прямой. Пара A, Bразделяет пару М, N, если точки М, N лежатв разных отрезках, определенных на данной прямой точками А и В. Можноубедиться, что пара точек A,В разделяет пару М, N тогда и только тогда, когда двойноеотношение

(АВМN)= АМ/ВМ: АN/ВN
 
четырехточек А, В, М, N отрицательно.
Разумеется,эллиптическую плоскость можно представить себе также в виде полусферы, укоторой диаметрально противоположные точки экватора считаются за одну точку.Объекты новой модели находятся в определенных сопоставлениях с объектамиизвестной модели на сфере. Благодаря этому без обращения к аксиомам выводим,что эти две модели реализуют одну и ту же геометрию.
Проектированиеиз центра О евклидова пространства на плоскость, касательную к сфере вточке С, где ОС/>, переводитпрямые эллиптической плоскости в прямые евклидовой плоскости />. Если к точкам касательнойплоскости присоединить несобственные точки, то построенное центральноепроектирование будет взаимно однозначным отображением всех точек эллиптическойплоскости на все точки расширенной евклидовой (проективной) плоскости. Не будемвыписывать систему аксиом эллиптической геометрии и заметим лишь, что ее можнополучить из аксиом проективной геометрии и аксиом конгруентности.
Всепонятия плоскости S2переводятся по отображению в некоторые понятия двухмерной проективнойгеометрии. Сопоставление соответствующих геометрических образов полученнойпроективной модели характеризуется следующей таблицей:«точка» точка проективной плоскости «прямая» прямая проективной плоскости «равенство отрезков» равенство прообразов отрезков
Большоедостоинство проективной модели состоит в том, что точки и прямые в нейизображаются привычными для нас образами. Однако, при изучении свойствконгруентных фигур сферическая модель становится более удобной.
Заметимтакже, что прямые и плоскости связки О евклидова пространства определяютновую модель плоскости S2,соответствующие геометрические образы которой представляются следующейтаблицей:
S2
Связка прямых и плоскостей в Е3 «точка» Плоскость связки «разделение двух пар точек» Разделение двух пар прямых одного и того же пучка прямых «расстояние между двумя точками» Величина, пропорциональная углу, между двумя прямыми связки
Реализацияэллиптической плоскости в виде сферы, у которой диаметрально противоположныеточки отождествлены, позволяет на этой плоскости ввести координаты (х, у, z), связанные соотношением
x2+y2+z2=R2;
где Rназывается радиусом кривизны, аобратная величина квадрата радиуса — кривизной. В этих координатах расстояние амежду двумя точками А (х1, у1, z1) и В(х2, у2,z2 ) определяется по формуле
/>. (2.1)
Отношениерасстояния между точками к радиусу кривизны называется приведенным расстоянием.Две точки плоскости S2называются полярными, если соответствующие этим точкам прямые трехмерногоевклидова пространства ортогональны. Другими словами, полярные точкихарактеризуются тем, что приведенное расстояние между ними равняется />. Отрезокпрямой, ограниченный полярно сопряженными точками, называется полупрямой. Прямаясостоит из двух полупрямых и имеет длину, равную />. Очевидно, геометрическое местоточек, полярных данной точке А (х1, у1, z1), образует прямую

/> (2.1')
Этапрямая называется полярой точки A, а точка А — полюсом прямой (2.1').
Прямые,перпендикулярные прямой, пересекаются в ее полюсе. Обратно, всякая прямая,проходящая через полюс данной прямой, будет перпендикулярной к этой прямой.Отсюда следует, что через каждую точку плоскости, отличную от полюса даннойпрямой, можно провести единственный перпендикуляр к этой прямой. Эти свойстванепосредственно вытекают из определения полюсов и поляр.
Вгеометрии S2 можно построить взаимно однозначноеотображение между точками и прямыми, при котором каждой точке соответствует ееполярная прямая, а каждой прямой — ее полюс. Такое отображение называетсяполярным отображением. В эллиптической плоскости единичной кривизны полярноеотображение переводит две прямые а, bв такие точки А, В, что расстояние между этимиточками равняется углу между данными прямыми. Отсюда вытекает так называемыйпринцип двойственности в эллиптической планиметрии: если в какой-нибудь теоремеэллиптической геометрии заменить слова «точка», «прямая», «расстояние» и «угол»соответственно на слова «прямая», «точка», «угол» и «расстояние», то в результатеполучим также справедливое предложение в этой геометрии. Примером двойственныхпредложений, т. е. предложений, получающихся одно из другого, указанногоправила является следующее: любые две точки определяют прямую, им инцидентную;любые две прямые определяют точку, им инцидентную.
Найдемтеперь расстояния между двумя бесконечно близкими точками М (х, у, z) и M’ (х + dх, у + dу, z+ dz). Из формулы (2.1) следует, что

/>. (2.2)
Откуда сточностью до бесконечно малых второго порядка включительно имеем
ds=-2(xdx+ydy+zdz).
 
Учитывая,что координаты точки (х + dх, у + dу, z+ dz) удовлетворяют равенству
(х + dх)2 +(у + dу)2+ (z+ dz)2 =R2,
 
будемиметь
2(хdх + уdу + zdz) + dx2+ dу2 + dz2= 0.
ds2= dx2+ dу2 + dz2. (2.2')
Полученнаяформула приводит к очевидному выводу о том, что в малом геометрия эллиптическойплоскости совпадает со сферической геометрией. В частности, формулы (1.12) и(1.13) выражающие соответственно теорему косинусов и синусов, справедливы и вэллиптической геометрии. Формула 2.2' показывает также, что движенияэллиптической плоскости S2представляются вращениями и отражениями евклидова пространства E3 вокруг начала координат. Указанныедвижения определяются ортогональными матрицами. Так называются матрицы,у которых сумма квадратов элементов каждого столбца равняется единице, а суммапроизведений соответствующих элементов разных столбцов равняется нулю. Так какматрицы, отличающиеся знаками, индуцируют одно и то же движение в эллиптическойплоскости, то группа движений последней связана.
Площадьтреугольников в эллиптической геометрии
Пусть вэллиптической плоскости дан треугольник AВС, обозначенной на рис. 8 номером I. Как известно, на данной плоскостипорождаются еще три треугольника с теми же вершинами. Эти треугольникиобозначены на рисунке номерами II, III, IV. Так как вcяэллиптическая плоскость конечна и имеет площадь, равную 2/>R2, то площадь части плоскости,ограниченной вертикальными углами А треугольника I, равняется
/>
Аналогично,площадь частей эллиптической плоскости, ограниченных вертикальными углами В иС треугольника AВС, равны 2R2B, 2R2С. С другой стороны, сумма всех трех найденных площадейсоставляет площадь всей эллиптической плоскости с добавленной удвоеннойплощадью SАВСданного треугольника АВС. В результате получаем
/>.
Отсюдавытекает, что
SАВС = R2(A+ B+ C-/> ). (2.3)
Этаформула показывает, что площадь треугольника пропорциональна его дефекту. Можнодоказать, что в геометрии Лобачевского площадь треугольника АВС определяетсяпо формуле, аналогичной (2.3),

