ОГЛАВЛЕНИЕ
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ
1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ СПОСОБОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ АНАЛОГОВ
2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ НА БАЗЕ π-ТЕОРЕМЫ
2.1 Составление матрицы размерностей параметров процесса
2.2 Определение независимых параметров процесса и числанезависимых форм записи критериев подобия
2.3 Определение критериев подобия в любой одной форме записи
3 ПОСТРОЕНИЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФА КОСВЕННЫМ МЕТОДОМ
4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФА В НОРМАЛИЗОВАННЫЙU-ГРАФ
5 РАСЧЕТ УЗЛОВОГО НАПРЯЖЕНИЯ В ЗАВИСИМОМ УЗЛЕНЕНОРМАЛИЗОВАННОГО И НОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФОВ НА ОСНОВАНИИ ФОРМУЛЫ МЭЗОНА
6 ПОСТРОЕНИЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФА ПРЯМЫМ МЕТОДОМ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
ПРИЛОЖЕНИЕ Расчет определителей третьего порядка
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮРАБОТУ
Часть 1. Для процесса,описываемого дифференциально-интегральным уравнением (1), определить критерииподобия:
/> (1)
Определить критерииподобия:
1. способом интегральных аналогов во всех возможных формахзаписи;
2. на базе p-теоремы в любых трех (из всех возможных) формах записи.
Часть2. Для электрической цепи (рисунок 1), параметры которой приведены втаблице 1, выполнить следующее:Таблица 1 – Исходные данные
Е2
Е3
Е5
Е8
Z1 кВ кВ кВ кВ Ом -55+j95,3 -55+j95,3 -17,5-j30,3 -17,5-j30,3 0,71+j19,2
Z2
Z3
Z4
Z5
Z6 Ом Ом Ом Ом Ом 0,71+j19,2 7,05+j32,4 9,43+j38 0,25+j5,1 0,25+j5,1
Y1
Y2
Y3
Y4
См · 10-6
См · 10-6
См · 10-6
См · 10-6
j47,2 j47,2 j72,1 j72,1
1. Используя косвенный метод построения графов, построить ненормализованныйU-граф.
2. Преобразовать полученный ненормализованный U-граф в нормализованный.
3. В построенныхненормализованном и нормализованном U-графах рассчитать, используя формулу Мэзона, узловое напряжение в любомодном зависимом узле. Результаты расчетов сравнить между собой и убедиться в ихидентичности.
4. Используя прямой методпостроения графов, построить ненормализованный U-граф. Сравнить полученный граф с аналогичным графом, построеннымв пункте 1, убедиться в их равносильности и обосновать ее.
/>
/>Рисунок 1 – Схема электрической цепи
1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТЕРИЕВПОДОБИЯ СПОСОБОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ АНАЛОГОВ
Из выражения (1) видно,что в данное уравнение входит пять слагаемых. Обозначим число возможных формзаписи критериев подобия через Fy. Число возможных форм записи критериев подобия при определении их способоминтегральных аналогов будет равно числу слагаемых в уравнении физическогопроцесса.
/>,
где n — число членов уравнения (1).
Число критериев подобия
/>,
где а — числодополнительных критериев.
Уравнение физическогопроцесса (1) не содержит неоднородные функции, поэтому число дополнительныхкритериев будет равно нулю. Поэтому
/>.
Найдем эти критерииподобия во всех возможных формах записи. Разделим уравнение (1) на слагаемое на/>
/>
Отбросив знакиинтегрирования (т.к. они не влияют на однородность уравнения) получим
/> (1.2)
Полученные членывыражения (1.2), по первой теореме подобия, являются критериями подобия.
/>
Для определения критериевподобия во второй форме записи разделим уравнение (1) на слагаемое /> и отбросивзнаки интегрирования, получим следующее выражение
/>
Получим следующие критерииподобия
/>
Для определения критериевподобия в третьей форме записи разделим уравнение (1) на слагаемое /> и отбросивзнаки интегрирования, получим следующее выражение
/>.
Получимтретью форму записи критериев подобия способом интегральных аналогов
/>
Для определения критериевподобия в четвертой форме разделим уравнение (1) на слагаемое /> и отбросив знакиинтегрирования, получим следующее выражение
/>
/>
Для определения критериевподобия в пятой форме записи разделим уравнение (1) на слагаемое /> и отбросив знакиинтегрирования, получим следующее выражение
/>.
