Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
!!!!!!!!!!!!!!!! Государственный университет
Имени Ярослава Мудрого.
Кафедра «Прикладная математика и информатика».
Реферат
ПРЕДСТАВЛЕНИЕЧИСЕЛ В ВИДЕ СУММЫ ДВУХ
КВАДРАТОВ И В ВИДЕ Преподаватель:Неустроев Н.В.Студент группы № 3311
RussoFascisto
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
2004
план:
ВВЕДЕНИЕ 3
ТЕОРЕМА ФЕРМА-ЭЙЛЕРА 5
Доказательство (Лагранжа) 5
Единственностьпредставления простого
числа в виде суммы двух квадратов 6 КОЛИЧЕСТВО представЛЕНИЙ ЧИСЛА в виде суммы двух квадратов 8
ПРЕДСТАВЛЕНИЕЧИСЛА В ВИДЕ 9
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 11
ЛИТЕРАТУРА 12
ВВЕДЕНИЕ Быть может,потомство будет признательно мне за то, что я показал ему, что Древние знали не все.
ПьерФерма Лишь один математик удостоился того,что имя его стало нарицательным. Если произносится слово «ферматист»,значит, речь идет о человеке, одержимом до безумия какой-то несбыточной идеей.Но это слово ни в какой мере не может быть отнесено к самому Пьеру Ферма(1601--1665), одному из самых светлых умов Франции. Ферма — человекудивительной судьбы: один из величайших математиков всех времен, он не был, всовременной терминологии, «профессиональным» математиком. Попрофессии Ферма был юристом. Он получил великолепное гуманитарное образование ибыл выдающимся знатоком искусства и литературы. Всю жизнь он проработал нагосударственной службе, последние 17 лет был советником местного парламента вТулузе. К математике его влекла бескорыстная и возвышенная любовь (это иногдаслучается с людьми), и именно эта наука дала ему все, что может дать человекулюбовь: упоение красотой, наслаждение и счастье. В те годы не было ещематематических журналов, и Ферма почти ничего не напечатал при жизни. Но онмного переписывался со своими современниками, и посредством этой перепискинекоторые его достижения становились известными. Пьеру Ферма повезло с детьми:сын обработал архив отца и издал его.«Я доказал много исключительнокрасивых теорем», — сказал как-то Ферма. Особенно много красивых фактовудалось ему обнаружить в теории чисел, которую, собственно, он и основал. Вбумагах и в переписке Ферма было сформулировано немало замечательныхутверждений, о которых он писал, что располагает их доказательством. Ипостепенно, год за годом, таких недоказанных утверждений становилось все меньшеи меньше. И наконец, осталось только одно. Хорошо известно, что квадраты некоторых чисел можно разложить в суммудвух квадратов. Таков египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5: 32+42=52. Можно описать все целочисленныерешения уравнения x2+y2=z2. Это было сделано Диофантом,греческим математиком, жившим (вероятно) в III веке нашей эры, во второй книгеего трактата «Арифметика» (до нас дошли 6 книг из 13). На полях околорешения Диофанта Ферма написал: «Нельзя разложить куб на два куба, никвадрато-квадрат (т. е. четвертую степень числа) на два квадрато-квадрата, нивообще никакую степень выше квадрата и до бесконечности нельзя разложить на двестепени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство,но эти поля для него слишком узки». Иначе говоря, уравнение xn+yn=znпри натуральном n>2в целых числах неразрешимо.
В бумагах Ферма былонайдено доказательство этого утверждения для n=4 (это единственное подробноедоказательство теоремы из теории чисел, обнаруженное в бумагах Ферма). Для n=3 теоремуФерма доказал Эйлер в 1768 году. В течение XIX века для доказательства теоремыФерма были предприняты огромные усилия. Особенных успехов добился немецкийматематик Куммер. После его работ теорема Ферма оказалась доказанной для всехпростых n(а доказать ее только для них), меньших 100, кроме 37, 59 и 97. В нашем векетеорема Ферма была доказана для простых чисел, меньших 100,000, ноокончательное решение так и не было найдено.
В 1908 году любительматематики Вольфскель завещал 100,000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. Это сталобедствием для математиков многих стран. Потекли сотни и тысячи писем сдоказательствами теоремы Ферма. Как правило, они содержали элементарные ошибки,но на их нахождение тратились немалые силы многих математиков.
Во время Первоймировой войны эта премия обесценилась. Поток псевдодоказательств сократился, ноне иссяк.
