Содержание
Введение
1. Продольное обтекание телвращения
2. Поперечное обтеканиетел вращения
3. Продольное ипоперечное обтекание удлиненных тел вращения
4. Применение методаособенностей для расчета продольного и поперечного обтеканий тел вращения
Список источников
Введение
Теоретическаямеханика, изучая простейшие, механические формы движения и взаимодействияматериальных тел, отвлекается от многих их действительных свойств и используетв качестве допустимой абстракции понятия материальной точки и системыматериальных точек. Материальная система может быть как дискретной, состоящейиз отдельных материальных точек, так и сплошной, представляющей непрерывныераспределения вещества и физических характеристик его состояния и движения впространстве. В этом случае систему называют сплошной материальной средой или,короче, сплошной средой.
Простейшимпримером сплошной среды является неизменяемая среда или абсолютно твердое тело.Более общий образ изменяемой сплошной среды объединяет в механике как упругие ипластические, так и жидкие и газообразные тела.
Разделтеоретической механики, занимающийся движениями такого рода изменяемых сред,носит наименование механики сплошных сред, а часть ее, относящаяся к жидким игазообразным средам, – механики жидкости и газа. Этот термин получил впоследнее время широкое распространение, придя на смену ранее употреблявшемусятермину гидромеханика, включавшему в себя как собственно механику жидкости (отгреческого «хидрос» – вода), так и механику газов, в частности воздуха.Развитие авиации вызвало особый интерес к вопросам силового взаимодействиявоздуха с движущимися в нем телами (теория крыла и винта) и движения тел ввоздухе при наличии этих взаимодействий (динамика полета); так появиласьаэромеханика. Углубление знаний в области движения сжимаемых жидкостей (газов)привело к возникновению газовой динамики, а применение ее результатов к авиациии ракетной технике положило основание к созданию новой дисциплины –аэротермодинамики, под которой сейчас понимают механику и термодинамику газа,движущегося с большими сверхзвуковыми и гиперзвуковыми скоростями.
Современныйэтап развития механики жидкости и газа, так же как и вообще механики сплошнойсреды, характеризуется значительно возросшей вязью с физикой. Требованияглавным образом ракетной техники поставили перед механикой жидкости и газановые задачи, определяемые, с одной стороны, гиперзвуковыми (космическими)скоростями движения тел сквозь атмосферу в широком диапазоне высот, с другой –движениями газов в камерах горения и соплах двигателей. В этих условияхприходится иметь дело со сверхвысокими температурами, вызывающими диссоциацию иионизацию газа, явлениями, связанными с разреженностью атмосферы на большихвысотах полета, с разрушением (плавлением и испарением) твердой поверхностиобтекаемого газом тела, излучением тепла поверхностью тела и самим газом, сдвижениями смесей реагирующих между собой газов (например, при горении) имногими другими физическими и химическими процессами. При использовании потоковионизированного газа (плазмы) для непосредственного превращения тепла вэлектрическую энергию в магнитогидродинамическом генераторе необходиморассматривать взаимодействие движущегося газа не только с твердыми телами, но ис электрическими и магнитными полями (магнитная гидродинамика). Все сказанное огазе относится, хотя и в несколько меньшей степени, и к жидкостям. В настоящеевремя жидкости широко используются как носители тепла в атомной энергетике;процессы тепломассопереноса в жидкостях лежат в основе многих главным образомхимических производств, металлургия с успехом применяет магнитную гидродинамикудля управления потоками жидких металлов в процессах плавки и др.
Вотпочему предмет механики жидкости и газа сейчас уже нельзя сводить к одномумеханическому движению жидкости и газа и механическому взаимодействию их ствердыми телами. Механические движения сопровождаются общими движениями материи– сложными физическими процессами, которыми не только нельзя пренебрегать, какэто делалось ранее, а наоборот, следует иметь в виду, что эти процессы вомногих практических задачах играют главную роль, оставляя механическимдвижениям вспомогательное, подчиненное значение.