Получимпятую форму записи критериев подобия способом интегральных аналогов
/>
Получены все критерииподобия во всех возможных формах записи c помощью метода интегральных аналогов.
2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТЕРИЕВПОДОБИЯ НА БАЗЕ p-ТЕОРЕМЫ
2.1 Определение матрицыразмерностей
Уравнение, описывающеерассматриваемый физический процесс, имеет следующий вид
/> (2.1)
Перепишем уравнение (2.1)в виде, который позволяет определить все входящие в него величины вотносительных единицах
/>. (2.2)
Запишем формулыразмерностей для всех входящих в выражение (2.2) величин
/> (2.3)
Прологарифмируемполученные уравнения системы (2.3).
/> (2.4)
Из коэффициентовуравнений системы (2.4) составим матрицу размерностей
/> (2.5)
2.2 Определение числанезависимых параметров процесса и числа возможных форм записей критериевподобия
Для определенияколичества независимых параметров процесса необходимо рассчитать определители,составленные из строк и столбцов матрицы размерностей, порядка q, q-1 и т. д. Количество основных единиц измерения будет равнопорядку первого неравного нулю определителя.
Из матрицы размерностей(2.5) мы можем составить следующее число определителей четвертого порядка
/>.
Все определителичетвертого порядка равны нулю по свойству определителя (если два любых столбцаили строки определителя равны или пропорциональны друг другу, то определительравен нулю), т.к. первый и второй столбцы пропорциональны. Следовательно,количество независимых единиц меньше четырех. Необходимо посчитать всевозможные определители третьего порядка. При составлении определителей третьегопорядка следует учесть чередование не только строк, но и столбцов. Общее числоопределителей третьего порядка можно вычислить по формуле
/>.
Из расчетов определителей третьего порядка (см. ПРИЛОЖЕНИЕ) видно,что 52 определителя третьего порядка неравны нулю, что указывает на то, чточисло независимых единиц измерения из девяти всего три, а количество возможныхформ записи равно пятидесяти двум.
2.3 Определение первойформы записи критериев подобия
Возьмем определительтретьего порядка неравный нулю
/>
В качестве независимыхединиц измерения выступают [Um0],[R10], [L10]. Остальные 6 единиц измерения будут зависимы от них, и ихможно представить
/>
Рассчитаем значения x1…x15
/>, />, />;
/>, />, />;
/>, />, />;
/>, />, />;
/>, />, />.
Dis — определитель третьего порядка,каждый из которых получается заменой в определителе D i-ой строки на строку s в матрице размерностей, соответствующей параметру, длякоторого определяется показатель степени. Рассчитаем искомые определители.
/>; />; />;
/>; />; />;
/>; />; />;
/>; />; />;
/>; />; />;
С учетом выше полученныхзначений определителей третьего порядка можно найти численные значенияпоказателей степеней
/>, />, />;
/>, />, />;
/>, />, />;
/>, />, />;
/>, />, />.
С учетом полученныхзначений показателей степеней, формулы размерностей для зависимых переменныхпримут следующий вид
/>
Cвязь между единицами измерениявеличин идентична связи между самими величинами, значит, будут справедливы следующиеравенства
/> /> /> /> />
Поскольку Um0, R10, L10 независимые, то их можно выбрать произвольно
/> (2.6)
В этом случае выражение(2.2) с учетом выражения (2.6) примет следующий вид
/> (2.7)
Из полученного выражениявидно, что критериев подобия для данных независимых величин будет шесть
/>
3 ПОСТРОЕНИЕНЕНОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФА КОСВЕННЫММЕТОДОМ
Представим исходную схемув каноническом виде. Параметры этой схемы (рисунок 3.1) равны
/>
Заменим все источникиЭ.Д.С. на источники тока
/>
Система уравнений для U-графа, описывающих энергетическоесостояние цепи, имеет следующий вид
/>
где Y–квадратная матрица проводимостей; U–это матрицы-столбцы неизвестныхузловых напряжений; Iуз – это матрица-столбец узловых токов.