SАВС = k2(/> - A— B— C),
где k— радиус кривизны.
Окружность
Окружностьюназывается геометрическое место точек М(х, у, z), отстоящих от данной точки А(х1, у1,z1) на данное расстояние r. Точка A называется центром окружности, r— ее радиусом.
Кпонятию окружности можно прийти другим путем, отправляясь от пучков прямых исоответствующих точек на прямых данного пучка. Эти вспомогательные понятияздесь вводятся так же, как в геометрии Лобачевского. Совокупность прямых,пересекающихся в данной точке A,называется пучком прямых первого рода. Точка А называется центромпучка. Пучком прямых второго рода называются прямые плоскости,перпендикулярные данной прямой а. Нетрудно убедиться, что эти пучкидвойственны друг другу. В самом деле, поляра центра пучка прямых первого родаортогонально пересекает все прямые пучка и рассматриваемая совокупность прямыхявляется пучком прямых второго рода. Обратно, прямые пучка второго родапроходят через полюс оси пучка и составляют пучок прямых первого рода. Такимобразом, всякий пучок прямых одновременно является пучком первого и второгорода. Предположим, что точки М и N лежат соответственно на прямых тиnданного пучка прямых. Эти точки М,N называются соответствующими, если отрезок МN образуетравные односторонние углы с прямыми т и n. Простейшая кривая здесь определяется так же, как впланиметрии Лобачевского. Эта кривая по определению является множеством точек,соответствующих точке М на прямой т данного пучка. Полученнаятаким образом простейшая кривая одновременно является окружностью радиуса rс центром в точке А иэквидистантой с высотой r' = />R/2 — r. Можно установить, что окружность ортогональнорассекает прямые своего пучка.
Из (2.1)следует, что уравнение окружности (рис.9) с центром в точке А(х1,у1,z1) и радиусом r/>R/2 приводится к виду:
/> . (2.4)
Наличиедвойного знака объясняется тем, что правая часть положительна, а выражение вскобках может иметь значение разных знаков.
Заметим,что множество точек, равноудаленных от двух точек A, В, состоит из двух взаимно перпендикулярныхпрямых, проходящих через полюс прямой, определенной данными точками. Одна изэтих прямых делит пополам один отрезок АВ, а другая — дополнительный.Отсюда вытекает существование одной и только одной окружности, описанной околозаданного треугольника АВС. В частности, три точки, не принадлежащиепрямой, определяют на эллиптической плоскости четыре треугольника. Такимобразом, через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, можнопровести четыре окружности, которые на сферической модели определяютсяследующими тройками точек: АВС, АВС', АВ'С, А'ВС, где А', В',С' обозначают точки, диаметрально противоположные соответственно к точкам А,В, С.
Рассмотримвкратце свойства пар окружностей в эллиптической плоскости. В сферической геометриидве окружности, как и в евклидовой плоскости, могут не пересекаться друг сдругом, касаться или пересекаться в двух точках. В эллиптической геометриисвойства пар окружностей более многообразны. Чтобы убедиться в этом,предположим, что эллиптическая плоскость интерпретирована в виде сферы, укоторой диаметрально противоположные точки отождествлены. В этом случае,окружность эллиптической плоскости представляется на такой сфере в виде двухокружностей, лежащих в параллельных и равноудаленных от центра сферыплоскостях. Обратно, две окружности, полученные от пересечения сферысимметрическими относительно ее центра плоскостями, изображают в эллиптическойгеометрии одну окружность. Сделанные замечания позволяют составитьпредставление о новых случаях взаимных положений двух окружностей по сравнениюс сферической или евклидовой планиметрией.
 
2.3 Геометрия Лобачевского в системе Вейля
Опсевдоевклидовой планиметрии
а) Вевклидовой плоскости, как известно, формула квадрата расстояния между двумяточками М(х1, х2) и N(у1, у2) в декартовой,прямоугольной системе координат представляется в виде
d(M,N)2=(y1 — x1)2+(y2 — x2)2.  (3.1)
Угол /> междувекторами ОМ и ОN вычисляется из соотношения
/>. (3.2)
Перваяформула по существу выражает теорему Пифагора для прямоугольного треугольника скатетами, равными абсолютным величинам /> игипотенузой МN.Вторая же формула представляет собою формулу косинуса разности углов,образованных соответственно ОМ иONcкоординатным вектором />.
Теперьизменим формулы (3.1)и (3.2) и будем определять расстояние между указанными двумя точками ивеличины данных углов по формулам соответственно
 