Кромеуже упомянутого ранее основного свойства принятой модели жидкой и газообразнойсреды – ее сплошности (непрерывности распределения массы и физико-механическиххарактеристик среды), для динамики существенно второе основное свойство жидкойили газообразной среды – ее легкая подвижность, или текучесть, – выражающееся втом, что для большинства жидкостей и всех газов касательные напряжения(внутреннее трение) в среде отличны от нуля только при наличии относительногодвижения сдвига между слоями среды. При относительном покое внутреннее трениеотсутствует. В этом заключается отличие жидкой или газообразной среды,например, от упругой среды, в которой касательные напряжения, обусловленныеналичием деформаций (а не скоростей деформаций) сдвига, отличны от нуля и приотносительном покое среды.
Обладаяобщими свойствами непрерывности и легкой подвижности, жидкости и газыотличаются друг от друга по физическим свойствам, связанным с различием вовнутренней их молекулярной структуре.
Предполагаяотсутствие внутреннего трения и процессов переноса, приходят к модели идеальнойжидкости, которая оказывается пригодной для описания многих важных сторонявлений обтекания тел, но по самой своей сущности не может, например, объяснитьпроисхождения сопротивления тел, разогревания жидкостей и газов за счетдиссипации механической энергии в тепло, тепломассопереноса в жидкости и др.Для описания этих явлений необходимо пользоваться более сложной моделью вязкой,проводящей тепло и обладающей способностью переноса примесей (диффузии)жидкости или газа.
1. Продольноеобтекание тел вращения
Для расчетавнешнего осесимметричного обтекания тел вращения (см. Приложение 1) возьмем вмеридианальных плоскостях (r, x) эллиптическуюсистему координат (x, h), связанную с (r, x)соотношениями
х= сch xcos h, 0 £ x £ ¥,
r = с sh x sin h, 0 £ h £ 2p,
гдевеличина c представляет расстояние фокусов семейства координатных линий– сoфокусных эллипсов и гипербол – от начала координат.
Положим
ch x = l, cos h= m, l £ l £ ¥, -1 £ m £ 1;
тогда связьмежду координатами (r, x) и (l, m) будет иметь вид
х = сlm, r = с Ö l2 – 1 Ö 1 – m2. (1)Определив производные
/>
найдемкоэффициенты Ламе[1]
/> (2)
После этогоуже нетрудно составить и основное дифференциальное уравнение Лапласа дляпотенциала скоростей. Согласно формуле[2]
/> (*)
получим /> (3)
Будем искатьчастное решение этого уравнения в виде произведения двух функций от переменных l и m в отдельности
j= L(l) M(m); (4)
тогда вуравнении (2) переменные разделятся и из равенства
/>
в силунезависимости l и m будет следовать, что каждая из частей равенствадолжна быть постоянной. Полагая эту постоянную равной n (n+1), где n– целое положительное число, получим для определения L(l) и М(m) два обыкновенныхлинейных уравнения второго порядка лежандрова типа
/> (5)
Этимуравнениям удовлетворяют[3] два классанезависимых решений:
1) функцииЛежандра 1-го рода – полиномы Лежандра Pn (х), определяемыеравенствами
2)
P0(x)= 1, Р1(х) = х, P2(x) = 0.5 (Зх2-1), P3(x)= 0.5 (5x3-3x),…
ирекуррентным соотношением для вычисления последующих полиномов
(n + 1) Pn +1(х) = (2n + 1) хРn(х)– nРn-1(х);
2) функцииЛежандра 2-го рода Qn(х), определяемые равенствами
/>
ирекуррентным соотношением
(n + 1) Qn+1(х) = (2n + 1) xQn(х)– nQn-1(х),
совпадающим спредыдущим соотношением для полиномов Лежандра.
Представимрешение уравнения (3) как сумму двух потенциалов: 1) потенциала j¥ однородного потока,набегающего на тело со скоростью U¥; этот потенциал попервой из формул (1) будет равен j¥= U¥x = U¥clm. и 2) потенциала j' скоростей возмущений,который выразим суммой частных решений (4).
Функция Pn(х),как полином n-й степени, обращается в бесконечность при бесконечновозрастающем аргументе, функция же Qn(х) при этом стремится кнулю, но зато логарифмически бесконечна при х = ± 1. В случае внешнегообтекания тела координата l = ch x может достигатьбесконечных значений, а координата m ограничена. Примем вовнимание, что потенциал скоростей возмущенного движения (т.е. обтекания завычетом однородного потока со скоростью, равной скорости на бесконечности)должен стремиться к нулю при удалении от поверхности тела, причем />.