/>
Рисунок 3.1 – Мнемосхемаэлектрической цепи для построения U–графа
Составим матрицу-столбецузловых напряжений U
/>.
Матрица-столбец узловыхтоков Iуз будет иметь вид
/>
Матрица взаимныхпроводимостей
/>,
Найдем значения элементовматрицы
/>
Подставляя значенияпроводимостей в исходную матрицу, получим следующую формулу
/>.
При построении по системеуравнений ненормализованного U-графанеобходимо пользоваться только нормированными (безразмерными) величинами.Поэтому вводим масштабные множители
Y0=1, См; U0= 1, В; I0= 1, А;
/>; />; />.
Составим ненормализованнуюматрицу передач А
/>
где n – порядок матрицы />, n = 3; m – количество ненулевых элементов матрицы />, m=2; 1n – единичная матрица порядка n; -1m– отрицательная единичная матрица порядка m; 0(n-m)m – нулеваяматрица, состоящая из (n-m) строк и m столбцов.
Опираясь на предыдущиеуравнения строим ненормализованную матрицу передач
/>
Подставим числовыезначения
/>.
На основании этой матрицыпередач строим ненормализованный U–граф(рисунок 3.2). Так как у данного графа узлы-источники не соответствуют источникамв исходной схеме, преобразуем его, разделив узлы-источники (рисунок 3.3).
/>
Рисунок 3.2 –Ненормализованный U – граф безпреобразованных источников
/>
Рисунок 3.3 –Ненормализованный U
4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕНЕНОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФА В НОРМАЛИЗОВАННЫЙ U-ГРАФ
Преобразуем полученный U-граф в нормализованный (рисунок 4.1).C этой целью исключим петли изненормализованного графа. Тогда по правилам преобразования графов передачинормализованного U-графа будутиметь следующие значения
/>
/>
Рисунок 4.1 –Нормализованный U – граф
5 РАСЧЕТ УЗЛОВОГОНАПРЯЖЕНИЯ В ЗАВИСИМОМ УЗЛЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННОГО И НОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФАХ НАОСНОВАНИИ ФОРМУЛЫ МЭЗОНА
Для начала рассчитаемнапряжения в узлах ненормализованного графа (рисунок 3.3). Запишем все контурыэтого графа
L1=a11=1,01-0,133j;
L2=a22=1,013-0,054j;
L3=a33=1,025-0,417j;
L4=a12∙a21=(-0,00641+0,029j)2=-0,0008-0,000372j;
L5=a23∙a32=(-0,00615+0,025j)2=-0,00059-0,0003075j.
Рассчитаем напряжение в 1узле ненормализованного графа. Формула Мэзона для этого случая имеет вид
/> (5.1)
где Р61 — путьот узла 6 к узлу 1; Р41 — путь от узла 4 к узлу 1; Р5321 — путь от узла 5 к узлу 1; Р7321 — путь от узла 7 к узлу 1 Δm61 — алгебраическое дополнение пути отузла 6 к узлу 1; Δm41 — алгебраическое дополнение пути отузла 4 к узлу 1; Δm5321 — алгебраическое дополнение пути отузла 5 к узлу 1; Δm7321 — алгебраическое дополнение пути отузла 7 к узлу 1 /> - определитель графа.
Δ=1 — (L1+L2+L3+L4+L5) + (L1/>L2+L1/>L3+L3·L2+L1·L5+L3·L4) — (L1·L2·L3) =
= 1 — (1,01 — 0,133j + 1,013 — 0,054j + 1,025 — 0,417j — 0,0008 — 0,000372j — 0,00059 -
— 0,0003075j) + ((1,01 — 0,133j)·(1,013 — 0,054j) + (1,01 — 0,133j)·(1,025 — 0,417j) +
+ (1,025 — 0,417j) · (1,013 — 0,054j) + (1,01-0,133j) · (-0,00059-0,0003075j)+(1,025-
— 0,417j) · (- 0,0008 — 0,000372j) — (1,01 — 0,133j) · (1,013 — 0,054j) · (1,025-0,417j) = =0,0009-0,00248j
Δm61=1-(L5+L2+L3)+L3·L2=1-(-0,00059-0,0003075j +1,013-0,054j +1,025-
-0,417j) + (1,025-0,417j)·( 1,013-0,054j)=-0,022-0,00646j;
Δm41=1-(L5+L2+L3)+L3·L2=1-(-0,00059-0,0003075j +1,013-0,054j+1,025-
-0,417j) + (1,025-0,417j)·( 1,013-0,054j)=-0,022-0,00646j;
Δm5321=1;
Δm7321=1;
P61= 1;
P41= 1;
P5321=a53·a32·a21=-1∙(-0,00615+0,025j)∙(-0,00641+0,029j)=0,000686+0,00034j.
