Реферат натему: Предмет вивчення теорії ймовірностей
Виконала:
учениця 9-Б класу
Перепелиця Юлія
Валки, 2011
Вступ
Першіроботи, у яких зароджувалися основні поняття теорії ймовірностей, являли собоюспроби створення теорії азартних ігор (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма й іншів XVI-XVII вв.).
Наступнийетап розвитку теорії ймовірностей зв'язаний з ім'ям Якоба Бернуллі (1654—1705).Доведена ним теорема, що одержала згодом назву «Закону великих чисел», булапершим теоретичним обґрунтуванням накопичених раніше фактів. Подальшими успіхамитеорія ймовірностей зобов'язана Муавру, Лапласові, Гаусу, Пуассонові й ін.
Новий,найбільш плідний період зв'язаний з іменами П.Л. Чебишева (1821 —1894) і йогоучнів А.А. Маркова (1856—1922) і А.М. Ляпунова (1857—1918). У цей період теоріяймовірностей стає стрункою математичною наукою. Її наступний розвитокзобов'язаний у першу чергу російським і радянським математикам (С.Н. Бернштейн,В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнов іін.). В даний час ведуча роль у створенні нових галузей теорії ймовірностейтакож належить радянським математикам.
1. Основиазартних ігор
Азартніігри побудовані на математичних закономірностях. В основі всього того, щовідбувається за ігровим столом, лежить теорія імовірності. Доти, поки ви недосягнете рівня експерта, наприклад, кращі шанси на виграш завжди будуть указино. Невдачливий гравець може проводити за столом багато годинник, виграючиі програючи невеликі суми, не розуміючи при цьому, що більший сумарний час гризбільшує імовірність і розміри його загального програшу.
Хочаматематична перевага у всіх іграх майже завжди на стороні казино, утішнимфактом є те, що інтелектуальний гравець уміє звести цю перевагу до мінімуму.
Чому жказино йдуть на це? Порозумівається всі дуже просто. Більшість гравців граєвідверто погано, залишаючи в казино надзвичайні програші. І якщо ви для себевирішуєте витратити визначену кількість часу на обмірковування ігровоїстратегії і не лінуєтеся робити необхідні розрахунки, ви тим самим надаєтеможливість менш витонченим гравцям оплачувати вашу гру, тому що в цей час вониграють самі.
Математикаазартних ігор
Більшістьігор казино є предметом математичного аналізу. Тільки гри із суб'єктивнимфактором, такі як чи покер ставки на спортивних тоталізаторах представляютьпроблему. Будь-яка гра, у якій гравець протистоїть круп'є, може бути підданааналізу з метою вироблення оптимальної ігрової стратегії. У цих іграх може бутитільки одна правильна відповідь на стратегічне питання. У них не існує сірих читонів множинності думок. Так, іноді два різних джерела можуть мати різні точкизору щодо чи гри цифри. Часом це приводить до помилок, тому я не претендую навласну непогрішність і точність у прийнятті рішень. Однак дуже частавідсутність елементарних знань математики азартних ігор визначає невдачу.
Незважаючина значні зусилля, прикладені мною для складання рекомендацій з виробленняоптимальних ігрових стратегій, я б усе-таки радив усім гравцям діяти більшсамостійно при математичному розрахунку своїх шансів і плануванні дій. Вибудете почувати себе більш комфортно і впевнено за ігровим столом, якщо своюігрову стратегію ви розробили самі. Будь-яка книга по теорії імовірності здатнадати вам вичерпні інструменти і знання для проведення розрахунків. Математичнийаналіз може бути досить простим для таких ігор як Рулетка, Кісти.
2.Біологічна мінливість і імовірність
У біологіїі медицині мінливість виражена набагато сильніше і має більше наукове значення.При повторних вимірах ваги того самого людини, проведених в одне і теж час,можна легко знайти невеликі коливання результатів, однак вони не представляютьособливого інтересу. Якщо ж повторні виміри проводити через короткі проміжкичасу, то можна знайти коливання внаслідок чи додатка утрати ваги за рахунокприйому їжі, подиху, виділень і т.д. Усі ці аспекти, безумовно, мають важливезначення з біологічної точки зору, однак у порівнянні з більш значними змінами,що відбуваються, скажемо, за чи тиждень за місяць і зв'язаними з загальнимпроцесом росту, такі короткочасні зміни можуть вважатися несуттєвими. Пішовшидалі і порівнявши значення відповідних чисельних показників у різнихіндивідуумів, ми негайно знайдемо мінливість усередині популяції. Відомо, щоокремі представники будь-якого даного виду можуть значно відрізнятися друг віддруга по чи вазі розмірам тіла, і звичайно ідея опису популяції середнімипоказниками не зустрічає серйозних заперечень. Вага і ріст — настільки знайомідля більшості з нас показники, що усереднені криві чи рости таблиці середньоїваги для людей визначеного віку, пола і рости приймають за стандарти, щодозволяють судити про ступінь відхилення від норми в кожнім конкретномувипадку.