d(M,N)=(y1 — x1)2 — (y2 — x2)2(3.3)
/> (3.4)
Прежниепары точек теперь будут иметь другие расстояния» а прежние углы – другиевеличины. Это по существу новая своеобразная двухмерная геометрия.
Чтобыподчеркнуть наличие другой метрики и не путать новые расстояния и величиныуглов со старыми, условимся называть координатную плоскость (x1, x2) формулами (3.3), (3.4) псевдоевклидовойплоскостью.
б) Длябольшей аналогии с евклидовой геометрией целесообразно ввести новое скалярноепроизведение векторов как произведение их длин на косинус угла между ними.Ясно, что это произведение векторов отличается от обычного скалярногопроизведения тех же векторов, так как длины векторов (расстояние междуначальной его и конечной точками) и косинус угла понимается в смыслепсевдоевклидовой геометрии.
Не будемдалее перечислять следствий из формул (3.3), (3.4) и дадим аксиоматическоеопределение псевдоевклидовой геометрии. Делается это следующим образом.
Вместоаксиомы IV, 3 вейлевской аксиоматики, в которойговорится о том, что скалярный квадрат вектора неотрицательный, вводится другаяаксиома IV, 3' о существовании ненулевыхвекторов первого, второго, и третьего типов, скалярные квадраты которыхсоответственно положительны, отрицательны и равны нулю.
Вседругие аксиомы Вейля сохраняются без изменения в псевдоевклидовой геометрии.Конечно, предполагаем, что аксиомы размерности III соответствующим образом согласованы. Если речьидет о плоскости, то в аксиоме III, 1 утверждается существование двух линейно независимых векторов, а ваксиоме III, 2 утверждается, что всякие тривектора линейно зависимы.
Совокупностьточек называется псевдоевклидовой плоскостью, если эти точки и их упорядоченныепары (свободные векторы) удовлетворяют аксиомам групп /--///, IV, 1, 2, 3', V. Очевидно, векторы псевдоевклидовойплоскости удовлетворяют аксиомам /--///- IV — 1, 2, 3' и образуют двухмерное псевдоевклидово векторноепространство.
Впсевдоевклидовой геометрии аффинная часть полностью
совпадает с аффинной частью евклидовой геометрии. Но в метрических вопросахгеометрии эти значительно отличаются друг
от друга, метрика пространства по существу определяется аксиомами скалярногопроизведения векторов и среди них важную роль играет именно аксиома IV, 3'.
в)Скалярное произведение двух векторов />,/> в смысле псевдоевклидовойгеометрии будем обозначать символом />П/>. Векторы />, /> называютсяперпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю.
По-прежнемучисло />П/> называется скалярнымквадратом вектора />; кореньквадратный из />П/> которого называется длинойвектора и обозначается через |/>|.Такимобразом,
/>,
Ясно,что длина вектора будет положительной, чисто мнимой или нулевой, еслисоответственно скалярный квадрат />П/>>0, />П/>или />П/>=0. Векторыположительной и чисто мнимой длины называют также соответственно пространственнымиивременными.
Ненулевыевекторы, длины которых равны нулю, называются изотропными.
Введемпонятие прямоугольной декартовой системы координат. Прямоугольной декартовойсистемой координат или просто прямоугольной системой координат псевдоевклидовойплоскости называется такая аффинная система координат, векторы /> которой единичны илимнимоединичны и взаимно перпендикулярны.
Следовательно,один из координатных векторов псевдоевклидовой плоскости, например, /> будет единичным, а другой- мнимоединичным. Таким образом, скалярное произведение координатных векторовпрямоугольной системы координат определяются равенствами
/>. (3.5)
Очевидно,скалярное произведение двух векторов
/>
иквадрат длины вектора /> в прямоугольной системекоординат вычисляются по формулам вида
/>  (3.6)
/>   (3.7)
Зарасстояние между двумя точками M(х1, х2) и N(y1, y2) определению принимается длина вектора />:

d(M,N)2=(y1 — x1) — (y2 — x2)2.
 
Величинойугла между векторами /> и/> называется число,определенное по формуле
/>   (3.8)
В правойчасти (3.8) числитель положительный, а знаменатель при неизотропных векторах />, /> может бытьположительным и отрицательным.
Есливекторы />, /> одной природы, т.е. оба множителя в знаменателе одновременно пространственные или временные, то />, если же один из векторовпространственный, а другой временный, то />.
Нетруднодалее доказать, что числитель в (3.8) не меньше знаменателя. Действительно,если координаты векторов /> и/> будутсоответственно (х1, х2) и(у1, у2)в некоторой прямоугольной системе координат, то
/>.
Следовательно,если векторы/>, /> одновременно будутпространственными или временными, то
/>. (3.9)
Полагаяв этом случае />, получим

/>.  (3.10)
Впсевдоевклидовой плоскости существует три типа прямых в зависимости отприроды ее направляющего вектора, если направляющий вектор будетпространственным, временным или изотропным, то прямая называется соответственнопространственной, временной или изотропной.
г)Перейдем теперь к определению понятия окружности.
Окружностьюв псевдоевклидовой плоскости называется множество ее точек, отстоящих от даннойточки, называемой центром на одно и то же расстояние r; величина rназывается радиусом окружности. Выбирая прямоугольную системукоординат с началом в центре окружности, убедимся, что координаты текущей точки(х1, х2) данной окружности удовлетворяют уравнению
/>.
В этойгеометрии существует три типа окружностей — окружности вещественного, чистомнимого и нулевого радиусов. На рис. 13 окружности нулевого радиусаизображаются с точки зрения евклидовой геометрии биссектрисами координатныхуглов, окружности вещественного радиуса — гиперболами, пересекающими ось Ох1и окружность чисто мнимого радиуса — гиперболами, пересекающими ось Ох2.
д) Взаключение рассмотрим вкратце движения в псевдоевклидовой плоскости. Движениеопределяется как преобразование, соответствующие точки которого имеют одни и теже координаты относительно исходной и произвольно заданной прямоугольных системкоординат. Как и в евклидовой геометрии доказывается, что движение являетсяизометрией и, обратно, всякая изометрия является движением. Изометрияопределяется как преобразование, сохраняющее расстояние между двумяпроизвольными точками. Как и в геометрии евклидовой плоскости, движения можноразделить
насобственные движения — движения с определителем /> =1 и несобственные — движения с определителем /> =- 1. Но теперь каждую из этих совокупностей в свою очередь можно разделить надве совокупности. Чтобы убедиться в этом, отметим предварительно следующие двазамечания.
Во-первых,ясно, что пространственные, временные и изотропные векторы при движенияхостаются соответственно пространственными, временными и изотропными.
Во-вторых,при непрерывных вращениях вокруг данной точки векторы изотропного конусаотделяют в этой точке временные векторы от пространственных.
Перейдемтеперь к дальнейшему разделению на части движений псевдоевклидовой плоскости.Нетрудно видеть, что в формулах
/> (3.11)
определяющихвращение, величина /> не обращается внуль. В самом деле, предположим, что в (3.11) коэффициент /> равняется нулю. В такомслучае пространственный вектор {1, 0} при вращении (3.11), перешел бы в вектор{0, />}, который являетсявременным, что невозможно. Таким образом, при изменениях координатныхвекторов />, вызываемыхнепрерывными вращениями, коэффициент /> будет знакопостоянным.
Следовательно,все движения делятся на четыре типа в зависимости от значения определителяпреобразования /> = 1 или /> = — 1 изнака /> > 0 или /> 
Представителямиэтих четырех типов будут, например, движения с матрицами:

/>
Псевдоевклидовотрехмерное пространство
а)обобщим построения псевдоевклидовой плоскости на трехмерные пространства.Аксиомы псевдоевклидова трехмерного пространства совпадают с аксиомами Вейляпсевдоевклидовой плоскости, за исключением аксиом размерности III. Теперь в аксиоме III-I речь идет о существовании трех линейно независимых векторов,а в аксиоме III, 2 — всякие четыре вектора линейнозависимы.
Скалярноепроизведение двух векторов />, /> в псевдоевклидовомпространстве будем обозначать, как и в случае псевдоевклидовой плоскости,символом />. Векторы/>, /> - перпендикулярны, еслиих скалярное произведение равно нулю.
Число/> называется скалярным квадратомвектора. Длиной вектора /> называетсякорень квадратный из скалярного квадрата этого вектора и обозначается через />:
 
/>.
Подкоренноевыражение может быть />>0,/>и /> =0. Длины векторов соответственно этим случаям будут вещественные, чистомнимые и нулевые. Векторы вещественной длины называются такжепространственными, векторы чисто мнимой длины — временными и векторы нулевойдлины — изотропными.
Впсевдоевклидовом пространстве вводится прямоугольная система координат. Поопределению так называется аффинная система координат, векторы которой /> единичны илимнимоединичны и взаимно перпендикулярны. Будем рассматривать так называемоепространство Минковского, в котором из трех координатных векторовпрямоугольной системы координат два единичные, а третий — мнимоединичный. Будемсчитать, что
/> (3.12)
В этойсистеме координат скалярное произведение двух векторов и квадрат длины вектора />, очевидно, вычисляютсяпо формулам вида
/>
Иквадрат длины вектора />, очевидно,вычисляются по формулам вида
/>,   (3.13)
/>.  (3.14)
Зарасстояние между двумя точками М(x1, x2, x3) и N(y1, y2, y3) по определению принимается длина вектора />, т. е.
/>. (3.15)
 
Величинойугла между векторами /> и/> называется число, определенное поформуле

/>.
Есливекторы />, /> одной природы, т. е. обапространственные или временные, то />. Болеетого, />, если для х, у выполняетсянеравенство Коши и />, еслинеравенство это не выполняется. Полагая в последнем случае />, получим />.
б) Впсевдоевклидовом пространстве существует три типа прямых в зависимости отприроды ее направляющего вектора. Здесь существуют также три вида плоскостейв зависимости от природы ее нормального вектора.
в)Подробнее рассмотрим вопрос о сферах. Сферой псевдоевклидова пространства П3называется множество точек этого пространства, отстоящих от данной точки А,называемой центром сферы, на одно и то же расстояние r. Величина rназывается радиусом сферы.
Выбираяпрямоугольную систему координат с началом в центре сферы, убедимся в том, чтокоординаты х1, х2, х3 текущей точкисферы радиуса r удовлетворяют уравнению
/>.   (3.17')
Ясно,что первые два координатных вектора прямоугольной системы здесь предполагаютсяединичными, а третий вектор — мнимоединичным.
Впсевдоевклидовом пространстве существуют три типа сферы вещественного, чистомнимого и нулевого радиуса.
Уравнениесферы вещественного радиуса r совпадает(3.17'), в котором величина r вещественная.Если сфера чисто мнимого радиуса r= ki, где k вещественное, то уравнение (3.17')приводится к виду

/>  (3.17)
Если жесфера будет нулевого радиуса, то из (3.15) следует, что
/>.  (3.18)
Уравнение(3.18) в евклидовом пространстве является уравнением конуса, а предыдущие два — уравнениями гиперболоидов.
Ясно,что конус (3,18) состоит из асимптот сфер (3.17, 17'), имеющих центр в началекоординат. Очевидно, асимптотический конус сферы совпадает с изотропным конусомее центра. Из уравнения (3.15) следует также, что на сферах псевдоевклидовапространства имеются прямолинейные образующие — прямые целиком лежащие насфере.
Очевидно,линией пересечения сферы с плоскостью является
окружность. Если секущая плоскость проходит через начало
Координат, то радиус окружности принимает значение, равное
радиусу сферы. Получаемые таким образом окружности сферы называются большимиокружностями.
Засферическое расстояние /> между двумяточками М (/>), N (/>) сферы принимаем расстояние побольшой окружности, соединяющей данные точки. Очевидно, это расстояние равняется произведению радиуса сферы на значениеугла, образованного радиусами векторами />,/>. Следовательно,сферическое расстояние /> определяется поформуле
/>.  (3.19)
Еслисфера чисто мнимого радиуса r= ki, то формула(3.19) приводится к виду

