Введение
Изучение групп, представимых в произведение своих подгруппявляется классической задачей алгебры.
Изучение факторизуемых групп началось с изучения групп, разложимыхв прямое произведение некоторого множества своих истинных подгрупп, т.е. приусловиях, когда факторизующие подгруппы инвариантны в факторизуемой группе ипересечение любой из них с произведением остальных равно единице. Еще в XIXвеке было установлено, что любая конечная абелева группа разложима впроизведение некоторого множества циклических подгрупп (Фробениус иШтикельбергер [1]). В связи с этой теоремой в теорию групп пришел вопрос оконечных неабелевых группах, факторизуемых некоторым множеством своих попарноперестановочных циклических подгрупп. При этом не предлагается ни нормальностьфакторизующих множителей, ни единичность пересечения каждого из них спроизведением остальных. Был установлен ряд свойств конечных групп, имеющихфакторизацию такого рода, в частности их сверхразрешимость (теорема Хупперта[2]).
Как известно, конечная нильпотентная группа – это прямоепроизведение />-подгрупп по разным простым/> В связи с этим возниквопрос характеризации конечных групп, разложимых в произведение попарноперестановочных />-подгрупп поразным простым />
Случай, когда группа является произведением своих двух силовскихподгрупп, т.е. бипримарной, был рассмотрен еще Берсайдом, который установил ихразрешимость. В 1938 году Ф. Холл[28] доказал свою знаменитую теорему о том,что конечная группа тогда и только тогда разложима в произведение попарноперестановочных />-подгрупп поразным простым />, когда онаразрешима.
В связи с этими результатами возник вопрос о строении конечныхгрупп, представимых в произведение своих нильпотентных подгрупп. Ответ на этотвопрос был получен Виландтом[4] и Кегелем[19], которые установили разрешимостьтаких групп.
Класс конечных групп, представимых в произведение своих двухнекоторых нильпотентных подгрупп (кратко, динильпотентных групп) достаточносложен. Он включает в себя сверхразрешимые группы, бипримарные,метанильпотентные и т.д. и этими примерами он далеко не исчерпывается.
Даже для таких групп связь группы со свойствамиподгрупп-множителей достаточно сложная и исследование ее становится весьманепростой задачей.
В последние пятнадцать лет эта связь изучалась в работах многихавторов. Получено немало интересных глубоких результатов и разработаны методыисследования. Естественно, что это направление далеко не исчерпало себя и имеетширокие перспективы.
Настоящая дипломная работа посвящена изучению некоторых свойствконечных разрешимых групп, представимых в виде произведения своих двух />-разложимых подгрупп. Вдальнейшем, для краткости, группы с таким свойством буем называть ди-/>-разложимые.Рассматриваются только конечные разрешимые группы.
Работа состоит из перечня условных обозначений, реферата,введения, основной части, включающей три раздела, заключения и спискацитируемой литературы.
Первый раздел носит справочный характер. Здесь приведеныобозначения, определения и некоторые известные результаты, существенноиспользуемые в работе.
Второй раздел посвящен изложению некоторых результатов о строениигрупп ди-/>-разложимых групп. Здесьсобраны из различных источников и систематизированы основные результаты о ди-/>-разложимых группах иполучен один новый результат.
Напомним следующее определение:
2.2.1 О п р е д е л е н и е. Пусть/> – непустая формация.Подгруппа /> группы /> называется:
1) />-субнормальной в />, если либо />, либо существуетмаксимальная цепь подгрупп /> такая,что /> для всех /> (обозначается />);
2) />-достижимой в />, если существует цепьподгрупп /> такая, что либо подгруппа /> субнормальна в />, либо /> для любого /> (oбозначается />).
2.2.6 Т е о р е м а. Пусть /> – наслественная насыщеннаяформация, причем /> и /> – ди-/>-разожимая группа. Тогасправиливы следующие утверждения:
1) если /> /> и /> то />
2) если /> /> и /> то />
Основные результаты и выводы работы сосредоточены в третьемразделе, в котором изучаются свойства подгрупп ди-/>-разложимыхгрупп.
В 1958 году Виландт [4] ввел следующее понятие. Подгруппа /> группы /> называется факторизуемойотносительно /> если /> и /> Хайнекен Н. [4] в 1990году исследовал факторизуемые />-проекторыв динильпотентных конечных группах для случая, когда /> – насыщенная формация.Группа /> называетсядинильпотентной, если />, где /> и /> – нильпотентные подгруппыгруппы /> Подробнее в 1994 годуАмберг В. и Хёфлинг В. [3] распространили основной результат Хайнекена наклассы Шунка.
В третьем разделе нами исследуются факторизуемые проекторы в ди-/>-нильпотентных группах. Вклассе всех конечных разрешимых групп получены следующие результаты.
3.2.1 Т е о р е м а. Пусть /> – некоторое множествопростых чисел, /> – класс Шунка и />. Если /> – ди-/>-разложимая группа, причем />, то в /> имеется хотя бы одинфакторизуемый относительно /> />-проектор.
Так как всякая насыщенная формация является классом Шунка, тосправедливо следующее:
3.2.2 С л е д с т в и е. Пусть /> – насыщенная формация,причем /> Если /> – ди-/>-разложимая группа, причем />, то в /> имеется хотя бы одинфакторизуемый относительно /> />-проектор.
Следуя [], подгруппу /> группы /> назовем />-картеровой подгруппой,если /> />-нильпотентна, /> и /> содержит некоторую />-холловскую подгруппугруппы />.
3.2.4 С л е д с т в и е. Пусть /> – ди-/>-разложимая группа. Тогда в/> имеется хотя бы однафакторизуемая относительно /> />-картерова подгруппа.
Следуя, [] подгруппу /> группы /> назовем />-гашюцевой подгруппой, если/> />-сверхразрешима, содержитнекоторую />-холловскую подгруппугруппы /> и для /> индекс /> есть составное число.
3.2.6 С л е д с т в и е. Пусть /> – ди-/>-разложимая группа. Тогда в/> имеется хотя бы однафакторизуемая относительно /> />-гашюцева подгруппа.
Цель дипломной работы – изучениеосновных свойств конечных разрешимых произведений />-разложимыхгрупп и их факторизуемых подгрупп. В работе решены следующие задачи: –изучены свойства примитивных конечных разрешимых произведений />-разложимых групп; –найдены условия факторизуемости />-проекторовконечных разрешимых произведений />-разложимыхгрупп для случая, когда /> – классШунка конечных разрешимых групп; – найдены приложения полученных результатовдля классических формаций.
Объектом исследования являютсяконечные разрешимые произведения />-разложимыхгрупп и их подгрупп. Предметом исследования – свойства конечных разрешимыхпроизведений />-разложимых групп и ихподгрупп.
Методология и методы исследования. В дипломной работе используются методы доказательств абстрактнойтеории конечных групп, а также методы теории классов конечных групп.
Новизна полученных результатов:Результаты первых двух разделов носят в основном реферативный характер. Теорема2.2.6 является новой. Параграф 3.1 раздела 3 взят из работы Васильевой Т.И.[36]. Параграф 3.2 содержит новые результаты.
