1. Случайная выборка объема />
Под случайной выборкой объема n понимают совокупностьслучайных величин />, не зависимыхмежду собой. Случайная выборка есть математическая модель проводимых водинаковых условиях независимых измерений.
Таблица 142,7; 37,6; 45,1; 55,4; 50,7; 30,7; 31,9; 43,8; 47,5; 42,1; 57,7; 21,3; 45,5; 45,3; 46,2; 50,9; 33,2; 40,4; 40,0; 59,6; 46,0; 44,0; 37,0; 44,7; 64,6; 58,9; 31,3; 59,2; 45,5; 53,3; 43,6; 37,5; 33,0; 42,6; 39,6; 51,5; 47,4; 48,6; 33,8; 29,2; 33,7; 48,5; 44,4; 37,6; 45,1; 36,0; 26,4; 38,0; 49,7; 52,1; 42,7; 49,0; 31,9; 52,2; 60,6; 44,6; 43,9; 59,4; 53,7; 45,9. 2. Упорядоченная выборка
Упорядоченной статистической совокупностью будем называтьслучайную выборку величины в которой расположены в порядке возрастания />
Таблица 221,3; 26,4; 29,2; 30,7; 31,3; 31,9 31,9; 33,0; 33,2; 33,7; 33,8; 36,0; 37,0; 37,5 37,6; 37,6; 38,0; 39,6; 40,0; 40,4; 42,1; 42,6 42,7; 42,7; 43,6; 43,8; 43,9; 44,0; 44,4; 44,6 44,7; 45,1; 45,1; 45,3; 45,5; 45,5; 45,9; 46,0 46,2; 47,4; 47,5; 48,5; 48,6; 49,0; 49,7; 50,7 50,9; 51,5; 52,1; 52,2; 53,3; 53,7; 55,4; 57,7 58,9; 59,2; 59,4; 59,6; 60,6; 64,6.
/>.
Определим шаг или длину интервала, по формуле Стерджесса
/>, (1)
/>.
Таблица 3
/>
/>
/>
/>
/> [18; 25) 21,5 1 0,0167 0,0024 [25; 32) 28,5 6 0,1 0,0142 [32; 39) 35,5 10 0,1667 0,0238 [39; 46) 42,5 20 0,3333 0,0476 [46; 53) 49,5 13 0,2167 0,0309 [53; 60) 56,5 8 0,1333 0,0190 [60; 67) 63,5 2 0,0333 0,0048
/> 60 1
где />,
/>,
/>,
/> - частота;
/> - относительнаячастота;
/> - плотностиотносительных частот.
/>/>
Рис. 1. Гистограмма плотности относительных частот
По построенной гистограмме (рис.1) можно предположить, чтоданное распределение подчиняется нормальному закону. Для подтверждениявыдвинутой гипотезы проведем оценку неизвестных параметров, для мат. Ожидания
/>, (2)
/>.
для несмещенной оценки дисперсии
/>, (3)
/>
Функция плотности имеет вид
/>, (4)
где />,
/>.
Пользуясь приложением 3 в учебнике Вентцель Е.С. — «Теориявероятностей» — М.: Высшая школа, 1998., получим значения />
/> (5)
/> (6)
/>
/>
/>/>. (7)
Полученные значения занесем в таблицу 4
Таблица 4
/>
/> 21.5 0.0025 28.5 0.0114 35.5 0.0291 42.5 0.0425 49.5 0.0351 56.5 0.0165 63.5 0.0044 3. Критерий согласия /> (Пирсона)
Найду соответствующие вероятности для каждого разряда
Из ТВ для нормальной случайной величины />
/> (8)
Значения функции Лапласа, находим в приложении 2, учебникаВентцель Е.С., Овчаров Л.А., теория вероятностей и её инженерные приложения. Учеб.пособие для вузов. — 2-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2000.
/>
/>
Таблица 5
/>
/>
/>
/>
/>
/> 7 10 20 13 10
/> 0,12567 0, 20289 0,29017 0,24263 0,15245
/> 7,5402 12,1734 17,4102 14,5578 9,1470
/> -0,5402 -2,1734 2,5898 -1,5578 0,8530
/> 0,2918 4,7237 6,7071 2,4267 0,7276
/> 0,0387 0,3880 0,3852 0,1667 0,079
/>. (9)
/> - расчетное
Найдем число степеней свобод
/> (10)
Где k=5; s=3;
r=2
Для />
Получили:
/>.
Гипотеза о нормальном распределении генеральнойсовокупности, из которой сформирована выборка, не противоречитэкспериментальным данным.4. Нахождение доверительного интервала
4.1 Оценка математического ожидания />
4.2 Оценка дисперсии />.
4.3 Среднеквадратичное отклонение оценки
/>, (11)
/>.
4.4 По функции Лапласа, определим t
/>;
/> (12)
где/>
/>.
4.5 Точность оценки
/> (13)
/>
4.6 Доверительный интервал />
/>
При достаточно большом числе выборок, /> из них имеет такиедоверительные интервалы. А в 5% оценив параметры математического может выходитьза пределы доверительного интервала.