/>.
ГеометрияЛобачевского
Убедимсятеперь, что геометрия сферы чисто мнимого радиуса в псевдоевклидовомпространстве является Двухмерной геометрией Лобачевского. Ограничиваясь лишьодной, например, верхней полой сферы, покажем, что во множестве ее точек ибольших окружностей осуществляется планиметрия Лобачевского. Для простоты этиточки можно спроектировать из центра сферы на касательную к ней плоскость вточке N. Кривую пересечения касательной плоскости с изотропным конусомбудем называть абсолютом.
Припроектировании точки полусферы перейдут во внутренние точки круга,ограниченного абсолютом, а большие окружности — в хорды абсолюта. Очевидно,последние являются линиями пересечения плоскостей больших окружностей свнутренностью абсолюта. Инцидентность точек и прямых понимается в обычномсмысле. Ясно, что в системе точек внутренности абсолюта и его хорд аксиомы 1,1- 3 выполняются. Аналогично аксиомы II порядка и IV непрерывностипереходят в истинные предложения геометрии касательной плоскости. Что касаетсяаксиом III группы — аксиом конгруентности, то онитакже переходят в истинные предложения трехмерной псевдоевклидовой геометрии.При этом считаем конгруентными те отрезки (углы), которым на сфере чисто мнимогорадиуса отвечают совмещающиеся при некоторых вращениях сферы дуги большихокружностей (углы между большими окружностями).
Выяснимтеперь, какая выполняется аксиома параллельности: V или V’.
Предположим,что нам дана на верхней полусфере большая окружность и не лежащая на ней точка.В связке прямых и плоскостей, центр которой совпадает с центром сферы, этойбольшой окружности и точке отвечают соответственно плоскость />и прямая a связки.
Очевидно,что через прямую а можнопровести бесчисленное множество плоскостей связки, рассекающих полусферу побольшим окружностям, не пересекающимися с данной большой окружностью. Такимобразом в рассматриваемой модели выполняется аксиома параллельностиЛобачевского. Другими словами, плоскостная геометрия Лобачевского совпадает сгеометрией сферы чисто мнимого радиуса.
Этирассуждения позволяют принять следующее общее определение n-мерных неевклидовых геометрий.
Неевклидовымигеометриями n-измеренийназываются геометрии, которые порождаются на n-мерных сферах, Snвещественного или чисто мнимогорадиуса в (n+1)-мерномевклидовом соответственно псевдоевклидовом пространстве. Предполагается также»что диаметрально противоположные точки этих сфер отождествлены, т. е. такиепары точек считаются за одну точку.
Из этогоопределения следует, что при возрастании n число типов неевклидовых пространств также растет.Неевклидовы геометрии являются геометриями простейших римановых пространствопределенной и неопределенной метрики, составляющих так называемый класспространств постоянной ненулевой кривизны. Каждое из таких n-мерных пространств допускаетсовокупность движений, зависящую от n(n+1)/2 параметров.
Очевидно,при n=2 получим эллиптическую плоскость и плоскостьЛобачевского. Геометрия, этих плоскостей будет соответственно геометрией сферыевклидова пространства и геометрией сферы чисто мнимого радиуса впсевдоебклидовом пространстве.
Нашаближайшая задача — вывести основные формулы сферического треугольника(так называется треугольник на сфере, образованный тремя дугами большихокружностей). Эти формулы выражают основные математические соотношений втреугольниках геометрии Лобачевского.
а)Сначала докажем так называемую теорему косинусов. Предположим, что нам дансферический треугольник с вершинами А(/>), В (/>), С (/>), углами A, В, С и противолежащими сторонамисоответственно а, b, с.
Очевидно,эти стороны связаны с радиус-векторами вершин сферического треугольникаследующими равенствами
/> (3.21)
Предположимдалее, что касательная плоскость к сфере в точке С пересекает радиусы ОА и ОВ в точках /> и />. Эти числовые множители/>,/> радиусов векторов точек A1 и B1 определяются совсем просто, еслиучесть ортогональность векторов />, /> и />,/> Действительно,
/>
т. е.
/>.
Отсюдана основании (3.21) следует, что
/>. (3.22)
Повторяяприведенные рассуждения для другой пары /> и /> ортогональных векторов, получим

/>. (3.23)
Найдемтеперь скалярное произведение векторов /> и />.С одной стороны, имеем
/>,
Где
/>
Следовательно,на основании (3.22, 3.23) имеем
/>
Поэтому
/>.
С другойстороны,
/>.
Применяязатем (3.21), (3.22), (3.23), получим

/> (3.25)
Сравнивая(3.24) и (3.25), заключаем
/>
Или
/>. (3.26)
Формула(3.26) не зависит от нашего предположения о точках пересечения А1и В1. Эта формула выражает теорему косинусов сферическоготреугольника сферы чисто мнимого радиуса: косинус гиперболической сторонысферического треугольника равен произведению косинусов гиперболических двухдругих сторон без произведения синусов гиперболических этих же сторон накосинус угла между ними.
б)Переходим теперь к выводу теоремы синусов. Вычислим для этого квадрат отношения/>. На основании (3.26),имеем
/>. (*)
Видим,что числитель правой части является симметричным выражением относительнопеременных а, b, с. Нетрудноубедиться, что такой же симметричностью относительно этих переменных обладает изнаменатель. В самом деле
/> (3.27)
Такимобразом, квадрат искомого отношения симметричен относительно сторон а, b, с. Это означает, что заменяя обозначениясторон а, b, с и углов А, В, С в круговомпорядке в (*) получим отношения />, />, равные />. Извлекая из этихотношений квадратные корни, получим формулы
/>, (3.28)
выражающуютеорему синусов сферического треугольника в геометрии сферы чистомнимого радиуса: синусы гиперболических сторон сферического треугольникаотносятся как синусы противолежащих углов.
в)Заметим, что формулы (3.26) и (3.28) геометрии сферы чисто мнимого радиуса r= kiв псевдоевклидовом пространстве можно получить изсоответствующих формул сферического треугольника в евклидовом пространстве,заменяя /> на />, /> на />,/> на />.
Применяяэто правило, получим вторую теорему косинусов для сферического треугольника вслучае сферы мнимого радиуса:

/> (3.29)
Иначе,косинус угла сферического треугольника равен произведению синусов двух другихуглов на косинус гиперболической стороны между этими углами без произведениякосинусов двух других углов.
Отсюдаследует, что если углы одного сферического треугольника равны соответствующимуглам другого сферического треугольника, то такие треугольники равны.
Формулыпрямоугольного треугольника
Предположим,угол С треугольника AВС являетсяпрямым. Применяя теорему косинусов (3.26), получим
/>. (3.30)
Эторавенство выражает теорему Пифагора в геометрии Лобачевского: косинусгиперболической гипотенузы прямоугольного треугольника равняется произведениюкосинусов гиперболических катетов. Применяя формулу (3.28) будем иметь:
/>, (3.31)
/>. (3.32)
Полученныеформулы можно выписать по мнемоническому правилу, аналогичному правилу Непера всферической геометрии.
В этихформулах связываются пять элементов прямоугольного треугольника, которые можнорассматривать в циклическом порядке />. Длякаждого элемента предшествующий и последующий элементы называются прилежащими,а остальные два элемента — противолежащими элементами. Мнемоническое правилоформулируется следующим образом.
Косинусэлемента прямоугольного треугольника в геометрии Лобачевского равняетсяпроизведению синусов противолежащих элементов или произведению котангенсовприлежащих элементов.
Если подзнаком функции входит угол, то функция понимается в тригонометрическом смысле.Если же входит длина, то она делится на радиус кривизны и их функция понимаетсяв гиперболическом смысле. Наконец, в случае, когда под знаком функции стоиткатет, функция меняется на смежную: синус — на косинус, тангенс — на котангенси наоборот.
Пользуясьприведенным правилом, получим для каждого элемента соответствующие выражениячерез прилежащие и противолежащие элементы прямоугольного треугольника:
/>  (3.33)
 
Основнаяформула Лобачевского
Пустьдана на плоскости Лобачевского прямая a и точка A,не инцидентная ей. Опустим из точки А перпендикулярАВ на прямую а (рис. 19). Проведем также через точку А прямуюАО, параллельную прямой а в каком-нибудь направлении. Угол />, как указываливыше, называется углом параллельности, а ответствующим отрезку АВ. Для полученияосновной формул Лобачевского, связывающей угол параллельности ВАО = П(p) с отрезком p=АВ, возьмем на луче ВО какую-нибудь точку С.Для прямоугольного треугольника AВС,имеем
/>
Будем удалятьтеперь точку С по лучу до бесконечности, стремится при этом к 1 ив пределе, получим
/>
Отсюдаследует, что
/>
Вставляяв последнее равенство
/>
окончательнополучим
/>

Этаформула, связывающая угол параллельности П(р) с соответствующим отрезкомр, называется основной формулой Лобачевского. Из нее следует, чтоугол параллельности является монотонно убывающей функцией. Если отрезокпараллельности р стремится к нулю, то угол параллельности стремится кпрямому углу, если же р стремится к бесконечности, то угол П(р) стремитьсяк нулю.
Геометриясферы пространства Лобачевского
Возьмемв трехмерном пространстве Лобачевского сферу радиуса R с центром в некоторой точке О.На этой сфере индуцируется некоторая сферическая геометрия. Получающаясясовокупность предложений называется геометрией сферы в пространствеЛобачевского. Рассмотрим в этой геометрии прямоугольный треугольник AВС, образованный из дуг АВ = с, АС = b, ВС = aбольших кругов. Дуги больших круговздесь, как и в сферической геометрии обычного пространства являются кратчайшимидля достаточно близких точек на сфере. Углы между большими кругами понимаютсякак линейные углы двугранных углов, образованных плоскостями больших кругов.Предположим, что угол С данного треугольника прямой. Опустим далее източки В перпендикуляры ВА1и ВС1нарадиусы ОА и ОС соответственно. Применяя известные формулы кпрямоугольному треугольнику ОВС1(рис. 20), получим
/>
Аналогичноиз треугольников ОВА1и А1ВС1следует,что
/>
/>

Исключаяиз этих трех соотношений ВС1и ВA1, получим формулу
/>
совпадающуюс соответствующей формулой для прямоугольного сферического треугольника вевклидовом пространстве. Выведем теперь теорему Пифагора для прямоугольноготреугольника ABС в геометрии сферы в пространствеЛобачевского. Из треугольника ОВС1имеем
/>
Аналогичноиз треугольников ОВА1и OA1C1соответственноследует, что
/>
Исключаяиз полученных трех равенств отрезки ОС1и OA1 выводим
/>
Этаформула совпадает с соответствующей формулой для прямоугольного треугольникаобычной сферической геометрии. Указанным способом можно убедиться, что в целомгеометрия сферы пространства Лобачевского совпадает с геометрией сферыевклидова пространства.
Огеометрии Лобачевского в малом
Предположимтеперь, что в треугольнике линейные размеры a, b, cмалы по сравнению с радиусом кривизны kпространства. Это предположениезаведомо выполняется для треугольников с малыми линейными размерами или впространстве достаточно малой кривизны 1/k2. Разлагая в степенные рядыгиперболические функции в формуле (3.26), выражающей теорему косинусов вгеометрии Лобачевского, получим
/>
Учитываяздесь члены до второго порядка малости включительно, будем иметь
a2= b2+ c2– 2 bccosA.
 
Этазависимость между элементами треугольника выражает теорему косинусов вевклидовой геометрии. В случае прямоугольного треугольника cosA=0; следовательно,
a2= b2+ c2
т. е.справедлива теорема Пифагора. Далее при наших предположениях синусыгиперболические в формуле (3.28) в первом приближении пропорциональныаргументам, поэтому
/>
т. е.стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Последниетри равенства позволяют утверждать, что формулы геометрии Лобачевского дляфигур с малыми линейными размерами совпадают с соответствующими формуламиевклидовой геометрии.
 