Практическое применение и экономическая значимость работы: Результаты дипломной работы могут быть использованы внаучно-исследовательской работе студентов, аспирантов, а также в учебномпроцессе при чтении спецкурсов на математических специальностях в высшихучебных заведениях.
Необходимые сведенияПеречень определенийи условных обозначений
Рассматриваются только конечные группы. Ниже мы приводим известныеопределения и понятия, которые существенно используются в работе.
/> –простое число;
/> –группа;
/> –класс групп;
/> –некоторое множество простых чисел;
/> –дополнение к /> во множестве всех простыхчисел;
/> –множество всех различных простых делителей порядка группы G;
/> –множество всех различных простых делителей порядков групп, которые принадлежат />;
/> –формация;
/> –класс всех нильпотентных групп;
/> –класс всех нильпотентных />-групп;
/> –класс всех нильпотентных />-групп;
1.1.1 О п р е д е л е н и е. Подгруппа/> группы /> называется факторизуемойотносительно /> если /> и />
1.1.2 О п р е д е л е н и е. Группа/> называетсядинильпотентной, если /> где /> и /> – нильпотентные подгруппыгруппы />
1.1.3 О п р е д е л е н и е. Группаназывается сверхразрешимой, если она обладает нормальным рядом с циклическимифакторами.
1.1.4 О п р е д е л е н и е. Холловойподгруппой конечной группы называют подгруппу, порядок и индекс которой взаимнопросты.
1.1.5 О п р е д е л е н и е. Минимальнойнормальной подгруппой группы /> называетсянормальная подгруппа /> группы /> такая, что /> и в /> нет нетривиальныхнормальных подгрупп группы />
1.1.6 О п р е д е л е н и е. Произведениевсех нормальных нильпотентных подгрупп группы /> называетсяподгруппой Фиттинга группы />.Обозначается через />
1.1.7 О п р е д е л е н и е. Группа/> дисперсивна, если онаобладает нормальным рядом, факторы которого изоморфны силовким подгруппам.
1.1.8 О п р е д е л е н и е. Формациейназывается класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямыхпроизведений.
1.1.9 О п р е д е л е н и е. Формацияназывается насыщенной, если она является насыщенным классом, т.е. если /> /> то />
1.1.10 О п р е д е л е н и е. Класс/> называется примитивнозамкнутым классом, если все примитивные факторгруппы группы /> принадлежат />, то />
1.1.11 О п р е д е л е н и е. КлассомШунка называется класс групп, который одновременно замкнут относительнофакторгрупп и является примитивно замкнутым классом.
1.1.12 О п р е д е л е н и е. Если/> – подгруппа группы /> и /> то /> называется />-подгруппой.
1.1.13 О п р е д е л е н и е. />-максимальной подгруппойгруппы /> называется такая />-подгруппа /> группы /> которая не содержится ни вкакой большей />-подгруппе.
1.1.14 О п р е д е л е н и е. Пусть/> – некоторый класс групп.Подгруппа /> группы /> называется />-проектором, если выполненыусловия: /> и из того, что />, а />, всегда следует />
1.1.15 О п р е д е л е н и е. Подгруппу/> группы /> назовем />-картеровой подгруппой,если /> />-нильпотентна, /> и /> содержит некоторую />-холловскую подгруппугруппы />.
1.1.16 О п р е д е л е н и е. Подгруппу/> группы /> назовем />-гашюцевой подгруппой, если/> />-сверхразрешима, содержитнекоторую />-холловскую подгруппугруппы /> и для /> индекс /> есть составное число.
1.1.17 О п р е д е л е н и е. Пересечениевсех нормальных подгрупп группы /> факторгруппыпо которым принадлежат /> обозначают через/> и называют />-корадикалом группы />
1.1.18 О п р е д е л е н и е. />-класс Шунка – класс Шунка,для которого из условия />, всегдаследует />.
Факторизуемые подгруппыпроизведений конечных групп
В настоящем разделе излагается подробно теория факторизуемыхподгрупп теории конечных групп, взятая из [32] c точными ссылками на работы авторовприведенных результатов.
1.2.1 Л е м м а. Пусть /> – некоторая группа, /> и /> – ее подгруппы. Подгруппы /> и /> перестановочны тогда итолько тогда, когда произведение /> являетсяподгруппой группы />.
(Говорят, что непустые множества /> и/> элементов группыперестановочны, если />.)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть подгруппы /> и /> перестановочны. Тогда,очевидно
/>
/> (Если/> – непустое множествоэлементов некоторой группы, то, как обычно, />.)
С учетом последних соотношений множество /> является подгруппой группы/>.
Достаточность. Пусть подмножество /> являетсяподгруппой. Тогда, очевидно, /> т.е.подгруппы /> и /> перестановочны.
Лемма доказана.
1.2.2 О п р е д е л е н и е. Пусть/> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и />. Если />, то будем говорить, чтоподгруппа /> факторизуема относительноразложения />
1.2.3 Л е м м а (Виландт[4]). Пусть/> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и />; /> – некоторая подгруппагруппы /> и /> – нормализатор подгруппы /> в />. Подгруппа /> факторизуема относительноразложения /> если выполняется следующееусловие:
(*) всякий раз, когда для элементов /> и/>
/>
элементы /> и /> содержатся в />.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполняется условие (*), /> и /> – произвольные элементысоответственно из /> и />, для которых />. Тогда выполняетсясоотношение (1) и, следовательно, /> и /> Поэтому ввидупроизвольности элементов /> и /> /> и, значит, />. Лемма доказана.
1.2.4 Л е м м а. Пусть /> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и />; /> – подгруппа, порожденнаянекоторыми инвариантными подгруппами соответственно групп /> /> и /> и /> – нормализатор подгруппы /> в />. Подгруппа /> факторизуема относительноразложения /> тогда и только тогда,когда выполняется условие (*) из формулировки леммы 1.2.3.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если условие (*) выполняется, то полемме 1.2.3 подгруппа /> факторизуемаотносительно разложения /> Пустьподгруппа /> факторизуема относительноразложения /> /> и /> – какие-нибудь элементысоответственно из подгрупп /> и />, такие, что выполняетсясоотношение (1). Поскольку /> то длянекоторых элементов /> и /> Отсюда получаем
/>
/>
Очевидно, /> Поэтому с учетомсоотношений (2) /> и /> Лемма доказана.
1.2.5 Л е м м а. Пусть /> – группа, /> – ее подгруппа и /> – элемент группы /> некоторая натуральнаястепень которого содержится в />. Тогдаподгруппа /> не является истиннойподгруппой группы />.
(Подгруппа, отличная от самой группы, называется ее истиннойподгруппой.)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если бы /> была истинной подгруппойгруппы />, то она, как легкоубедиться, была бы и истинной подгруппой группы /> прилюбом натуральном />, в том числе при/>, для которого />, что невозможно. Леммадоказана.
1.2.6 Л е м м а. Пусть /> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и /> Пусть, далее /> – некоторые инвариантныеподгруппы соответственно групп /> /> – подгруппа, порожденнаяподгруппами /> и /> – нормализатор подгруппы /> в /> Подгруппа /> факторизуема относительноразложения /> если выполняется хотя быодно из следующих условий:
1) ни для какого элемента /> подгруппа/> не является истиннойподгруппой группы />
2) ни для какого элемента /> подгруппа/> не является истиннойподгруппой группы />
3) подгруппа /> неизоморфна ни одной из своих истинных подгрупп (в частности, конечна;)
4) по крайней мере одна из фактор-групп /> и /> периодическая.