P5321= P7321
Подставляя найденныезначения в формулу Мэзона (5.1) получим
/>
Чтобы получить размернуювеличину напряжения умножим полученное значение на масштабный множитель
/>.
Рассчитаем напряжение впервом узле нормализованного графа, изображенного на рисунке 4.1. Для этоговоспользуемся той же формулой Мэзона, что и для ненормализованного графа, толькоизменим все входящие в нее элементы. В нормализованном графе имеем всего дванекасающихся контура
L1= a12∙ a21=(0,22+0,032j)·(0,535-0,01j)=0,118+0,015j;
L2= a23∙ a32=(0,464+0,0023j)·(0,061+0,011j)=0,028+0,00065j.
Тогда находим оставшиесячлены формулы
Δн=1- (L1+L2)=1-(0,118+0,015j + 0,028+0,00065j) =0,854-0,016j;
P5321н=a53·a32·a21=(0,143-2,39j)∙(0,464+0,0023j)·(0,22+0,032j)=
= 0,051-0,242j.
Алгебраические дополненияпутей вычисляются следующим образом
Δm41н=1- (L2)=1-0,028-0,00065j =0,972-0,00065j;
Δm61н=1- (L2)= 1-0,028-0,00065j =0,972-0,00065j;
Δm5321н=1;
Δm7321н=1.
Вычисляем напряжение впервом узле по формулам (5.1), приведенным выше
/>
/>.
Погрешность равна
/>;
/>.
Как видим, погрешностименьше 5%, следовательно, расчеты верны. Напряжение в узлах, найденное сиспользованием формулы Мэзона, получилось одинаковым для ненормализованного инормализованного графа, следовательно, эти графы равносильны.
6 ПОСТРОЕНИЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННОГОU-ГРАФА ПРЯМЫМ МЕТОДОМ
Алгоритм построения U-графа прямым методом следующий:
1. На поле графа наносим узлы, которые соответствуют неизвестнымнапряжениям в узлах схемы;
2. Каждую пару узлов соединяем двумя противоположно направленными ветвямис передачами равными взаимным проводимостям между узлами схемы и помноженнымина -1;
3. Строим в узлах графа петли с передачами равными сумме проводимостей всехветвей, сходящихся в данном узле и прибавляем к ним единицу;
4. Наносим на поле графа узлы-источники и соединяем их с зависимымиузлами передачами равными -1, если ток подтекает к узлу, и +1, в противоположномслучае.
Пользуемся схемой, представленной в каноническом виде (рисунок 3.1). Врезультате получаем граф, изображенный на рисунке 6.1. Находим значенияпроводимостей
/>
В результате получили ненормализованный граф, изображенный на рисунке6.2. Ненормализованные U-графы, построенные прямым и косвенным методом,получились одинаковыми, что говорит об их равносильности.
/>
Рисунок 6.1 – Ненормализованный U–граф,построенный прямым методом
/>
Рисунок 6.2 – Ненормализованный U–граф,построенный прямым методом
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе былопроведено исследование дифференциально-интегральных уравнений. В результатебыли получены критерии подобия способами интегральных аналогов и на базеπ-теоремы. Анализируя эти методы можно сделать выводы, что исследованиеметодом интегральных аналогов является менее объемным, в сравнении сисследованием на базе π-теоремы, но дает меньшее число форм записикритериев подобия.