2.4 Различные модели плоскости Лобачевского. Независимость 5-го постулатаЕвклида от остальных аксиом Гильберта
Впредыдущем параграфе познакомились с основными формулами двухмерной геометрииЛобачевского, которые в то же время были формулами геометрии сферы чистомнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве.
Этасфера, по существу, есть одна из возможных моделей плоскости Лобачевского.Другая модель — модель Бельтрами-Клейна. Она получилась из первой модели путемцентрального проектирования точек сферы на какую-нибудь ее касательнуюплоскость. Последняя, очевидно, будет евклидовой плоскостью.
ПлоскостьЛобачевского в модели Бельтрами-Клейна изображается в виде внутренности круга,причем прямые изображаются хордами. Пересекающиеся прямые изображаютсяпересекающимися хордами. Если общая точка будет стремиться по одной из прямых кбесконечности, то параллельные прямые будут изображаться хордами, общая точкакоторых принадлежит абсолюту (ограничивающей внутренность круга окружности).Наконец, сверхпараллельные прямые в рассматриваемой модели изображаютсяхордами, которые, будучи продолжены, пересекутся в точке, принадлежащей внешнейобласти абсолюта.
Нетрудноубедиться, что пучок прямых первого рода при Данном отображении переходит всовокупность хорд, пересекающихся в общей точке, принадлежащей внутренностиабсолюта. Пучок прямых второго рода, т. е. прямых, параллельных друг другу вданном направлении, переходит в совокупность хорд, пересекающихся в некоторойточке абсолюта. Наконец, пучок прямых третьего рода отображается в совокупностьхорд, пересекающихся в некоторой точке вне абсолюта.Точки абсолютаназываются бесконечно удаленными точками и точки вне абсолюта — идеальнымиточками плоскости Лобачевского. Поэтому пучки прямых второго и третьего родовназываются иногда пучками с бесконечно удаленными или соответственно идеальнымицентрами.
Нетрудноубедиться также, что ось пучка прямых третьего рода является полярой полюса — своего идеального центра. В самом деле, допустим, что ось пучка не являетсяполярой идеального центра. Предположим, например, что она не проходит черезточку пересечения поляры точки Р сабсолютом. Тогда на плоскостиЛобачевского будет существовать прямая СС1 одновременноперпендикулярная и параллельная к прямой СВ, что невозможно.
Переносяпо отображению во внутренность абсолюта основные понятия отображаемой плоскостиЛобачевского, в итоге получим так называемую модель Бельтрами-Клейна.
Ясно,что к модели Бельтрами-Клейна можно прийти непосредственной проверкой аксиомГильберта I-IV и аксиомы параллельности Лобачевского во множестве точеквнутренности круга и его хорд, вводя между ними соответствующим образомосновные отношения. Точками и прямыми в этой модели являются внутренние точкиабсолюта и его хорды без концов. „Инцидентность" точек и прямых, а также„между" для трех точек, принадлежащих одной прямой, понимаются в обычномсмысле. Два отрезка (угла) считаются конгруентными, если они будутсоответствующими при некотором взаимно однозначном точечном отображениирасширенной (за счет добавления несобственной прямой) евклидовой плоскости, прикотором абсолют остается неизменными „прямые" переходят в „прямые".
В моделиБельтрами-Клейна длины и углы искажаются, если рисунки 23, 24 понимать вевклидовом смысле.
Врассматриваемой модели через точку А, данную вне прямой а, можнопровести прямые, которые пересекают прямую а; прямые АU, АV, параллельные а и, наконец, прямые b— сверхпараллельные, располагающиеся во внутренностизаштрихованных вертикальных углов. В этой модели выполняются все аксиомыГильберта, в том числе и аксиома Лобачевского. Расстояние d(А, В) между двумя точками A, В в модели Бельтрами-Клейнавыражаются при помощи проективных понятий. Если хорда АВ пересекаетабсолют в точках М, N, то
/>
где (ABMN) обозначает двойное отношение указанных четырех точек (АМ:ВМ): (АN: BN).В самом деде, предположим, что
/>  (4.1)
являетсяуравнением абсолюта в однородных координатах. Кроме того, по условию нам даныточки А(аi) иВ(bi). Составляя уравнение прямой АВ, получим
/> (4.2)
Чтобынайти точки пересечения М, N, прямой АВ с абсолютом, решим совместно систему уравнений (4.1) и(4.2) относительно неизвестных />. Вставляя/> из равенства (4.2)в уравнение (4.1), получим
/>.  (4.3)

Развертываяболее подробно левую часть (4.3), будем иметь
/>.
Так какточка А (аi)не принадлежит абсолюту, т. е. />, торешая квадратное уравнение
/>
найдемследующие значений отношения />, дляискомых точек:
/>
С другойстороны, как известно, двойное отношение четырех точек А, B, М, N равно двойному отношению, составленномуиз соответствующих значений параметра />,поэтому
/>
Но эторавенство можно переписать в виде
/>  (4.4)

Вставляяв правую часть (4.4) найденные выражения />,/> и учитывая (3.21), получим
/>
Так какпо определению
/>
топредыдущее равенство можно переписать так:
/>
Логарифмируяэто равенство, имеем окончательно
/> (4.5)
Этаформула показывает, что расстояние между двумя точками А и В равняется сточностью до множителя двойному отношению данных точек А, В и точек М,N пересечения прямой АВ с абсолютом.
Угол /> между двумя лучами а,b, выходящими из точки С, также выражается черезпроективные понятия комплексной геометрии, Пусть т, nобозначают касательные к абсолюту,проходящие через точку С. Заметим, что прямые m, nнеобходимо комплексно сопряжены. Аналогично предыдущейформуле имеем

