ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛИ
1.Поверхневі інтеграли першого роду
Поверхневіінтеграли першого роду є узагальненням подвійних інтегралів.
Нехайу точках деякої кусково-гладкої поверхні /> визначенаобмежена функція />. (Поверхня називається гладкою, якщо вкожній її точці існує дотична площина і при переході від точки до точкиположення цієї дотичної площини змінюється неперервно. Поверхня, якаскладається із скінченного числа неперервно з’єднаних гладких поверхонь,називається кусково-гладкою.) Розіб'ємо поверхню /> на/> довільних частин /> без спільних внутрішніхточок (рис. 1); нехай /> – площа, а /> – діаметр частини поверхні/>. У кожній частині /> виберемо довільну точку /> і складемо суму
/>.(1)
/>
Рисунок1 – Поверхня />
Цюсуму називають інтегральною сумою для функції /> поповерхні />.
Якщопри /> інтегральні суми (1) маютьскінченну межу, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні />, ні від вибору точок />, цю границю називаютьповерхневим інтегралом першого роду від функції /> поповерхні /> і позначають />.
Такимчином, за означенням
/>.(2)
Уцьому разі функція /> називається інтегровноюпо поверхні />, а поверхня /> – областю інтегрування.
Якщофункція /> неперервна на поверхні />, то вона інтегровна по />.
Обчисленняповерхневого інтеграла першого роду зводиться до обчислення подвійногоінтеграла.
Нехайгладка поверхня />, заданарівнянням />, проектується на площину /> в область />. Припустимо, що функція /> неперервна на поверхні />, а функції /> неперервні в області />.
Внаслідокрозбиття поверхні /> на частини /> область /> розіб'ється на частини />, які є відповіднимипроекціями частин /> на площину /> (рис. 2).
/>
Рисунок2 – Розбиттяповерхні /> на частини />
Якщо/> – площа області />, /> – площа поверхні />, то
/>,
томуінтегральну суму (1) можна записати у вигляді
/>.(3)
Правачастина цієї рівності є інтегральною сумою для функції
/>,
томуз рівностей (2) і (3) випливає, що
/>.(4)
Формула(4) виражає поверхневий інтеграл першого роду через подвійний інтеграл попроекції поверхні /> на площину />.
Аналогічноможна отримати формули, що виражають інтеграл по поверхні /> через подвійні інтегралипо її проекціях на площини /> та />. Якщо поверхня /> задається рівнянням /> або />, то
/>
/>,
де/> та /> – проекції поверхні /> на координатні площини /> та /> відповідно.
Якщоу формулі (2) покласти /> наповерхні />, то отримаємо
/>,(5)
де/> – площа поверхні />, тобто за допомогоюповерхневого інтеграла першого роду можна обчислювати площі поверхонь.
Крімтого, поверхневі інтеграли першого роду застосовують при обчисленні маси,координат центра маси, моменту інерції матеріальної поверхні з відомоюповерхневою густиною розподілу маси. Виведення відповідних формул по суті невідрізняється від виводу аналогічних формул для матеріальної пластинки.
Якщона кусково-гладкій поверхні /> розподіленомасу з поверхневою густиною />, то:
а)маса матеріальної поверхні
/>;
б)координати центра маси поверхні:
/>,
де/> – статичні моментиповерхні /> відносно осей />;
в)моменти інерції поверхні відносно осей координат і початку координат:
/>
2. Поверхневі інтеграли другого роду
Введемопоняття сторони поверхні. Візьмемо на гладкій поверхні /> довільну точку />, проведемо в ній нормаль /> певного напряму ірозглянемо на поверхні /> довільнийзамкнений контур, який виходить з точки /> іповертається в точку />, не перетинаючипри цьому межі поверхні />.Переміщатимемо точку /> по замкненомуконтуру разом з вектором /> так,щоб вектор /> весь час залишавсянормальним до />. При обходізаданого контуру ми можемо повернутися в точку /> зтим самим або з протилежним напрямом нормалі.
Якщоу довільну точку /> поверхні /> після обходу довільногозамкненого контуру, розміщеного на поверхні />,який не перетинає її межу, ми повертаємося з початковим напрямом нормалі />, то поверхню називають двосторонньою.
Якщопри обході деякого контуру напрям нормалі змінюється на протилежний, топоверхню називають односторонньою.
Прикладамидвосторонніх поверхонь є площина, сфера, довільна замкнена поверхня безсамоперетинів, довільна поверхня, задана рівнянням />,де /> – функції, неперервні вдеякій області /> площини />.
Прикладомодносторонньої поверхні є так званий лист Мебіуса (рис. 3).