Также мы ознакомились стеорией графов. Теория графов позволяет вскрывать внутренние причинноследственные связи между параметрами процесса и системы. Благодаря этомуаппарат теории графов адекватен природе изучаемых явлений. В силу чего теорияграфов не ограничивается анализом электрических систем и находит применение вразличных областях техники. Выполнено построение для электрической схемыкосвенным методом ненормализованного U-графа с дальнейшим его преобразованием в нормализованный. При помощиформулы Мэзона было рассчитано узловое напряжение в зависимом узле этого графа.Выяснено, что узловые напряжения имеют одинаковые значения дляненормализованного и нормализованного U-графов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОКИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Бойчевский, В. И. Методическиеуказания и контрольные задания к курсовой работе «Применение методовмоделирования к электротехническим задачам» по дисциплине «Моделирование втехнике» (для студентов специальности 140610) [Текст]: / В. И. Бойчевский, А.Н. Шпиганович. – Липецк: ЛГТУ, 2009. – 22с.
2. Бугров, Я. С. Высшая математика.Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии [Текст]: / Я. С. Бугров, С.М. Никольский. – Ростов: Феникс, 1997. – 288с.
3. Шпиганович, А. Н. Методическиеуказания к оформлению учебно-технической документации [Текст] / А. Н.Шпиганович, В. И. Бойчевский. – Липецк: ЛГТУ, 1997. – 32с.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Расчет определителейтретьего порядка/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I /> />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = />
C1 -2 4 2 = /> L1 1 -2 -2 = -1
i1 />
i1 1 />
L2 2 -2 -2 />
i1 1 t 1 /> t />
R2 2 -3 -2 /> t 1 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I /> />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = /> t 1 = /> L1 1 -2 -2 = -2
i1 />
i1 1 />
R1 2 -3 -2 />
i1 1
C1 -2 -1 4 />
C1 -2 -1 2 />
R2 2 -3 -2 />
C1 -1 4 2 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I /> />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = /> t 1 = /> L1 1 -2 -2 = 1
i1 />
i1 1 />
L2 2 -2 -2 />
i1 1
R1 2 1 -3 />
R1 2 1 -2 />
R2 2 -3 -2 />
R1 1 -3 -2 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I /> />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = /> C -2 4 2 = /> L1 1 -2 -2 =
i1 />
i1 1 />
R1 2 -3 -2 />
i1 1
i2 />
i2 1 />
L2 2 -2 -2 />
i2 1 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I /> />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = /> t 1 = /> L1 1 -2 -2 =
i1 />
i1 1 /> C -2 4 2 />
i1 1
L2 2 1 -2 />
L2 2 1 -2 />
R1 2 -3 -2 />
L2 1 -2 -2 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I /> />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = />
L2 2 -2 -2 = /> L1 1 -2 -2 = 1
i1 /> I1 1 /> C -2 4 2 />
i1 1
R2 2 1 -3 />
R2 2 1 -2 /> t 1 />
R2 1 -3 -2 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I /> /> L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = /> C -2 4 2 = /> L1 1 -2 -1 = t 1 /> t /> t 1 />
C1 -1 4 2
C1 -2 -1 4 />
C1 -2 -1 2 />