И уже казалось, чтоэта проблема перейдет через новую грань веков, но все-таки пять лет тому назаданглийский математик Уайлс «залатал последнюю дыру» в своемдоказательстве этой великой теоремы, с которым он впервые предстал передматематическим миром в 1993 году.
Мир признал: Великаятеорема Ферма доказана!
Однако, тем, ктоинтересуется математикой, имя Ферма говорит очень многое независимо от егоВеликой теоремы. Он был, без всякого сомнения, одним из самых проницательныхумов своего времени — времени Гигантов. Его по праву считают основоположникомтеории чисел, он внес огромный вклад в зарождающиеся новые направления, определившиепоследующее развитие науки: математический анализ, аналитическую геометрию. Мыпризнательны Ферма за то, что он приоткрыл для нас мир, полный красоты изагадочности.
ТЕОРЕМА ФЕРМА-ЭЙЛЕРА
Следующая теорема,несомненно, принадлежит к числу высших достижений математики XVII--XVIII веков.
Взгляните нанесколько первых нечетных простых чисел:
3, 5, 7, 11, 13,17, 19, ...Числа 5, 13, 17 представимы в виде суммы двухквадратов: 5=22+12,13=22+32,17=12+42,а остальные числа (3, 7, 11, 19) этим свойством не обладают. Можно ли объяснитьэтот феномен? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:
Теорема: Для того, чтобы нечетное простое число былопредставимо в виде суммы двух квадратов,необходимо и достаточно, чтобыоно при делении на 4 давало востатке 1. Доказательство (Лагранжа)
Это доказательствоопирается на следующую лемму Вильсона: если p — простое число, то число (p-1)!+1делится на p.
Чтобы не отвлекатьсяна доказательство этого вспомогательного факта, продемонстрирую лишь основнуюидею этого доказательства на примере простого числа 13. Для любого числа x, 2 x11, найдется такое число y, 2y11, что x* y при делении на 13 дае в остатке 1.Действительно,
(13-1)!=12!=(2*7)(3* 9)(4* 10)(5* 8)(6* 11)* 12,
и при этом все произведения в скобках приделении на 13дают в остатке 1, а значит, 12! при делении на 13 даст в остатке 12, откуда(для выбранного нами числа 13) следует утверждение леммы Вильсона.
Из леммы Вильсонаизвлечем такое следствие: если p=4n+1, где n — натуральное число, то ((2n)!)2+1 делится наp.Действительно, из леммы Вильсона следует, что (4n)!+1 делится на p, и теперьнеобходимое утверждение вытекает из следующей выкладки:
(4n)!+1=(2n)!(2n+1)*...*(4n)+1=
=(2n)!(p-2n)(p-2n-1)*...*(p-1)+1=
=(2n)!(-1)2n(2n)!+pk+1 ((2n)!)2+1(mod p).
Обозначим (2n)! через N. Мы доказали, что N2-1(mod p).
Теперь нам предстоитпреодолеть основную трудность. Рассмотрим все пары целых чисел (m,s), такиечто 0 m[ ], s[], через []обозначена целая часть числа — наибольшее целое число, не превосходящее . Числотаких пар ([ ]+1)2>p. Значит, по крайнеймере для двух различныхпар (m1,s1)и (m2,s2)остатки от деления m1+Ns1и m2+Ns2на pодинаковы, т. е. число a+Nb, где a=m1-m2, b=s1-s2,будет делиться на p.При этом |a|[], |b| []. Но тогда число a2-N2 b2=(a+Nb)(a-Nb)делится на p,и значит, учитывая, что N2-1(mod p), получим, что a2+b2делится на p,т. е. a2+b2=rp,где r — натуральное число (r, ибо иначе пары были бы одинаковы). Сдругой стороны, a2+b22[]2, т. е. r=1, и значит,a2+b2=p.Теорема доказана.
Вопрос опредставлении чисел в виде суммы двух квадратов исчерпывается следующимутверждением:
Натуральное число представимо в виде суммы двухквадратов целых чисел тогда и только тогда, когда все простые сомножители вида4k+3 входят в разложение этого числа на простые сомножители с четнымипоказателями.
Единственность представления простого числа ввиде суммы двух квадратов По теореме Ферма-Эйлера любое простое число р, которое приделении на 4 дает остаток 1, представимо в виде суммы двух квадратов. Осталосьдоказать, что такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых. Теорема: Никакоепростое число не может быть представлено в виде суммы квадратов двух целыхчисел существенно разными (т. е. не получающимися один из другого перестановкойслагаемых) способами. Доказательство. Если быпростое число p имело два существенно разных представления, p = a2 +b2 = c2 + d2, то разложения p = (a + bi)(a — bi) = (c + di)(c — di) представляют собой противоречие. Можно обойтись в доказательстве теоремы 9 и безкомплексных чисел. Предположим, что простое число p двумя существенно разными (т. е. отличающимися не толькопорядком слагаемых) способами разложено в сумму квадратов натуральных чисел: p= a2+ b2 = c2 + d2.