Однакнавіть у таких простих показників, як ріст і вага, спостерігаються іноді дужевеликі коливання внаслідок звичайної природної мінливості. Автору відомо проодне дослідження ваги дитини протягом перших десяти днів перебування вродильному будинку, що проводилося для порівняння результатів годівлі грудьми ірезультатів штучної годівлі з урахуванням таких факторів, як вага дитини принародженні, його підлога, вік матері і т.п. Крива середньої ваги для декількохсотень нормальних дітей, що одержували штучне харчування, протягом усьогоперіоду дослідження безупинно піднімалася нагору. Середня вага дітей, щовигодовуються грудьми, у перші день-два різко падав, як і очікувалося, а потімпочинав швидко рости і вже через кілька днів збігався з вагою дітей–штучних.
Можна булоб сказати, що це служить наочною демонстрацією здатності організму переборюватипервісну недостачу їжі і досягати стійкої швидкості росту. Однак примітно те,що, хоча на основі кривих для середніх значень можна спробувати зробити якісьзагальні висновки, дані, записані для окремих дитин, виявляються зовсімхаотичними: одні діти безупинно додавали у вазі, інші безупинно втрачали, а вінших вага те зростав, те знижувався, тобто спостерігалися різкі коливання. Прицьому ніякому очевидному зв'язку між цими різними випадками і різнимифакторами, що досліджувалися, знайти не удалося. Упорядкованість і регулярністьлегко виявляються лише в середніх значеннях, узятих по великому числуіндивідуумів. Тому при використанні загальної кривої середньої ваги як стандартдля судження про розвиток окремого немовляти необхідно виявляти великуобережність.
Виняткововажливо враховувати можливі відхилення, щоб основна математична модельвизначала не тільки середню вагу, яку варто очікувати при даному віці дитини іпри даному режимі харчування, але і дозволяла вимірити наявне відхилення віднорми.
Як добревідомо, одним із самих плідних способів опису характеру мінливості єзастосування відповідного закону розподілу, що визначає імовірність того, щорезультат виміру якого-небудь параметра індивідуума, обраного випадковимобразом, буде мати будь-яке задане значення або лежати у визначеному інтервалізначень. Такі безупинні параметри, як ріст, вага і т.п., нерідко задовільноописуються кривої нормального, чи гаусового розподілу.
Нормальнийрозподіл є одним з найпростіших з погляду математики. Крім того, існує рядтеоретичних основ, що дозволяють припускати, що багато розподілів, щозустрічаються на практиці, повинні бути близькі до нормального, і це припущеннядійсне часто підтверджується. Цих розумінь цілком достатньо для того, щобнормальний розподіл зайняв важливе положення в теорії ймовірностей іматематичній статистиці.
Для описудискретних величин у тих випадках, коли мається обмежене число альтернативнихспостережень (наприклад, таких, як число дитяти-альбіносів у родині даногоскладу), може виявитися придатним біноміальний розподіл. Якщо мається піндивідуумів і імовірність того, що який-небудь з них має визначену ознаку,дорівнює р (незалежно від інших індивідуумів), то імовірність спостереження rіндивідуумів з даною ознакою має біноміальний розподіл.
Розподілчисла радіоактивних часток, що випускаються за даний проміжок часу деякоювеликою масою радіоактивної речовини, числа дорожньо-транспортних випадків, щовідбуваються за даний проміжок часу за певних умов, чи числа лейкоцитів, щоспостерігаються в одному квадраті гемоцитометру, найкраще описується закономПуассона.
Ми привеливсього три найбільш розповсюджених і найбільш прості розподіли з числазустрічавшихся на практиці, однак з їх допомогою можна охопити разюче великабезліч випадків природної мінливості в біології і медицині, не звертаючи добільш складних описів. Деяке представлення про зміст і можливості теоріїрозподілів можна почерпнути з книг по теорії ймовірностей (див., наприклад,книгу Феллера) чи математичній статистиці (див., наприклад, книгу Кендалла і Стюарта).