R2 2 -3 -2 /> t 1 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I /> /> L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = />
R1 2 -3 -2 = /> L1 1 -2 -2 = t 1 /> t /> t 1 />
R1 1 -3 -2
R1 2 1 -3 />
R1 2 1 -2 />
L2 2 -2 -2 /> t 1 /> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = />
L2 2 -2 -2 = /> L1 1 -2 -2 =
t 1 /> t />
R2 2 -3 -2 /> t 1
I2 />
i2 1 />
L1 2 -2 -2 />
i2 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = /> L1 2 -2 -2 = -2 /> L1 1 -2 -2 =
t 1 /> t />
i1 1 />
L2 1 -2 -2
L2 2 1 -2 />
L2 2 1 -2 /> t 1 /> t 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = /> L1 2 -2 -2 = -4 /> L1 1 -2 -2 =
R2 2 1 -3 />
R2 2 1 -2 />
i1 1 /> t 1
t 1 /> t />
C1 -2 4 2 />
R2 1 -3 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = /> L1 2 -2 -2 = 2 /> L1 1 -2 -2 =
C1 -2 -1 4 />
C1 -2 -1 2 />
R1 2 -3 -2 />
R1 1 -3 -2
R1 2 1 -3 />
R1 2 1 -2 />
i1 1 />
C1 -1 4 2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = /> L1 2 -2 -2 = /> L1 1 -2 -2 =
C1 -2 -1 4 />
C1 -2 -1 2 />
i2 1 />
C1 -1 4 2
I2 />
i2 1 />
i1 1 />
i2 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = /> L1 2 -2 -2 = />
C1 -1 4 2 =
C1 -2 -1 4 />
C1 -2 -1 2 />
L2 2 -2 -2 />
L1 1 -2 -2
L2 2 1 -2 />
L2 2 1 -2 />
i1 1 />
L2 1 -2 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
L1 2 1 -3 = /> L1 2 1 -2 = /> L1 2 -2 -2 = 2 />
R2 1 -3 -2 =
C1 2 1 -2 />
C1 -2 -1 2 />
i1 1 />
L1 1 -2 -2
R2 2 1 -3 />
R2 2 1 -2 />
R2 2 -3 -2 /> C -1 4 2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = /> L1 2 -2 -2 = />
R1 1 -3 -2 =
R1 2 1 -3 />
R1 2 1 -2 />
C1 -2 4 2 />
L1 1 -2 -2
I2 />
i2 1 /> t 1 />
i2 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = />
L2 2 -2 -2 = -2 />
L1 1 -2 -2 =
R1 2 1 -3 />
L2 2 1 -2 />
R1 2 -3 -2 />
L2 1 -2 -2
L2 2 1 -2 />
R1 2 1 -2 />
i2 1 />
R1 1 -3 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
L1 2 1 -2 = />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 -2 -2 = 2 />
L1 1 -2 -2 =
R1 2 1 -3 />
R1 2 1 -2 />
L2 2 -2 -2 />
R2 1 -3 -2
R2 2 1 -3 />
R2 2 1 -2 /> t 1 />
R1 1 -3 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
L1 2 1 -2 = />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 -2 -2 = />
L2 1 -2 -2 =
L2 2 1 -2 />
i2 1 />
L2 2 -2 -2 />
i2 1
I2 />
L2 2 1 -2 /> t 1 />
L1 1 -2 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
L1 2 1 -2 = /> i2 1 = />
R2 2 -3 -2 = -2 />
R2 1 -3 -2 =
R2 2 1 -3 />
R2 2 1 -2 />
L2 2 -2 -2 />
i2 1
I2 />
L1 2 1 -2 />
i2 1 />
L1 1 -2 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
L1 2 1 -2 = />
i1 1 = /> L1 2 -2 -2 = />
L1 1 -2 -2 =
L2 2 1 -2 /> t />
C1 -2 4 2 />
L2 1 -2 -2
R2 2 1 -3 />
C1 -2 -1 2 />
R1 2 -3 -2 />
R2 1 -3 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I1 = />
i1 1 = /> L1 2 -2 -2 = 4 />
i1 1 =
t 1 />
i2 1 />
i2 1 /> t 1
C1 -2 -1 4 /> t />
C1 -2 4 2 />
C1 -1 4 2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I1 = /> I1 1 = /> L1 2 -2 -2 = />
i1 1 =
t 1 />
R1 2 1 -2 />
C1 -2 4 2 />
R1 1 -3 -2
R1 2 1 -3 /> t />
L2 2 -2 -2 /> t 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I1 = /> I1 1 = />
C1 -2 4 2 = />