Изприведенных соображений следует, что искомые частные решения должны иметь видпроизведений Qn(l) Pn(m) (n = 1, 2,…);
подчеркнем,отсчет n при суммировании начинается с единицы, а не с нуля. Этоподтверждается наличием следующих очевидных асимптотических равенств,справедливых при больших значениях l, а, следовательно,согласно (1), и R = = Öх2 + r2, имеющего тот жепорядок, что иl:
/>/>
Таким образом, будем иметь правильныйпорядок убывания j' на бесконечности, если положим
/>, (6)
где An- постоянные коэффициенты, зависящие от формы поверхности тела.
Складываяпотенциалы j¥ и j', получим искомыйпотенциал скоростей продольного обтекания тела вращения со скоростью набесконечности, равной U¥,
/> (7)
Дляопределения коэффициентов An найдем выражение функции тока y. По формуле (2) будемиметь
/>
или послеподстановки разложения (7)
/>
Переписываявторое равенство в виде
/>
подставим подзнак суммы выражение для Pn из основного дифференциальногоуравнения функций Лежандра (5)
/>
Тогда будемиметь
/>
Интегрируя поmи добавляя необходимую функцию от l, получим окончательноевыражение для функции тока
/> (8)
Уравнение нулевойповерхности тока будет
/> (9)
Сравнивая егос заданным уравнением профиля тела вращения в эллиптических координатах, можноопределить величины коэффициентов Аn, что и решает задачу.Конечно, именно этот пункт и является наиболее сложным с вычислительнойстороны.
/>
Имея выражение потенциаласкоростей, найдем скорость по формуле (10).
2.Поперечное обтекание тел вращения
Наряду спродольным обтеканием тел вращения представляет интерес и поперечное обтекание,перпендикулярное (Приложение 1, б) к оси симметрии тела. Из сложения этих двухпотоков можно получить обтекание тела вращения под любым углом.
В этом случаеуже не получается осесимметричного движения. Уравнение Лапласа, определяющеепотенциал скоростей, будет в ортогональной системе криволинейных координат,согласно (*), иметь вид
/>
Сохраняя туже систему координат (l, m, e), что и в случаеосесимметричного обтекания тела вращения, и используя выражения коэффициентовЛаме (2), перепишем предыдущее уравнение в форме
/> (13)Будем искать решение этого уравнения в виде произведениядвух функций
j= N(l, m) Е(e);
тогда,подставляя последнее выражение в уравнение (13) и разделяя функции независимыхпеременных, получим систему уравнений (k – произвольное число, котороебудем считать положительным и целым)
/>
Первоеуравнение имеет решение: Е = A cos ke+ В sin ke;
второе, еслиположить N = L(l) М(m) и разделить переменные,может быть приведено к системе уравнений
/>
имеющей вкачестве частных решений так называемые присоединенные функцииЛежандра[4]
/> (14)
Комбинируяэти функции так, чтобы выражение потенциала скоростей возмущенного движениябыло ограниченным при l ® ¥, получим общее выражение потенциала скоростей
/>
здесьпоследнее слагаемое представляет собой потенциал скоростей набегающего на телооднородного потока со скоростью на бесконечности V¥, направленнойпараллельно оси Оу (Приложение 1, б).
Полагая втолько что выведенной общей формуле потенциала
An1 = сV¥Сn, An2 = An3 =… = 0, Bn1 = Вn2 =… = 0,
т.е.довольствуясь решением, содержащим cos e, и, кроме того,представляя у по формулам, помещенным в начале § 1, как функцию l, m и e
/>
получимследующее выражение потенциала скоростей поперечно набегающего со скоростью V¥ вдоль оси Оупотока:
/>
или,используя определение присоединенных функций Лежандра (14),
/> (15)
Дляопределения постоянных Сn, как и ранее, следует составитьграничное условие на заданной поверхности обтекаемого тела. В этом случаенеосесимметричного движения функция тока отсутствует и приходитсянепосредственно вычислять нормальную скорость Vn = ¶j/¶n и приравнивать ее нулю.