Застосуваннярозподілів ймовірностей — аж ніяк не новий спосіб опису біологічної мінливості.Кетле, що працював спочатку в області астрономії і метеорології, був, очевидно,першим, хто застосував нормальний розподіл для опису біологічного матеріалу (вінувів його при вивченні розподілу людей по росту, про що вже говорилося вище).Пізніше Фрэнсис Гальтон широко застосовував криву нормального розподілу пристатистичному дослідженні спадковості, і вона зіграла фундаментальну роль углибокій роботі Карла Пирсона з питань біометрії, написаної наприкінці минулогостоліття. З тих пір різні типи розподілів почали застосовувати внайрізноманітніших областях біології — у молекулярній біології, таксономії,екології, генетику, психології і т.д.
Як зісторичної, так і з логічної точки зору розподілу ймовірностей являють собоюпросто більш зроблені варіанти математичних моделей. Вони дозволяють звестивеличезне різноманіття спостережень до одного закону, якому можнаохарактеризувати дуже невеликим числом параметрів: двома у випадку нормальногорозподілу, одним-єдиним у випадку пуасоновського розподілу і т.д. Це даєможливість більш точно описати явища, що змінюються, і полегшує їхнє розуміння.
Власнекажучи це те, що Р. Фишер називав «редукцією даних». Чисельну інформаціюможна точно записувати, зберігати, передавати й обговорювати. Потім ці описиможна перетворити до такого виду, що і прийнято розглядати як власнематематичну модель, тобто аналог реальної дійсності, наділений такоюструктурою, що дозволяє застосовувати звичайні методи наукового дослідження. Цеозначає, що за допомогою моделі виводяться наслідки і прогнози, справедливістьїї перевіряється за відповідними спостереженнями й у разі потреби в модельвносяться зміни. Перевірка моделей зв'язана зі статистичними методами, щобудуть розглядатися в наступному розділі.
Зрозуміло,математичні моделі (навіть вірогідні) часто не задовольняють біологів, щовважають їхній надмірно спрощеними. Для фахівця в області екології сучаснівірогідні моделі конкуренції між видами цілком можуть показатися занадтопримітивними. Однак уся справа в тім, що такий підхід дозволяє більш впевненоохопити все різноманіття і складність природи. При використанні сучаснихматематичних і статистичних методів і обчислювальної техніки метод побудовиматематичних моделей може бути розвитий до такого ступеня, що з'явитьсяможливість зробити для біології те, що математична фізика зробила для фізики.
3.Помилкова точність
теоріяймовірностей біологічна мінливість
Калькулятори,що стали в останні роки повсюдно доступними, безсумнівне благо, що, однак, маєі негативні сторони. Чи всі розуміють, скільки цифр потрібно залишати примноженні і розподілі на калькуляторі, якщо він показує їхній вісьмох чи навітьдванадцять? І майже всі студенти і навіть аспіранти вважають, що залишати їхнійпотрібно якнайбільше. Це невірно! Розберемо найпростіший приклад.
Обмірюванийрадіус окружності дорівнює 6 м. Знайти її довжину.
Звичайнорозраховують: З=2p=2x3,14x6 м=37,68 м. Але чотири вірні цифри — це дуже високаточність, у соті частки відсотка, що не так вуж часто реалізується при вимірах.Відкіля взятися такої високої точності, якщо хоча б одна величина, що входить уформулу, дана з точністю, на кілька порядків меншої? Адже в нашому прикладівона виражається всього однією цифрою. Так що коректна відповідь такий: довжинаокружності " 38 м. А якщо необхідний дійсно точна відповідь, те і дані вумові задачі повинні бути з відповідним числом знаків, скажемо 6,00 м.
Правилаокруглення проходять у середній школі. Вони приведені в багатьох книгах,наприклад у класичному «Довіднику по математиці для інженерів і втузів, щоучиться,» И. Н. Бронштейна і К. А. Семендяева. Але якось так вийшло, щозараз цей маленький розділ (у всякому разі, у курсі математики) школярам невикладають і вуж поготів не згадують у курсах вищої математики у вузах. Щероків двадцять назад учні й інженери широко користалися логарифмічною лінійкою,що давала точність у двох чи три значущі (тобто вірні) цифри й автоматичнозахищала обчислювача від фіктивної (іноді говорять — ілюзорної) точності,навіть якщо він забував правила округлення. Але рахункову лінійку витиснувтехнічний прогрес, захист зникла, і «ефект удаваної точності» придбавмасштаби епідемії.
