ПРОСТОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Файл: FERMA-UVar
© Н.М. Козий, 2007
Авторские права защищенысвидетельствами Украины
№ 22108 и № 27312
Великаятеорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http: // soluvel. okis.ru/evrika. html):
Аn+ Вn = Сn/1/
где n — целое положительное число, большее двух, не имеет решенияв целых положительных числах.
Суть Великойтеоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
Аn = Сn — Вn /2/
Уравнение/2/ рассматриваем как параметрическое уравнение n — нойстепени с параметром A и переменными B и С.
Уравнение/2/ запишем в следующем виде:
Аn = (С0,5n) 2 -(В0,5n)2 /3/
Обозначим:
В0,5n =V /4/
С0,5n =U /5/
Отсюда:
Вn =V2 /6/
Сn =U2 /7/
В =/>/8/
С =/>/9/
Тогда изуравнений /2/, /6/ и /7/ следует:
Аn = Сn — Вn =U2-V2/10/
Уравнение/10/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чиселзапишем в виде:
Аn=(U-V) ∙(U+V) /11/
Длядоказательства великой теоремы Ферма используем метод замены переменных. Обозначим:
U-V=X /12/
Из уравнения/12/ имеем:
U=V+X /13/
Из уравнений/11/, /12/ и /13/ имеем:
Аn=X∙ (V+X+V) =X∙(2V+X) = 2VX+X2 /14/
Из уравнения/14/ имеем:
Аn — X2=2VХ /15/
Отсюда:
V =/>/16/
Из уравнений/13/ и /16/ имеем:
U= /> /17/
Из уравнений/8/, /9/, /16/ и /17/ имеем:
В=/>/18/
C =/>/19/
Из уравнений/ 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С былицелыми, является делимость числа А на число X, т.е. числоX должно быть одним измножителей, входящих в состав множителей числа А. Другими словами, число А должнобыть равно:
A = N∙ X,/20/
где N — простое или составное целое положительное число.
Из уравнений/ 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С былицелыми, является также одинаковая четность чисел A и X: оба числа должны быть четнымиили оба нечетными.
Из уравнений/ 18/, /19/ и /20/ следует:
В=/>/21/
C=/>/22/
Обозначим:
P = /> /23/
Q = /> /24/
Тогда:
B = /> /25/
С =/>/26/
Из уравнений/23/ и /24/ имеем:
Q = /> /27/
Такимобразом, из уравнений /26/ и /27/ следует:
С =/>/28/
Из анализауравнений /25/ и /28/ следует. Что поскольку разность между числами P и Q равна всего лишь:
Q — P = P + 1 — P = 1,
то поменьшей мере одно из чисел В или С является дробным числом.
Еслидопустить, что число В — целое число, например равно:
B = />, то:
С = /> - дробноечисло.
Такимобразом, одно из чисел В или С — дробное число.
Следовательно,великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.
В частномслучае, если показатель степени n =2, из формул /18/и/19/ имеем:
/>B=V=/>; C=U=/>. /29/
При условии,что числа A и X имеют одинаковую четность и число X является делителем числа A, поформулам /22/ определяются пифагоровы числа B и C длячисла A.