Несколькооблегчая вычисления, выпишу в выбранной системе координат (l, m) условие, что принепроницаемости поверхности обтекаемого тела элемент дуги его меридианногосечения параллелен составляющей скорости в меридианной плоскости (условиескольжения жидкости по поверхности тела):
/>
или,вспоминая выражения элементов дуг координатных линий и проекций градиентапотенциала на направления этих линий,
/>
Отсюдавытекает искомое граничное условие
/> (16)
в котором l является заданнойфункцией m согласно уравнению контура обтекаемого тела в меридиональнойплоскости. Составляя частные производные ¶j/¶l, ¶j/¶mи используя (15) получаю:
/>
/>
Замениввходящие сюда выражения вторых производных на основании дифференциальныхуравнений функций Рn и Qn
/>
получим послепростых приведений
/>
/>
Подставляяэти выражения производных в (16) и используя ранее выведенные значениякоэффициентов Ламе
/>
получим послеочевидных сокращений
/>
Имея в виду,что на поверхности тела l представляет заданную функцию от m, перепишем граничноеусловие в окончательной форме так:
/> (17)
3. Продольное и поперечное обтекание удлиненных тел вращения
Вбольшинстве практических приложений приходится иметь дело с телами вращения,удлинение которых, т.е. отношение длины к максимальной толщине, довольно велико(порядка 8–12). Это объясняется хорошей обтекаемостью такого рода тел реальнойжидкостью.
Расчетобтекания тел вращения большого удлинения может быть произведен приближеннымметодом. Изложим его основную идею[5].
Основнымзатруднением в решении задачи является определение коэффициентов Аnпри продольном и Сn – при поперечном обтекании тела. Чемпроще будет связь между l и m, определяющая формуконтура в меридианной плоскости, тем меньше коэффициентов Аn, Сnможно брать в разложениях потенциала скоростей. Самая простая связьпредставляется равенством l = const, т.е. случаем обтекания эллипсоида.Отсюда следует вывод: чем ближе исследуемое тело по форме к эллипсоиду, темлегче может быть разрешена задача. В связи с этим решим, прежде всего, вопрос овыборе положения начала координат на продольной оси тела. Замечу, что фокусыудлиненного эллипсоида вращения находятся посередине отрезка, соединяющеготочки пересечения большой оси и поверхности эллипсоида с центром кривизныповерхности в этих точках. Начало координат следует выбирать совпадающим ссерединой отрезка, соединяющего фокусы; при таком выборе начала координат, чемближе обтекаемое тело к эллипсоиду, тем меньше уравнение контура будетотличаться от простейшего равенства l = const.
Если обтекаемоетело имеет большое удлинение, то поверхность его располагается в областизначений l, мало превышающих значение l = сhx = 1 или x = 0, соответствующееотрезку оси Oz, соединяющему фокусы. Рассматривая значения функций Qn(l) и dQn/dl при l, лишь немногопревышающих единицу, убедимся, что при достаточно малых x будут иметь
месторавенства
/> (18)
где gn и dn – малые по сравнению спервыми членами поправки. Замечательно, что согласно равенствам (18), при малыхxвсе функции Qn и dQn/dl в первом приближении независят от индекса n. Основное граничное условие продольного обтекания(9) в первом приближении будет, согласно (18), иметь вид
/> (19)
гдепроизводная dPn/dm представляет известнуюфункцию величины m = cos h. Ограничивая суммунекоторым фиксированным числом членов n = m, можно, пользуясьвыражениями полиномов Лежандра (из § 1), написать тождество
/> (20)
из которогоможно вывести выражения коэффициентов An через an.Так,например, при m =5 имеем
A1= a1 – 3/5 a3 + 3/35 a5, A2 = a2– 9/7 a4, A3 = 8/5 a3 – 32/15 a5,
A4= 16/7 a4, A5= 64/21 a5.
Представив контур меридианного сечения приближенным тригонометрическимразложением в эллиптических координатах
/> (21)
определим темсамым числа аn, а уже после этого, согласно тождеству (20), ивеличины коэффициентов An, что и дает первое приближение крешению задачи об осесимметричном продольном обтекании удлиненного телавращения. Если удлинение обтекаемого тела велико, то указанное приближение оказываетсядля практики достаточным. При желании можно учесть в формулах (18) остаточныечлены gn и dn, что приведет ко второму и следующимприближениям.