1.2.7 Л е м м а (Дедекинд). Пусть /> – подгруппа группы /> и /> – подгруппа из />. Тогда для любой подгруппы/> группы /> выполняется соотношение
/>
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /> и/> – произвольные элементысоответственно подгрупп /> и />. Тогда /> и /> и, значит, />. Следовательно, /> С другой стороны, если /> для некоторых элементов /> и /> то /> и, значит, /> Следовательно, /> Итак, соотношение (3)выполняется. Лемма доказана.
1.2.8 Л е м м а (С.Н. Черников [17]). Пусть /> – группа,факторизуемая двумя подгруппами /> и />, и /> – подгруппа группы />, содержащая />. Тогда />
1.2.9 Л е м м а (Сесекин [18]). Пусть/> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и />; /> – некоторая инвариантнаяподгруппа группы /> /> и /> Тогда выполняютсясоотношения
/>
Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая, что /> и /> и используя лемму 1.2.7,получаем
/>
/>
Покажем, что /> Так как/> и />, то /> Пусть /> – произвольный элемент из /> и /> где /> и /> Тогда /> значит, /> Поэтому ввидупроизвольности /> /> Следовательно, с учетомсоотношений (5) /> и, значит, /> Таким образом, всесоотношения (4) выполняются. Лемма доказана.
1.2.10 Л е м м а. Пусть /> – группа, разложимая впроизведения
/>
некоторых подгрупп /> и /> и конечной подгруппы />. Тогда индексы подгруппы /> в группах />, /> и /> конечны и выполняютсясоотношения
/>
/>
/>
Д о к а з а т е л ь с т в о. С учетом соотношений (6), очевидно,
/>
/>
Поэтому
/>
/>
/>
/>
Лемма доказана.
1.2.11 Л е м м а. Пусть /> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и /> пересечение которыхпериодическое, и /> – локальноконечная подгруппа группы /> порожденнаянекоторым множеством конечных инвариантных подгрупп группы /> и /> Тогда />
1.2.12 Л е м м а. Пусть /> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и />; /> – конечная подгруппагруппы />, порожденная некоторымиинвариантными подгруппами групп /> /> и /> />и /> – нормализатор подгруппы /> в />. Тогда найдутся,перестановочные подгруппы /> и /> каждая из которых можетбыть порождена не более чем /> элементами,такие, что
/>
/>
Примечание. В случаях, когда подгруппа /> инвариантнав /> и когда она порожденанекоторой инвариантной подгруппой группы /> инекоторой инвариантной подгруппой группы />,существование перестановочных подгрупп /> и/> каждая из которыхпорождена не более чем /> элементами,таких, что /> установил Кегель [19] (см.в [19] лемму 1.3 и ее доказательство.)
1.2.13 Л е м м а (Амберг [20]). Пусть/> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и /> /> и /> – некоторые подгруппыконечных индексов соответственно групп /> и/> /> – подгруппа, порожденная /> и /> Тогда индекс подгруппы /> в /> конечен.
1.2.14 Л е м м а (Амберг [21]). Пусть/> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и /> с конечнымифактор-группами /> и /> Тогда фактор-группа /> конечна и
/>
1.2.15 С л е д с т в и е. Пусть /> – группа, факторизуемая /> попарно перестановочнымиподгруппами />, /> с конечнымифактор-группами /> Тогдафактор-группа /> конечна и />.
1.2.16 Л е м м а. Пусть /> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и /> /> и /> – некоторые непустыеинвариантные множества элементов соответственно групп /> и /> Тогда для любых элементов /> и /> группы /> найдется такой ее элемент /> что /> и />
1.2.17 Л е м м а (Виландт [16]). Пусть/> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и /> Тогда для любых элементов /> и /> группы /> во-первых, найдется такойее элемент /> что /> и /> и, во-вторых, выполняетсясоотношение />
1.2.18 Л е м м а (Виландт [16]). Пусть/> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и /> /> – некоторая подгруппагруппы /> Следующие условияравносильны:
1) подгруппа /> факторизуемаотносительно разложения /> исодержит пересечение />
2) каковы бы ни были элементы /> и/> произведение /> содержится в /> в том и только том случае,когда элементы /> и /> содержатся в />
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполняется условие 1).Покажем, что выполняется условие 2).
Пусть /> и /> – элементы, для которых /> Так как подгруппа /> факторизуема относительноразложения /> то /> для некоторых элементов /> и /> Отсюда получаем
/>
и
/>
Итак, при условии 1) выполняется условие 2). Обратное очевидно.Лемма доказана.
1.2.19 С л е д с т в и е. Пусть /> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и /> /> – подгруппа группы /> содержащая пересечение /> и факторизуемаяотносительно разложения /> /> и /> – некоторые подгруппысоответственно групп /> и /> содержащие пересечение /> При этих условияхподгруппа /> факторизуема подгруппами /> и /> тогда и только тогда,когда /> и />
1.2.20 Л е м м а (Амберг [20]). Пусть/> – группа, факторизуемадвумя подгруппами /> и />. Тогда пересечениепроизвольной совокупности подгрупп группы />,факторизуемых относительно разложения /> исодержащих пересечение />, являетсяподгруппой, факторизуемой относительно этого разложения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /> –факторизуемые относительно разложения /> подгруппыгруппы />, каждая из которыхсодержит пересечение /> Если длянекоторых элементов /> и /> произведение /> содержится в /> то оно содержится и вкаждой подгруппе/> Поэтому ввидулеммы 1.2.11 элементы /> и /> содержатся в каждойподгруппе /> и, значит, в /> Следовательно, снова ввидулеммы 1.2.11 подгруппа /> факторизуемаотносительно разложения /> Леммадоказана.
1.2.21 Л е м м а (Амберг [20]). Пусть/> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и /> /> – ее подгруппа,факторизуемая относительно разложения /> исодержащая пересечение /> Тогда
/>
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /> –произвольный элемент множества /> Тогда /> для некоторых элементов /> и /> Отсюда /> Так как произведение /> принадлежит /> и /> содержит пересечение /> то ввиду леммы 1.2.11 /> Поэтому элемент /> принадлежит /> Таким образом, /> следовательно, соотношение(4) выполняется. Лемма доказана.