Щоб знизитийого вплив, потрібно випливати класичним правилам округлення. У них основнимпоняттям служить число значущих цифр, що відноситься тільки до вимірюваних,тобто випадковим величинам. Воно вважається ліворуч праворуч починаючи з першоїненульової цифри. Наприклад, 0,004080 має чотири, а 4,08x10-3 — три значущіцифри. множник, що має 10 у кратному ступені, не впливає на число значущихцифр, а лише вказує обраний масштаб величини, не приводячи при цьому дофіктивної точності. Ще приклад. Відстань 3,5 км= 3,5x103 м — точна рівність, уякому ліворуч і праворуч по двох значущі цифри. Не так просто обстоїть справа зрівністю 3,5 км= 3500 м. Якщо це усього лише приведення масштабу до іншихкратних одиниць — одна справа. Якщо ж треба відбити безпосередній результатвиміру — трохи інше. Адже праворуч коштують чотири значущі цифри, а ліворучїхній дві; тому, відбиваючи результат, краще ставити хвилястий знак наближеноїрівності. Неважко відчути різну інформаційну і навіть економічне навантаження вчастинах рівності. Число ліворуч має абсолютну точність 50-100 м, а праворуч — 0,5-1 м, від половини до цілого останнього «розподілу». Якщо такависока точність дійсно потрібна при вимірі кілометрових відстаней, то цінністьцього результату і вартість його виміру набагато вище, ніж у числа ліворуч.
Нагадаємоголовне правило округлення: якщо роблять чи множення розподіл, то в результатізалишають стільки цифр, скільки їхній містить найменш точна з обмірюванихвеличин, і звичайно зберігають ще одну запасну цифру. Помітимо, що частоплутають число значущих цифр із числом десяткових знаків, вважаючи, що якусьроль грає положення коми в числі. Але кома лише вказує на прийнятий масштабвимірів і не задає числа значущих цифр. Наприклад, 1,205 км= 1205 м; і в тім ів іншому випадку число значущих цифр дорівнює і, отже, вони записані зоднаковою точністю.
Оборотнийувага на одні несподівані труднощі. Виявляється, у дуже багатьох навчальнихкнигах по математиці приведені приклади, у яких точність вимірювальних даних вумові на кілька порядків нижче, ніж точність у рішенні. Точність як би здатнавиникати нізвідки, і це міцно осідає в підсвідомості учнів. Приведу тільки одинприклад з добротного у всіх інших відносинах «Керівництва до рішення задачпо теорії ймовірностей і математичній статистиці» В. Е. Гмурмана.
Імовірністьпояви події в кожнім з 100 незалежних іспитів постійна і дорівнює р=0,8. Знайтиімовірність того, що подія з'явиться не менш 75 разів і не більш 90 разів.
Сама задачавирішена в принципі, зрозуміло, правильно. Але точність результату записаначотирма цифрами: шукана імовірність дорівнює 0,8882, тоді як правильної був бизапис 0,89.
Запис узадачнику має на увазі точність у соті частки відсотка. Відкіля з'являєтьсятака точність, якщо в умові імовірність 0,8 задана тільки однією значущоюцифрою і тому характеризується точністю в десятки відсотків? Повчально згадатидосвіди видатного статистика К. Пирсона: коли симетрична монета підкидалася 12тисяч разів, то частота падіння її на герб була 0,5012, а коли 24 тисячі разів- 0,5005 (див. «Наука і життя» № 7, 1993 р.). ми бачимо, що навітьпри настільки великому числі повторень досвіду невипадковими стають у першомувипадку лише дві цифри, а в другому з натяжкою їхній три. У більшості ж іншихвидів механічних іспитів число повторень набагато нижче, нижче і точність результатів.
— Ну і що?- запитаєте ви. — чи Треба займатися такими дріб'язками, начебто б особливихнеприємностей від збереження зайвих цифр не виникає.