/>
Рисунок3 – Лист Мебіуса
Модельцієї поверхні можна отримати, якщо прямокутну полоску паперу/>, перекрутивши один раз, склеїти так,щоб точка /> збігалася з />, а точка /> – з />.
Двостороннюповерхню називають орієнтовною,а вибір певноїїї сторони орієнтацією поверхні. Направивши в кожній точцізамкненої поверхні нормаль всередину об'єму, обмеженого поверхнею, отримаємовнутрішню сторону поверхні, а направивши нормаль зовні поверхні-зовнішню їїсторону. Надалі розглядатимемо двосторонні поверхні. Односторонні поверхнінеорієнтовні.
Нехай/> – орієнтовна (сторона ужеобрана) поверхня, обмежена контуром />, який не має точок самоперетину.Вважатимемо за додатний той напрям обходу контуру />, при якому спостерігач, розміщенийтак, що напрям нормалі збігається з напрямом від ніг до голови при русі,залишає поверхню зліва від себе (рис. 4).
/>
Рисунок4 – Орієнтовнаповерхня />
Протилежнийнапрям обходу називається від'ємним. Якщо змінити орієнтацію поверхні напротилежну, то додатний і від'ємний напрями обходу контуру /> поміняються місцями.
З'ясуємотепер поняття поверхневого інтеграла другого роду.
Нехай/> – гладка поверхня, заданарівнянням /> і /> – обмежена функція,визначена в точках поверхні />.Зорієнтуємо поверхню />. Розіб'ємо їїдовільно на /> частин. Позначимо через /> проекцію />-ї частини поверхні /> на площину />, а через /> – площу />, взяту із знаком плюс,якщо обрана зовнішня сторона поверхні />,та із знаком мінус, якщо обрана внутрішня сторона поверхні />. Виберемо в кожній частині/> довільну точку /> і складемо суму
/>.(6)
Вираз(6) називається інтегральною сумою. Нехай /> – максимальний діаметрповерхонь />.
Якщопри /> інтегральні суми (6) маютьскінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні />, ні від вибору точок />, то цю границю називають поверхневимінтегралом другого роду і позначають так: />. Отже, за означенням
/>.(7)
Зозначення поверхневого інтеграла другого роду випливає, що при зміні сторониповерхні на протилежну інтеграл змінює знак, бо змінює знак />.
Поверхню/> можна також проектувати накоординатні площини /> та />.Тоді матимемо ще два поверхневі інтеграли />, де /> – функції, визначені в точкахповерхні />.
Оскільки/> (рис. 5),
/>
Рисунок5 – Проекціяповерхні /> на координатну площину />
де/> – елемент площі поверхні /> – кути між нормаллю доповерхні /> та осями /> відповідно, то справедливітакі формули:
/>
Напрактиці найпоширенішими є поверхневі інтеграли, які об'єднують усі названі,тобто
/>.(8)
Якщо,наприклад, вектор /> є швидкістюрідини, то кількість /> рідини, якапротікає через поверхню /> заодиницю часу, називається потоком вектора /> через поверхню /> ізнаходиться за формулою:
/>.
Уцьому полягає фізичний зміст поверхневого інтеграла другого роду. Зрозуміло,коли вектор /> має іншу природу,поверхневий інтеграл має інший фізичний зміст.
Формула(8) виражає загальний поверхневий інтеграл другого роду через поверхневийінтеграл першого роду.
Поверхневіінтеграли другого роду обчислюються за допомогою подвійних інтегралів.
Нехайфункція /> неперервна в усіх точкахгладкої поверхні />, яка заданарівнянням />, де область /> – проекція поверхні /> на площину />. Виберемо верхню сторонуповерхні />, де нормаль до поверхніутворює з віссю /> гострий кут, тоді />. Оскільки />, то суму (6) можназаписати у вигляді
/>. (9)
Управій частині рівності (9) міститься інтегральна сума для функції />. Ця функція неперервна вобласті />, тому інтегрована в ній.
Перейшовшив рівності (9) до границі при />,отримаємо формулу
/>,
якавиражає поверхневий інтеграл другого роду по змінних /> і /> через подвійний. Якщовибрати нижню сторону поверхні (нормаль до поверхні утворює з віссю /> тупий кут), то одержанийподвійний інтеграл беруть із знаком «мінус», тому
/>.(10)
Аналогічно
/>;(11)
/>.(12)
Уформулі (11) гладку поверхню /> заданорівнянням />, а у формулі (12) – рівнянням />. Знак «плюс» беремо у цихформулах тоді, коли нормаль до поверхні утворює відповідно з віссю />, з віссю /> гострий кут, а знак«мінус» – коли тупий кут; />, /> – проекції поверхні /> на площини /> та /> відповідно.