Аналогичнымпутем решается вопрос о поперечном обтекании удлиненного тела вращения. Приплавности контура l изменяется в пределах от 1 + ½ x2min до 1 + ½ x2max; при этом m остается в пределах ±1.Таким образом, можно считать, что производная dl/dm имеет порядок x2max, т.е. сравнительно мала.Отсюда следует, что величина
/>
имеет порядокединицы. Рассматривая граничное условие (17) видим, что стоящая в квадратнойскобке слева величина
/>
мала посравнению с величиной />. Действительно,
/>
Такимобразом, в квадратной скобке в левой части равенства (*) первый одночлен имеетпри малых x порядок 1/x2, второй – ln 1/x.
Изприведенного рассуждения следует, что на поверхности удлиненного тела вращения,где xмало, точное граничное условие поперечного обтекания (17) может быть замененона приближенное
/> (22)
Сравнивая этограничное условие с приближенным граничным условием продольного обтекания (19),видим, что между искомыми коэффициентами Anи Cnсуществует простое соотношение
Cn= -2An/n (n+1). (23)
В первомприближении обе задачи – продольного и поперечного обтекания – решаютсяодновременно и сравнительно легким путем. При обычных значительных удлиненияхтел вращения вполне можно довольствоваться первым приближением.
Определивкоэффициенты An и Cn, найду выраженияпотенциалов и компонент скоростей для продольного и поперечного обтеканий,после чего уже нетрудно разыскать и распределение скоростей и давлений поповерхности заданного тела вращения или вне его при любом угле. Отмечу, что привсех вычислениях на поверхности удлиненного тела и вблизи нее можнопользоваться для Qn и dQn/dl приближеннымивыражениями (18). Само собой разумеется, что при удалении от поверхностиобтекаемого тела l возрастает и формулы (18) становятся все менее именее точными.
4.Применение методаособенностей для расчета продольного и поперечного обтеканий тел вращения
Изложенный в предыдущих параграфах(§ 1 и § 2) метод исследования продольного и поперечного обтеканийтел вращения, основанный на непосредственном решении уравнения Лапласа вэллиптических координатах, не является единственным методом решения этойзадачи. Первоначально формы обтекаемых тел вращения для дирижаблей определялисьналожением однородного, параллельного некоторой оси потока на поток от системыисточников (стоков), распределенных вдоль той же оси. Для этой цели применялисьвначале дискретные особенности потока – системы источников (стоков) илидиполей, а впоследствии – непрерывные их распределения.
Предположимдля определенности, что на отрезке (– с, + с) оси Ох заданонепрерывное распределение источников (стоков) интенсивности q(х). Тогдапотенциал j' возмущенного движения, созданного этой системой особенностей,будет равен (знак минус введем в определение интенсивности q)
/> (24)
Если задатьсявидом функции q(x'), то, вычисляя интеграл (24), получим потенциалскоростей, а дифференцирование по r и x позволит вычислить ипроекции скорости Vr и Vx. Наоборот,задаваясь формой обтекаемого тела, можно, переходя от потенциала скоростейвозмущенного движения к полному потенциалу продольного обтекания телаоднородным потоком с заданной скоростью на бесконечности и написав условиенепроницаемости поверхности тела, получить интегральное уравнение, в котором q(х')будет неизвестной функцией. Заменяя потенциал скоростей на функцию тока, Карман[6]разработал метод приближенного интегрирования соответствующего интегральногоуравнения, основанный на замене интеграла конечной суммой. Однако метод Карманане был достаточно общим и, кроме того, требовал решения в каждом отдельномслучае системы большого числа линейных алгебраических уравнений, что делало егона практике слишком трудоемким.
Аналогично,пользуясь выражением потенциала диполя: – m cosq/ (4pr2), можно составить ипотенциал j¢ поперечного обтекания тела вращения, складываяпотенциал однородного натекания с заданной скоростью на бесконечности спотенциалом скоростей возмущенного движения жидкости от непрерывнораспределенных по отрезку – с диполей интенсивности m(х')
/> (25)
Здесь такжеможно задаваться распределением интенсивности m (х') или, наоборот,определять эту интенсивность из интегрального уравнения, представляющегоусловие непроницаемости заданной поверхности тела по отношению к потоку,складывающемуся из возмущенного и однородного на бесконечности.