1.2.22 Л е м м а (Амберг [20]). Пусть/> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и /> /> – некоторая подгруппагруппы /> перестановочная сподгруппами /> и /> /> – пересечение всехподгрупп группы /> факторизуемыхотносительно разложения /> исодержащих подгруппы /> и /> /> и /> Тогда выполняютсясоотношения
/>
1.2.23 Л е м м а. Пусть /> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и /> /> – некоторая подгруппагруппы /> /> – пересечение всехподгрупп группы /> факторизуемыхотносительно разложения /> исодержащих подгруппы /> и /> Пусть для некоторойподгруппы /> факторизуемой относительноразложения /> и содержащей подгруппы /> и /> подгруппа /> перестановочна сподгруппами /> и /> Тогда выполняютсясоотношения
/>
1.2.24 Л е м м а (Чунихин [22]). Пусть/> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и />; /> – инвариантная подгруппагруппы />, содержащаяся впересечении /> Тогда нормальное замыканиеподгруппы /> в /> совпадает с ее нормальнымзамыканием в />
1.2.25 Л е м м а (Виландт [23], Хупперт [24], гл. IV, предложение4.6). Пусть /> –группа, факторизуемая двумя подгруппами /> и/>; /> – непустое множествопростых чисел. Тогда если в группах /> и /> силовские />-подгруппы сопряжены (вчасности, если /> состоит изодного простого числа), то найдутся силовские и одновременно холловы />-подгруппы /> и /> соответственно групп /> и /> такие, что />
1.2.26 Л е м м а (Н.С. Черников [25], Зайцев [26]). Пусть /> – конечная группа,факторизуемая двумя подгруппами /> и />; /> и /> – некоторые подгруппысоответственно групп /> и /> /> – подгруппа, порожденнаяподгруппами /> и /> Тогда выполняетсяследующее неравенство для индексов:
/>
1.2.27 Л е м м а (Виландт [23]). Пусть/> – конечная группа,факторизуемая /> попарноперестановочными нильпотентными подгруппами /> /> Если произведение каждыхдвух подгрупп /> являетсяразрешимой группой, то группа /> разрешима.
1.2.28 Л е м м а. Пустьгруппа /> факторизуема двумяподгруппами – инвариантной подгруппой /> инекоторой подгруппой /> /> – непустое множествоэлементов подгруппы /> такое, что /> Тогда выполняютсясоотношения
/>
/>
1.2.30 Л е м м а (Н.С. Черников [27]). Пусть /> – конечнаягруппа, разложимая в произведения /> некоторыхподгрупп /> и /> и нильпотентной подгруппы /> /> – подгрупа группы /> содержащая /> такая, что пересечения /> и /> нильпотентны. Тогда еслиподгруппы /> и /> инваривнтны соответственнов /> и /> то их нормальные замыканияв /> нильпотентны.
1.2.31 Л е м м а. Произвольнаягруппа, которая может быть получена каким-нибудь конечным множеством своихсубнормальных нильпотентных подгрупп конечного индекса, нильпотентна.
1.2.32 Т е о р е м а (Ф. Холл [28]). Для произвольной конечной разрешимой группы /> справедливо утверждение:при любом непустом множестве /> простыхчисел силовские />-подгруппы группы/> сопряжены в ней и являютсяее холловыми />-подгруппами.
1.2.33 Т е о р е м а (Ф. Холл [28,30], Чунихин [29]).
1) Конечная группа /> обладающаядля любого /> холловой />-подгруппой, разрешима.
2) Конечная группа /> представимаяв виде произведения некоторых своих попарно перестановочных />-подгрупп по разным простым/> (или, что равносильно,обладающая полной силовской базой, представимая в виде произведения некоторыхсвоих попарно перестановочных примарных подгрупп), разрешима.
1.2.34 Т е о р е м а (Ф. Холл [28,30]). Конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда онаразложима в произведение попарно перестановочных />-подгрупппо разным простым />
1.2.35 Т е о р е м а (Кегель [31] – Виландт [4]). Конечная группа, представимая в виде произведения некоторыхсвоих попарно перестановочных нильпотентных подгрупп, разрешима.
1.2.36 Т е о р е м а. Пусть /> – некоторое множествопростых чисел; /> – группа,факторизуемая подгруппами /> и /> где /> – />-группа, а /> такова, что /> Тогда /> является силовской />-подгруппой группы />
1.2.37 Л е м м а. Пусть /> – группа, факторизуемаядвумя подгруппами /> и /> где /> – />-, а /> – />-подгруппа группа /> Если в /> все силовские />-подгруппы или всесиловские />-подгруппы сопряжены, то />
1.2.38 Л е м м а (Гардинер, Хартли, Томкинсон [33]). Пусть /> – группа, /> – ее инвариантнаяподгруппа, /> – />-подгруппа группы /> для некоторого непустогомножества /> простых чисел. Если /> является силовской />-подгруппой группы /> и /> – силовской />-подгруппой группы /> то /> является силовской />-подгруппой группы />
1.2.39 Т е о р е м а (С.Н. Черников [34, 35]). Группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами,конечными над своими центрами, разрешима.Строение групп, представимых в произведениеди-/>-разложимых группСтроение примитивныхди-/>-разложимых групп
2.1.1 Л е м м а. Пустьгруппа /> есть произведение своихподгрупп /> и />, /> – некоторое множествопростых чисел. Тогда справедливы следующие утверждения.
1) пусть /> является />-группой, а /> и /> – />-группами. Тогда найдутсяхолловы />-подгруппы /> и /> подгрупп /> и /> соответственно такие, что /> есть холлова />-подгруппа />;
2) если подгруппы /> и /> />-замкнуты, то />.
2.1.2 Т е о р е м а (Васильев А.Ф. [5]). Пусть /> –ненильпотентная разрешимая группа, где /> и/> – />-разложимые подгруппыгруппы />. Если /> имеет единственнуюминимальную нормальную подгруппу />, где /> и />, то справедливы следующиеутверждения:
1) />;
2) />;
3) если />, то /> является />-группой, а /> – />-группой.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим справедливость утверждения1). Так как /> ненильпотентна, /> и /> – минимальная нормальнаяподгруппа в />, то в /> найдется максимальнаяподгруппа /> такая, что />. Из единственности /> и /> следует, что />, т.е. />. Кроме того, />.
Ввиду 1) леммы 2.1.1 в /> и /> существуют холловы />-подгруппы /> и /> соответственно и силовские/>-подгруппы /> и /> соответственно такие, что /> есть холлова />-подгруппа, а /> есть силовская />-подгруппа группы />.
По условию /> и />. Поэтому
/>
Откуда />, так как />. Но />. Значит, />.
Рассмотрим пересечение />. Таккак />, /> – />-группа и все дополнения к /> в /> сопряжены, то можносчитать, что />. Возьмем подгруппуФиттинга /> подгруппы />. Поэтому,
/>.Следовательно, /> – />-группа. Так как />, то />. Поэтому />. Отсюда и из /> следует, что />. Заметим, что /> является силовской />-подгруппой в />. Поэтому />. Ввиду минимальности /> либо />, либо />. Случай /> невозможен, так как />. Поэтому />, т.е. />. Теперь из />, /> и /> получаем, что /> – />-группа. Из />-разложимости /> и /> следует, что />. Но тогда />. Это означает, что />.
Теперь из /> и />, ввиду /> и /> получаем, что />. Утверждение 1) доказано.
Докажем 2). Исследуем пересечения /> и/>. Заметим, что
/>
и
/>
где /> и />. Покажем, что />. Допустим противное. Если /> делит />, то в /> найдется />-подгруппа />. Так как />, то
/>
есть />-разложимаягруппа. Аналогично, /> – />-разложимая группа. Отсюдаи из того, что /> и /> есть холловы />-подгруппы в /> и /> получаем, что />. По доказанному вышеподгруппа Фиттинга /> из /> и /> являются />-группами. Следовательно, />. Противоречие. Тогда /> есть />-группа. Это невозможно,так как />. Итак, />.
Покажем, что />. Таккак />, то />. С другой стороны
/>
Значит, />, т.е. />.