Дляобчислення загального інтеграла (8) використовують формули (10) – (12),проектуючи поверхню /> на всі трикоординатні площини. Таким чином,
/>
Правильністьвибору знаків перед подвійними інтегралами можна перевірити за допомогоюформули
/>,
якавизначає одиничний нормальний вектор до поверхні />.Подвійний знак у цій формулі відповідає двом сторонам поверхні />. З формули (8) випливає,що знак перед подвійним інтегралом збігається із знаком відповідного напрямногокосинуса нормалі />:
/>.
Якщоповерхня /> неоднозначно проектуєтьсяна будь-яку координатну площину, то цю поверхню розбивають на частини, аінтеграл (8) – на суму інтегралів по одержаних частинах поверхні />.
3. Формула Остроградського-Гаусса
ФормулаОстроградського-Гаусса встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом позамкненій поверхні і потрійним інтегралом по просторовій області, обмеженійцією поверхнею. Ця формула є аналогом формули Гріна, яка, як відомо, встановлюєзв'язок криволінійного інтеграла по замкненому контуру з подвійним інтеграломпо плоскій області, обмеженій цим контуром.
Нехайзамкнена область /> обмежена замкненою поверхнею />, причому знизу та зверхуобмежена гладкими поверхнями /> та />, рівняння яких /> та /> (рис. 7).
/>
Рисунок7 – Замкненаобласть />
Припустимо,що проекцією області /> на площину /> є область />. Нехай в області /> визначено неперервну функцію />, яка в цій області має неперервнупохідну />.
Розглянемопотрійний інтеграл
/>.
Управій частині цієї рівності перший подвійний інтеграл запишемо за допомогоюповерхневого інтеграла по зовнішній стороні поверхні />, а другий подвійнийінтеграл – по зовнішній стороні поверхні />.Враховуючи кути між нормаллю /> тавіссю />, отримуємо
/>.(13)
Аналогічно,припустивши, що функції />, /> неперервні в області />, можна отримати формули
/>,(14)
/>.(15)
Додавшипочленно рівності (13), (14) і (15), отримаємо формулу
/>,(16)
якуназивають формулою Остроградського-Гаусса. Ця формула справедлива і длядовільної області />, яку можна розбити на скінченне числообластей, для яких виконуються рівності (13) – (15).
Задопомогою формули Остроградського-Гаусса зручно обчислювати поверхневі інтегралипо замкнених поверхнях.
4. Формула Стокса
ФормулаСтокса встановлює зв'язок між поверхневим і криволінійним інтегралами. Нехай /> – поверхня, заданарівнянням />, причому функції /> – неперервні в області /> – проекції поверхні /> на площину />; /> – контур, який обмежує />, а /> – проекція контуру /> на площину />, тобто /> – межа області />.
Виберемоверхню сторону поверхні /> (рис.8).
/>
Рисунок8 – Поверхня />
Якщофункція /> неперервна разом із своїми частиннимипохідними першого порядку на поверхні />,то справедлива формула
/>.(17)
поверхневийінтеграл формула стокс
Доведення
Перетворимокриволінійний інтеграл, який міститься у лівій частині рівності (17). Оскількиконтур /> лежить на поверхні />, то координати його точокзадовольняють рівняння />, і тому значенняфункції /> у точках контуру /> дорівнюють значенням функції /> у відповідних точкахконтуру />. Звідси випливає, що
/>.
Застосовуючидо знайденого інтеграла формулу Гріна, отримаємо
/>.
Тутпідінтегральна функція дорівнює частинній похідній по /> від складеної функції />.
Оскільки/> – верхня сторона поверхні,тобто /> (/> – гострий кут між нормаллю/> до поверхні /> і віссю />),то нормаль має проекції />. Аленапрямні косинуси нормалі пропорційні відповідним проекціям, тому
/>,
Тоді
/>
Отже,
/>.
Аналогічноможна довести, що при відповідних умовах справедливі формули:
/>;(18)
/>.(19)
Додаючи почленнорівності (17), (18) і (19), отримуємо формулу
/>,
яканазивається формулою Стокса. За допомогою формули (8), яка пов'язує поверхневіінтеграли першого та другого роду, цю формулу можна записати так:
/>(20)
ФормулаСтокса дає змогу обчислювати криволінійні інтеграли по замкнутих контурах задопомогою поверхневих інтегралів.
Зформули Стокса випливає, що коли виконуються рівності
/>,(21)
токриволінійний інтеграл по довільному просторовому замкненому контуру /> дорівнює нулю:
/>.(22)
Аце означає, що в даному випадку криволінійний інтеграл не залежить від формиконтура інтегрування.