/>
МодельБельтрами-Клейна примечательна тем, что прямые плоскости Лобачевского в нейизображаются в виде открытых отрезков прямых евклидовой плоскости. Онаосуществляет геодезическое отображение плоскости Лобачевского на внутренностькруга евклидовой плоскости.
Преждечем перейти к другим моделям плоскости Лобачевского нужно сделать следующие дваважных замечания. Во-первых, к модели Бельтрами-Клейна можно прийти на основеотображения плоскости Лобачевского на предельную поверхность, на которой осуществляетсяевклидова геометрия. Поэтому аксиомы геометрии Лобачевского здесь выполняютсяавтоматически по отображению. Но приведенное здесь описание по отображениюосновных понятий позволяет в свою очередь прийти к этой модели самостоятельнымобразом, на основе доказательства выполнимости последовательно каждой аксиомы I — IV, V.
Во-вторых,к этой же модели Бельтрами-Клейна можно прийти, очевидно, проектированием впространстве Минковского сферы чисто мнимого радиуса из ее центра накасательную к ней плоскость, например, в северном полюсе.
Предположимтеперь, что абсолют с центром О модели Бельтрами-Клейна является большимкругом сферы. Ортогональное проектирование внутренности абсолюта на одну изполученных полусфер позволяет получить новую модель плоскости Лобачевскогона полусфере. Затем стереографическое проектирование этой полусферы на исходнуюплоскость из полюса S,расположенного в другой полусфере, где отрезок OS перпендикулярен плоскости абсолюта, приводит к моделиПуанкаре внутри круга. Следовательно, в прежнем абсолюте прямыми теперьявляются дуги окружностей, ортогонально пересекающие абсолют и диаметрыабсолюта. Отношения инцидентности, лежать между и конгруентности углов имеютобычный смысл. Понятие конгруентности отрезков также соответствующим образомпереносится из модели Бельтрами-Клейна.
Применяязатем дробно-линейное отображение комплексного переменного к внутренней областиабсолюта, получим известную модель Пуанкаре на полуплоскости. В этой модели«точками» являются точки верхней полуплоскости, «прямыми» — полуокружности сцентром на граничной прямой — абсолюте. К «прямым» причисляются также,полупрямые верхней полуплоскости, перпендикулярные к абсолютной прямой. Отношенияинцидентности и лежать между понимаем в обычном смысле. Конгруентность углов вэтой модели совпадает с евклидовой конгруентностью. Модель Пуанкарепредставляет собою конформное отображение плоскости Лобачевского на евклидовуполуплоскость.
Чтокасается понятия конгруентности отрезков, то оно определяется через движенияили расстояние между двумя точками А и В, причем понятиерасстояния между точками в последнем случае не предполагает измерения отрезков.По определению оно означает число.
/>(*)
еслиточки A, В лежат на полуокружностиили число
/>(**)
еслиточки лежат на полупрямой, перпендикулярной граничной прямой XX. В этих формулах углы />,/> и ординаты у1, у2 имеют обычный смысл, ясный из рисунка 29, д.
Очевидно,всегда можем предполагать, что обозначение углов символами />, /> и ординат у1,у2для данных точек A, В осуществлено так, что правые части в (*), (**) положительны.Теперь нетрудно определяется конгруентность отрезков. Отрезки АВ и СDконгруентны, если расстояние между концами A, В одного отрезка равнорасстоянию между концами С, Dдругогоотрезка.
Подчеркнемеще раз, что к модели Пуанкаре на полуплоскости мыпришли в результатеотображения первой модели Пуанкаре во внутренности круга. Поэтому аксиомыГильберта геометрии Лобачевского выполняются автоматически по отображению.
Приводимыездесь описания основных образов и отношений инцидентности, лежать между,конгруентности отрезков и углов позволяют прийти к этой модели Пуанкаре наполуплоскости самостоятельным образом, путем доказательства выполнимостикаждой аксиомы гильбертовской аксиоматики.
Взаключение остановимся на вопросе независимости 5-го постулата Евклида отостальных аксиом Гильберта. Согласно общей установке, изложенной в главе 1,достаточно построить какую-нибудь модель, на которой бы выполнялись все аксиомыГильберта I — V за исключением аксиомы параллельности V. Аксиома эта, эквивалентнаяотносительно аксиом I — IV утверждению 5-го постулата, состоитв следующем. Через точку А, не принадлежащую прямой а, можнопровести в плоскости, определяемой этой точкой А и прямой а, неболее одной прямой, не пересекающейся с данной прямой a.
Очевидно,любая модель геометрии Лобачевского, например, Бельтрами-Клейна позволяетдоказать независимость аксиомы параллельности от предыдущих аксиом I — IV. Действительно, на этой модели выполняются все 19 аксиом I — IV, а аксиома V невыполняется. Отсюда заключаем, что при помощи аксиом I — IV,Гильберта невозможно доказать аксиому параллельности V. Другими словами, 5-й постулат Евклида нельзя вывести кактеорему из предыдущих аксиом I — IV.
 

Заключение
Открытие неевклидовойгеометрии, начало которому положил Лобачевский, не только сыграло огромную рольв развитии новых идей и методов в математике естествознании, но имеет и философскоезначение. Господствовавшее до Лобачевского мнение о незыблемости геометрииЕвклида в значительной мере основывалось на учении известного немецкого философаИ. Канта (1724-1804), родоначальника немецкого классического идеализма. Кант утверждал,что человек упорядочивает явления реального мира согласно априорным представлениям,а геометрические представления и идеи якобы априорны (латинское слово aprior означает – изначально, заранее), тоесть, не отражают явлений действительного мира, не зависят от практики, отопыта, а являются врожденными человеческому миру, раз и навсегдазафиксированными, свойственными человеческому разуму, его духу. Поэтому, Кантсчитал, что Евклидова геометрия непоколебима, неизменна, и является вечнойистиной. Еще до Канта геометрия Евклида считалась незыблемой, как единственновозможное учение о реальном пространстве.
Открытие неевклидовойгеометрии доказало, что нельзя абсолютировать представления о пространстве, что«употребительная» (как назвал Лобачевский геометрию Евклида) геометрия неявляется единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрииЕвклида. Итак, в основе геометрии Евклида лежат не априорные, врожденные умупонятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, счеловеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какаягеометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытиенеевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки,способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего насматериального мира.

Список литературы
1.        Большая СоветскаяЭнциклопедия, Гл. Ред.: А. М. Прохоров, издание 3-е, Москва, СоветскаяЭнциклопедия, 1969.
2.        Глейзер Г.И.История математики в школе IX – X классы. Пособие для учителей. Москва,Просвещение 1983.
3.        Даан ДальмединоА., Пейффер И. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. Перевод сфранцузского. М: Мир.1986г.
4.        Егоров И.П.Лекции по аксиоматике Вейля и неевклидовым геометриям, Рязань, 1973Ефимов Н.В.,Высшая геометрия, Наука, М.,1971.
5.        Егоров И. П.«Основания геометрии», М., «Просвещение», 1984.
6.        Квант №11,№12Академик АН СССР А.Д. Александров, Интернет-издания.
7.        Клайн М.,Математика. Утрата определенности, Мир, М., 1984
8.        Лаптев Б.Л. Н.И.Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. М. Просвещение, 1970.
9.        Математика XIX века, Наука, М., 1981.
10.     Неевклидовыпространства и новые проблемы физики, Белка, М., 1993.
11.     Розенфельд Б.А.Неевклидовы пространства, М., Наука,1969.
12.     Широков П.А.Краткий очерк основ геометрии Лобачевского, М., 1955.
13.     Юшкевич А.П.,История математики в России, Наука, М., 1968.
14.      Яглам И.М. Принципотносительности Галилея и неевклидова геометрия. Серия Библиотекаматематического кружка М: 1963.