Тогда a2c2 = (-b2)(-d2)(modp), т. е. число a2c2 — b2d2 кратно p. (Если рассуждения со сравнениямипо модулю p непривычны и потомуподозрительны, можно получить то же самое, рассматривая тождество a2c2 — b2d2 = a2(c2 + d2)- (a2 + b2)d2).)
Поскольку число p простое, из делимости произведения (ac + bd)(ac — bd) на p следует, что один из множителейкратен p. Если число ac + bd кратно p, то воспользуемся формулой (1):
p2= (ac + bd)2 + (ad — bc)2.
Если (ac + bd)2 кратно p2 и потому не меньше p2. Если же ad- bc = 0, то ad = bc.Поскольку как числа a и b, так и числа c и d взаимно просты, имеем a= c и d = b.
Случай, когда ac — bd кратно p, можно рассмотреть аналогично,воспользовавшись формулой p2= (ac — bd)2 + (ad + bc)2.
Итак, простое числонельзя двумя существенно разными способами представить в виде суммы квадратовдвух натуральных чисел. Число,единственным образом представимое в виде суммы квадратов двух натуральныхчисел, не всегда является простым: 10 = 12 + 32, 25 = 32+ 42. Легко сформулировать условия, при которых число имеетединственное представление в виде суммы двух квадратов. Однако болецелесообразной представляется следующая задача, описанная далее. КОЛИЧЕСТВОпредставЛЕНИЙ ЧИСЛА в виде суммы двух квадратов
В III веке нашей эрыгреческий математик Диофант не только знал, что число 65 представимо двумяспособами, но и объяснял это тем, что 65 является произведением чисел 13 и 5,каждое из которых — сумма двух квадратов. Комплексных чисел Диофант не знал,иначе он непременно выписал бы разложения 5 = (2 + i)(2 — i), 13 =(3 + 2i)(3 — 2i и продолжил бы свои объясненияследующим образом:
65 = (2 + i)(3 + 2i) . (2 — i)(3- 2i) = (4 + 7i) . (4 — 7i) =
= 42 + 72 = (2 + i)(3- 2i) . (2 — i)(3 + 2i)=
= (8 — i) . (8 + i) = 82 + 12.
По-разному группируямножители, получаем два разных разложения!
Следующий пример —число 25. 25 — наименьшее число, двумя способами представимое в виде суммыквадратов двух целых чисел. Оба эти разложения легко получить, по- разномугруппируя множители:
25 = (2 + i)2 . (2 — i)2 = (3+ 4i) . (3 — 4i) =
= 32 + 42 = (2 + i)(2- i) . (2 + i)(2 — i) =
= 5 . 5 = 52 + 02.
Последнийпример— число5746. Как мы хорошо знаем,всякому представлению 5746 = a2+ b2 соответствуетразложение 5746 = (a + bi)(a — bi)на сопряженные множители. Поэтому разложим рассматриваемое число сначала напростые натуральные, а затем и на простые гауссовы множители:
5746 = 2 . 132 .17 = (1 + i)(1 — i)(3 + 2i)2(3 — 2i)2(4+ i)(4 — i).
Теперь мы должны изнескольких этих множителей составить a+ bi, да так, чтобы произведение остальных множителей равнялось a — bi. Этонетрудносделать:
a + bi= (1 + i)(3 + 2i)2(4+ i) = -45 + 61i,
a — bi= (1 — i)(3- 2i)2(4 — i) = -45 — 61i.
При этом,разумеется, 452 + 612 = 2025 + 3721 = 5746. Легко найти иеще два варианта:
a + bi= (1 + i)(3 + 2i)(3 — 2i)(4 + i) = 39 + 65i
или
a + bi= (1 + i)(3 — 2i)2(4 + i)= 75 — 11i.