Це не так.І не просто тому, що взагалі при аналізі спостережень людина повинна прагнутидо істини, а омани можуть завдати шкоди, навіть якщо заздалегідь не завжди ясноякий. По-перше, якщо не знати, як правильно округлити результат, на якій цифрізупинитися, те де гарантія, що ви не відрізаєте і вірні цифри, погіршившинеобхідну точність? По-друге, допустимо, ви зберегли зайві, незначні цифри, арезультат потрібно збільшити в дуже велике число раз. Тоді випадковий«довесок» чи «недовагомий» приведе до великої помилки, якийможна було б уникнути (така ситуація типова для астрономічних задач). По-третє,якщо в якісь документи (опису, звіти, протоколи іспитів) потраплять незначніцифри, неможливо буде в точності відтворити вихідні величини. Одним словом,освоїти нескладні правила округлення випадкових величин усе-таки випливає.
Висновок
Події, щоспостерігаються нами, (явища) можна підрозділити на наступні три види:достовірні, неможливі і випадкові.
Достовірнимназивають подія, що обов'язково відбудеться, якщо буде здійснена визначенасукупність умов S. Наприклад, якщо в судині міститься вода при нормальномуатмосферному тиску і температурі 20°, то подія «вода в судині знаходиться врідкому стані» є достовірне. У цьому прикладі задані атмосферний тиск ітемпература води складають сукупність умов S.
Неможливимназивають подія, що свідомо не відбудеться, якщо буде здійснена сукупність умовS. Наприклад, подія «вода в судині знаходиться у твердому стані» свідомо невідбудеться, якщо буде здійснена сукупність умов попереднього приклада.
Випадковимназивають подія, що при здійсненні сукупності умов S може або відбутися, або невідбутися. Наприклад, якщо кинута монета, то вона може упасти так, що зверхубуде або герб, або напис. Тому подія «при киданні монети випав«герб»—випадкове. Кожна випадкова подія, зокрема випадання «герба», є наслідокдії дуже багатьох випадкових причин (у нашому прикладі: сила, з яким кинутамонета, форма монети і багато хто інші). Неможливо врахувати вплив на результатусіх цих причин, оскільки число їхній дуже велике і закони їхньої дії невідомі.Тому теорія ймовірностей не ставить перед собою задачу пророчити, відбудетьсяодинична чи подія ні, — вона просто не в силах це зробити.
По-іншомуобстоїть справа, якщо розглядаються випадкові події, що можуть багаторазовоспостерігатися при здійсненні тих самих умов S, тобто якщо мова йде про масовіоднорідні випадкові події. Виявляється, що досить велике число одноріднихвипадкових подій незалежно від їхньої конкретної природи підкоряєтьсявизначеним закономірностям, а саме вірогідним закономірностям. Установленнямцих закономірностей і займається теорія ймовірностей.
Отже,предметом теорії ймовірностей є вивчення вірогідних закономірностей масовиходнорідних випадкових подій.Знання закономірностей, яким підкоряються масовівипадкові події, дозволяє передбачати, як ці події будуть протікати. Наприклад,хоча, як було вже сказане, не можна наперед визначити результат одного киданнямонети, але можна пророчити, причому з невеликою погрішністю, число появ«герба», якщо монета буде кинуте досить велике число раз. При цьомупередбачається, звичайно, що монету кидають у тих самих умовах. Методи теоріїймовірностей широко застосовуються в різних галузях природознавства і техніки:у теорії надійності, теорії масового обслуговування, у теоретичній фізиці,геодезії, астрономії, теорії стрілянини, теорії помилок спостережень, теоріїавтоматичного керування, загальної теорії зв'язку й у багатьох іншихтеоретичних і прикладних науках. Теорія ймовірностей служить також дляобґрунтування математичної і прикладної статистики, що у свою чергувикористовується при плануванні й організації виробництва, при аналізітехнологічних процесів, попереджувальному і приймальному контролі якостіпродукції і для багатьох інших цілей.
В останніроки методи теорії ймовірностей усе ширше і ширше проникають у різні областінауки і техніки, сприяючи їхньому прогресу.
Списоквикористаної літератури
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерныеприложения. — М.: Гл.ред. ФМЛ, 2007. — 480 с.
2. Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас Дж. Вероятность. – под ред. И.М.Яглома. – М., Издательство «Мир», 2009. – 426 с.
3. Груман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб.пособие для вузов. Изд. 5-е перераб. И доп. М., «Высшая школа», 1999.
4. Венцель Е.С., Теория вероятностей, М., «Наука», 2004.
5. Розанов Ю.А., Лекции по теории вероятностей, М., «Наука», 2008.