i1 1 =
t 1 /> t />
R2 2 -3 -2 /> t 1
I2 />
L2 2 1 -2 />
L1 2 -2 -2 />
i2 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I1 = /> I1 1 = />
L1 2 -2 -2 = -2 />
i1 1 =
L2 2 1 -2 />
R2 2 1 -2 />
R1 2 -3 -2 />
L2 1 -2 -2
t 1 /> t />
i2 1 /> t 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I1 = /> C1 -2 -1 2 = /> L1 2 -2 -2 = />
i1 1 =
R2 2 1 -3 />
R1 2 1 -2 />
R1 2 -3 -2 /> t 1
t 1 />
i1 1 />
L2 2 -2 -2 />
R2 1 -3 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I1 = /> I1 1 = /> L1 2 -2 -2 = />
i1 1 =
R1 2 1 -3 />
L2 2 1 -2 />
R2 2 -3 -2 />
C1 -1 4 2
C1 -2 -1 4 />
C1 -2 -1 2 />
R1 2 -3 -2 />
R1 1 -3 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I1 = /> I1 1 = /> L1 2 -2 -2 = />
i1 1 =
C1 -2 -1 4 />
C1 -2 -1 2 />
i2 1 />
C1 -1 4 2
I2 />
R2 2 1 -2 />
L2 2 -2 -2 />
i2 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I1 = /> I1 1 = /> L1 2 -2 -2 = 2 />
i1 1 =
C1 -2 -1 4 />
R1 2 1 -2 />
R2 2 -3 -2 />
C1 -1 4 2
L2 2 1 -2 />
i2 1 />
i2 1 />
L2 1 -2 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I1 = /> I1 1 = />
L2 2 -2 -2 = />
i1 1 =
C1 -2 -1 4 />
R1 2 1 -2 />
R2 2 -3 -2 />
C1 -1 4 2
R2 2 1 -3 />
L2 2 1 -2 />
L1 2 -2 -2 />
R2 1 -3 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I1 = /> I1 1 = /> i1 1 = 2 />
i1 1 =
R1 2 1 -3 />
L2 2 1 -2 /> t 1 />
R1 1 -3 -2
I2 /> R1 2 1 -2 />
C1 -2 4 2 />
i2 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I1 = /> I1 1 = /> i1 1 = -2 />
i1 1 =
R1 2 1 -3 />
R1 2 1 -2 />
R1 2 -3 -2 />
R1 1 -3 -2
L2 2 1 -2 />
R2 2 1 -2 /> t 1 />
L2 1 -2 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I1 = />
i1 1 = /> i1 1 = />
i1 1 =
R1 2 1 -3 />
i2 1 /> t 1 />
R2 1 -3 -2
R2 2 1 -3 />
L2 2 1 -2 />
i2 1 />
R1 1 -3 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I1 = />
i1 1 = /> i1 1 = -2 />
i1 1 =
L2 2 1 -2 />
R2 2 1 -2 />
L2 2 -2 -2 />
i2 1
I2 />
i2 1 /> t 1 />
L2 1 -2 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I1 = />
i1 1 = /> i1 1 = -2 />
i1 1 =
I2 />
R2 2 1 -2 />
R2 2 -3 -2 />
R2 1 -3 -2
R2 2 1 -3 />
L2 2 1 -2 /> t 1 />
i2 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I1 = />
C1 -2 -1 2 = />
i1 1 = -2 />
i1 1 =
R2 2 1 -3 />
R1 2 1 -2 />
R1 2 -3 -2 />
R2 1 -3 -2
L2 2 1 -2 /> t />
C1 -2 4 2 />
L2 1 -2 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
t 1 = /> t = />
i1 1 = /> t 1 =
R1 2 1 -3 />
i2 1 />
C1 -2 4 2 />
C1 -1 4 2
C1 -2 -1 4 />
C1 -2 -1 2 />
i2 1 />
R1 1 -3 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I2 = /> t = />
i1 1 = -4 />
i2 1 =
C1 -2 -1 4 />
C1 -2 -1 2 />
C1 -2 4 2 />
C1 -1 4 2
t 1 />
L2 2 1 -2 />
L2 2 -2 -2 /> t 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
t 1 = />
C1 -2 -1 2 = />
i1 1 = -2 /> t 1 =
C1 -2 -1 4 />
R2 2 1 -2 />
R2 2 -3 -2 />
C1 -1 4 2
L2 2 1 -2 /> t />
C1 -2 4 2 />
L2 1 -2 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
t 1 = />
i2 1 = />
i1 1 = />
C1 -1 4 2 =
C1 -2 -1 4 />
L1 2 1 -2 />
i2 1 />
R2 1 -3 -2
R2 2 1 -3 /> t />
R1 2 -3 -2 /> t 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I2 = />
i2 1 = />
i1 1 = 2 />
i2 1 =
R1 2 1 -3 />
R1 2 1 -2 />