Они приводят кпредставлениям 392 + 652 = 1521 + 4225 = 5746 и 752+ 112 = 5625 + 121 = 5746. Никаких других представлений нет
Аналогично можнонайти число представлений в виде суммы двух квадратов любого натурального числаp1, ..., pr — попарно различныепростые числа, каждое из которых дает остаток 1 при делении на 4, Q — число, не имеющее простыхделителей кроме тех, которые дают остаток 3 при делении на 4. А именно, если Q не является точным квадратом, то n не представимо в виде суммы двухквадратов; если же Q — точныйквадрат, то, применив необходимое число раз теорему 2, получаем: количествопредставлений числа n в видесуммы двух квадратов равно количеству представлений числа
Итак, количество представлений числа m в виде суммыквадратов двух целых чисел равно [((a1 + 1).… .(ar+ 1) + 1)/2]. (Если число сомножителей равно О, то произведение считаетсяравным 1. Представления, отличающиеся порядком слагаемых, не различаются.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА В ВИДЕ
Теорема: положительное нечетное число представимо ввиде тогда и толькотогда, когда каноническое разложение данного числа не содержит простых чисел рвида 8n+5 и 8n+7.Данная теорема представима в виде уравнения: N, где N-положит. нечетное число. (1)
Число таких представлений равно 2v, где v-число решенийсравнения
(2)
Доказательство. Если нечетное Nне имеет простых делителей вида 8n+5 и 8n+7, то сравнение (2) имеет решения, т.е. v0 (не равно нулю). Тогда получаем, что числоформ {N, B, C} с дискриминантом D=-8, таких, что 0BДалее докажем, чтовсе формы с дискриминантом D=-8 эквивалентныформе {0, 1, 2}.
Действительно если уприведенной положительно определенной формы {a,b,c} дискриминант D= , имеем ac=2, a=1, c=2, b=0.
Таким образом, при D=-8, также как при D=-4 и при D=-3 имеется один класс положительноопределенных форм. Для каждой из vформ вида {a,b,c} существуют два унимодулярных линейных преобразования, переводящих {a,b,c} в {N, B, C}, и тогда получаем, что уравнение(1) имеет 2vрешений с взаимно простыми значениями x, y. Число решений сравнения (2)определяется теоремой. Согласно этой теореме, если N= где все n+3, то v= и число представленийNв виде (1)равно . Вчастности, отсюда вытекает, что любое простое число р вида 8n+1 или 8n+3 единственным образом может быть представлено в виде суммы квадрата иудвоенного квадрата натуральных чисел.
Примечание. Причетном N=2 могут быть два случая:
1) Если нечетное, то, заменяяв уравнении (1) xчерез 2 и сокращая на 2, мывозвращаемся к случаю, рассмотренному в вышеуказанной теореме.
2) Если четно, т. е. 4х, 2у, т. е. не существует решений уравнения (1) с взаимнопростыми xи y.
Число решений уравнений (1) и , рассмотренного впервой части реферата, было легко определить благодаря тому, что длядискриминантов D=-4 и D=-8 существует всего только по одномуклассу квадратичных форм. Легко видеть, что если {a,b,c} —положительно определенная форма свзаимно простыми a,b,c и еслисуществует только один класс примитивных форм с дискриминантом D=, то можноопределить число собственных решений уравнения:
Известно, что для следующих значений -D
-D=3, 4, 7, 8, 11, 12, 16, 19, 27, 28,43, 67
существует только по одному классу такихквадратичных форм.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На Рождество 1640 года в письме от 25декабря Пьер Ферма извещал знаменитого Мерсенна, друга Декарта и главногопосредника в переписке ученых того времени, о том, что «всякое простое число,которое при делении на четыре дает единицу, единственным способом представимокак сумма двух квадратов».
В ту пору математических журналов еще несуществовало, информацией обменивались в письмах, и как правило, результатылишь анонсировались, но не сопровождались детальными доказательствами.
Правда, спустя почти двадцать лет послеписьма Мерсенну в письме к Каркави, отправленном в августе 1659 года, Фермаприоткрывает замысел доказательства описанной выше теоремы. Он пишет, чтоосновная идея доказательства состоит в методе спуска, позволяющем изпредположения, что для какого-то простого числа вида 4n+1 заключениетеоремы неверно, получить, что оно неверно и для меньшего числа того же и т.д., пока мы не доберемся до числа 5, когда окончательно придем к противоречию.
Первые доказательства, которые впоследствиибыли опубликованы, найдены Эйлером между 1742 и 1747 годами. Причем, желаяутвердить приоритет Ферма, к которому он испытывал чувства глубочайшегоуважения, Эйлер придумал доказательство, соответствующее описанному вышезамыслу Ферма.
Воздавая должное обоим великим ученым, мыназываем эту теорему теоремой Ферма-Эйлера.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Бухштаб А.А. Теория чисел.-М.: Государственноеучебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960.- 375с.
2. http://www.cryptography.ru
3. http://mech.math.msu.su
4.http://courier.com.ru