Итак, />. Обозначим /> и />. Так как />, то />. Из />-разложимости /> и /> следует, что /> и />. Тогда />. Ввиду того, что />, имеем
/>
Значит, /> и />.
Покажем, что /> и /> являются нормальнымиподгруппами группы />. Так как /> и /> – />-разложимы и />, то по 2) леммы 2.1.1получаем />. Так как /> – />-группа и />, то />. Значит, />, т.е. />. А значит, />. Из /> следует, что />. Отсюда и из /> получам, что />. Аналогично />. Отсюда подгруппа /> нормализует />, а /> нормализует />. Следовательно, холлова />-подгруппа /> группы /> нормализует подгруппы /> и />. Так как />, то /> нормализует />. Далее, если />, то />. Таким образом, и /> нормализует />. Следовательно, силовская />-подгруппа /> группы /> нормализует />. Тогда /> нормальна в />. Аналогично доказывается,что />.
Из минимальности /> следует,что либо />, либо />. Рассматривая отдельнослучаи />, /> и />, />, нетрудно видеть, что />. Утверждение 2) доказано.
Установим справедливость 3). Пусть />.Из />-разложимости /> и /> следует, что />. Тогда /> является холловой />-подгруппой группы />. Из /> и />-разложимости /> следует, что />. По доказанному выше (см.доказательство утверждения 1)) /> – />-группа. Следовательно, />. Итак, /> является силовской />-подгруппой, а /> – холловой />-подгруппой группы />. Лемма доказана.Некоторые признакиприналежности насыщенной формации ди-/>-разложимыхгрупп
2.2.1 О п р е д е л е н и е. Пусть/> – непустая формация. Подгруппа/> группы /> называется:
1) />-субнормальной в />, если либо />, либо существуетмаксимальная цепь подгрупп /> такая,что /> для всех /> (обозначается />);
2) />-достижимой в />, если существует цепьподгрупп /> такая, что либо подгруппа /> субнормальна в />, либо /> для любого /> (oбозначается />).
Нам потребуются известные свойства />-достижимыхи />-субнормальных подгрупп,которые собраны в следующих леммах.
2.2.2 Л е м м а. Пусть /> – непустая наследственнаяформация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если /> – подгруппагруппы /> и />, то />;
2) если /> />, /> – подгруппа из />, то /> (сответственно />
3) если /> и /> />-субнормальны (/>-достижимы) в />, то /> />-субнормальна(соответственно />-достижима) в />;
4) если все композиционные факторы группы /> принадлежат формации />, то каждая субнормальнаяподгруппа группы /> является />-субнормальной;
5) если /> />, то /> (соответственно />) для любого />.
2.2.3 Л е м м а. Пусть /> – непустая формация. Тогдасправедливы следующие утверждения:
1) если /> /> и />, то /> (соответственно />
2) если /> /> и />, то /> (соответственно />
3) если /> /> и /> />, то /> (соответственно />).
2.2.4 Т е о р е м а (Васильев А.Ф. [5]). Пусть /> – насыщеннаянаследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны.
1) если />, где /> и /> – />-достижимые нильпотентныеподгруппы группы /> и />, то группа />;
2) если />, где /> и /> – />-субнормальныенильпотентные подгруппы группы /> и />, то группа />;
3) любая бипримарная минимальная не />-группаявляется дисперсивной.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Нетрудно видеть, что всякая />-субнормальная подгруппа в /> является />-достижимой. Поэтому из 1)следует 2).
Докажем, что из 2) следует 3). Пусть /> –бипримарная минимальная не />-группа.Предлоложим, что /> недисперсивна.Так как /> разрешима иненильпотентна, то />. Так как /> – собственная подгруппа из/>, то найдется /> и силовская />-подгруппа /> из /> такая, что />. Но тогда />, где /> и /> – некоторая максимальнаяподгруппа из />. Из /> следует, что />, а значит, />. Следовательно, />. Отсюда и из 1) леммы2.2.2 следует, что любая силовская />-подгруппаиз /> является />-субнормальной в />. Если /> – какая-либо силовская />-подгруппа группы />, />, то из недисперсивности /> следует, что />. Из /> и наследственностиформации /> вытекает, что />. Ввиду 2) леммы 2.2.3получаем, что />. Так как /> и />, то />. Отсюда и изнаследственности формации /> следует,что />. Из 3) леммы 2.2.3вытекает, что />. Таким образом, /> факторизуется своими />-субнормальными силовскимиподгруппами. Очевидно, />. Поэтому по 2)теоремы 2.2.4 />. Противоречие с />. Следовательно, /> дисперсивна.
Докажем, что из 3) следует 1). Пусть группа /> – наименьший по порядкуконтрпример к утверждению 1) теоремы. Тогда />,где /> и />, /> – />-достижимые />-подгруппы в />, но сама группа /> не принадлежит формации />. По теоремеВиландта-Кегеля /> разрешима. Если /> нильпотентна, то изнасыщенности /> и /> следует, что />. Противоречие с выборомгруппы />. Следовательно, /> ненильпотентна. Пусть /> – минимальная нормальнаяподгруппа группы />. Тогда ввиду 1)леммы 2.2.3 все условия утверждения 1) теоремы 2.2.4 сохраняются дляфакторгруппы />. Поэтому в силу выбора /> получаем, что />. Так как /> – формация, то /> – единственная минимальнаянормальная подгруппа группы />. Изнасыщенности /> следует, что />. Тогда />, где /> – />-группа (/> – некоторое простое число)и /> для некоторой максимальнойподгруппы /> группы />.
По 3) теореме 2.1.2, не теряя общности рассуждений, можно считать,что /> – силовская />-подгруппа, а /> – холлова />-подгруппа группы />. Ясно, что />. Пусть /> – произвольная собственнаяподгруппа группы />. По теоремеХолла />, где /> – силовская />-подгруппа, а /> – холлова />-подгруппа группы />. Заметим, что />, а /> для некоторых элементов />. Следовательно, /> динильпотентна снильпотентными факторами /> и />. Далее из /> и /> следует по 3) леммы 2.2.3,что /> и />. Из /> и насыщенности /> вытекает, что /> и />. Тогда по 2) леммы 2.2.2 /> и />. Следовательно, ввидувыбора /> получаем, что />. Итак, /> – минимальная не />-группа. Покажем, что /> бипримарна. Так как вседополнения к /> в /> сопряжены, то можносчитать, что />. Тогда из /> и /> следует, что />. Значит,
/>.Следовательно, /> является />-группой. Покажем, что /> – />-группа, где /> – некоторое простое число,отличное от />. Предположим, что /> и />. Тогда найдутся подгруппы /> и /> в /> такие, что /> и />, где /> – силовская />-подгруппа, а /> – холлова />-подгруппа из />. Рассмотрим подгруппы />, />. Так как />, то />, />. Так как по условиюформация /> насыщена, то она являетсялокальной. Пусть /> – максимальныйвнутренний локальный экран формации />,который существует и единственен. Ввиду /> и/> получаем />. Следовательно, /> – />-группа, />. Из /> и /> получаем, что />, />. Значит, /> – наследственная формация.Поэтому />, />. Заметим, что />. Аналогично, />. Но тогда />. Из /> и /> следует, что />. Получили противоречие свыбором />.
Итак, /> – примарнаягруппа, а значит, /> бипримарна. По3) теоремы 2.2.4 /> дисперсивна.Следовательно, /> – максимальнаяподгруппа группы />. Так как />, то />. Это означает, что /> – />-абнормальная максимальнаяподгруппа группы />. Ясно, чтоподгруппа /> ненормальна в />. Получили противоречие с />. Итак, наше допущениеневерно. Теорема доказана.
Пусть /> – формация всехсверхразрешимых групп. Подгруппа /> разрешимойгруппы /> является />-субнормальной в /> тогда и только тогда,когда либо />, либо существуетмаксимальная цепь подгрупп /> такая,что /> – простое число для любого/>.
2.2.5 Т е о р е м а (Васильев А.Ф. [5]). Группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда её можнопредставить в виде произведения двух своих нильпотентных />-субнормальных подгрупп.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /> сверхразрешима.Тогда коммутант /> нильпотентен.Возьмем добавление /> к /> в />. Следовательно,
/>
Отсюда и из
/>
получаем, что />. Итак, />, где /> и /> – нильпотентные />-субнормальные подгруппыгруппы />.
Обратное утверждение следует из теоремы 2.2.4 ввиду того, чтолюбая минимальная несверхразрешимая бипримарная подгруппа являетсядисперсивной.
2.2.6 Т е о р е м а. Пусть /> – наслественная насыщеннаяформация, причем /> и /> – ди-/>-разожимая группа. Тогасправиливы следующие утверждения:
1) если /> /> и /> то />
2) если /> /> и /> то />
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Докажем утверждение 1). Пусть группа /> –наименьший по порядку контрпример к утверждению 1) теоремы. Тогда /> – ди-/>-нильпотентная группа, где /> и /> нормальна в />, /> – />-достижимая подгруппа в />, но сама группа /> не принадлежит формации />. Если /> нильпотентна, то изнасыщенности /> и /> следует, что />. Противоречие с выборомгруппы />.
Пусть /> ненильпотентна и/> – минимальная нормальнаяподгруппа группы />. Тогда ввиду 1)леммы 2.2.3 все условия утверждения 1) теоремы 2.2.4 сохраняются дляфакторгруппы />. Поэтому в силу выбора /> получаем, что />. Тогда />, где /> – />-группа (/> – некоторое простое число)и /> для некоторой максимальнойподгруппы /> группы />.
Если /> то из /> и /> следует, что /> Противоречие с выбором /> Будем считать, что /> По 3) теоремы 2.1.2 можносчитать, что /> – силовская />-подгруппа, а /> – холлова />-подгруппа группы /> либо /> – холлова />-подгруппа, а /> – силовская />-погруппа.
Рассмотрим вначале первый случай. Тогда /> и /> Так как все дополнения к /> в /> сопряжены, то можносчитать, что /> Тогда из /> и /> следует, что />. Из /> и /> следует, что />. Следовательно, />. Так как />, то /> – />-абнормальная подгруппа в /> Ясно, что /> ненормальна в /> Получили противоречие с />-достижимостью подгруппы />
Рассмотрим второй случай. Пусть /> –силовская />-группа, а /> – холлова />-группа. В этом случае /> и /> причем /> Получили противоречие.Следовательно, /> и /> – нильпотентная />-группа. Снова получилипротиворечие. Так как любая />-субнормальнаяподгруппа является />-достижимой, тоутверждение 2) следует из утверждения 1). Теорема доказана.Факторизуемые подгруппы ди-/>-разложимыхгрупп/>-классы Шунка и ихпроекторы
Для доказательства основных результатов нам потребуются некоторыефакты, получены в работе Васильевой Т.И. [34].
В каждой разрешимой группе />-полупроекторысопряжены и совпадают с />-проекторами.Однако, в />-разрешимых группахуказанное утверждение не всегда имеет место. Введение />-класса Шунка /> (т.е. класса Шунка, длякоторого из условия />, всегда следует />) дало возможность доказатьсопряженность />-полупроекторов в/>-разрешимых группах.
3.1.1 Л е м м а. Пусть />–/>-класс Шунка; /> – нормальная />-подгруппа группы />; /> – />-полупроектор /> Тогда /> является />-полупроектором группы />.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду того, что /> и /> имеем /> Тогда по определению />-класса Шунка />
Предположим, что /> и />, где /> – произвольная нормальнаяв /> подгруппа. Тогда
/>
Из определения />-полупроектораполучаем />
Лемма доказана.
3.1.2 Л е м м а. Пусть />–/>-класс Шунка; /> – нильпотентная нормальнаяподгруппа />-разрешимой группы /> и /> Тогда:
1) существует такая максимальная />-подгруппа/> группы /> что />
2) любые две такие максимальные />-подгруппы/> и /> группы /> что /> сопряжены с помощьюэлемента из />
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду насыщенности /> можно считать, что /> не содержится в />. Поэтому, /> где /> есть добавление к /> в />. Следовательно, имеем />. Тогда
/>
так как />, поэтому />. Выбрав в /> максимальную />-подгруппу />, содержащую />, получаем 1).
Докажем 2) индукцией по />.Предположим, что />– группанаименьшего порядка, в в которой существуют такие максимальные />-подгруппы /> и />, что />, но /> и /> не сопряжены с помощьюэлемента из />. Тогда /> не принадлежит /> и найдется примитивнаяфактор-группа />, непринадлежащая />, при этом /> не содержится в /> и />.
Из примитивности /> следуетсуществование максимальной подгруппы /> с ядром1. Поскольку
/>
/> максимальнав /> и />, имеем />. Поэтому
/>
и
/>
Отсюда и из максимальности /> в/> получаем, что /> – минимальная нормальнаяподгруппа группы />.
Если /> – />-группа, то лемма 3.1.1дает противоречие />. Значит, /> – абелева />-группа, />. Тогда и /> и /> – максимальные подгруппы в/> с единичными ядрами, />. Тогда имеем
/>
где />. Так как />, то найдутся такие />, что />.
Тогда /> Откуда />.
Рассмотрим />.Подгруппа />нильпотентна и нормальна в /> и /> – максимальные />-подгруппы в /> и />. По индукции найдетсятакой элемент />, что />. Лемма доказана.
3.1.3 Л е м м а. Пусть /> – />-класс Шунка; />– />-разрешимая группа; />– нильпотентная нормальнаяподгруппа в />; /> – />-полупроектор /> и />–такая максимальная />-подгруппа группы />, что />. Тогда />– />-полупроектор группы />.
3.1.4 Л е м м а. Пусть /> – />-класс Шунка; /> – />-разрешимая группа; /> – такой нормальный рядгруппы />, что /> – /> – группа или нильпотентнаягруппа, />. Подгруппа /> группы /> является />-полупроектором тогда итолько тогда, когда /> – максимальная />-подгруппа группы />.
3.1.5 Т е о р е м а. Пусть /> – />-класс Шунка; /> – />-полупроектор />-разрешимой группы />. Тогда /> будет />-полупроектором и в любойсодержащей его подгруппе />.
3.1.6 С л е д с т в и е. Для />-класса Шунка /> в любой />-разрешимой группе понятия />-полупроектора и />-проектора совпадают.
Следующие две теоремы несут информацию о сопряженности и строении />-проекторов.
3.1.7 Т е о р е м а. Пусть /> – />-класс Шунка; /> – />-разрешимая группа; /> и /> – />-проекторы группы />; /> – />-группа или нильпотентнаягруппа. Тогда /> и /> сопряжены с помощьюэлемента из />
3.1.8 Т е о р е м а. Для />-класса Шунка /> в каждой />-разрешимой группе любой />-проектор содержитнекоторую />-холловскую подгруппугруппы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /> –/>-разрешимая группанаименьшего порядка, для которой теорема неверна. Тогда в ней существует />-проектор />, который не содержит ниодной />-холловской подгруппыгруппы />. Выберем в /> минимальную нормальнуюподгруппу />. По индукции />-проектор /> содержит некоторую />-холловскую подгруппу /> группы />. Тогда />-холловская подгруппа /> группы /> содержится в />. Если /> – />-группа, то /> и, используя лемму 1,получаем />. Противоречие. Поэтому /> – абелева />-группа для некоторого />. Тогда /> для />, что противоречит выбору /> Теорема доказана.
Следующая теорема указывает на существование и сопряженностьподгрупп, являющихся обобщением подгрупп Картера в />-разрешимойгруппе.
3.1.9 Т е о р е м а. Любая />-разрешимая группа /> обладает по крайней мереодной />-картеровой подгруппой илюбые две из них сопряжены в />
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /> –класс />-нильпотентных групп. Таккак /> является насыщеннойформацией и из условия /> всегда следует,что />, то /> есть />-класс Шунка.
Пусть /> – />-проектор группы />. Тогда /> />-нильпотентна и по теореме3 содержит некоторую />-холловскуюподгруппу группы />. Для /> можно выбрать такуюподгруппу />, содержащую />, что /> – нильпотентная группа.Тогда />. Так как /> является />-проектором />, то />. Но тогда />. Противоречие.Следовательно, />. Первая частьтеоремы доказана.
Пусть теперь /> – />-картерова подгруппа группы/>. Покажем, что /> есть />-проектор />. Пусть />.
Предположим, что />. Тогдав /> существует такаямаксимальная подгруппа />, что />. Так как некоторая />-холловская подгруппа /> группы /> содержится в /> и /> />-нильпотентна, то /> является нильпотентнойгруппой. Поэтому максимальная подгруппа
/>
Следовательно, />. Длялюбого /> подгруппа /> является />-картеровой подгруппойгруппы />, а значит, и /> По индукции для /> теорема верна, поэтому /> и /> сопряжены в />. Тогда по обобщенной леммеФраттини />, что противоречит тому,что /> и />. Значит, /> т.е. /> есть />-проектор />. Так как любые два />-проектора сопряжены в /> то этим доказательствотеоремы завершено.
Следующая теорема указывает на существование и сопряженностьподгрупп, являющихся обобщением подгрупп Гашюца в />-разрешимойгруппе.
3.1.10 Т е о р е м а. Любая />-разрешимая группа /> обладает />-гашюцевой подгруппой илюбые две из них сопряжены в />.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /> –класс />-сверхразрешимых групп. Таккак /> является насыщеннойформацией, то /> – класс Шунка.Если />, то и />, так как /> Поэтому есть />-класс Шунка. м
Пусть /> – />-просктор группы />. Тогда /> />-свсрхразрешима и потеореме 3 содержит некоторую />-холловскуюподгруппу группы />. Предположим,что /> и /> – простое число. Возьмем в/> минимальную нормальнуюподгруппу /> Тогда
/>
и /> –самоцентрализуемая подгруппа в />.Поэтому
/>
изоморфна подгруппе циклической группы />.Таким обрaзом, /> сверхразрешима,т.е. принадлежит />. Так как /> – />-проектор />, то получаем />. Противоречие.Следовательно, если />, то /> есть составное число.Первая часть теоремы доказана.
Пусть /> – />-гашюцева подгруппа группы />. Пусть /> и />. Предположим, что />. Тогда /> содержится в некотороймаксимальной подгруппе /> группы />. Так как /> является максимальнойподгруппой />-сверхразрешимой группы /> и /> содержит />-холловскую подгруппугруппы />, то /> для некоторого />, что дает противоречие />. Значит /> т.е. /> есть />-проектор группы />. Так как любые два />-проектора сопряжены в />, то этим доказательствотеоремы завершено.Проекторыпроизведений ди-/>-разложимых групп
3.2.1 Т е о р е м а. Пусть /> – />-класс Шунка, /> /> – произведение />-разложимых подгрупп /> и /> группы /> причем
/> Тогдав /> имеется факторизуемыйотносительно /> />-проектор.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что теорема не верна.Пусть /> – ди-/>-разложимая группа такая,что любой />-проектор группы /> не факторизуетсяотносительно />
Пусть /> – минимальная нормальнаяподгруппа группы />. Тогда дляфактор-группы /> утверждениетеоремы выполняется. Следовательно, существует /> –/>-проектор группы /> который факторизуетсяотносительно /> то есть
/>
и
/>
Отсюда следует, что /> и /> Тогда /> Откуда /> т.е. /> факторизуется относительно/>
Пусть /> – некоторый />-проектор группы />. Тогда /> является />-проектором группы /> и /> Рассмотрим два случая.
1) /> Тогда /> – ди-/>-разложимая группа и для /> все условия теоремывыполняются. Поэтому найдется такой />, что /> – факторизуемый />-проектор группы />, т.е. /> и /> Следовательно, /> – факторизуемый />-проектор относительно />
2) Пусть /> для любойминимальной нормальной подгруппы /> илюбого />-проектора /> группы />. Так как />, то />.
Если /> – не примитивнаягруппа, то ее любая примитивная факторгруппа принадлежит />. Так как /> – класс Шунка, то /> и /> является своим />-проектором. Получилипротиворечие с выбором />.
Пусть /> – примитивнаягруппа. Тогда по теореме Бэра /> имеетединственную минимальную нормальную подгруппу /> такую,что /> – />-группа, /> – некоторое простое число./> и />, где /> – некоторая максимальнаяподгруппа группы />. Ясно, что /> и /> является />-проектором группы />.
Пусть />. Тогда из того,что /> – />-класс Шунка, следует />. Противоречие с выбором />.
Остается принять, что /> Следовательно,/> является силовской />-подгруппой, а /> – />-холловской подгруппой.
Следовательно, /> поэтомунайдется /> такой что /> факторизуется относительно/>
Теорема доказана.
Так как всякая насыщенная формация является классом Шунка, тосправедливо следующее:
3.2.2 С л е д с т в и е. Пусть /> – насыщенная формация,причем /> Если /> – ди-/>-разложимая группа, причем /> то в /> имеется хотя бы одинфакторизуемый относительно /> />-проектор.
3.2.3 О п р е д е л е н и е. Подгруппу/> группы /> назовем />-картеровой подгруппой,если /> />-нильпотентна, /> и /> содержит некоторую />-холловскую подгруппугруппы />.
3.2.4 С л е д с т в и е. Пусть /> – ди-/>-разложимая группа. Тогда в/> имеется хотя бы однафакторизуемая относительно /> />-картерова подгруппа.
3.2.5 О п р е д е л е н и е. Подгруппу/> группы /> назовем />-гашюцевой подгруппой, если/> />-сверхразрешима, содержитнекоторую />-холловскую подгруппугруппы /> и для /> есть составное число.
3.2.6 С л е д с т в и е. Пусть /> – ди-/>-разложимая группа. Тогда в/> имеется хотя бы однафакторизуемая относительно /> />-гашюцева подгруппа.
Заключение
Трудно представить себе в настоящее время теорию групп безвопросов, относящихся к группам, разложимым в произведение своих подгрупп.
Вот уже на протяжении свыше 70-ти лет исследования в абстрактнойтеории бесконечных групп продолжают интенсивно развиваться, причем темп иглубина исследований возрастают по мере удаления от момента полученияосновопологающих результатов. Самое удивительное в развитии этой теории то, чтони одно из основных ее направлений, возникших в 30–40-х годах XX в., неутратило значения до настоящего времени. Более того, на их основе возникаютновые перспективные ответвления в теории групп, со временем превращающиеся всамостоятельные направления.
Получено немало важных результатов. Они отражены в ряде обзоров (см.,например, Чунихин [6, 7], Азлецкий [8, 9], Кострикин [10], Чунихин, Шеметков[11], Мазуров [12], Казарин [13]).
В настоящей работе были исследованы свойства конечных разрешимыхгрупп, представимых в произведение своих двух />-разложимыхподгрупп.
В классе всех конечных разрешимых групп, когда /> где /> – класс Шунка, и если /> – ди-/>-разложимая группа, причем />, то был получен следующийрезультат: в /> имеется хотя бы одинфакторизуемый относительно /> />-проектор.
Результаты настоящего диплома являются новыми и могут бытьиспользованы в учебном процессе при чтении спецкурсов на математическихспециальностях в высших учебных заведениях.
Литература
[1] Frobenius G.,Stickelberger L. Uber Gruppen von vertauschbaren Elementen // J. Reine Angew.Math. – 1879. – 86, N4, S.217–262.
[2] Huppert B. Uber dasProdukt von paarweise vertauschbaren zyklischen Gruppen. // Math. Z. – 1953. –58, N3. – S. 243–264.
[3] Amberg B., Hofling B.// Arch. Math. – 1994. – V.63. – P. 1–8.
[4] Wielandt H. UberProdukte von nilpotenten Gruppen. // III.J. Math. – 1958. – 2, N4B. – S.611–618.
[5] Васильев А.Ф. Новые свойсваконечных динильпотентных групп // Вести НАН Беларуси. – 2004. – N 2. – C.29–33.
[6] Чунихин С.А. О некоторыхнаправлениях в развитии теории конечных групп за последние годы. // Успехи мат.наук. – 1961. – 16, N4. – С. 31–50.
[7] Чунихин С.А. Подгруппыконечных групп. – Мн: Наука и техника, 1964. – 158с.
[8] Азлецкий С.П. Офакторизации конечных групп. // Мат.зап. Урал.ун-та. – 1962. – 3, N3. – С. 3–17.
[9] Азлецкий С.П. Офакторизации конечных групп. // Мат.зап. Урал.ун-та. – 1966. – 5, N3. – С. 3–14.
[10] Кострикрн А.И. Конечныегруппы. В кн.: Алгебра – 1964 (Итоги науки). – М: ВИНИТИ АН СССР. – 1966. – С.7–46.
[11] Чунихин С.А., Шеметков Л.А.Конечные группы. В кн.: Алгебра, Топология. Геометрия 1969 (Итоги науки). – М:ВИНИТИ АН СССР. – 1964. – 154, N3. – С.7–70.
[12] Мазуров В.Д. Конечныегруппы. В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия 1976 (Итоги науки и техники). – М:ВИНИТИ АН СССР. – 1977. – С.5–56.
[13] Казарин Л.С. Группы сфакторизацией. – Ярославль, 1981.–79с.–Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 3900–81 Деп.
[14] Монахов В.С. Введение втеорию конечных групп и их классов. – Гомель, 2003.
[15] Шеметков Л.А. Формацииконечных групп. – М: Наука, 1978. – С.165–204.
[16] Ballester-Bolinches A., Perez-Ramos M.D. // J. Algebra. – 1996. – V. 179. – P. 905–917.
[17] Черников С.Н. Одополняемости силовских П-подгрупп в некоторых классах конечных групп //Мат.сб. – 1955. – 37, N3. – С.557–566.
[18] Сесесекин Н.Ф. Опроизведении финитно связанных абелевых групп // Сиб.мат. журн. – 1968. – 9, N6.– С.1427–1430.
[19] Kegel O.H.On the solvability of some factorized linear groups // III.J. Math. – 1965. –9, N3. – P. 535–547.
[20] Amberg B.Artinian and Noetherian factorized groups // Rend. Semin Math. Univ. Padova/ –1976 – 55/ – P. 105–122.
[21] Amberg B.Soluble products of two locally finite groups with min-/> for every prime /> // Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. – 1983. – 69. – P.7–17.
[22] Чунихин С.А. О существованииподгрупп у конечной группы. В кн.: Труды семинара по теории групп. – М.; Л.: ГОНТИ.– 1938. – С. 106–125.
[23] Wielandt H. Uber dasProdukt von paarweise vertauschbaren nilpotenten Gruppen // Math.Z. – 1951. –55, N1. – S.1–7.
[24] Huppert B. EndlicheGruppen.I. – Berlin etc.: Springer, 1967. – 795s.
[25] Черников Н.С. Офакторизациях локально конечных групп // Сиб. мат. журн. – 1980. – 21, N6. –С.186–195.
[26] Зайцев Д.И. Факторизацииполициклических групп // Мат. заметки. – 1981. – 29, N4. – С.481–490.
[27] Черников Н.С. Произведениягрупп конечного свободного ранга. В кн.: Группы и системы их подгрупп. Киев:Ин-т математики АН УССР. – 1983. – С.42–56.
[28] Hall Ph.On the Sylow system of a soluble groups // Proc. London.Math. Soc. – 1937. – 43, N5. – Р.316–323.
[29] Чунихин С.А. О разешимыхгруппах // Изв. НИИ математики и механики Том. ун-та. – 1938. – 2. – С.220–223.
[30] Hall Ph. A characteristic property of soluble groups // Ibid. – 1937. – 12,N 47. – Р.198–220.
[31] Kegel O.H.On the solvability of some factorized linear groups // III. J. Math. – 1965. –9, N3. – Р.535–547.
[32] Черников Н.С. Группы,разложимые в произведение перестановочных подгрупп. – Киев: Навукова думка,1987. – С.17–59.
[33] GardinerA.D., Hartley B., Tomkinson M.J. Saturated formations and Sylow structure inlocally finite groups // J. Algebra. – 1971. – 17, N2. – Р.177–211.
[34] Васильева Т.И. (ОстровскаяТ.И.) – В кн.: Вопросы алгебры. Мн: изд-во «Университетское». – 1985. – 1. –С.57–62. Докл. АН СССР. – 1980. – 255, N3. – С.537–539.
[35] Черников Н.С. Опроизведении почти абелевых групп // Укр. мат. журн. – 1981. – 33, N1. – С.136–138.