Неостанавливаясь на изложении этих в настоящее время уже малоупотребительныхметодов, укажем лишь на простую их связь с методами, изложенными в предыдущихпараграфах. Покажем, что при заданной форме поверхностей обтекаемых телвращения неизвестные функции q(х') и m(х') могут быть выраженычерез ранее введенные коэффициенты An и Сn.
Разобьем осьсимметрии тела вращения Ох на две области: одну, определяемую интервалом– с £х£с, заполненнымособенностями, и вторую, представляющую остальную часть оси Ох, где |x | > c. В эллиптических координатах l, m отрезок, на которомрасположены особенности, можно представить, согласно формуле r = c Öl2– 1 Ö1 – m2, так:
l= 1, – 1 £m£1,
а остальнуючасть оси Ох, как
m= ±1, 1 l¥.
Тогда,сравнивая между собой вне отрезка (– с х' с)выражения потенциалов возмущений (24) и (25) с соответственными выражениями техже потенциалов и приняв во внимание, что Рn(1) = 1, получимследующие два равенства:
/> (26)
/> (27)
которые призаданных коэффициентах An и Сn можнорассматривать как два интегральных уравнения для определения неизвестныхфункций q и m.
Интегральное уравнение (26)может быть решено, если искать решение в виде ряда />, – 1 £ m' £ 1.Подставляяэто разложение в (26), получим
/>
Замечая, чтопо известной формуле теории функций Лежандра[7]
/>
перепишемпредыдущее интегральное уравнение в виде
/>
откуда будетсразу следовать искомое решение
an= 2pcU¥An, /> (28)
Дляразыскания второй неизвестной функции m(х') продифференцируем раз по l и другой раз по m' известное разложение[8]
/>/>
тогда получим
/>
Подставляяэто разложение в интегральное уравнение (27), преобразуем его к виду
/>
Используядалее разложение неизвестной функции m (cm¢) в форме
/>
и замечая,что в силу ортогональности полиномов Лежандра
/>
убедимся всправедливости равенства cn = Сn.
Итак, имеем
/> (29)
Совокупностиформул (24) и (28), (25) и (29) позволяют при желании пользоваться потенциаламискоростей возмущений в цилиндрических координатах, если уже заранее вычисленыкоэффициенты An и Сn. Замечу, что этикоэффициенты проще определять при помощи разложений уравнения контурамеридианного сечения в ряды по функциям от эллиптических координат, а уже затемпроводить расчеты в эллиптических или цилиндрических координатах. Как былопоказано в предыдущем параграфе, в случае удлиненных тел коэффициенты Anи Сnлегко определяются путем разложения уравнения контура втригонометрический ряд по косинусам эллиптической координаты h.
Замечу еще взаключение, что для тел с очень большим удлинением можно определить q(х)и m(х) из следующих двух простейших предположений:
1) в случаепродольного обтекания считать нормальную к поверхности тела составляющуюскорости возмущения V¢n равной скорости плоскогодвижения от источника, расположенного в ближайшей точке оси. Тогда условиенепроницаемости поверхности даст
V¢n= q(x) / 2pr= U¥dr/dx,
откуда
q(x) = 2pU¥rdr/dx= U¥dA/dx, (30)
причемr(x) представляет заданное уравнение контура меридианного сечения, A– площадь поперечного сечения;
2)в случае поперечного обтекания тела вращения выберем m(x) из условия,чтобы элемент тела, вырезанный плоскостями х и х + dx, обтекалсятак же, как элемент цилиндра бесконечного размаха в плоском движении. Этоприведет к равенству
m(х) = 2pV¥r2(х) = 2V¥A(х). (31)
Список использованныхисточников
1. Лойцянский Л.Г., Механика жидкости и газа, Главная редакцияфизико-математической литературы издательства «Наука», М., 1987 г.
2. Е. Уиттекер и Г. Ватсон, Курс современного анализа
3. Я.М. Серебрийский, Обтекание тел вращения, т. VIII
4. Н.Я. Фабрикант, Курс аэродинамики, ч. I
5. И.А. Кибель, Н.Е. Кочин и Н.В. Розе, Теоретическаягидромеханика, ч. I
6. Г. Ламб, Гидродинамика.