R1 2 -3 -2 />
R1 1 -3 -2
t 1 /> t />
L2 2 -2 -2 /> t 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
t 1 = /> t = />
i1 1 = />
R1 1 -3 -2 =
R1 2 1 -3 />
R1 2 1 -2 />
R1 2 -3 -2 /> t 1
L2 2 1 -2 />
L2 2 1 -2 />
R2 2 -3 -2 />
L2 1 -2 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
t 1 = />
R2 2 1 -2 = /> t 1 = 2 />
R2 1 -3 -2 =
R1 2 1 -3 />
R1 2 1 -2 />
i2 1 /> t 1
R2 2 1 -3 /> t />
R2 2 -3 -2 />
R1 1 -3 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I2 = /> t = />
i1 1 = />
i2 1 =
L2 2 1 -2 />
i2 1 />
R2 2 -3 -2 />
L2 1 -2 -2
t 1 />
L2 2 1 -2 />
i2 1 /> t 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
R2 2 1 -3 = />
R2 2 1 -2 = />
i1 1 = -2 />
R2 1 -3 -2 =
I2 />
i2 1 />
L2 2 -2 -2 />
i2 1
t 1 /> t />
R2 2 -3 -2 /> t 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
R2 2 1 -3 = />
R2 2 1 -2 = />
R1 2 -3 -2 = -2 />
R2 1 -3 -2 =
t 1 />
L2 2 1 -2 /> i2 1 />
L2 1 -2 -2
L2 2 1 -2 /> t />
C1 -2 4 2 /> t 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
R1 2 1 -3 = />
C1 -2 -1 2 = /> t 1 = 2 />
R1 1 -3 -2 =
C1 -2 -1 4 />
R1 2 1 -2 />
C1 2 -2 -1 />
C1 -1 4 2
I2 />
i2 1 />
i2 1 />
i2 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
R1 2 1 -3 = />
R1 2 1 -2 = />
L2 2 -2 -2 = 4 />
C1 -1 4 2 =
L2 2 1 -2 />
L2 2 1 -2 />
C1 -2 4 2 />
R1 1 -3 -2
C1 -2 -1 4 />
C1 -2 -1 2 />
i2 1 />
L2 1 -2 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
R2 2 1 -3 = />
R1 2 1 -2 = />
R2 2 -3 -2 = 2 />
C1 -1 4 2 =
R1 2 1 -3 />
R2 2 1 -2 />
C1 -2 4 2 />
R1 1 -3 -2
C1 -2 -1 4 />
C1 -2 -1 2 />
i2 1 />
R2 1 -3 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
C1 -2 -1 4 = />
C1 -2 -1 2 = />
R1 2 -3 -2 = -2 />
i2 1 =
L2 2 1 -2 />
L2 2 1 -2 />
i2 1 />
L2 1 -2 -2
I2 /> i2 1 /> t 1 />
C1 -1 4 2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
C1 -2 -1 4 = />
C1 -2 -1 2 = />
i2 1 = 2 />
C1 -1 4 2 =
L2 2 1 -2 />
R2 2 1 -2 />
L2 2 -2 -2 />
R2 1 -3 -2
R2 2 1 -3 />
i2 1 /> t 1 />
i2 1
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
L1 2 1 -2 = />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 -2 -2 = />
L2 1 -2 -2 =
L2 2 1 -2 />
i2 1 />
L2 2 -2 -2 />
i2 1
I2 />
L2 2 1 -2 /> t 1 />
L1 1 -2 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I /> />
L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = /> C -2 4 2 = /> L1 1 -2 -2 =
i1 />
i1 1 />
R1 2 -3 -2 />
i1 1
i2 />
i2 1 />
L2 2 -2 -2 />
i2 1 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I /> /> L1 2 1 -2 = /> L1 2 1 -2 = />
R1 2 -3 -2 = />
L2 1 -2 -2 = -1 t 1 /> t /> t 1 />
R2 1 -3 -2
R1 2 1 -3 />
R1 2 1 -2 />
L2 2 -2 -2 />
i2 1 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
I1 = />
i1 1 = /> i1 1 = />
i1 1 =
R1 2 1 -3 />
i2 1 /> t 1 />
R2 1 -3 -2
R2 2 1 -3 />
L2 2 1 -2 />
i2 1 />
R1 1 -3 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/> L M T /> /> /> /> L M I /> /> /> /> L T I /> /> /> /> M T I />
L1 2 1 -2 = />
i1 1 = /> L1 2 -2 -2 = />
L1 1 -2 -2 =
L2 2 1 -2 /> t />
C1 -2 4 2 />
i2 1
R2 2 1 -3 />
C1 -2 -1 2 />
R1 2 -3 -2 />
R1 1 -3 -2
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />